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北师大版数学八年级下册 3.2图形的旋转 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·花溪期中）如图，把绕点旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·菏泽期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
3．（2023八下·鹤城期末）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·成华月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点D恰好落在BC边上.若，，则CD的长为(　　)
A．3 B． C．6 D．
7．（2024八下·贵阳期中）如图所示，将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在　 　．
8．（2024八下·丰城月考）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
9．（2024八下·丰顺期末）如图，已知，点在直线上，，将绕点逆时针旋转100°到位置，点、点分别对应点、点，如果，那么　 　.
二、能力提升
10．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（　　）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
11．（2025八下·南山期中）如图，在等边中，点在AC上，且，点是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点逆时针旋转得到线段OD．要使点恰好落在BC上，则OP的长是（　　）
A． B． C． D．6
12．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
13．（2024八下·开原月考）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，则旋转角度数为　 　．
14．（2024八下·六盘水期末）如图，边长为的等边三角形中，是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点在运动的过程中，线段长度的最小值是　 　．
15．（2024八下·重庆市月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是　 　．
16．（2024八下·罗湖期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其三个顶点都在格点上．
（1）将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，请写出移动后的点坐标______，坐标______．
（2）将绕着点O顺时针方向旋转得到，请画出．
17．（2024八下·南城期中） 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到，点A、B、C对应点分别是、、，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，点、对应点分别是、，请画出；
（3）连接，直接写出的长　 　．
三、拓展创新
18．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的；
（3）可看作由绕P点旋转而成，直接写出点P坐标　 　.
19．（2025八下·成华期末）在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点A顺时针旋转∠B的度数得到对应线段AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F.
（1）如图1，当∠B=60°时，某同学想利用AD=AE构造全等三角形，尝试在AB上取点G，使AG=EF（或使BG=BD），参考他的思路，求证：AB=BD+EF；
（2）如图2，当∠B=45°时，线段AB，BD，EF之间又有何数量关系？写出结论并证明；
（3）当∠B=30°，AC=3，EF=2时，请直接写出CD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点旋转得到，旋转后点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，，，，
∴正确，不一定正确，
故答案为：C.
【分析】根据图形旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转 120° 得到△AB'C'，且点C，B，C'共线，
∴AC=AC'，∠CAC'=120°，
∴∠ACB=∠AC'C=（180°-120°）=30°．
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解。
3．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解： ，
∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴旋转3次为一个循环．
第1次旋转，如图，过作轴于
由旋转的性质可得：
点B所在位置的坐标为；
第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，
同理可得：
点B所在位置的坐标为；
第3次旋转，如图，三角形回到原位置，
所以点B所在位置的坐标为；
……
∵，
∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同，
所以点B所在位置的坐标为．
故选：A．
【分析】得到三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，旋转3次为一个循环．然后用2023除以3的余数得到对应的点B的坐标位置．
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转次，回到原来的位置，
∵，
∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图：
作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故第2025次旋转后，点的坐标为；
故答案为：D．
【分析】根据题意，先求出每旋转6次回到原位置，再求出，最后求点B的坐标即可.
5．【答案】A
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
则点的坐标为，
故答案为：A
【分析】根据旋转性质作出图形，再根据点的位置即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
，
为等边三角形，
，
在中，，，则，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故答案为：
【分析】由旋转的性质可知，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】第三象限
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，将点绕点顺时针旋转得到点，
∴点在第三象限，
故答案为：第三象限.
【分析】本题主要考查了旋转的性质，直接根据题意得到答案.
8．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
9．【答案】60°
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，由旋转可知：
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：60°
【分析】画出图形，由旋转可得，再根据角之间的关系可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵线段OP绕点逆时针旋转得到线段OD
∴OP=OD，∠POD=60°
∴∠AOP+∠COD=180°-∠POD=120°
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠C=60°
∴∠COD+∠CDO=180°-∠C=120°
∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO
∴∠AOP=∠CDO
∴△AOP≌△CDO
∴AP=CO=6
过点O作OH⊥AP于点H
∴∠AOH=30°
∴
∴，
∴
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得OP=OD，∠POD=60°，再根据补角可得∠AOP+∠COD=120°，再根据等边三角形性质可得∠A=∠C=60°，根据三角形内角和可得∠COD+∠CDO=120°，再根据角之间的关系可得∠AOP=∠CDO，再根据全等三角形判定定理可得△AOP≌△CDO，则AP=CO=6，过点O作OH⊥AP于点H，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得PH，再根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
13．【答案】50
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接CN，
由旋转知：BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=，∠BAH=∠CAH=30°，∠ABC=∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠CBN，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BCN=∠BAM=30°，
∴点N在与BC成30°角的直线CN上移动，
∴当HN⊥CN时，HN有最小值，最小值为CH=.
故答案为：.
【分析】连接CN，证明△ABM≌△CBN（SAS），可得∠BCN=∠BAM=30°，从而得出点N在与BC成30°角的直线CN上移动，则当HN⊥CN时，HN有最小值，求出此时HN的值即可.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
由旋转可知：，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】令 中的x=0算出对应的函数值得到点B的坐标，从而得到OB的长，令 中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，从而得到OA的长；由旋转的性质得O'A=OA=3，O'B'=OB=4，再结合图中点B'的位置，根据点的坐标与图形性质即可得出点B'的坐标．
16．【答案】（1）；．
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）根据图可知：点，，
∵将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，
∴，．
故答案为：；．
【分析】
（1）利用平移的规律：先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，写出点，的坐标即可解答；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，再连接画图即可解答．
（1）解：根据图可知：点，，
∵将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，
∴，．
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
17．【答案】（1）解：见解析；如图，为所作；
（2）解：见解析；如图，为所求，
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B、C分别向上移动6个单位，向右移动3个单位，得到A1、B1、C1，依次连接即可；
（2）将A1、C1绕点B1顺时针旋转90°，分别得到对应点A2、C2，依次连接即可；
（3）利用虚线将CA2作为斜边画一个直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（-2，-2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】（3）解：如图所示：两组对应点连线的中垂线的交点即是点P的位置。
故答案为：（-2，-2）
【分析】(1)分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
(3)两组对应点连线的中垂线的交点即是点P的位置。
19．【答案】（1）证明：在AB上取点G，使AG=EF，连接DG（若使BG=BD，证法与（2）类似)
∵EF/IBC
∴∠3＝∠B＝60°
∵∠3=∠E+∠2
∴∠E+∠2=60°
∵AD旋转∠B的度数得到AE，∠B=60°
∴∠1+∠2=60°，AE=AD
∴∠E=∠1
在和中
∴△AEF≌△DAG(SAS)
∴∠4=25°
∵∠3＝60°
∴∠4=120°
∴∠5=120°
∴∠6=120°
∵∠B=60°
∴△BDG是等边三角形
∴BD=BG
∵AB=BG+AG，AG=EF
∴AB=BD+EF
（2）解：AB， BD， EF之间的数量关系是：
证明： 过点D作BC的垂线， 交AB于点G
(若在AB上取点G， 使， 证法与(1)类似)
是等腰直角三角形，
∵∠E+∠5=∠3=45°，∠6+∠5=∠B=45°
∴∠E=∠6
在和中
∵
∴
（3）CD 的长为5 或1
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图1，在AB上取点G使得AG=EF，连接GD，
由（1）得，△AEF≌△DAG，
∴∠E=∠DAG，∠EAF=∠GDA，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFB，
∵∠EFB=∠E+∠EAF=∠DAG+∠GDA=∠BGD，
∴∠B=∠BGD，
∴BD=GD，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC= 3 ，
∴AB=6 ，BC=9，
BG=AB-AG=AB-EF=4，
∵BD=GD，∠B=30°，
∴，
∴DC=BC-BD=5；
如图2，延长BA至点G，使AG=EF， 连接GD，
同理可证BD=DG，BG=AB+AG=AB+EF=8，
∴
∴DC=BC-BD=1；
综上，CD 的长为5 或1.
【分析】（1）在AB上取点G，使BG=BD，根据等边三角形的性质得到DG=BD=BG，∠BGD=60°，根据平行线的性质得到∠EFB=∠B=60°，求得∠AFE=∠AGD=120°，根据旋转的性质得到∠EAD=60°，AE=AD，根据全等三角形的性质得到AF=DG，EF=AG，于是得到AB=AG+BG=BD+EF；
（2）过D作DG⊥BC交AB于G，得到△BDG是等腰直角三角形，求得BG=BD，由（1）知△AEF≌△DAG，根据全等三角形的性质得到AG=EF，求得AB=AG+BG=EF+BD；
（3）分EF在△ABC外侧和内侧两种情况进行讨论，同（1），在AB或AB延长线上取G使AG=EF，构造△AEF≌△△DAG，证明BD=GD，同时有∠B=30°，利用BG=BD，可求得BD的长，从而求得DC长.
1 / 1北师大版数学八年级下册 3.2图形的旋转 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·花溪期中）如图，把绕点旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点旋转得到，旋转后点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，，，，
∴正确，不一定正确，
故答案为：C.
【分析】根据图形旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此即可得到答案.
2．（2024八下·菏泽期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转 120° 得到△AB'C'，且点C，B，C'共线，
∴AC=AC'，∠CAC'=120°，
∴∠ACB=∠AC'C=（180°-120°）=30°．
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解。
3．（2023八下·鹤城期末）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解： ，
∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴旋转3次为一个循环．
第1次旋转，如图，过作轴于
由旋转的性质可得：
点B所在位置的坐标为；
第2次旋转，如图，过作轴于 此时与轴重合，
同理可得：
点B所在位置的坐标为；
第3次旋转，如图，三角形回到原位置，
所以点B所在位置的坐标为；
……
∵，
∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同，
所以点B所在位置的坐标为．
故选：A．
【分析】得到三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，旋转3次为一个循环．然后用2023除以3的余数得到对应的点B的坐标位置．
4．（2025八下·成华月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转次，回到原来的位置，
∵，
∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图：
作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故第2025次旋转后，点的坐标为；
故答案为：D．
【分析】根据题意，先求出每旋转6次回到原位置，再求出，最后求点B的坐标即可.
5．（2025八下·普宁月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
则点的坐标为，
故答案为：A
【分析】根据旋转性质作出图形，再根据点的位置即可求出答案.
6．（2025·深圳期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点D恰好落在BC边上.若，，则CD的长为(　　)
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
，
为等边三角形，
，
在中，，，则，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故答案为：
【分析】由旋转的性质可知，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2024八下·贵阳期中）如图所示，将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在　 　．
【答案】第三象限
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，将点绕点顺时针旋转得到点，
∴点在第三象限，
故答案为：第三象限.
【分析】本题主要考查了旋转的性质，直接根据题意得到答案.
8．（2024八下·丰城月考）如图，在平面直角坐标系中，若将绕点O逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵点B坐标为，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】分别过点B和点作y轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，，由同角的余角相等得，从而用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得，即可得出答案．
9．（2024八下·丰顺期末）如图，已知，点在直线上，，将绕点逆时针旋转100°到位置，点、点分别对应点、点，如果，那么　 　.
【答案】60°
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，由旋转可知：
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：60°
【分析】画出图形，由旋转可得，再根据角之间的关系可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
二、能力提升
10．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（　　）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
11．（2025八下·南山期中）如图，在等边中，点在AC上，且，点是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点逆时针旋转得到线段OD．要使点恰好落在BC上，则OP的长是（　　）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵线段OP绕点逆时针旋转得到线段OD
∴OP=OD，∠POD=60°
∴∠AOP+∠COD=180°-∠POD=120°
∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠C=60°
∴∠COD+∠CDO=180°-∠C=120°
∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO
∴∠AOP=∠CDO
∴△AOP≌△CDO
∴AP=CO=6
过点O作OH⊥AP于点H
∴∠AOH=30°
∴
∴，
∴
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得OP=OD，∠POD=60°，再根据补角可得∠AOP+∠COD=120°，再根据等边三角形性质可得∠A=∠C=60°，根据三角形内角和可得∠COD+∠CDO=120°，再根据角之间的关系可得∠AOP=∠CDO，再根据全等三角形判定定理可得△AOP≌△CDO，则AP=CO=6，过点O作OH⊥AP于点H，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得PH，再根据勾股定理即可求出答案.
12．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
13．（2024八下·开原月考）如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，则旋转角度数为　 　．
【答案】50
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．（2024八下·六盘水期末）如图，边长为的等边三角形中，是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点在运动的过程中，线段长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接CN，
由旋转知：BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=，∠BAH=∠CAH=30°，∠ABC=∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠CBN，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BCN=∠BAM=30°，
∴点N在与BC成30°角的直线CN上移动，
∴当HN⊥CN时，HN有最小值，最小值为CH=.
故答案为：.
【分析】连接CN，证明△ABM≌△CBN（SAS），可得∠BCN=∠BAM=30°，从而得出点N在与BC成30°角的直线CN上移动，则当HN⊥CN时，HN有最小值，求出此时HN的值即可.
15．（2024八下·重庆市月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴．
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
由旋转可知：，，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】令 中的x=0算出对应的函数值得到点B的坐标，从而得到OB的长，令 中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点A的坐标，从而得到OA的长；由旋转的性质得O'A=OA=3，O'B'=OB=4，再结合图中点B'的位置，根据点的坐标与图形性质即可得出点B'的坐标．
16．（2024八下·罗湖期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其三个顶点都在格点上．
（1）将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，请写出移动后的点坐标______，坐标______．
（2）将绕着点O顺时针方向旋转得到，请画出．
【答案】（1）；．
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）根据图可知：点，，
∵将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，
∴，．
故答案为：；．
【分析】
（1）利用平移的规律：先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，写出点，的坐标即可解答；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，再连接画图即可解答．
（1）解：根据图可知：点，，
∵将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，
∴，．
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
17．（2024八下·南城期中） 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到，点A、B、C对应点分别是、、，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，点、对应点分别是、，请画出；
（3）连接，直接写出的长　 　．
【答案】（1）解：见解析；如图，为所作；
（2）解：见解析；如图，为所求，
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B、C分别向上移动6个单位，向右移动3个单位，得到A1、B1、C1，依次连接即可；
（2）将A1、C1绕点B1顺时针旋转90°，分别得到对应点A2、C2，依次连接即可；
（3）利用虚线将CA2作为斜边画一个直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
三、拓展创新
18．（2025八下·深圳期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的；
（3）可看作由绕P点旋转而成，直接写出点P坐标　 　.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（-2，-2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】（3）解：如图所示：两组对应点连线的中垂线的交点即是点P的位置。
故答案为：（-2，-2）
【分析】(1)分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
(3)两组对应点连线的中垂线的交点即是点P的位置。
19．（2025八下·成华期末）在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点A顺时针旋转∠B的度数得到对应线段AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F.
（1）如图1，当∠B=60°时，某同学想利用AD=AE构造全等三角形，尝试在AB上取点G，使AG=EF（或使BG=BD），参考他的思路，求证：AB=BD+EF；
（2）如图2，当∠B=45°时，线段AB，BD，EF之间又有何数量关系？写出结论并证明；
（3）当∠B=30°，AC=3，EF=2时，请直接写出CD的长.
【答案】（1）证明：在AB上取点G，使AG=EF，连接DG（若使BG=BD，证法与（2）类似)
∵EF/IBC
∴∠3＝∠B＝60°
∵∠3=∠E+∠2
∴∠E+∠2=60°
∵AD旋转∠B的度数得到AE，∠B=60°
∴∠1+∠2=60°，AE=AD
∴∠E=∠1
在和中
∴△AEF≌△DAG(SAS)
∴∠4=25°
∵∠3＝60°
∴∠4=120°
∴∠5=120°
∴∠6=120°
∵∠B=60°
∴△BDG是等边三角形
∴BD=BG
∵AB=BG+AG，AG=EF
∴AB=BD+EF
（2）解：AB， BD， EF之间的数量关系是：
证明： 过点D作BC的垂线， 交AB于点G
(若在AB上取点G， 使， 证法与(1)类似)
是等腰直角三角形，
∵∠E+∠5=∠3=45°，∠6+∠5=∠B=45°
∴∠E=∠6
在和中
∵
∴
（3）CD 的长为5 或1
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）解：如图1，在AB上取点G使得AG=EF，连接GD，
由（1）得，△AEF≌△DAG，
∴∠E=∠DAG，∠EAF=∠GDA，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EFB，
∵∠EFB=∠E+∠EAF=∠DAG+∠GDA=∠BGD，
∴∠B=∠BGD，
∴BD=GD，
∵∠B=30°，∠C=90°，AC= 3 ，
∴AB=6 ，BC=9，
BG=AB-AG=AB-EF=4，
∵BD=GD，∠B=30°，
∴，
∴DC=BC-BD=5；
如图2，延长BA至点G，使AG=EF， 连接GD，
同理可证BD=DG，BG=AB+AG=AB+EF=8，
∴
∴DC=BC-BD=1；
综上，CD 的长为5 或1.
【分析】（1）在AB上取点G，使BG=BD，根据等边三角形的性质得到DG=BD=BG，∠BGD=60°，根据平行线的性质得到∠EFB=∠B=60°，求得∠AFE=∠AGD=120°，根据旋转的性质得到∠EAD=60°，AE=AD，根据全等三角形的性质得到AF=DG，EF=AG，于是得到AB=AG+BG=BD+EF；
（2）过D作DG⊥BC交AB于G，得到△BDG是等腰直角三角形，求得BG=BD，由（1）知△AEF≌△DAG，根据全等三角形的性质得到AG=EF，求得AB=AG+BG=EF+BD；
（3）分EF在△ABC外侧和内侧两种情况进行讨论，同（1），在AB或AB延长线上取G使AG=EF，构造△AEF≌△△DAG，证明BD=GD，同时有∠B=30°，利用BG=BD，可求得BD的长，从而求得DC长.
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