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北师大版数学八年级下册 4.3公式法 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①，不能应用平方差公式分解；
②，是平方和，不能应用平方差分解；
③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个．
故选：C．
【分析】要用平方差公式分解因式，多项式必须满足的形式，所以当一个多项式通过变形能够成为这种形式，那它就可以用平方差公式分解因式.
2．（2025八下·通川月考）已知多项式，其因式分解的结果是，则的值为（　　）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】因式分解的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则求出，再求出a，b和c的值，最后代入计算求解即可.
3．（2024八下·中卫月考）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式因式分解，故选项A不符合题意；
B、，用提取公因式法因式分解，故选项B不符合题意；
C、，不能用平方差公式因式分解，故选项C不符合题意；
D、，能用平方差公式因式分解，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，这个二项式中的每一项都能写成一个整式的完全平方的形式，且两项的符号相反，据此逐一判断得出答案.
4．（2024八下·法库期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意；
D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
5．（2023八下·扶风期末）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可.
6．（2024八下·细河期中）如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
7．（2025八下·成都期中）分解因式：
（1）　 　，
（2）　 　
【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】（1）；
（2）．
故答案为：，．
【分析】（1）利用提取公因式进行因式分解；
（2）利用平方差公式进行分解因式即可．
8．（2025八下·江门开学考）将整式分解因式结果正确的是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】先提取公因数4，然后再运用平方差公式即可．
9．（2025八下·深圳期中）因式分解：25y2-4x2=　 　.
【答案】(5y+2x)(5y-2x)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 25y2 4x2，
=(5y)2 (2x)2，
=(5y+2x)(5y-2x)
故答案为：(5y+2x)(5y-2x).
【分析】 观察发现该表达式是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，因此可以应用平方差公式进行分解。
二、能力提升
10．分解因式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故选：A．
【分析】观察该式符合，所以考虑用平方差公式分解因式，注意（3x+3）这个因式要进一步提出3，否则分解不完全。
11．（2025八下·茂名期末）若实数a，b，c是△ABC的三边长，则（a-b）2-c2的结果（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；三角形三边关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c>b，b+c>a，
∴a-b+c>0，a-b-c<0，
∴(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)<0，
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边的关系得到a-b+c>0，a-b-c<0，再利用平方差公式因式分解，即可判断.
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
当，时
故原式=3×（-1）=-3.
故答案为：A
【分析】由，得a-c=-1，对分解因式，再代入求值即可.
13．与的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
与的公因式是，
故答案为：．
【分析】先将分解因式为，观察可知它与x-y的公因式就是x-y。
14．（2025八下·成华期末）把a3-a因式分解得　 　.
【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： a3-a =a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）.
【分析】利用提取公因式和平方差公式分解因式即可.
15．（2024八下·邛崃期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为　 　．
【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
16．利用因式分解简化运算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）观察算式发现每一项都有公因数2025，提出来得，括号里得数为0，从而整个算式结果为0；
（2）观察算式发现两个乘法中分别有因数2026和202.6，可以通过移动小数点来统一它们的大小，然后提取这个公因数简化计算.
17．当为整数时，能被4整除吗？请说明理由．
【答案】解：能被4整除．理由如下：因为，
所以当为整数时，能被4整除
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】将 因式分解的结果为，而n为整数，那么4n一定是4的倍数，因此能被4整除。
三、拓展创新
18．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为　 　；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为　 　，将此多项式分解因式为　 　．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为　 　．
【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
19．（2025八下·高州期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：．
∴，，
∴.
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出m、n的值，最后求出m+n的值即可；
（2）设另一个因式为，利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，最后求出a、p的值即可.
（1）解：∵，
∴，解得．
∴，，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
1 / 1北师大版数学八年级下册 4.3公式法 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八下·通川月考）已知多项式，其因式分解的结果是，则的值为（　　）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
3．（2024八下·中卫月考）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·法库期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·扶风期末）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·细河期中）如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·成都期中）分解因式：
（1）　 　，
（2）　 　
8．（2025八下·江门开学考）将整式分解因式结果正确的是　 　．
9．（2025八下·深圳期中）因式分解：25y2-4x2=　 　.
二、能力提升
10．分解因式的结果是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·茂名期末）若实数a，b，c是△ABC的三边长，则（a-b）2-c2的结果（　　）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为(　　)
A． B． C． D．
13．与的公因式是　 　．
14．（2025八下·成华期末）把a3-a因式分解得　 　.
15．（2024八下·邛崃期末）已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为　 　．
16．利用因式分解简化运算：
（1）；
（2）．
17．当为整数时，能被4整除吗？请说明理由．
三、拓展创新
18．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为　 　；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为　 　，将此多项式分解因式为　 　．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为　 　．
19．（2025八下·高州期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①，不能应用平方差公式分解；
②，是平方和，不能应用平方差分解；
③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解；
综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个．
故选：C．
【分析】要用平方差公式分解因式，多项式必须满足的形式，所以当一个多项式通过变形能够成为这种形式，那它就可以用平方差公式分解因式.
2．【答案】A
【知识点】因式分解的应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则求出，再求出a，b和c的值，最后代入计算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式因式分解，故选项A不符合题意；
B、，用提取公因式法因式分解，故选项B不符合题意；
C、，不能用平方差公式因式分解，故选项C不符合题意；
D、，能用平方差公式因式分解，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，这个二项式中的每一项都能写成一个整式的完全平方的形式，且两项的符号相反，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意；
C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意；
D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
7．【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】（1）；
（2）．
故答案为：，．
【分析】（1）利用提取公因式进行因式分解；
（2）利用平方差公式进行分解因式即可．
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】先提取公因数4，然后再运用平方差公式即可．
9．【答案】(5y+2x)(5y-2x)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 25y2 4x2，
=(5y)2 (2x)2，
=(5y+2x)(5y-2x)
故答案为：(5y+2x)(5y-2x).
【分析】 观察发现该表达式是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，因此可以应用平方差公式进行分解。
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故选：A．
【分析】观察该式符合，所以考虑用平方差公式分解因式，注意（3x+3）这个因式要进一步提出3，否则分解不完全。
11．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；三角形三边关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c>b，b+c>a，
∴a-b+c>0，a-b-c<0，
∴(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)<0，
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边的关系得到a-b+c>0，a-b-c<0，再利用平方差公式因式分解，即可判断.
12．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
当，时
故原式=3×（-1）=-3.
故答案为：A
【分析】由，得a-c=-1，对分解因式，再代入求值即可.
13．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
与的公因式是，
故答案为：．
【分析】先将分解因式为，观察可知它与x-y的公因式就是x-y。
14．【答案】a（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： a3-a =a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）.
【分析】利用提取公因式和平方差公式分解因式即可.
15．【答案】28和26
【知识点】因式分解﹣公式法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
可以被28和26两个数整除，
故答案为：28和26．
【分析】将由幂的乘方的逆运算和平方差公式进行因式分解得到，结合题意即可求解．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）观察算式发现每一项都有公因数2025，提出来得，括号里得数为0，从而整个算式结果为0；
（2）观察算式发现两个乘法中分别有因数2026和202.6，可以通过移动小数点来统一它们的大小，然后提取这个公因数简化计算.
17．【答案】解：能被4整除．理由如下：因为，
所以当为整数时，能被4整除
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】将 因式分解的结果为，而n为整数，那么4n一定是4的倍数，因此能被4整除。
18．【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：．
∴，，
∴.
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出m、n的值，最后求出m+n的值即可；
（2）设另一个因式为，利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，最后求出a、p的值即可.
（1）解：∵，
∴，解得．
∴，，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
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