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北师大版数学八年级下册 4.1因式分解 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·顺德期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查因式分解的定义判定，首先明确因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，解题时针对每个选项，判断其变形是否符合该定义，区分整式乘法的逆运算、多项式变形后仍为和的形式、变形前后不相等的情况，从而确定符合因式分解定义的选项。
2．（2025·深圳期末）下列因式分解正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，因式分解错误，故此选项不符合题意；
C、，因式分解错误，故此选项不符合题意；
D、，因式分解正确，故此选项符合题意；
故答案为：
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·普宁月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·宝安月考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：将多项式变形为几个整式乘积的形式，即为因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念解答.
5．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
6．已知多项式可因式分解为，则的值为（　　）．
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
多项式可因式分解为，
，，
，
故选：A．
【分析】先用整式乘法将 计算出来为，再将它与多项式 逐项比对，于是可知，，解得。
7．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）因式分解与　 　是互逆的.
即：几个整式相乘 一个多项式.
【答案】整式乘法
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：因式分解与整式的乘法是互逆的。
【分析】根据因式分解的意义i整式乘法的意义即可得出答案。
8．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）把一个多项式化成几个整式的　 　的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个　 　;右边是几个　 　的形式.
【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
9．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）对于(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是　 　,从右到左的变形是　 　.
【答案】整式乘法；因式分解
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
故答案为：整式乘法、因式分解
【分析】观察等式的左边是因式的乘积形式，右边是多项式，根据因式分解的意义，即可得出从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
二、能力提升
10．（2025八下·达川期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A. 是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；
B. ，故原选项分解错误，故选项B不符合题意；
C. ，右侧不是积的形式，不符合因式分解的定义，故选项C不符合题意；
D. ，符合因式分解的定义，且分解正确，故符合D题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可．注意分解时需正确分解.
11．（2023八下·揭东期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
12．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　　 　
【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
13．（2019八下·成都期末）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　 　 ，n=　 　 ．
【答案】6；1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n
∴，
∴，
故答案为：6，1．
【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
14．（2023八下·薛城期末）若多项式可分解为，则的值为　 　
【答案】8
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】
∴a=2+b， 6=2b
∴b=3，a=5
∴a+b=8
【分析】
计算两式的乘积，根据对应项相等，列方程求出a，b，再计算a+b .
15．（ 因式分解的意义 ）若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m=　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），得
（2x2﹣5x+m）÷（x﹣1）=2x﹣3，
2x2﹣5x+m=（x﹣1）（2x﹣3），
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
16．（2024八下·宝安期中）已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．

【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的概念
【解析】【分析】（1）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可；
（2）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
17．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k，
，
解得．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
三、拓展创新
18．若x2﹣4x+6是多项式x3+ax2+bx﹣6的一个因式，试确定a、b的值
【答案】解：∵x2﹣4x+6是多项式x3+ax2+bx﹣6的一个因式，
∴x3+ax2+bx﹣6=（x2﹣4x+6）（x﹣1）=x3﹣5x+10x﹣6，
即a=﹣5，b=10．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】直接利用因式分解的分解因式的意义进而得出即可．
19．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
1 / 1北师大版数学八年级下册 4.1因式分解 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025八下·顺德期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·深圳期末）下列因式分解正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2025八下·普宁月考）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·宝安月考）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·龙岗期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知多项式可因式分解为，则的值为（　　）．
A．3 B．2 C．1 D．
7．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）因式分解与　 　是互逆的.
即：几个整式相乘 一个多项式.
8．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）把一个多项式化成几个整式的　 　的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个　 　;右边是几个　 　的形式.
9．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）对于(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是　 　,从右到左的变形是　 　.
二、能力提升
10．（2025八下·达川期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023八下·揭东期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：4.1 因式分解）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　　 　
13．（2019八下·成都期末）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　 　 ，n=　 　 ．
14．（2023八下·薛城期末）若多项式可分解为，则的值为　 　
15．（ 因式分解的意义 ）若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m=　 　．
16．（2024八下·宝安期中）已知整式，整式．
（1）若，求的值；
（2）若可以分解为，求的值．
17．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值．
三、拓展创新
18．若x2﹣4x+6是多项式x3+ax2+bx﹣6的一个因式，试确定a、b的值
19．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查因式分解的定义判定，首先明确因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，解题时针对每个选项，判断其变形是否符合该定义，区分整式乘法的逆运算、多项式变形后仍为和的形式、变形前后不相等的情况，从而确定符合因式分解定义的选项。
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，因式分解错误，故此选项不符合题意；
C、，因式分解错误，故此选项不符合题意；
D、，因式分解正确，故此选项符合题意；
故答案为：
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等于右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：将多项式变形为几个整式乘积的形式，即为因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念解答.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：B不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
多项式可因式分解为，
，，
，
故选：A．
【分析】先用整式乘法将 计算出来为，再将它与多项式 逐项比对，于是可知，，解得。
7．【答案】整式乘法
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：因式分解与整式的乘法是互逆的。
【分析】根据因式分解的意义i整式乘法的意义即可得出答案。
8．【答案】积；多项式；整式的积
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个多项式，;右边是几个整式的积的形式
【分析】根据提分解因式的定义即可得出答案。
9．【答案】整式乘法；因式分解
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
故答案为：整式乘法、因式分解
【分析】观察等式的左边是因式的乘积形式，右边是多项式，根据因式分解的意义，即可得出从左到右的变形是因式分解，,从右到左的变形是整式乘法。
10．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A. 是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；
B. ，故原选项分解错误，故选项B不符合题意；
C. ，右侧不是积的形式，不符合因式分解的定义，故选项C不符合题意；
D. ，符合因式分解的定义，且分解正确，故符合D题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可．注意分解时需正确分解.
11．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
12．【答案】15
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
13．【答案】6；1
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n
∴，
∴，
故答案为：6，1．
【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
14．【答案】8
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】
∴a=2+b， 6=2b
∴b=3，a=5
∴a+b=8
【分析】
计算两式的乘积，根据对应项相等，列方程求出a，b，再计算a+b .
15．【答案】3
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：由2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），得
（2x2﹣5x+m）÷（x﹣1）=2x﹣3，
2x2﹣5x+m=（x﹣1）（2x﹣3），
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．

【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的概念
【解析】【分析】（1）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可；
（2）先将整式A、B代入可得，再利用等量代换可得，最后求出a的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
17．【答案】解：（x+2）（x+4）=x2+6x+8=x2+（m+k）x+k，
，
解得．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
18．【答案】解：∵x2﹣4x+6是多项式x3+ax2+bx﹣6的一个因式，
∴x3+ax2+bx﹣6=（x2﹣4x+6）（x﹣1）=x3﹣5x+10x﹣6，
即a=﹣5，b=10．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】直接利用因式分解的分解因式的意义进而得出即可．
19．【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【知识点】因式分解的概念
【解析】【分析】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
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