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北师大版数学八年级下册 3.2图形的旋转 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八下·顺德期中）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
【答案】B
【知识点】图形的旋转；图形旋转的三要素
【解析】【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故答案为：B．
【分析】利用旋转图形的特征以及旋转中心的定义结合图形分析求解即可.
2．（2024八下·临渭期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得cm，由旋转的性质可知，得为等边三角形，则．
3．（2025八下·盐田期末） 海盗船是游乐园中的热门项目.巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验.小明绘制了海盗船在不同时刻的摆荡状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在一个图中哪个位置？（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M
∴旋转中心为点M
故答案为： A
【分析】连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M，即可求出答案.
4．（2025八下·龙岗期末） 如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由图可得：
∠ACD=90°-∠A=60°，∠A'CB=30°
∴旋转角的度数为∠ACA'=∠ACB+∠A'CB=90°
故答案为： C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=90°-∠A=60°，再根据旋转性质即可求出答案.
5．（2025八下·揭阳期中）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点旋转至，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】先利用旋转的性质及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得CD=DB'，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用勾股定理求出即可．
6．（2024八下·安徽期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；旋转的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：观察图形可知：∠BOD为旋转角，即可得出旋转角的度数为90°。
故答案为：C．
【分析】结合图形，根据旋转角的定义，可直接得出答案。
7．（2024八下·成都期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，作线段与的线段垂直平分线交于一点E，
∴点E为旋转中心，
∴旋转中心E的坐标为．
故答案为：．
【分析】利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段与的线段垂直平分线，再求出点E为旋转中心，最后求点的坐标即可.
8．（2025八下·成华月考）如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到．若点的对应点恰好落在边上，且点，，在同一条直线上，，则旋转角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A旋转得到，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵A，B，E在同一直线上，
在中，，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可.
9．（2024八下·岳阳期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，将△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△，与AB相交于点D，连接，则∠的度数是　 　．
【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C
∴AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°
∴∠AA'C=70°=∠A'AC
∴∠B'A'A=∠B'A'C ∠AA'C=20°.
故答案为：20
【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△A'B'C，则AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，根据等腰三角形性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC，再根据角之间的关系即可求出答案.
二、能力提升
10．（2025·深圳期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点D恰好落在BC边上.若，，则CD的长为(　　)
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
，
为等边三角形，
，
在中，，，则，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故答案为：
【分析】由旋转的性质可知，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2024八下·金牛期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转定义可得：
，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据旋转的定义可得，，根据三角形内角和定理得出，进而可得．
12．（2024八下·法库期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，
∴∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=15°，
∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=45°-15°=30°，
故答案为：B．
【分析】
根据旋转的性质：旋转前后对应角相等，可得∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=15°，再利用角度的和差运算计算即可解答.
13．（2025八下·渠县期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
15．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则　 　．
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可知：AB=AD，∠B=∠ADE=55°
∴∠B=∠ADB=55°，
∴∠BAD=180°-55°-55°=70°
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-70°=10°
∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=10°+55°=65°
故答案为：65°.
【分析】根据旋转的性质，得出AB=AD，∠B=∠ADE=55°，再根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAD，再求出∠DAC度数，最后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求出的度数.
16．（2025八下·襄阳期末）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长．
【答案】解：∵中，，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB，进而根据旋转的性质得到，从而结合题意进行线段和角的运算，再运用勾股定理即可求解。
17．（2025八下·三水期中）如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
（1）求的度数；
（2）当时，求的大小；
（3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明．
【答案】（1）解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形；
（2）解：由（1）知是直角三角形，当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再根据全等三角形的性质求解即可；（2）利用勾股定理求出AC的值，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）由是等腰直角三角形得到，再利用勾股定理得到，即可证明结论。
（1）解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形；
（2）解：由（1）知是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、拓展创新
18．（2024八下·宝安期中）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是 　 　（直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（3）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
【答案】（1）BD＝CE
（2）解：①BD＝CE，理由如下：
∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，
∴EC＝
∴BD＝；
（3）解：如图③，过点A作AH⊥AB，交BC的延长线于H，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∵∠ABC＝45°，AH⊥AB，
∴∠ABC＝∠H，
∴AB＝AH＝7，
∴BH＝7，
∴CH＝BH﹣BC＝7﹣3，
∵∠DAC＝∠BAH＝90°，
∴∠DAB＝∠CAH，
∴△ADB≌△ACH（SAS），
∴BD＝CH＝7﹣3．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可知：，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先根据旋转的性质得到，，，从而依据“边角边”能够证明，再由全等的性质即可得出答案；
（2）①类似（1）的证明，即可证得答案；②根据勾股定理可求得的长，根据①中的全等三角形及等腰三角形的性质，可得，最后由勾股定理即可求得答案；
（3）过点作，交的延长线于点，先根据等腰三角形的判定与性质、勾股定理依次求出与的长，再证明，由全等的性质得出BD＝CH．
19．（2024八下·宝安期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．
【答案】（1）
（2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
（3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转得到
∴，
∵，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由旋转旋转得，
∴为等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴是直角三角形，且，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定和勾股定理逆定理，即可得解；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后用SAS证明和全等，根据全等三角形性质可得，再利用勾股定理，即可得解；
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据含30°角直角三角形性质得，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，求出，然后求出四点共线，再利用勾股定理求出，从而得到．
1 / 1北师大版数学八年级下册 3.2图形的旋转 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八下·顺德期中）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
2．（2024八下·临渭期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·盐田期末） 海盗船是游乐园中的热门项目.巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验.小明绘制了海盗船在不同时刻的摆荡状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在一个图中哪个位置？（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
4．（2025八下·龙岗期末） 如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·揭阳期中）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
6．（2024八下·安徽期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）
A．30° B．45° C．90° D．135°
7．（2024八下·成都期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标　 　．
8．（2025八下·成华月考）如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到．若点的对应点恰好落在边上，且点，，在同一条直线上，，则旋转角的度数是　 　．
9．（2024八下·岳阳期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，将△ABC绕点C顺时针旋转40°，得到△，与AB相交于点D，连接，则∠的度数是　 　．
二、能力提升
10．（2025·深圳期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点D恰好落在BC边上.若，，则CD的长为(　　)
A．3 B． C．6 D．
11．（2024八下·金牛期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°得到，连接，则的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
12．（2024八下·法库期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
13．（2025八下·渠县期中）如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则　 　．
14．（2025八下·深圳期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
15．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则　 　．
16．（2025八下·襄阳期末）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长．
17．（2025八下·三水期中）如图，等腰直角中，，点P在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
（1）求的度数；
（2）当时，求的大小；
（3）当点P在线段上运动时（P不与A重合），请写出一个反映之间关系的等式，并加以证明．
三、拓展创新
18．（2024八下·宝安期中）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是 　 　（直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（3）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
19．（2024八下·宝安期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的旋转；图形旋转的三要素
【解析】【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故答案为：B．
【分析】利用旋转图形的特征以及旋转中心的定义结合图形分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：B．
【分析】由已知条件结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得cm，由旋转的性质可知，得为等边三角形，则．
3．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M
∴旋转中心为点M
故答案为： A
【分析】连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由图可得：
∠ACD=90°-∠A=60°，∠A'CB=30°
∴旋转角的度数为∠ACA'=∠ACB+∠A'CB=90°
故答案为： C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=90°-∠A=60°，再根据旋转性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点旋转至，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，
，
．
故答案为：C.
【分析】先利用旋转的性质及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得CD=DB'，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用勾股定理求出即可．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；旋转的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：观察图形可知：∠BOD为旋转角，即可得出旋转角的度数为90°。
故答案为：C．
【分析】结合图形，根据旋转角的定义，可直接得出答案。
7．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，作线段与的线段垂直平分线交于一点E，
∴点E为旋转中心，
∴旋转中心E的坐标为．
故答案为：．
【分析】利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段与的线段垂直平分线，再求出点E为旋转中心，最后求点的坐标即可.
8．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A旋转得到，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵A，B，E在同一直线上，
在中，，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可.
9．【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴△ABC≌△A'B'C
∴AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°
∴∠AA'C=70°=∠A'AC
∴∠B'A'A=∠B'A'C ∠AA'C=20°.
故答案为：20
【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△A'B'C，则AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C=90°，根据等腰三角形性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
，
为等边三角形，
，
在中，，，则，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故答案为：
【分析】由旋转的性质可知，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转定义可得：
，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据旋转的定义可得，，根据三角形内角和定理得出，进而可得．
12．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，
∴∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=15°，
∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=45°-15°=30°，
故答案为：B．
【分析】
根据旋转的性质：旋转前后对应角相等，可得∠A'OA=45°，∠AOB=∠A'OB'=15°，再利用角度的和差运算计算即可解答.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】（1，-2）
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N
∴∠BMA=∠CNA=90°
∴∠BAM+∠ABM=90°
∵点A（-3，0）点B（-1，4）
∴OA=3；BM=4，OM=1
∴AM=-OA-OM=2
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°
∴∠BAC=90°，AB=AC
∴∠BAM+∠NAC=90°
∴∠ABM=∠NAC
∴在Rt△ABM和Rt△NAC中
∴Rt△ABM≌Rt△NAC（HL）
∴CN=AM=2，AN=BM=4
∴ON=AN-OA=1
∴点C坐标为（1，-2）
故答案为：（1，-2）
【分析】
本题考查坐标与图形变换——旋转，熟知旋转的性质是解题关键.
15．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转可知：AB=AD，∠B=∠ADE=55°
∴∠B=∠ADB=55°，
∴∠BAD=180°-55°-55°=70°
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-70°=10°
∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=10°+55°=65°
故答案为：65°.
【分析】根据旋转的性质，得出AB=AD，∠B=∠ADE=55°，再根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAD，再求出∠DAC度数，最后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求出的度数.
16．【答案】解：∵中，，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB，进而根据旋转的性质得到，从而结合题意进行线段和角的运算，再运用勾股定理即可求解。
17．【答案】（1）解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形；
（2）解：由（1）知是直角三角形，当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再根据全等三角形的性质求解即可；（2）利用勾股定理求出AC的值，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）由是等腰直角三角形得到，再利用勾股定理得到，即可证明结论。
（1）解：∵将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到．
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形；
（2）解：由（1）知是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）BD＝CE
（2）解：①BD＝CE，理由如下：
∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，
∴EC＝
∴BD＝；
（3）解：如图③，过点A作AH⊥AB，交BC的延长线于H，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∵∠ABC＝45°，AH⊥AB，
∴∠ABC＝∠H，
∴AB＝AH＝7，
∴BH＝7，
∴CH＝BH﹣BC＝7﹣3，
∵∠DAC＝∠BAH＝90°，
∴∠DAB＝∠CAH，
∴△ADB≌△ACH（SAS），
∴BD＝CH＝7﹣3．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可知：，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先根据旋转的性质得到，，，从而依据“边角边”能够证明，再由全等的性质即可得出答案；
（2）①类似（1）的证明，即可证得答案；②根据勾股定理可求得的长，根据①中的全等三角形及等腰三角形的性质，可得，最后由勾股定理即可求得答案；
（3）过点作，交的延长线于点，先根据等腰三角形的判定与性质、勾股定理依次求出与的长，再证明，由全等的性质得出BD＝CH．
19．【答案】（1）
（2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
（3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转得到
∴，
∵，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
由旋转旋转得，
∴为等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴是直角三角形，且，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定和勾股定理逆定理，即可得解；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后用SAS证明和全等，根据全等三角形性质可得，再利用勾股定理，即可得解；
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据含30°角直角三角形性质得，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，求出，然后求出四点共线，再利用勾股定理求出，从而得到．
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