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沪科版数学八年级下册期中仿真模拟试题（二）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八下·嵊州期末） 方程的解是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=0，即x+1=0或x-2-0，
解得x1=1，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法即可求解.
2．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
3．（2022八下·金东期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵p，q是一元二次方程的两个根，
∴，，且，即，
则
=
=
=
=12
故选：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，且，然后把原代数式化为，然后整体代入计算即可．
4．（2023八下·柯桥月考）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6．
故答案为：D．
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，可分别表示出长和宽，然后根据长方形的面积公式列方程即可.
5．（2025八下·珠海期中）如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定，先在中利用含30°角的直角三角形中斜边是30°角对边的2倍求出的长，再用勾股定理求出的长，结合D是中点求出的长，最后根据三角形内角和求出，结合判定为等腰三角形，得到。
6．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
7．（2024八下·海曙期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：B．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和得出x1+x2及x1x2的值，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，将商式利用完全平方公式进行变形，最后整体代入即可计算即可.
8．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
9．（2025八下·义乌期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
【分析】
设平均每天的票房增长率为x，由于4月4日是1.2亿元，则4月5日为亿元，4月6日为亿元，然后根据题意列出一元二次方程即可．
10．（2025八下·巴马期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
11．（2026九上·西和期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m，
∴由题意得：Δ＝22 4m＝4 4m<0，
解得：m>1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
12．（2025八下·惠州期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：
∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，
∴，
∴
；
；
∵正方形的边长为，
∴，
∴
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股定理、全等三角形性质及正方形面积公式的综合应用。由于八个直角三角形全等，且三个四边形均为正方形，因此，。根据正方形面积公式，，已知，则。，展开得，又因为，且由勾股定理得，所以。，展开得，同理，，故。将、、相加，。
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：　 　
【答案】-2x2+x-4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和为 ， 两根之积为 2 ，
∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时，此方程为x2-x+2=0，
∵且二次项系数为-2，
此方程为-2x2+x-4=0
故答案为：-2x2+x-4=0.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，由此方程的两根之和及两根之积，可得到关于x的一元二次方程，再根据二次项的系数为-2，将方程两边同时乘以-2，即可得到符合题意的方程.
14．（2024八下·湖里期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　 　．
【答案】2400
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积.
15．（2020八下·肥城期末）等式 成立的条件是　 　.
【答案】a＞3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要想等式成立，需要每个二次根式有意义且分母不为0，则有
等式
解得a＞3
【分析】利用二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
16．（2025八下·西湖月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是　 　．（写出所有正确说法的序号）
【答案】①②③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①∵，
∴（x-1）(x-2)=0，
∴，，
∵，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②∵，
∴，，
∵是倍根方程，
∴或，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴，故③正确；
④∵方程是倍根方程，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，关于倍根方程的说法正确由①②③④．
故答案是：①②③④.
【分析】①先求出方程的根，再根据“倍根方程”的定义进行判断即可；
②先求出方程的根，再根据“倍根方程”的定义列出关于m、n的关系式，进而得出答案；
③通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义进行判断即可；
④设，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，即可得出答案.
三、解答题（共7题，共72分）
17．计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式；
，
，
，
原式．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先把每个根式化为最简二次根式，再分别计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，最后合并同类二次根式并完成有理数的加减运算。
（2）先对 a、b 进行分母有理化，再将代数式 a2 ab+b2 变形为 (a+b)2 3ab，代入化简后的 a、b 计算即可。
18．（2025八下·义乌月考）解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
解得，；
（2）解：
整理得，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求一元二次方程的解即可；
（2）先整理，然后利用因式分解法或配方法，求一元二次方程的解即可．
（1）解：
或，
解得，；
（2）解：
整理得，
，
解得．
19．（2026八下·绍兴月考）已知方程 的两个实数根为 和
（1）求m的取值范围；
（2） 若 求m的值.
【答案】（1）解： ∵方程 有两个实数根，
解得：m≤4且m≠0，
∴m的取值范围为m≤4且m≠0.
（2）解： 是方程 的两个实数根，
又·
解得：
经检验， 是原方程的解， 不符合题意，舍去，
∴m的值为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)利用二次项系数非零及根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
(2)利用根与系数的关系可得出 结合 即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出m的值.
20．（2026八下·绍兴月考）商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元
【答案】解：设销售单价应定为x元，则每件盈利((x-50)元，销售量为8800-20(x-60)=(2000-20x)件)，
依题意得：(x-50)(2000-20x)=12000，
整理得：
解得：
又∵要尽可能减少进货量，
答：销售单价应定为80元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设销售单价应定为x元，则每件盈利(x-50)元，销售量为(2000-20x)件，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
21．（2025八下·潮南月考）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点，对离地面高12的点B处（）进行作业，作业后，还要到点B正上方12高的D处继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即长）为多少米？（图2是这辆车两次作业时的主视图）
【答案】解：如图2，
由题意可知：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴作业车水平行驶的距离为（）米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】由题意可知，则，根据勾股定理得，再根据，，求出，然后再由勾股定理求出，再根据线段和差即可求出长.
22．（2025八下·义乌期末） 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．
∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．
∴对角线BD＝50m．
∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米，
∴x（x+10）＝1200．
故答案为：x（x+10）＝1200．
【分析】（1）设矩形大棚的宽为x米，由题意“长AD比宽AB多10米 ”得长为米，则方程为；
（2）解（1）中的方程可得矩形的长与宽分别为40和30，当点P位于矩形正中心时，即P为矩形两对角线的交点，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可利用勾股定理求出对角线的长，则点P到矩形的四个顶点的距离最大，最大值为25，显然不超过28，即符合要求；
（3）由题意可列方程，再解方程并根据生活实际对根进行取舍即可.
23．（2025八下·贺州期中）【综合与探究】
【问题背景】
在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法．
【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________．
【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的．
【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
①若平面上的点、，则____________；
②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形）
【答案】（1）；
（2）如图，由图可得：，
由三角形的三边关系可知：，
∴；
（3）①；
②的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，
如图，作关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，的值最小为的长度，
∵，，
∴；
∴的最小值为．
【知识点】三角形的面积；坐标系中的两点距离公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知：的面积为；
故答案为：；
（3）①∵平面上的点、，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；（2）利用勾股定理求出DF、DE的长，再画出图形，最后利用三角形三边的关系求解即可；（3）①参照题干中的定义，利用两点之间的距离公式求解即可；②将代数式转换为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，先画出图形，再求解即可.
1 / 1沪科版数学八年级下册期中仿真模拟试题（二）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八下·嵊州期末） 方程的解是（　　）
A． B．
C．， D．，
2．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
3．（2022八下·金东期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．13
4．（2023八下·柯桥月考）如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·珠海期中）如图，在中，，，，点为边的中点，点E在边上，且，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
6．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）
A．或 B．或 C． D．或
7．（2024八下·海曙期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·义乌期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·巴马期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
11．（2026九上·西和期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
12．（2025八下·惠州期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．20
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：　 　
14．（2024八下·湖里期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为　 　．
15．（2020八下·肥城期末）等式 成立的条件是　 　.
16．（2025八下·西湖月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是　 　．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题（共7题，共72分）
17．计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
18．（2025八下·义乌月考）解方程．
（1）
（2）
19．（2026八下·绍兴月考）已知方程 的两个实数根为 和
（1）求m的取值范围；
（2） 若 求m的值.
20．（2026八下·绍兴月考）商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元
21．（2025八下·潮南月考）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点，对离地面高12的点B处（）进行作业，作业后，还要到点B正上方12高的D处继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即长）为多少米？（图2是这辆车两次作业时的主视图）
22．（2025八下·义乌期末） 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
23．（2025八下·贺州期中）【综合与探究】
【问题背景】
在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法．
【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________．
【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的．
【探索创新】（3）如果在平面上有任意两点和，那么A，B两点之间的距离为，这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
①若平面上的点、，则____________；
②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出的最小值．（请在图3画出相应的图形）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=0，即x+1=0或x-2-0，
解得x1=1，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法即可求解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵p，q是一元二次方程的两个根，
∴，，且，即，
则
=
=
=
=12
故选：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，且，然后把原代数式化为，然后整体代入计算即可．
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6．
故答案为：D．
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，可分别表示出长和宽，然后根据长方形的面积公式列方程即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定，先在中利用含30°角的直角三角形中斜边是30°角对边的2倍求出的长，再用勾股定理求出的长，结合D是中点求出的长，最后根据三角形内角和求出，结合判定为等腰三角形，得到。
6．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：B．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和得出x1+x2及x1x2的值，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，将商式利用完全平方公式进行变形，最后整体代入即可计算即可.
8．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，首先需确定的取值范围，再根据符号规则将根号外的式子移入根号内。由二次根式有意义的条件可知，被开方数，因此，即，由此可得；将负数移入根号时，需先将其化为（因为负数的平方开根号后需保留符号），再根据二次根式的乘法法则，原式可化为，化简后得到。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
【分析】
设平均每天的票房增长率为x，由于4月4日是1.2亿元，则4月5日为亿元，4月6日为亿元，然后根据题意列出一元二次方程即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝m，
∴由题意得：Δ＝22 4m＝4 4m<0，
解得：m>1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：
∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，
∴，
∴
；
；
∵正方形的边长为，
∴，
∴
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股定理、全等三角形性质及正方形面积公式的综合应用。由于八个直角三角形全等，且三个四边形均为正方形，因此，。根据正方形面积公式，，已知，则。，展开得，又因为，且由勾股定理得，所以。，展开得，同理，，故。将、、相加，。
13．【答案】-2x2+x-4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和为 ， 两根之积为 2 ，
∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时，此方程为x2-x+2=0，
∵且二次项系数为-2，
此方程为-2x2+x-4=0
故答案为：-2x2+x-4=0.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，由此方程的两根之和及两根之积，可得到关于x的一元二次方程，再根据二次项的系数为-2，将方程两边同时乘以-2，即可得到符合题意的方程.
14．【答案】2400
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积.
15．【答案】a＞3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要想等式成立，需要每个二次根式有意义且分母不为0，则有
等式
解得a＞3
【分析】利用二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
16．【答案】①②③④
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①∵，
∴（x-1）(x-2)=0，
∴，，
∵，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②∵，
∴，，
∵是倍根方程，
∴或，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴，故③正确；
④∵方程是倍根方程，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，关于倍根方程的说法正确由①②③④．
故答案是：①②③④.
【分析】①先求出方程的根，再根据“倍根方程”的定义进行判断即可；
②先求出方程的根，再根据“倍根方程”的定义列出关于m、n的关系式，进而得出答案；
③通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义进行判断即可；
④设，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式；
，
，
，
原式．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先把每个根式化为最简二次根式，再分别计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，最后合并同类二次根式并完成有理数的加减运算。
（2）先对 a、b 进行分母有理化，再将代数式 a2 ab+b2 变形为 (a+b)2 3ab，代入化简后的 a、b 计算即可。
18．【答案】（1）解：
或，
解得，；
（2）解：
整理得，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求一元二次方程的解即可；
（2）先整理，然后利用因式分解法或配方法，求一元二次方程的解即可．
（1）解：
或，
解得，；
（2）解：
整理得，
，
解得．
19．【答案】（1）解： ∵方程 有两个实数根，
解得：m≤4且m≠0，
∴m的取值范围为m≤4且m≠0.
（2）解： 是方程 的两个实数根，
又·
解得：
经检验， 是原方程的解， 不符合题意，舍去，
∴m的值为
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)利用二次项系数非零及根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
(2)利用根与系数的关系可得出 结合 即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出m的值.
20．【答案】解：设销售单价应定为x元，则每件盈利((x-50)元，销售量为8800-20(x-60)=(2000-20x)件)，
依题意得：(x-50)(2000-20x)=12000，
整理得：
解得：
又∵要尽可能减少进货量，
答：销售单价应定为80元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设销售单价应定为x元，则每件盈利(x-50)元，销售量为(2000-20x)件，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
21．【答案】解：如图2，
由题意可知：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴作业车水平行驶的距离为（）米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】由题意可知，则，根据勾股定理得，再根据，，求出，然后再由勾股定理求出，再根据线段和差即可求出长.
22．【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．
∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．
∴对角线BD＝50m．
∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米，
∴x（x+10）＝1200．
故答案为：x（x+10）＝1200．
【分析】（1）设矩形大棚的宽为x米，由题意“长AD比宽AB多10米 ”得长为米，则方程为；
（2）解（1）中的方程可得矩形的长与宽分别为40和30，当点P位于矩形正中心时，即P为矩形两对角线的交点，由于矩形的对角线互相平分且相等，则可利用勾股定理求出对角线的长，则点P到矩形的四个顶点的距离最大，最大值为25，显然不超过28，即符合要求；
（3）由题意可列方程，再解方程并根据生活实际对根进行取舍即可.
23．【答案】（1）；
（2）如图，由图可得：，
由三角形的三边关系可知：，
∴；
（3）①；
②的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，
如图，作关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，的值最小为的长度，
∵，，
∴；
∴的最小值为．
【知识点】三角形的面积；坐标系中的两点距离公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知：的面积为；
故答案为：；
（3）①∵平面上的点、，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；（2）利用勾股定理求出DF、DE的长，再画出图形，最后利用三角形三边的关系求解即可；（3）①参照题干中的定义，利用两点之间的距离公式求解即可；②将代数式转换为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，先画出图形，再求解即可.
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