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安徽省宣城市宁国市2026年九年级一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列各数中，最小的数为（）
A. B. C. D. 0
2.如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的主视图为（）
A. B. C. D.
3.截至2025年年底，合肥港核心过闸设施（裕溪船闸、巢湖船闸）累计通行各类船只10.02万艘次，通过船闸总吨位2.06亿吨．将数据“2.06亿”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D.
6.如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7.关于x的一次函数y=(2m+1)x+m-2,若y随x的增大而减小,且图象与y轴的交点在x轴下方,则实数m的取值范围是( )
A. m<- B. m>- C. -< m<2 D. m>2
8.如图，，，，，，连接，分别取的中点M，N，连接，则线段的长为（ ）
A. 2 B. 2.5 C. D.
9.二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值为1 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.计算： ．
12.如图，经过圆心且与相交于A，C两点，与相切于点D，连接．若，则的度数为 ．
13.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是 ．
14.我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成或或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
(1) ．
(2) 如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”，则所有“吉祥数”中，的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题11分)
先化简，再求值：，其中．
16.(本小题12分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为．
(1) 把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请画出，并写出点的坐标．
(2) 以直线为对称轴，画出关于直线对称的．
17.(本小题11分)
如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
18.(本小题12分)
观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
…
按照以上规律，解答下列问题．
(1) 写出第5个等式： ．
(2) 请写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想．
19.(本小题12分)
如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
(1) 求k的值及点B的坐标．
(2) 连接，求．
20.(本小题12分)
如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F．
(1) 求证：．
(2) 如图2，若，E为的中点，求的长．
21.(本小题10分)
某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．
成绩段/分 频数 频率
0.1
18 0.18
35 0.35
12 0.12
请根据图表信息，解答下列问题．
(1) 填空： ， ， ．
(2) 请将频数分布直方图补充完整．
(3) 请写出中位数落在的成绩段为 ．
(4) 请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65）
22.(本小题11分)
如图，在正方形中，E，N分别是，的中点，与交于点G，连接并延长交于点F，与对角线交于点H．
(1) 求证：．
(2) 求的值．
(3) 探究线段，及的数量关系，并说明理由．
23.(本小题14分)
已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等．
(1) 求a的值；
(2) 点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值；
(3) 点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】 /32度
13.【答案】
14.【答案】【小题1】

【小题2】

15.【答案】解：
；
当m=3时，原式.
16.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求，点的坐标为；
【小题2】
解：如图，即为所求．

17.【答案】解：在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
答：该三脚架可调节部分的长为．

18.【答案】【小题1】

【小题2】
解：第n个等式：.
证明：右边，
∴左边右边，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：由题意，得，解得，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴，
联立方程组，解得或，
∴点B的坐标为；
【小题2】
解：如图，设直线与轴交于点D，
令，则，
∴点D的坐标为，则，
∴．

20.【答案】【小题1】
证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
【小题2】
解：由（1）得垂直平分，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

21.【答案】【小题1】
10
0.25
25
【小题2】
解：补全频数分布直方图如下：
【小题3】

【小题4】
解：（分）
答：估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分．

22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵E，N分别是，的中点，
∴，，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
如图1，过点H作，交于点J，交于点K，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
【小题3】
解：．
理由：如图2，过点B作于点I，作，交的延长线于点M，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：由题意得：，
所以；
【小题2】
解：在抛物线上，
，
在抛物线上，
，
，
，
．
，
当时，h有最大值；
【小题3】
解：点在抛物线上，点在抛物线上，
，，
是一个与无关的定值且，
．
，
．

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