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北师大版数学八年级下册 4.3公式法 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2024八下·海曙期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026八上·湛江月考）将因式分解，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·广西） 如果 ， 那么 的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
5．（2024八上·宁阳期中）对任意整数，都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
6．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
7．（2025八下·成都期末）若a-3是多项式a2-a+k的一个因式，则常数k的值为　 　.
8．（2024八下·宁波期中）实数满足，且则　 　．
9．（2025八下·浙江月考）已知为互不相等的非零实数，满足，则　 　.
二、能力提升
10．已知，且，则的值为（　　）
A． B．2024 C． D．4048
11．（初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 章末检测）已知△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC为（　　）.
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
13．（2024八下·大邑期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是　 　．
14．（2025八下·中江月考）已知，，则　 　．
15．（2021八下·皇姑期末）分解因式： 　 　．
16．（2025八下·期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·高州期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
三、拓展创新
18．（2024八下·市中区期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
19．（2024八下·禅城期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝　 　；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：　 　．
（5）【解决问题】分解因式：a3﹣8＝　 　，a3+b3＝　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：B．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和得出x1+x2及x1x2的值，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，将商式利用完全平方公式进行变形，最后整体代入即可计算即可.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故选：D．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项，结合完全平方公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴
∵，
∴；
故答案为D
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及平方差公式的应用。由、，根据等腰三角形“三线合一”可得；在和中，根据勾股定理分别有、；两式相减得，利用平方差公式分解为；结合图形可知，，代入、，可得。
7．【答案】-6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设另一个因式为a+m，
则(a+m)(a-3)
=a2-3a+ma-3m
=a2-(m-3)a-3m，
则m-3=-1，k=-3m，
解得：m=2，k=-6，
故答案为：-6.
【分析】根据因式定理，若a-3是多项式a2-a+k的因式，则当a=3时，多项式的值为0，因此，将a=3代入多项式并解方程即可求出k的值.
8．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】把代入可得，即可求出a、b、c的值，然后代入计算解题．
9．【答案】-8
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：a2( b + c )=b2( c + a )，
∴a2b+a2c=b2c+b2a，
即a2b-b2a+a2c-b2c=0， ab ( a - b )+ c ( a + b )( a - b )=0，( a - b )( ab + ac + bc )=0，
∵a ≠ b ，
∴ ab + ac + bc =0，
∵a2( b + c )=8，∴ a ( ab + ac )=8， a (- bc )=8，- abc =8，
∴abc =-8，
∴c2( a + b )+2abc=c( ac + bc )+2abc= c (- ab )+2abc=- abc +2abc= abc =-8．
故答案为：-8.
【分析】本题先对进行因式分解变形，求出ab + ac + bc =0和abc =-8，然后对c2( a + b )+2abc进行因式分解变形，最后替换即可求出答案。
10．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理，得，
则，
即，
∵，
∴，
即，
由，得，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据因式分解对所给等式进行整理变形，再结合题中条件作答即可.
11．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：将 整理得：
∴，
∴，
解得：，
∴该三角形是等边三角形.
故答案为：B.
【分析】首先将等式利用拆项及分组分解分解法变形为，然后根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0即可求出a，b，c的值，进而根据三角形的三边关系判断得出结论.
12．【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
13．【答案】2116
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：．
，，，
，
可因式分解，变为，
同理，
，
原式
，
故为一个平方数，
且，，为整数，
，，至少有一个是偶数，于是为偶数，
，
．
故答案为：2116．
【分析】根据已知的等式a+b+c=10变形将a、b、c表示出来，代入S的表达式整理，根据偶次方的非负性可求解．
14．【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
【分析】先根据同分母分式加法法则求出a+b的值，然后利用完全平方公式将待求式子分解因式，最后整体代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】利用公式法进行因式分解。
16．【答案】（1）∵，，∴，，
∴．
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简求值，以及平方差公式、完全平方公式的灵活应用，直接将、代入代数式展开计算较为繁琐，因此采用公式变形简化运算；
(1)中先求出和的值，再利用平方差公式代入计算；
(2)中先求出和的值，将代数式变形为，再代入数值计算。
（1）∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：．
∴，，
∴.
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出m、n的值，最后求出m+n的值即可；
（2）设另一个因式为，利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，最后求出a、p的值即可.
（1）解：∵，
∴，解得．
∴，，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
18．【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
19．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）15
（4）x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
（5）（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
故答案为：
(3)∵
∴，，，
∴，
故答案为：.
(4)由题意可得：
故答案为：
(5)，
故答案为：；．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和列式化简即可.
（2）利用（1）的结论直接带入计算即可.
（3）根据多项式乘多项式进行计算即可.
（4）根据立体图形的体积等于分割后所有长方体的体积和，进行列式计算即可.
（5）根据（4）的结论进行因式分解即可．
1 / 1北师大版数学八年级下册 4.3公式法 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
2．（2024八下·海曙期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：B．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和得出x1+x2及x1x2的值，再将待求式子利用提取公因式法分解因式后，将商式利用完全平方公式进行变形，最后整体代入即可计算即可.
3．（2026八上·湛江月考）将因式分解，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故选：D．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项，结合完全平方公式即可求出答案.
4．（2024·广西） 如果 ， 那么 的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
5．（2024八上·宁阳期中）对任意整数，都能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
6．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴
∵，
∴；
故答案为D
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及平方差公式的应用。由、，根据等腰三角形“三线合一”可得；在和中，根据勾股定理分别有、；两式相减得，利用平方差公式分解为；结合图形可知，，代入、，可得。
7．（2025八下·成都期末）若a-3是多项式a2-a+k的一个因式，则常数k的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设另一个因式为a+m，
则(a+m)(a-3)
=a2-3a+ma-3m
=a2-(m-3)a-3m，
则m-3=-1，k=-3m，
解得：m=2，k=-6，
故答案为：-6.
【分析】根据因式定理，若a-3是多项式a2-a+k的因式，则当a=3时，多项式的值为0，因此，将a=3代入多项式并解方程即可求出k的值.
8．（2024八下·宁波期中）实数满足，且则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】把代入可得，即可求出a、b、c的值，然后代入计算解题．
9．（2025八下·浙江月考）已知为互不相等的非零实数，满足，则　 　.
【答案】-8
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：a2( b + c )=b2( c + a )，
∴a2b+a2c=b2c+b2a，
即a2b-b2a+a2c-b2c=0， ab ( a - b )+ c ( a + b )( a - b )=0，( a - b )( ab + ac + bc )=0，
∵a ≠ b ，
∴ ab + ac + bc =0，
∵a2( b + c )=8，∴ a ( ab + ac )=8， a (- bc )=8，- abc =8，
∴abc =-8，
∴c2( a + b )+2abc=c( ac + bc )+2abc= c (- ab )+2abc=- abc +2abc= abc =-8．
故答案为：-8.
【分析】本题先对进行因式分解变形，求出ab + ac + bc =0和abc =-8，然后对c2( a + b )+2abc进行因式分解变形，最后替换即可求出答案。
二、能力提升
10．已知，且，则的值为（　　）
A． B．2024 C． D．4048
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
整理，得，
则，
即，
∵，
∴，
即，
由，得，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据因式分解对所给等式进行整理变形，再结合题中条件作答即可.
11．（初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 章末检测）已知△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC为（　　）.
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：将 整理得：
∴，
∴，
解得：，
∴该三角形是等边三角形.
故答案为：B.
【分析】首先将等式利用拆项及分组分解分解法变形为，然后根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0即可求出a，b，c的值，进而根据三角形的三边关系判断得出结论.
12．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
13．（2024八下·大邑期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是　 　．
【答案】2116
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：．
，，，
，
可因式分解，变为，
同理，
，
原式
，
故为一个平方数，
且，，为整数，
，，至少有一个是偶数，于是为偶数，
，
．
故答案为：2116．
【分析】根据已知的等式a+b+c=10变形将a、b、c表示出来，代入S的表达式整理，根据偶次方的非负性可求解．
14．（2025八下·中江月考）已知，，则　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
【分析】先根据同分母分式加法法则求出a+b的值，然后利用完全平方公式将待求式子分解因式，最后整体代入计算可得答案.
15．（2021八下·皇姑期末）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】利用公式法进行因式分解。
16．（2025八下·期中）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）∵，，∴，，
∴．
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的化简求值，以及平方差公式、完全平方公式的灵活应用，直接将、代入代数式展开计算较为繁琐，因此采用公式变形简化运算；
(1)中先求出和的值，再利用平方差公式代入计算；
(2)中先求出和的值，将代数式变形为，再代入数值计算。
（1）∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
17．（2025八下·高州期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：．
∴，，
∴.
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出m、n的值，最后求出m+n的值即可；
（2）设另一个因式为，利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，最后求出a、p的值即可.
（1）解：∵，
∴，解得．
∴，，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
三、拓展创新
18．（2024八下·市中区期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
19．（2024八下·禅城期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式　 　；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝　 　；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：　 　．
（5）【解决问题】分解因式：a3﹣8＝　 　，a3+b3＝　 　．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）15
（4）x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）
（5）（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：，
故答案为：
(3)∵
∴，，，
∴，
故答案为：.
(4)由题意可得：
故答案为：
(5)，
故答案为：；．
【分析】（1）根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和列式化简即可.
（2）利用（1）的结论直接带入计算即可.
（3）根据多项式乘多项式进行计算即可.
（4）根据立体图形的体积等于分割后所有长方体的体积和，进行列式计算即可.
（5）根据（4）的结论进行因式分解即可．
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