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2025-2026学年河南省南阳市桐柏县方树泉中学、一初中两大教育集团九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（　　）
A. 2=5 B. ÷=
C. D.
2.下列说法正确的是（　　）
A. “福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是0.5
B. 任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件
C. 某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖
D. “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件
3.已知一元二次方程x2-3x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
4.对于二次函数y=-3（x-1）2+7，下列结论正确的是（　　）
A. 函数图象的顶点坐标是（3，7） B. 当x=-1时，y有最小值为7
C. 当x＞1时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线x=1
5.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A（3，0），C（6，0），D（4，-2），则点D的对应点B的坐标为（　　）
A. （2，-1）
B. （1，-2）
C. （-2，1）
D. （-1，2）
6.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为（　　）
A. 6.4m B. 8m C. 9.6m D. 12.5m
7.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（　　）
A. 2
B. 3
C.
D.
8.已知点A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+5（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为（　　）
A. y2＜y3＜y1 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
9.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（　　）米.
A. B. C. D. 2
10.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使式子有意义的实数x的取值范围______．
12.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是x,则x满足的方程是 .
13.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC、BD相交于点O，E为BC边的中点，连接DE交AC于点F.若，则CF的长为 .
14.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称.下列五个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤b2＞4ac.其中结论正确的是 .（填序号）
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E，则CE的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题9分)
解方程：
（1）x2-4x+2=0；
（2）3x（x-1）=2x-2；
（3）（x+4）（x-1）=6.
18.(本小题9分)
一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3.这些小球除标有的数字外都相同.
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ______ ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
19.(本小题9分)
关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-3=0．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．
20.(本小题9分)
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1.
（1）求证：△AFD∽△DCE.
（2）求线段AF的长.
21.(本小题9分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
22.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当-2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
23.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．
（1）求证：BC平分∠ABF；
（2）求证：BC2=2BF BD；
（3）过点A作AG∥CE交FB的延长线于点G，连结CG，当BG=，sin∠E=时，求CG的长．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x≤3，且x≠0
12.【答案】100（1-x）2=64
13.【答案】4
14.【答案】①②⑤
15.【答案】2
16.【答案】7
17.【答案】， x1=1， x1=-5，x2=2
18.【答案】（1）；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
19.【答案】解：（1）由题意知，m-1≠0，所以m≠1．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=22-4（m-1）×（-3）=12m-8＞0，
解得：m＞，
综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；
（2）把x=1代入原方程，得：m-1+2-3=0．
解得：m=2．
把m=2代入原方程，得：x2+2x-3=0，
解得：x1=1，x2=-3．
∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是-3．
20.【答案】证明见解析过程
21.【答案】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：
在Rt△ABT中，
BT=AB sin∠BAT=5×sin16°≈1.4（米），AT=AB cos∠BAT=5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT≈4.8（米），AK=CT=BC-BT≈4-1.4=2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK=45°，
∴DK=AK≈2.6米，
∴CD=CK-DK≈4.8-2.6=2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．
22.【答案】解：（1）由二次函数y=x2+px+q的图象经过（-1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式y=x2-x-2；
（2）∵抛物线开口向上，
对称轴为直线x==，
∴在-2≤x≤1范围内，
当x=-2时，函数有最大值为：y=4+2-2=4；
当x=时函数有最小值：y=--2=-，
∴最大值与最小值的差为：4-（-）=；
（3）∵y=（2-m）x+2-m与二次函数y=x2-x-2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2-x-2=（2-m）x+2-m，整理得
x2+（m-3）x+m-4=0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴Δ=（m-3）2-4×（m-4）=（m-5）2＞0
∴m≠5，
∵a＜3＜b
当x=3时，（2-m）x+2-m＞x2-x-2，
把x=3代入（2-m）x+2-m＞x2-x-2，解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1．
23.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DC⊥CE，BF⊥CE，
∴DC∥BF，
∴∠DCB=∠CBF，
∴∠DBC=∠CBF，
∴BC平分∠ABF；
（2）由（1）知，∠ABC=∠CBF，
∵BF⊥CE，
∴∠ACB=∠CFB=90°，
∴△ACB∽△CFB，
∴=，
∴BC2=BF AB，
∵AB=2BD，
∴BC2=2BF BD；
（3）过点A作AG∥CE交FB的延长线于点G，连结CG，
∵AG∥CE，
∴∠BAG=∠E，
∵BF⊥CE，
∴AG⊥FG，
∵sin∠E=，BG=，
∴sin∠BAG=，
∴AB=12，
∴AD=DB=6=DC，
∴sin∠E=，
∴DE=10，
∴BE=DE-BD=10-6=4，
Rt△BEF中，，
∴BF=，
∴EF=，
Rt△CDE中，CE=，
∴CF=8-，
∴GF=GB+BF=，
Rt△CFG中，CG=．
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