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湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年八年级上学年期末考试数学试卷
一、下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025八上·汉阳期末）汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
B中汉字成轴对称，故本选项符合题意；
C中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
D中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项进行判断即可．
2．（2025八上·汉阳期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．（2025八上·汉阳期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（　　）
A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据“”可证第②个三角形和全等，
根据“”可证第③个三角形和全等，
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可解答．
4．（2025八上·汉阳期末）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x≠0，
故答案为：B.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
5．（2025八上·汉阳期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180° （n-2）=3×360°
解得n=8．
故答案为：A．
【分析】由多边形的外角和是360°，一个多边形的内角和是外角和的3倍，可求得多边形内角和；由多边形内角和公式180° （n-2）构造方程即可求出n的值。
6．（2025八上·汉阳期末）计算，其中第①步运算的依据是（　　）
A．幂的乘方法则； B．乘法分配律；
C．积的乘方法则； D．同底数幂的乘法法则
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
其中第①步运算依据是积的乘方法则，
故选：C．
【分析】根据积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即可对称答案．
7．（2025八上·汉阳期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
8．（2025八上·汉阳期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（　　）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故选：D．
【分析】根据分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值，即可得出ab的值，
9．（2025八上·汉阳期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
余1，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．
故选：B．
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答．
10．（2025八上·汉阳期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等积变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
四边形是正方形，边长为，
，，
点分别是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
故选：C．
【分析】连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案．

二、下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．
11．（2025八上·汉阳期末）分解因式：ax+ay= 　 　．
【答案】a（x+y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ax+ay=a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
【分析】观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
12．（2025八上·汉阳期末）化简：　 　．
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故填：．
【分析】直接根据异分母分式的减法运算法则化简原式即可．
13．（2025八上·汉阳期末）华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，
所以0.000000007=7×10-9．
故答案为：7×10-9．
【点睛】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（2025八上·汉阳期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知，，
，
，
，
…，
，
当时，，
当时，，
，
故填：．
【分析】根据题意，依次写出，发现规律，分别计算出a6和a8的值，再代入原式进行计算，即可得出答案．
15．（2025八上·汉阳期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论：
（1）若，则二次三项式一定含有因式；
（2）若，且，则；
（3）若，则；
（4）若则无论取何实数，总是正数．
其中正确结论的序号有　 　．
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴二次三项式一定含有因式，
故（1）正确；
（2）若，且，
∴或，
则或，
故结论（2）不正确；
（3）∵，
∴，
∴，
故结论（3）正确；
（4）∵
∵，
∴，
∵，
∴无论取何实数时，总是正数，
故结论（4）正确；
故填：（1）（3）（4）.
【分析】（1）利用提公因式法把原式因式分解，即可得出（1）正确；
（2）利用完全平方公式进行化简，即可得出（2）不正确；
（3）根据题意用含q的代数式表示出m、n，再代入进行计算，即可判断（3）正确；
（4）先把原式配方，再根据题意和偶次方的非负性得出无论取何实数时，总是正数，即可判断（4）正确；
16．（2025八上·汉阳期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是　 　度．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，且，连接，设交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
当点在同一条直线上时，为最小，即为最小，
当点在同一条直线上时，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
当为最小时，，
故填：．
【分析】过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案.

三、下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2025八上·汉阳期末）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
.
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
18．（2025八上·汉阳期末）（1）因式分解：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
当时，
原式.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再把x的值代入计算即可．
19．（2025八上·汉阳期末）已知关于的分式方程．
（1）若这个分式方程的解是，求的值；
（2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
∴；
（2）且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（2）方程两边同乘x-3，得，∴，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
故答案为：且.
【分析】（1）将代入方程中求出b的值，即可得出答案；
（2）先解分式方程，求出方程的解，再根据方程的解是非负数以及分母不为0的条件列出不等式，求出b的取值范围，即可得出答案.
（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
解得；
（2）解：去分母，得，
解方程，得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
20．（2025八上·汉阳期末）如图，中，，，，的角平分线交于点为边上一点，
（1）求证：；
（2）直接写出的周长是______．
【答案】（1）证明：平分交于，
．
在和中，
，
，
；
（2）7
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2），，，
，
∵，
，
即的周长为：7．
故填：7．
【分析】（1）由角平分的定义得到，利用判定，再根据全等三角形的对应边相等即可证出；
（2）利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式进行计算，即可得出的周长．
（1）证明：平分交于，
．
在和中
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
即的周长为：7．
故答案为：7．
21．（2025八上·汉阳期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为；
（2）如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使．
【答案】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求；
（2）解：如图，、点Q、P即为所求作：
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1））取中点D，可得中线；
取格点P、E，连接交于点F，则PC=CE=1，∠APC=∠BCE=90°，AP=BC=4，
在△APC和△BCE中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）取格点G、H，连接、，
则HG=BC=4，HM=AB=，MG=AC=，
∴≌（SSS）；
取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵∠ASQ=∠ASP=90°，AS=AS，
∴，
∴．
【分析】（1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，利用SAS得出，得出，由，可得，得出；
（2）取格点G、H，连接、，利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，利用ASA证出，得出．
（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求；
（2）解：如图，、点Q、P即为所求作：
22．（2025八上·汉阳期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
（1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______．
【答案】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意得，，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）解：①根据题意得，，
解得，
答：的值为；
②.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：.
【分析】（1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）①根据两种商品共花费4500元，据此列方程并解方程即可；
②设购入件甲种商品，总费用为元，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，再求出总费用的值即可．
（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，
，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）①根据题意可得，
解得
答：的值为；
②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意可得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：
23．（2025八上·汉阳期末）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的关系式为：
图1：______；
图2：______；
图3：______．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若，，则______；
②若，，则______；
（2）若，，则求
拓展延伸：
如图4，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
【答案】解：问题呈现：
图1：；
图2：；
图3：；
解决问题：
（1）①13；②4；
（2）解：，即，
，
∴或，
当时，，
当时，，
或；
拓展延伸：
设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，
即，
∵CF=1，
∴，
∴b=a-1，
∴，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴，
∴正方形的边长为4．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：问题呈现：
∵图1中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∵两个正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，
∴，
故填：；
∵图2中大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，
∴，即，
故填：；
∵图3中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∴中间正方形的边长为，
∴面积为(，
∵4个空白长方形的面积为，
∴，
故填：；
解决问题：
（1）①，，
，
故填：；
②，，
，即，
，
故填：；
【分析】问题呈现：图1中先求出大正方形的面积为(，两个小正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
图2中求出大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
图3中大正方形的面积为(，中间正方形的面积为(，4个空白长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
解决问题：（1）①利用代入计算即可；
②利用代入计算即可；
（2）根据题意得出，代入得出关于a的一元二次方程，求出a的值，再求出相应b的 值即可；
拓展延伸：设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，，进从而求出a的值即可．
24．（2025八上·汉阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，原点为，一条直线交轴负半轴和轴正半轴于点，，点在线段上，点在线段上，线段的垂直平分线交于点，．
（1）若，则解决以下问题：
①当点与原点重合，如图2，求证：；
②如图3，若，连，求证；
（2）如图4，过点作轴的平行线，交于点，求证：．
【答案】（1）证明：①当点与原点重合时，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，设线段的垂直平分线交干点，连接，
，，，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的垂直平分线交干点，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①当点与原点重合时，，得出，再证得是等边三角形，得出，进而即可证得结论；
②设线段的垂直平分线交于点，连接，得出，，，再证得得出，从而得出，即可证得结论；
（2）如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，利用直角三角形性质可得，推出，再证得，得出，，进而即可证得结论．
（1）证明：①当点与原点重合时，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，设线段的垂直平分线交干点，连接，
，，，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的垂直平分线交干点，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
1 / 1湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年八年级上学年期末考试数学试卷
一、下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2025八上·汉阳期末）汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·汉阳期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（2025八上·汉阳期末）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（　　）
A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②．
4．（2025八上·汉阳期末）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·汉阳期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（2025八上·汉阳期末）计算，其中第①步运算的依据是（　　）
A．幂的乘方法则； B．乘法分配律；
C．积的乘方法则； D．同底数幂的乘法法则
7．（2025八上·汉阳期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·汉阳期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（　　）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
9．（2025八上·汉阳期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·汉阳期末）如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
二、下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置．
11．（2025八上·汉阳期末）分解因式：ax+ay= 　 　．
12．（2025八上·汉阳期末）化简：　 　．
13．（2025八上·汉阳期末）华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为　 　．
14．（2025八上·汉阳期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是　 　．
15．（2025八上·汉阳期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论：
（1）若，则二次三项式一定含有因式；
（2）若，且，则；
（3）若，则；
（4）若则无论取何实数，总是正数．
其中正确结论的序号有　 　．
16．（2025八上·汉阳期末）如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是　 　度．
三、下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2025八上·汉阳期末）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（2025八上·汉阳期末）（1）因式分解：
（2）先化简，再求值：，其中．
19．（2025八上·汉阳期末）已知关于的分式方程．
（1）若这个分式方程的解是，求的值；
（2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
20．（2025八上·汉阳期末）如图，中，，，，的角平分线交于点为边上一点，
（1）求证：；
（2）直接写出的周长是______．
21．（2025八上·汉阳期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为；
（2）如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使．
22．（2025八上·汉阳期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
（1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______．
23．（2025八上·汉阳期末）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的关系式为：
图1：______；
图2：______；
图3：______．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若，，则______；
②若，，则______；
（2）若，，则求
拓展延伸：
如图4，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
24．（2025八上·汉阳期末）如图1，在平面直角坐标系中，原点为，一条直线交轴负半轴和轴正半轴于点，，点在线段上，点在线段上，线段的垂直平分线交于点，．
（1）若，则解决以下问题：
①当点与原点重合，如图2，求证：；
②如图3，若，连，求证；
（2）如图4，过点作轴的平行线，交于点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
B中汉字成轴对称，故本选项符合题意；
C中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
D中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据“”可证第②个三角形和全等，
根据“”可证第③个三角形和全等，
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x≠0，
故答案为：B.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180° （n-2）=3×360°
解得n=8．
故答案为：A．
【分析】由多边形的外角和是360°，一个多边形的内角和是外角和的3倍，可求得多边形内角和；由多边形内角和公式180° （n-2）构造方程即可求出n的值。
6．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
其中第①步运算依据是积的乘方法则，
故选：C．
【分析】根据积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即可对称答案．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故选：D．
【分析】根据分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值，即可得出ab的值，
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
余1，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．
故选：B．
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等积变换
【解析】【解答】解：如图所示：连接，
四边形是正方形，边长为，
，，
点分别是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
故选：C．
【分析】连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案．

11．【答案】a（x+y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ax+ay=a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
【分析】观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
12．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故填：．
【分析】直接根据异分母分式的减法运算法则化简原式即可．
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，
所以0.000000007=7×10-9．
故答案为：7×10-9．
【点睛】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知，，
，
，
，
…，
，
当时，，
当时，，
，
故填：．
【分析】根据题意，依次写出，发现规律，分别计算出a6和a8的值，再代入原式进行计算，即可得出答案．
15．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴二次三项式一定含有因式，
故（1）正确；
（2）若，且，
∴或，
则或，
故结论（2）不正确；
（3）∵，
∴，
∴，
故结论（3）正确；
（4）∵
∵，
∴，
∵，
∴无论取何实数时，总是正数，
故结论（4）正确；
故填：（1）（3）（4）.
【分析】（1）利用提公因式法把原式因式分解，即可得出（1）正确；
（2）利用完全平方公式进行化简，即可得出（2）不正确；
（3）根据题意用含q的代数式表示出m、n，再代入进行计算，即可判断（3）正确；
（4）先把原式配方，再根据题意和偶次方的非负性得出无论取何实数时，总是正数，即可判断（4）正确；
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点作，且，连接，设交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
当点在同一条直线上时，为最小，即为最小，
当点在同一条直线上时，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
当为最小时，，
故填：．
【分析】过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案.

17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
.
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
18．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
当时，
原式.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再把x的值代入计算即可．
19．【答案】（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
∴；
（2）且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（2）方程两边同乘x-3，得，∴，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
故答案为：且.
【分析】（1）将代入方程中求出b的值，即可得出答案；
（2）先解分式方程，求出方程的解，再根据方程的解是非负数以及分母不为0的条件列出不等式，求出b的取值范围，即可得出答案.
（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
解得；
（2）解：去分母，得，
解方程，得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
20．【答案】（1）证明：平分交于，
．
在和中，
，
，
；
（2）7
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2），，，
，
∵，
，
即的周长为：7．
故填：7．
【分析】（1）由角平分的定义得到，利用判定，再根据全等三角形的对应边相等即可证出；
（2）利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式进行计算，即可得出的周长．
（1）证明：平分交于，
．
在和中
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
即的周长为：7．
故答案为：7．
21．【答案】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求；
（2）解：如图，、点Q、P即为所求作：
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1））取中点D，可得中线；
取格点P、E，连接交于点F，则PC=CE=1，∠APC=∠BCE=90°，AP=BC=4，
在△APC和△BCE中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）取格点G、H，连接、，
则HG=BC=4，HM=AB=，MG=AC=，
∴≌（SSS）；
取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵∠ASQ=∠ASP=90°，AS=AS，
∴，
∴．
【分析】（1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，利用SAS得出，得出，由，可得，得出；
（2）取格点G、H，连接、，利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，利用ASA证出，得出．
（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求；
（2）解：如图，、点Q、P即为所求作：
22．【答案】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意得，，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）解：①根据题意得，，
解得，
答：的值为；
②.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：.
【分析】（1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）①根据两种商品共花费4500元，据此列方程并解方程即可；
②设购入件甲种商品，总费用为元，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，再求出总费用的值即可．
（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，
，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）①根据题意可得，
解得
答：的值为；
②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意可得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：
23．【答案】解：问题呈现：
图1：；
图2：；
图3：；
解决问题：
（1）①13；②4；
（2）解：，即，
，
∴或，
当时，，
当时，，
或；
拓展延伸：
设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，
即，
∵CF=1，
∴，
∴b=a-1，
∴，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴，
∴正方形的边长为4．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：问题呈现：
∵图1中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∵两个正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，
∴，
故填：；
∵图2中大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，
∴，即，
故填：；
∵图3中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∴中间正方形的边长为，
∴面积为(，
∵4个空白长方形的面积为，
∴，
故填：；
解决问题：
（1）①，，
，
故填：；
②，，
，即，
，
故填：；
【分析】问题呈现：图1中先求出大正方形的面积为(，两个小正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
图2中求出大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
图3中大正方形的面积为(，中间正方形的面积为(，4个空白长方形的面积为，再根据各个部分面积之间的关系即可得出；
解决问题：（1）①利用代入计算即可；
②利用代入计算即可；
（2）根据题意得出，代入得出关于a的一元二次方程，求出a的值，再求出相应b的 值即可；
拓展延伸：设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，，进从而求出a的值即可．
24．【答案】（1）证明：①当点与原点重合时，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，设线段的垂直平分线交干点，连接，
，，，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的垂直平分线交干点，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①当点与原点重合时，，得出，再证得是等边三角形，得出，进而即可证得结论；
②设线段的垂直平分线交于点，连接，得出，，，再证得得出，从而得出，即可证得结论；
（2）如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，利用直角三角形性质可得，推出，再证得，得出，，进而即可证得结论．
（1）证明：①当点与原点重合时，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，设线段的垂直平分线交干点，连接，
，，，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的垂直平分线交干点，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
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