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湖南省常德市石门县2025年初中毕业模拟考试数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（2025·石门模拟）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·石门模拟）生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·石门模拟）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·石门模拟）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·石门模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·石门模拟）如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·石门模拟）如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025·石门模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·石门模拟）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或3
10．（2025·石门模拟）如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是
A． B． C． D．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·石门模拟）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
12．（2025·石门模拟）分解因式： 　 　.
13．（2025·石门模拟）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则　 　．
14．（2025·石门模拟）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是　 　．
15．（2025·石门模拟）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值为　 　．
16．（2025·石门模拟）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是　 　厘米．
17．（2025·石门模拟）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为　 　．
18．（2025·石门模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于　 　．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025·石门模拟） 计算：.
20．（2025·石门模拟）先化简，再求值： ，其中x=5.
21．（2025·石门模拟）【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
22．（2025·石门模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）．
23．（2025·石门模拟）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
24．（2025·石门模拟）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克．
（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值．
25．（2025·石门模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
26．（2025·石门模拟）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴零下应记作，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，建立如图所示的平面直角坐标系：
则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，建立平面直角坐标系，再写出“尾部”点坐标，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故答案为：A．
【分析】连接OA，先利用垂径定理可得，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出积水的深度即可.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∵的周长为7，
∴，即，
∴
故选：B．
【分析】根据作图得到垂直平分，利用垂直平分线的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的周长解答即可．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，∴B、D不正确；
②∵当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限，∴A不正确，C正确
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于的方程的两实数根为，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
当m=1时，方程为，方程无根，不符合题意，舍去.
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积，结合已知条件构建与m相关的一元二次方程，解出m即可，此时需要考虑解出的m值是否符合题意.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确.
②时，由图像可知此时，即，故②正确.
③由对称轴，可得，所以错误，故③错误；
④当时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确.
故答案选D.
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴的交点位置得到a，b，c的政府关系，判断①；根据时，判断②；根据对称轴，求出判断③；再根据时，，再将代入计算判断④解答即可.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
13．【答案】8
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形可得，，进而得到，根据相似三角形的性质解答即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
由树状图可得，一共有16种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故填：．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，然后根据概率公式进行计算，即可得出答案.
15．【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题可运用整体带入，先根据一元二次方程解析式得到，再整体代入计算即可.
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和，
∴圆心所经过的路程是．
故答案为：．
【分析】得到圆心所经过的路程，根据弧长公式求解即可．
17．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D，
四边形为菱形，
，，，
，
，，
，
即，
解得：，
，
，
函数的图象经过顶点B，
，
故答案为：．
【分析】连接相交于点E，过点B作轴与点D，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得CO，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DO，再根据勾股定理可得BD，则，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点D，得到，，从而得到和的长度，求出，即可得到，再根据勾股定理得出，同理求出，，，依此类推得到规律，代入n=2024解答即可．
19．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别按照绝对值化简，负整数幂，开算术平方根，零次幂计算，然后再按照实数的运算法则计算即可.
20．【答案】解：原式=
=
=
=x，
当x=5时，原式=5.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将分式约分化简，再根据同分母分式的减法法则计算括号内同分母分式的减法，接着计算分式的乘法，约分化简，最后把x的值的代入化简后的式子计算可求解.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先求出，，再利用等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
22．【答案】解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于G，即可得到是矩形，进而得到，在中利用余弦的定义求出AG长，再在中根据正切求出AD长，根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）50，
补全条形统计图如下：
（2）15，15
（3）解：捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
∴全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不含15元”的百分比，再乘以1100可得答案.
24．【答案】（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元
（2）解：一次性销售量时，
销售价格为，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润的表示方法列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意列出一次性销售量时的利润，把二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的性质得出y的最大值，即可得出答案．
（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量时，
销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元．
25．【答案】（1）如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；

（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等边对等角得到∠CAO＝∠ACO，利用角平分线的定义可得∠DAC＝∠OAC，等量代换可得∠DAC＝∠ACO，即可得到AD∥OC，然后根据平行线的性质证明结论即可；
（2）根据题目倍数关系设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，再根据余弦的定义解答即可；
（3）先根据勾股定理求出EC长，然后根据两角对应相等证明△AHF∽△ACE，利用对应边成比例解答即可．
26．【答案】（1）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴ 二次函数的解析式为
（2）解：∵与轴有两个交点，
令y=0，则，
∴x1=-1，x2=3，
∴点，
∴对称轴为：，
设直线的解析式为：，
∵，点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
由解得，
∴，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴，
∴，
∴面积的最大值为
（3）存在，
或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．
故答案为：存在，或.
【分析】（1）把点，代入二次函数，列出二元一次方程组，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）先求出点的坐标，再求出对称轴和直线的解析式，从而求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，面积有最大值，求出直线的解析式，从而求出点的坐标，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，利用列式进行计算，即可得出答案；
（3）根据点与点关于直线对称，得出，，，从而证出，得出，再证出四边形是菱形，连接，交点为点，得出点是，的中点，根据勾股定理求出的长，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，求出点的坐标，即可得出答案．
（1）∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵与轴有两个交点，
∴，
∴点，
∴对称轴为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
∴得，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．
1 / 1湖南省常德市石门县2025年初中毕业模拟考试数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．（2025·石门模拟）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴零下应记作，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识结合题意即可求解。
2．（2025·石门模拟）生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025·石门模拟）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．（2025·石门模拟）蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，建立如图所示的平面直角坐标系：
则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，建立平面直角坐标系，再写出“尾部”点坐标，即可得出答案．
5．（2025·石门模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故选：D．
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找到题目中的等量关系并表示出两次每人分得的钱数。设第二次分钱的人数为人，根据第二次比第一次增加6人，可得第一次分钱的人数为人，再根据“总钱数÷人数=每人分得的钱数”，分别表示出第一次和第二次每人分得的钱数，结合两次每人分得的钱数相等这一等量关系列出方程。
6．（2025·石门模拟）如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故答案为：A．
【分析】连接OA，先利用垂径定理可得，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出积水的深度即可.
7．（2025·石门模拟）如图，平行四边形中，，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为7，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∵的周长为7，
∴，即，
∴
故选：B．
【分析】根据作图得到垂直平分，利用垂直平分线的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的周长解答即可．
8．（2025·石门模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，∴B、D不正确；
②∵当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限，∴A不正确，C正确
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）和反比例函数的图象与系数的关系（①当k>0时，反比例函数的图象在第一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象在第二、四象限）分析求解即可.
9．（2025·石门模拟）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（　　）
A． B． C．或1 D．或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 关于的方程的两实数根为，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
当m=1时，方程为，方程无根，不符合题意，舍去.
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积，结合已知条件构建与m相关的一元二次方程，解出m即可，此时需要考虑解出的m值是否符合题意.
10．（2025·石门模拟）如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；，其中正确的结论是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故①正确.
②时，由图像可知此时，即，故②正确.
③由对称轴，可得，所以错误，故③错误；
④当时，由图像可知此时，即，将③中变形为，代入可得，故④正确.
故答案选D.
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴的交点位置得到a，b，c的政府关系，判断①；根据时，判断②；根据对称轴，求出判断③；再根据时，，再将代入计算判断④解答即可.
二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·石门模拟）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2025·石门模拟）分解因式： 　 　.
【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
13．（2025·石门模拟）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则　 　．
【答案】8
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
【分析】根据位似图形可得，，进而得到，根据相似三角形的性质解答即可．
14．（2025·石门模拟）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
由树状图可得，一共有16种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为．
故填：．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，然后根据概率公式进行计算，即可得出答案.
15．（2025·石门模拟）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值为　 　．
【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题可运用整体带入，先根据一元二次方程解析式得到，再整体代入计算即可.
16．（2025·石门模拟）如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是　 　厘米．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和，
∴圆心所经过的路程是．
故答案为：．
【分析】得到圆心所经过的路程，根据弧长公式求解即可．
17．（2025·石门模拟）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D，
四边形为菱形，
，，，
，
，，
，
即，
解得：，
，
，
函数的图象经过顶点B，
，
故答案为：．
【分析】连接相交于点E，过点B作轴与点D，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得CO，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DO，再根据勾股定理可得BD，则，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
18．（2025·石门模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；探索规律-函数图象与几何图形的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点D，得到，，从而得到和的长度，求出，即可得到，再根据勾股定理得出，同理求出，，，依此类推得到规律，代入n=2024解答即可．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025·石门模拟） 计算：.
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别按照绝对值化简，负整数幂，开算术平方根，零次幂计算，然后再按照实数的运算法则计算即可.
20．（2025·石门模拟）先化简，再求值： ，其中x=5.
【答案】解：原式=
=
=
=x，
当x=5时，原式=5.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将分式约分化简，再根据同分母分式的减法法则计算括号内同分母分式的减法，接着计算分式的乘法，约分化简，最后把x的值的代入化简后的式子计算可求解.
21．（2025·石门模拟）【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先求出，，再利用等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
22．（2025·石门模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的处到水平线的距离为米，、、在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）．
【答案】解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于G，即可得到是矩形，进而得到，在中利用余弦的定义求出AG长，再在中根据正切求出AD长，根据线段的和差解答即可．
23．（2025·石门模拟）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
【答案】（1）50，
补全条形统计图如下：
（2）15，15
（3）解：捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
∴全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不含15元”的百分比，再乘以1100可得答案.
24．（2025·石门模拟）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克．
（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值．
【答案】（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元
（2）解：一次性销售量时，
销售价格为，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润的表示方法列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据题意列出一次性销售量时的利润，把二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的性质得出y的最大值，即可得出答案．
（1）解：根据题意，当时，，
当一次性销售量为800千克时利润为16000元；
（2）一次性销售量时，
销售价格为，
，
，，
当时，有最大值，最大值为，
一次性销售量时的最大利润为22500元．
25．（2025·石门模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；

（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴．
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等边对等角得到∠CAO＝∠ACO，利用角平分线的定义可得∠DAC＝∠OAC，等量代换可得∠DAC＝∠ACO，即可得到AD∥OC，然后根据平行线的性质证明结论即可；
（2）根据题目倍数关系设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，再根据余弦的定义解答即可；
（3）先根据勾股定理求出EC长，然后根据两角对应相等证明△AHF∽△ACE，利用对应边成比例解答即可．
26．（2025·石门模拟）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴ 二次函数的解析式为
（2）解：∵与轴有两个交点，
令y=0，则，
∴x1=-1，x2=3，
∴点，
∴对称轴为：，
设直线的解析式为：，
∵，点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
由解得，
∴，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴，
∴，
∴面积的最大值为
（3）存在，
或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．
故答案为：存在，或.
【分析】（1）把点，代入二次函数，列出二元一次方程组，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）先求出点的坐标，再求出对称轴和直线的解析式，从而求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，面积有最大值，求出直线的解析式，从而求出点的坐标，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，利用列式进行计算，即可得出答案；
（3）根据点与点关于直线对称，得出，，，从而证出，得出，再证出四边形是菱形，连接，交点为点，得出点是，的中点，根据勾股定理求出的长，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，求出点的坐标，即可得出答案．
（1）∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵与轴有两个交点，
∴，
∴点，
∴对称轴为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
∴得，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．
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