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河南洛阳市部分学校2026届高三下学期3月检测
数学试卷
一、单选题
1．设复数在复平面内对应的点为，，若复数z的实部为1，则
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）．
A．命题，，则为，
C．若“”、“ ”为真命题，则“”为假命题
D．王昌龄《从军行》中两句诗“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，后一句中“攻破楼兰”是“回到家乡”的必要条件
3．已知，则（ ）
A．224 B． C． D．448
4．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）
①平面平面
②平面
③异面直线与所成角的取值范围是
④三棱锥的体积不变
A．①② B．①②④ C．③④ D．①④
5．若，则
A． B． C． D．
6．设函数在区间恰有三条对称轴 两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”.已知，是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中，满足是的充分条件的是（ ）
A．；
B．；
C．：四边形满足；：四边形是菱形
D．：中；
10．记为等差数列的前项和，已知，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．数列中有且仅有一个最小项
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．为中的最小项
B．对任意的，，都有
C．存在，使得，，成等差数列
D．对任意的，，都有
三、填空题
12．若直线与直线垂直，则的倾斜角为_____.
13．已知圆和抛物线，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为则实数p的值为______．
14．已知且，则的最小值是_______．
四、解答题
15．已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03．
(1)从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率；
(2)用频率代替概率，从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为X，Y，，求的分布列与期望；
(3)甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率y（单位：％）如表：
x 1 2 3 4 5
y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0
根据上表数据求得y关于x的回归直线方程为，求相关系数r，并判断该回归直线方程是否有价值．
附：，，．
．若，则认为回归直线方程有价值．
16．已知二次函数满足，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若，当时，不等式有解，求实数的取值范围；
(3)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围．
17．如图，是圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，，，，点是的重心，点在线段上，且．

(1)求四面体外接球的表面积；
(2)证明：平面；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.
（i）证明：；
（ii）若点在直线上，求面积的最大值.
19．已知双曲线：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A C C D BD BC
题号 11
答案 ABD
12．
13．2
14．3
15．解（1）设“抽取的零部件为甲工厂生产”为事件，“抽取的零部件为乙工厂生产”为事件，“抽取的零部件为次品”为事件B，
则，，，，
所以，
检测该零部件为次品，则该零部件是甲工厂生产的概率为
.
（2）用频率代替概率，从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，则正品数，，，
的取值依次为-3，-1，1，3，
，
，
，
．
所以的分布列为
-3 -1 1 3
P 0.000125 0.007125 0.135375 0.857375
，
.
（3）由的取值依次为1，2，3，4，5，得，，
因为回归直线方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以该回归直线方程有价值．
16．解（1）由题可设．
由，得．
因为，
所以．所以．
（2）．
由，令，则，
所以可化为
．
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以．
因为不等式有解，所以．
所以实数的取值范围为．
（3）由题意，可得在上恒成立，
即在上恒成立．
令，设，，
则函数的图象开口向上，对称轴为．
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．
因为，
所以，即，的最大值为3，
即在上的最大值为3．所以．
所以实数的取值范围为．
17．解（1）因为是圆柱的一条母线，所以平面，
又是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，所以，
因为，，，所以，
即外接圆的直径为，
设四面体外接球的半径为，则，即，
所以四面体外接球的表面积；
（2）连接并延长交于点，连接，
因为点是的重心，所以，又，点在线段上，且，
所以，即，即，所以，
又平面，平面，所以平面；

（3）过点作母线，则平面，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.

18．解（1）设动圆圆心坐标为，
动圆过定点，截轴所得弦长为2，
，
整理得，即动圆圆心的轨迹方程.
（2）（i）如图：
不妨设，，，
由题满足，两式作差得，
，即，
过点与轴平行的直线交曲线于点，，
，即，，
，即.
（ii）在直线上，，
为，中点，在曲线内部，
，解得，
由（i），点到直线的距离即为平行线和间距离，
直线，即，
直线，即，
平行线和间距离为，
，
，
，，
令，，
令，解得或，
，，单调递增；
，，.单调递减，
最大值为，
面积的最大值为.
19．解（1）双曲线的渐近线方程为，所以，
因为点在双曲线上，所以，
所以，
故双曲线的方程为；
（2）设，，
联立方程组，得，
则，，
，
所以的中点坐标为．
由得，且．
因为线段的垂直平分线过点，所以 ，
可得或（舍去），
故直线的方程为．

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