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甘肃省天水市逸夫实验中学2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·天水期中）下列各式中是分式的是（　　）．
A． B． C． D．2
2．（2025八下·天水期中）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·天水期中）一次函数的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025八下·天水期中）如图，在平行四边形中，∠A=40°，则∠B的度数为(　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
5．（2025八下·天水期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·天水期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八下·天水期中）已知点均在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·天水期中）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·天水期中）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积等于2，则的值等于（　　）．
A．-4 B．4 C．-2 D．2
10．（2025八下·天水期中）如图①，在梯形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则梯形的面积是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025八下·天水期中）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是　 　.（只需写出一个符合条件的实数）
12．（2025八下·天水期中）点关于原点的对称点的坐标为　 　．
13．（2025八下·天水期中）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为　 　．
14．（2025八下·天水期中）把直线向下平移2个单位，得到的直线解析式是　 　．
15．（2025八下·天水期中）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为　 　．
16．（2025八下·天水期中）如图，已知四边形中，平分，下列说法：；；；，其中正确的结论是　 　．
三、计算题：本大题共3小题，共20分．
17．（2025八下·天水期中）计算：；
18．（2025八下·天水期中）解方程： = ．
19．（2025八下·天水期中）先化简，再求值，其中．
四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．
20．（2025八下·天水期中）在数学课上，老师布置任务：利用尺规 “作以三点A，B，C为顶点的平行四边形”．
小怀的作法如下：
①分别连接线段；
②以点A为圆心，长为半径，在上方作弧，以点C为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点D；
③分别连接线段．所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵_________，__________，
∴四边形是平行四边形（________________________）（填推理的依据）．
21．（2025八下·天水期中）已知：点是的对角线与的交点，，，，求的周长．
22．（2025八下·天水期中）冰墩墩（），是2022年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
　 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．（2025八下·天水期中）如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求四边形的面积．
24．（2025八下·天水期中）如图，甲、乙两人分别从同一公路上的、两地先后出发骑车前往地，两人距离地的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）、两地相距___________，甲骑车的速度是___________；
（2）求在的时间段内，乙距离地的距离与行驶的时间之间的函数关系式；
（3）在的时间段内，当甲、乙两人相距8千米时，直接写出的值．
25．（2025八下·天水期中）如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．
求证：（1）△ACD≌△CBF；
（2）四边形CDEF为平行四边形.
26．（2025八下·天水期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图象，直接写出时x的取值范围．
27．（2025八下·天水期中）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点，P是线段AB上的一个动点点P与A、B不重合．
（1）求直线BC所对应的的函数表达式；
（2）设动点P的横坐标为t，的面积为S．
①求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A.是整式，不是分式，故A不符合题意；
B.是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意；
C. 分母含有字母，是分式，故C符合题意，
D. 是整数，不是分式，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000095米用科学记数法表示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与1-的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵在一次函数中：，∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，补经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一次函数的图象与k，b的关系属于基础题型.根据已知一次函数的解析式得到k，b的符号，即可确定直线经过那几个象限，进而即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=40°，
∴∠B=180°-40°=140°，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得AD∥BC，由两直线平行，同旁内角互补，得∠A+∠B=180°，代入∠A 的度数 ，得∠B 的度数．
5．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴关于的方程的解是，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象可知两直线交点P(1，3)，点P横坐标1，为方程的解．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（-2，y2）、B（-1，y2）位于第三象限，C（1，y3）位于第一象限.
∵-2<-1，
∴y2故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A．
【分析】由题设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，单价比第一批每件便宜了5元，则第二批为(x-5)元，由总价除以单价等于件数，表示出第一批的件数，第二批的件数，再根据：第二批的件数比第一批多购进了40件，列出分式方程．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积等于2，
∴，
而，
∴．
故选A．
【分析】根据反比例函数k的结合意义即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意，点从点到点的路程为，即，再由到的路程是，即，
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴梯形的面积为，
故答案为：B ．
【分析】由图②得，，过点作于点，则，
由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，在直角三角形CEB中，由勾股定理得，代入数值求梯形面积．
11．【答案】-5（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；
故答案为：-5（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得k<0，据此解答.
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为： ．
【分析】根据关于原点的坐标特征，即可得出点关于原点的对称点的坐标为。
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．
故答案为15．
【分析】由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，根据角平分线定义可得∠DAQ=∠BAQ，根据平行四边形性质可得CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，则∠DAQ=∠DAQ，根据等腰三角形判定定理可得△AQD是等腰三角形，则DQ=AD=3，根据边之间的关系可得CD，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．【答案】y＝－3x+2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线y=3x+4向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y=3x+4-2=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】 一次函数图象根据常数“上加下减”的平移规律得到解析式为y=3x+2．
15．【答案】k＜3且k≠1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x= ，
由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
16．【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵平分，
∴，故②正确，
∵与同底等高，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
即，故④正确，
综上分析可知：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】由AD∥BC，两直线平行，同旁内角互补，得，由等角代换，得由平行线判断AB∥CD，得①正确；根据等腰三角形三线合一的性质，得②正确；与 同底AB等高，两个三角形面积相等，得，，，则，得③正确；根据，，，得，得④正确
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】由正数的绝对值是它本身，得，由底数不为零的零指数幂为1，得，由负整数指数幂运算法则底数为倒数，指数为相反数，得，再进行有理数计算．
18．【答案】解：去分母得：2x﹣2=x+3，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】找出最简公分母，分式方程两边都乘以最简公分母，求出整式方程的解，并检验分式方程的解，得到分式方程的解.
19．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将m值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图：四边形即为所求．
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形（组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：如图所示：
在中，对角线和交于点，，，，
，，
，
的周长．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，再根据三角形周长即可求出答案
22．【答案】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，由小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个 ，列出一元一次方程，解得x=20，则B为10个；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据利润=（A款售价-A款进价）×A款销售数量+（B款售价-B款进价）×B款销售数量，化简为，由网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，得，再由一次函数的性质随着a的增大而增大，得设计进货方案：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，则．
在中，根据勾股定理，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，两直线平行，内错角相等，，根据垂直定义，得，则（AAS），可得，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 四边形是平行四边形 ；
（2），由（1）可知，BF=BD-DF=4，在中，根据勾股定理得=3，．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，则．
在中，根据勾股定理，
∴．
24．【答案】（1）20，10
（2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在函数图象上，
∴，
解得．
即乙在时，y与x之间的函数关系式是；
（3）当或时，甲、乙两人相距8千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，
A、B两地相距，
甲骑车的速度是，
故答案为：20，10；
（3）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在该函数图象上，
，
解得，
即甲在时，y与x之间的函数关系式是；
相遇之前两人相距8千米，则，
解得；
相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，则，
解得．
答：当或时，甲、乙两人相距8千米．
【分析】（1）函数图象可得AB间距离，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）设乙在时，y与x之间的函数关系式是，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）设甲在时，y与x之间的函数关系式是根据待定系数法将点代入解析式可得即甲在时，y与x之间的函数关系式是，分情况讨论：相遇之前两人相距8千米，相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由图象可得，
A、B两地相距，
甲骑车的速度是，
故答案为：20，10；
（2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在函数图象上，
∴，
解得．
即乙在时，y与x之间的函数关系式是；
（3）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在该函数图象上，
，
解得，
即甲在时，y与x之间的函数关系式是；
相遇之前两人相距8千米，则，
解得；
相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，则，
解得．
答：当或时，甲、乙两人相距8千米．
25．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°，
∵在△ACD和△CBF中，
AC＝BC
∠ACD＝∠CBF
CD＝BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）证明：∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，∠CAD=∠BCF．
∵△AED为等边三角形，
∴∠ADE=60°，且AD=DE．
∴FC=DE．
∵∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，
∴∠EDB=∠BCF．
∴ED∥FC．
∵ED＝FC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质三边相等，三个角都是60°，得AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°， 则△ACD≌△CBF （SAS）；
（2）由（1）得AD=CF，∠CAD=∠BCF，由∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，得∠EDB=∠BCF，则ED∥FC，且ED=FC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 四边形CDEF为平行四边形. ．
26．【答案】（1）解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为：；
把代入，得：
∴，
把，代入，得：
，
解得：
∴ 一次函数的解析式为：；
（2）解：当时，，解得：，
∴，即，
∴；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）根据图象，时x的取值范围为：或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为：，再将点C坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，即，根据，结合三角形面积即可求出答案.
（3）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
27．【答案】解：（1）直线y=-x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A(4，0)、B(0，4)两点．
设直线BC所对应的函数关系式为y=kx+4．
∵直线BC经过点C(-2，0)，
∴-2k+4=0，解得：k=2，
∴直线BC所对应的函数关系式为y=2x+4．
（2）①由题意，设点P的坐标为(t，-t+4)，
∴S=S△POA=×OA×yP=×4×(-t+4)=-2t+8．
即S=-2t+8(0＜t＜4)．
②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q．
∵点P的坐标为(t，-t+4)，
∴点Q的坐标为(，-t+4)．
∵四边形COPQ是平行四边形，
∴PQ=OC，即.
解得：t=，
∴点Q的坐标为(，)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设直线BC所对应的函数关系式为y=kx+4，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，设点P的坐标为(t，-t+4)，根据三角形面积建立函数关系式即可求出答案.
②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q，根据点的坐标可得点Q的坐标为(，-t+4)，根据平行四边形性质建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1甘肃省天水市逸夫实验中学2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·天水期中）下列各式中是分式的是（　　）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A.是整式，不是分式，故A不符合题意；
B.是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意；
C. 分母含有字母，是分式，故C符合题意，
D. 是整数，不是分式，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．（2025八下·天水期中）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000095米用科学记数法表示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与1-的n次幂相乘的形式.
3．（2025八下·天水期中）一次函数的图象不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵在一次函数中：，∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，补经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一次函数的图象与k，b的关系属于基础题型.根据已知一次函数的解析式得到k，b的符号，即可确定直线经过那几个象限，进而即可求解.
4．（2025八下·天水期中）如图，在平行四边形中，∠A=40°，则∠B的度数为(　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=40°，
∴∠B=180°-40°=140°，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得AD∥BC，由两直线平行，同旁内角互补，得∠A+∠B=180°，代入∠A 的度数 ，得∠B 的度数．
5．（2025八下·天水期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；数形结合
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴关于的方程的解是，
故答案为：C
【分析】根据一次函数的图象可知两直线交点P(1，3)，点P横坐标1，为方程的解．
6．（2025八下·天水期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·天水期中）已知点均在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（-2，y2）、B（-1，y2）位于第三象限，C（1，y3）位于第一象限.
∵-2<-1，
∴y2故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
8．（2025八下·天水期中）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A．
【分析】由题设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，单价比第一批每件便宜了5元，则第二批为(x-5)元，由总价除以单价等于件数，表示出第一批的件数，第二批的件数，再根据：第二批的件数比第一批多购进了40件，列出分式方程．
9．（2025八下·天水期中）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积等于2，则的值等于（　　）．
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积等于2，
∴，
而，
∴．
故选A．
【分析】根据反比例函数k的结合意义即可求出答案.
10．（2025八下·天水期中）如图①，在梯形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，则梯形的面积是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意，点从点到点的路程为，即，再由到的路程是，即，
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴梯形的面积为，
故答案为：B ．
【分析】由图②得，，过点作于点，则，
由三个角是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，在直角三角形CEB中，由勾股定理得，代入数值求梯形面积．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025八下·天水期中）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是　 　.（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】-5（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；
故答案为：-5（答案不唯一）.
【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得k<0，据此解答.
12．（2025八下·天水期中）点关于原点的对称点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为： ．
【分析】根据关于原点的坐标特征，即可得出点关于原点的对称点的坐标为。
13．（2025八下·天水期中）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为　 　．
【答案】15
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．
故答案为15．
【分析】由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，根据角平分线定义可得∠DAQ=∠BAQ，根据平行四边形性质可得CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，则∠DAQ=∠DAQ，根据等腰三角形判定定理可得△AQD是等腰三角形，则DQ=AD=3，根据边之间的关系可得CD，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．（2025八下·天水期中）把直线向下平移2个单位，得到的直线解析式是　 　．
【答案】y＝－3x+2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线y=3x+4向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y=3x+4-2=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】 一次函数图象根据常数“上加下减”的平移规律得到解析式为y=3x+2．
15．（2025八下·天水期中）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为　 　．
【答案】k＜3且k≠1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x= ，
由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为：k＜3且k≠1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
16．（2025八下·天水期中）如图，已知四边形中，平分，下列说法：；；；，其中正确的结论是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵平分，
∴，故②正确，
∵与同底等高，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
即，故④正确，
综上分析可知：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】由AD∥BC，两直线平行，同旁内角互补，得，由等角代换，得由平行线判断AB∥CD，得①正确；根据等腰三角形三线合一的性质，得②正确；与 同底AB等高，两个三角形面积相等，得，，，则，得③正确；根据，，，得，得④正确
三、计算题：本大题共3小题，共20分．
17．（2025八下·天水期中）计算：；
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】由正数的绝对值是它本身，得，由底数不为零的零指数幂为1，得，由负整数指数幂运算法则底数为倒数，指数为相反数，得，再进行有理数计算．
18．（2025八下·天水期中）解方程： = ．
【答案】解：去分母得：2x﹣2=x+3，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】找出最简公分母，分式方程两边都乘以最简公分母，求出整式方程的解，并检验分式方程的解，得到分式方程的解.
19．（2025八下·天水期中）先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将m值代入即可求出答案.
四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．
20．（2025八下·天水期中）在数学课上，老师布置任务：利用尺规 “作以三点A，B，C为顶点的平行四边形”．
小怀的作法如下：
①分别连接线段；
②以点A为圆心，长为半径，在上方作弧，以点C为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点D；
③分别连接线段．所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵_________，__________，
∴四边形是平行四边形（________________________）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如图：四边形即为所求．
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形（组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．（2025八下·天水期中）已知：点是的对角线与的交点，，，，求的周长．
【答案】解：如图所示：
在中，对角线和交于点，，，，
，，
，
的周长．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，再根据三角形周长即可求出答案
22．（2025八下·天水期中）冰墩墩（），是2022年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
　 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，由小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个 ，列出一元一次方程，解得x=20，则B为10个；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据利润=（A款售价-A款进价）×A款销售数量+（B款售价-B款进价）×B款销售数量，化简为，由网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，得，再由一次函数的性质随着a的增大而增大，得设计进货方案：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
23．（2025八下·天水期中）如图，平行四边形中，于点E，于点F，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，则．
在中，根据勾股定理，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，两直线平行，内错角相等，，根据垂直定义，得，则（AAS），可得，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 四边形是平行四边形 ；
（2），由（1）可知，BF=BD-DF=4，在中，根据勾股定理得=3，．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，则．
在中，根据勾股定理，
∴．
24．（2025八下·天水期中）如图，甲、乙两人分别从同一公路上的、两地先后出发骑车前往地，两人距离地的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）、两地相距___________，甲骑车的速度是___________；
（2）求在的时间段内，乙距离地的距离与行驶的时间之间的函数关系式；
（3）在的时间段内，当甲、乙两人相距8千米时，直接写出的值．
【答案】（1）20，10
（2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在函数图象上，
∴，
解得．
即乙在时，y与x之间的函数关系式是；
（3）当或时，甲、乙两人相距8千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，
A、B两地相距，
甲骑车的速度是，
故答案为：20，10；
（3）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在该函数图象上，
，
解得，
即甲在时，y与x之间的函数关系式是；
相遇之前两人相距8千米，则，
解得；
相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，则，
解得．
答：当或时，甲、乙两人相距8千米．
【分析】（1）函数图象可得AB间距离，再根据速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）设乙在时，y与x之间的函数关系式是，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）设甲在时，y与x之间的函数关系式是根据待定系数法将点代入解析式可得即甲在时，y与x之间的函数关系式是，分情况讨论：相遇之前两人相距8千米，相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由图象可得，
A、B两地相距，
甲骑车的速度是，
故答案为：20，10；
（2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在函数图象上，
∴，
解得．
即乙在时，y与x之间的函数关系式是；
（3）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是
∵点在该函数图象上，
，
解得，
即甲在时，y与x之间的函数关系式是；
相遇之前两人相距8千米，则，
解得；
相遇之后且甲到达C地之前相距8千米，则，
解得．
答：当或时，甲、乙两人相距8千米．
25．（2025八下·天水期中）如图，在等边△ABC中，D，F分别为CB，BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．
求证：（1）△ACD≌△CBF；
（2）四边形CDEF为平行四边形.
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°，
∵在△ACD和△CBF中，
AC＝BC
∠ACD＝∠CBF
CD＝BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）证明：∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，∠CAD=∠BCF．
∵△AED为等边三角形，
∴∠ADE=60°，且AD=DE．
∴FC=DE．
∵∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，
∴∠EDB=∠BCF．
∴ED∥FC．
∵ED＝FC，
∴四边形CDEF为平行四边形.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质三边相等，三个角都是60°，得AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°， 则△ACD≌△CBF （SAS）；
（2）由（1）得AD=CF，∠CAD=∠BCF，由∠EDB+60°=∠BDA=∠CAD+∠ACD=∠BCF+60°，得∠EDB=∠BCF，则ED∥FC，且ED=FC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得 四边形CDEF为平行四边形. ．
26．（2025八下·天水期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交y轴于点B，交x轴于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为：；
把代入，得：
∴，
把，代入，得：
，
解得：
∴ 一次函数的解析式为：；
（2）解：当时，，解得：，
∴，即，
∴；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）根据图象，时x的取值范围为：或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为：，再将点C坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，即，根据，结合三角形面积即可求出答案.
（3）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
27．（2025八下·天水期中）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点，P是线段AB上的一个动点点P与A、B不重合．
（1）求直线BC所对应的的函数表达式；
（2）设动点P的横坐标为t，的面积为S．
①求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．
【答案】解：（1）直线y=-x+4与x轴、y轴交点坐标分别为A(4，0)、B(0，4)两点．
设直线BC所对应的函数关系式为y=kx+4．
∵直线BC经过点C(-2，0)，
∴-2k+4=0，解得：k=2，
∴直线BC所对应的函数关系式为y=2x+4．
（2）①由题意，设点P的坐标为(t，-t+4)，
∴S=S△POA=×OA×yP=×4×(-t+4)=-2t+8．
即S=-2t+8(0＜t＜4)．
②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q．
∵点P的坐标为(t，-t+4)，
∴点Q的坐标为(，-t+4)．
∵四边形COPQ是平行四边形，
∴PQ=OC，即.
解得：t=，
∴点Q的坐标为(，)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设直线BC所对应的函数关系式为y=kx+4，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，设点P的坐标为(t，-t+4)，根据三角形面积建立函数关系式即可求出答案.
②过点P作PQ∥x轴，交BC于点Q，根据点的坐标可得点Q的坐标为(，-t+4)，根据平行四边形性质建立方程，解方程即可求出答案.
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