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8.2 第2课时 多边形的外角和
1.掌握多边形外角和定理;
2.能应用多边形的外角和解决问题.
1.什么是三角形的外角？三角形的外角有几个？
2.什么是三角形的外角和？三角形的外角和是多少？
1
2
3
C
B
A
类比三角形的外角概念得出多边形的外角概念
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
A
例：如图四边形
∠1 +∠2 +∠3 +∠4
就是四边形的外角和.
从与多边形的每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
从图中可以知道：
(∠1 +∠5) + (∠2 +∠6) + (∠3 +∠7) + (∠4 +∠8) = 4×180°，
所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180°– (∠5 +∠6 +∠7 +∠8) .
四边形 ABCD 的内角和为
∠5 +∠6 +∠7 +∠8 = 360°.
因此 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
A
类比三角形外角和的求解方式，求出四边形的外角和
根据 n 边形的每一个内角与和它相邻的外角都互为补角，可以求得 n 边形的外角和. 据此，请将数据填入表格.
多边形的边数 3 4 5 6 7 ... n
多边形的内角和与外角和的总和 3×180°=540° ...
多边形的内角和 180° ...
多边形的外角和 360° ...
720°
360°
360°
900°
540°
360°
1080°
720°
360°
1260°
900°
360°
(180n)°
(n-2)180°
360°
任意多边形的外角和都为360°.
即：
通过验证可以得出多边形的外角和为
n·180° – (n – 2)·180°=360°
注意：任意多边形的外角和与边数无关！
例 1 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设多边形的边数为 n，根据题意，得
n · 72°= 360°.
解得 n = 5.
答：这个多边形是五边形.
例2 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，这个多边形是几边形？
解 设这个多边形的边数为 n，根据题意，得
（n – 2）· 180 °= 5×360°.
解得 n = 12.
答：这个多边形是十二边形.
正多边形的每个外角是多少度？
正 n 边形的每个外角度数：
分析：正多边形的每个内角相等，
每个内角+与它相邻的外角=180 °
所以正多边形的每个外角也相等。
思考：
1. 一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：360°÷45°= 8，
180°– 45°= 135°.
答：这个多边形是八边形，它的每一个内角是135°.
2. 一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多 ，求这个多边
形的边数.
解：设多边形的边数为 ，
由题意，得 ，解得 ，
所以这个多边形的边数为11．
多边形的外角和
任意多边形的外角和都为360°
特别注意：与边数无关
定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
1.已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
C
2.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（　　）
A．外角和减少180° B．外角和增加180°
C．内角和减少180° D．内角和增加180°
D
3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意，得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数.
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
解得 n = 9.
答：这个多边形的边数为 9.
1. 将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1 +∠2 +∠3 =______.
102°
1
3
2
2. 一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.
解：设新多边形的边数为 n，由题意，得 (n – 2) ·180°= 2520°. 解得 n = 16.
当截去一个角后，新多边形的边数比原多边形的边数多 1 时，原多边形的边数为 15；
当截去一个角后，新多边形的边数与原多边形的边数相等时，原多边形的边数为 16；
当截去一个角后，新多边形的边数比原多边形的边数少 1 时，原多边形的边数为 17.
答：原多边形的边数为 15 或 16 或 17.

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