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广东省湛江市徐闻县2024~2025学年下学期期中教学调研测试九年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（2025九下·徐闻期中）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵，，，
∴这四个数中，是负数的是．
故答案为：A．
【分析】利用负数的定义（比0小的数为负数）逐个分析判断即可.
2．（2025九下·徐闻期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误；
B、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；
C、是中心对称图形，而不是轴对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，而不是轴对称图形，故选项错误；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025九下·徐闻期中）哈尔滨第二十六届冰雪大世界自营业以来，截至2025年2月20日22：00运营61天，接待游客突破330万人次，将330万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：330万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2025九下·徐闻期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算
【解析】【解答】解：A：，故不符合题意；
B：，故符合题意；
C：，故不符合题意；
D：，故不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，然后再对各个选项进行逐一求解，最后再进行判断即可。
5．（2025九下·徐闻期中）图为我国高铁座位的实物图，图是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出∠BOC的度数即可.
6．（2025九下·徐闻期中）已知，那么的值是（　　）
A． B． C．8 D．9
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：已知，
∴，
∴，则，
∴，
故选：C ．
【分析】根据二次根式的非负性可得x，y值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
7．（2025九下·徐闻期中）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
故选：A．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
8．（2025九下·徐闻期中）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件件，
由题意可得，
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是列方程的关键。设原来平均每人每周投递快件x件，那么现在平均每人每周投递(x+48)件，因为快递员总人数不变，而总人数=总投递件数÷每人每周投递件数，原来的总人数为，现在的总人数为，根据总人数相等这一等量关系，即可列出对应的分式方程。
9．（2025九下·徐闻期中）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接BO，先利用两点之间的距离公式求出OB的长，再利用矩形的性质可得．
10．（2025九下·徐闻期中）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为，折扇张开后为扇形，圆心角为，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，
弧的长，
故答案为：B．
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
二、填空题（每小题3分，5小题共15分）
11．（2025九下·徐闻期中）已知关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
12．（2025九下·徐闻期中）小张驾驶汽车从甲地到乙地，汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为，，对应的数值如下表，则　 　．
60
2 1.5
【答案】80
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设，，
把代入得，，
，
当时，，
解得：，
故答案为：80．
【分析】结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再将y=1.5代入计算即可.
13．（2025九下·徐闻期中）如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积，
所以该小球停留在黑色区域的概率；
故答案为：．
【分析】根据几何概率即可求出答案.
14．（2025九下·徐闻期中）已知且，则　 　．
【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得，
，代入得，
.
故答案为：2.
【分析】将化成2y-x=xy的形式，代入，再进行计算即可.
15．（2025九下·徐闻期中）如图，为的直径，D，E是上的两点，过点D作的切线交AB的延长线于点C，连接、、，．若，，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接，如解图所示，
则，．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设的半径为r，则．
由勾股定理，可知，
即，
解得．
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】连接，先证出，利用相似三角形的性质可得，再结合求出，设的半径为r，则，利用勾股定理可得，即，求出r的值即可.
三、解答题（一）（每小题7分，3小题，共21分）
16．（2025九下·徐闻期中）计算：．
【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后合并计算解题．
17．（2025九下·徐闻期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
当时，
原式，
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将m=3代入即可求出答案.
18．（2025九下·徐闻期中）如图，在中，．
（1）已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法：
（2）若，求点P到的距离．
【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
；
（2）解：过点P作，垂足为D．
∵平分，，，
∴，
依题意，得，，
∵，
∴，
解得，即点P到的距离为．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）过点P作，垂足为D，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，点P即为所求；
；
（2）解：过点P作，垂足为D．
∵平分，，，
∴，
依题意，得，，
∵，
∴，
解得，即点P到的距离为．
四、解答题（二）（每小题9分，3小题，共27分）
19．（2025九下·徐闻期中）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离；
（2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm)
【答案】（1）解：如图， 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，
由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，
∴的长度就是与之间的距离，
由两圆弧翼成轴对称可得，
在中，，，，
，
∴，
∴，
∴与之间的距离约为．
（2）解：如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，
∴可得，
在中，，，，
，
∴，
∵点B，E到地面的距离均为20cm，
∴，
∴．
答： 点A到地面的距离约为 72.8cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，则的长度就是与之间的距离，由两圆弧翼成轴对称可得，解直角三角形可得AM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，可得，解直角三角形可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）如图， 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，
由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，
∴的长度就是与之间的距离，
由两圆弧翼成轴对称可得，
在中，，，，
，
∴，
∴，
∴与之间的距离约为．
（2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，
∴可得，
在中，，，，
，
∴，
∵点B，E到地面的距离均为20cm，
∴，
∴．
答： 点A到地面的距离约为 72.8cm．
20．（2025九下·徐闻期中）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染）
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出 ， ，并补全条形统计图．
（2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人．
（3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）．
【答案】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一）
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数；根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，据此可补全条形统计图；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组，由题意可知，C组共三个数据，分别是94、90、94，从而即可解答；
（2）用该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别乘以样本中七、八年级成绩的优秀率，再求和，即可估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生人数；
（3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，
故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．
21．（2025九下·徐闻期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意并掌握相关解题方法是关键。
（1）求单价：设A、B两种哪吒玩偶的单价分别为元和元。根据题意列出方程，通过解方程可求得单价。
（2）数量关系最优解：设购进A种玩偶个，则B种为个。根据数量限制条件，解得建立费用函数，利用一次函数性质求解最优方案
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．（2025九下·徐闻期中）问题背景：点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系．
（1）小云同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段的数量关系为 ▲ ，并补充证明过程；
变式迁移：
（2）如图2，在菱形中，，点，分别在，上，且，，若，求的长；
拓展应用：
（3）如图3，在中，，于，，，求的长．
【答案】解：（1）；
证明：如图1，过点A作，交的延长线于点，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）如图2，连，过点A作于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴
∴，，
∴ ，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
又∵，，
∴为等边三角形，
∴；
（3）如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G，
∵，
由轴对称的性质得，，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
解得（不合题意，舍去），
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点A作，交的延长线于点，先证出，再利用全等三角形的性质可得，，再证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）连，过点A作于点，先证出为等边三角形，可得，，再证出，可得，，利用线段的和差求出AD的长，再利用勾股定理求出AM和AF的长，再结合，，证出为等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得；
（3）以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G，先证出四边形是正方形，可得，设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可.
23．（2025九下·徐闻期中）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E．
【构建联系】
（1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ；
（2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：；
【深入探究】
（3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1），
（2）点，在双曲线的图象上，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）分三种情况讨论：
①当时，
四边形是矩形，
，
，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
②当时，
此时点与点重合，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
③当时，
设，
将矩形向右平移个单位长度，
，，
，
，
解得：，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：，
，
与题意不符，故舍去；
综上所述，的值为或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）四边形是矩形，
点是中点，
又，，
，
双曲线过点E，
，
，
该双曲线的解析式为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据矩形性质可得点是中点，根据中点坐标可得，再根据待定系数法将点E坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）根据反比例函数k的几何意义可得，根据矩形性质可得，，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，根据矩形性质，结合两点间距离可得AE，则，根据点的坐标可得，根据平移性质可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案；②当时，此时点与点重合，则，根据平移性质可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案；③当时，设，根据平移性质可得，，根据边之间的关系，结合两点间距离建立方程，解方程可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省湛江市徐闻县2024~2025学年下学期期中教学调研测试九年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（2025九下·徐闻期中）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025九下·徐闻期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·徐闻期中）哈尔滨第二十六届冰雪大世界自营业以来，截至2025年2月20日22：00运营61天，接待游客突破330万人次，将330万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·徐闻期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·徐闻期中）图为我国高铁座位的实物图，图是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·徐闻期中）已知，那么的值是（　　）
A． B． C．8 D．9
7．（2025九下·徐闻期中）不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·徐闻期中）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递48件，若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·徐闻期中）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．
10．（2025九下·徐闻期中）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为，折扇张开后为扇形，圆心角为，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，5小题共15分）
11．（2025九下·徐闻期中）已知关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，则的值是　 　．
12．（2025九下·徐闻期中）小张驾驶汽车从甲地到乙地，汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为，，对应的数值如下表，则　 　．
60
2 1.5
13．（2025九下·徐闻期中）如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　 　．
14．（2025九下·徐闻期中）已知且，则　 　．
15．（2025九下·徐闻期中）如图，为的直径，D，E是上的两点，过点D作的切线交AB的延长线于点C，连接、、，．若，，则的半径为　 　．
三、解答题（一）（每小题7分，3小题，共21分）
16．（2025九下·徐闻期中）计算：．
17．（2025九下·徐闻期中）先化简，再求值：，其中．
18．（2025九下·徐闻期中）如图，在中，．
（1）已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法：
（2）若，求点P到的距离．
四、解答题（二）（每小题9分，3小题，共27分）
19．（2025九下·徐闻期中）图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离；
（2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm)
20．（2025九下·徐闻期中）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染）
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出 ， ，并补全条形统计图．
（2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人．
（3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）．
21．（2025九下·徐闻期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．（2025九下·徐闻期中）问题背景：点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系．
（1）小云同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段的数量关系为 ▲ ，并补充证明过程；
变式迁移：
（2）如图2，在菱形中，，点，分别在，上，且，，若，求的长；
拓展应用：
（3）如图3，在中，，于，，，求的长．
23．（2025九下·徐闻期中）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E．
【构建联系】
（1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ；
（2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：；
【深入探究】
（3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵，，，
∴这四个数中，是负数的是．
故答案为：A．
【分析】利用负数的定义（比0小的数为负数）逐个分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误；
B、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；
C、是中心对称图形，而不是轴对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，而不是轴对称图形，故选项错误；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：330万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算
【解析】【解答】解：A：，故不符合题意；
B：，故符合题意；
C：，故不符合题意；
D：，故不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，然后再对各个选项进行逐一求解，最后再进行判断即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出∠BOC的度数即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：已知，
∴，
∴，则，
∴，
故选：C ．
【分析】根据二次根式的非负性可得x，y值，再代入代数式，结合有理数的乘方即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
故选：A．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件件，
由题意可得，
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是列方程的关键。设原来平均每人每周投递快件x件，那么现在平均每人每周投递(x+48)件，因为快递员总人数不变，而总人数=总投递件数÷每人每周投递件数，原来的总人数为，现在的总人数为，根据总人数相等这一等量关系，即可列出对应的分式方程。
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接BO，先利用两点之间的距离公式求出OB的长，再利用矩形的性质可得．
10．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，
弧的长，
故答案为：B．
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
12．【答案】80
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设，，
把代入得，，
，
当时，，
解得：，
故答案为：80．
【分析】结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再将y=1.5代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积，
所以该小球停留在黑色区域的概率；
故答案为：．
【分析】根据几何概率即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得，
，代入得，
.
故答案为：2.
【分析】将化成2y-x=xy的形式，代入，再进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接，如解图所示，
则，．
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设的半径为r，则．
由勾股定理，可知，
即，
解得．
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】连接，先证出，利用相似三角形的性质可得，再结合求出，设的半径为r，则，利用勾股定理可得，即，求出r的值即可.
16．【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后合并计算解题．
17．【答案】解：原式，
，
，
当时，
原式，
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将m=3代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
；
（2）解：过点P作，垂足为D．
∵平分，，，
∴，
依题意，得，，
∵，
∴，
解得，即点P到的距离为．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）过点P作，垂足为D，根据角平分线性质可得，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，点P即为所求；
；
（2）解：过点P作，垂足为D．
∵平分，，，
∴，
依题意，得，，
∵，
∴，
解得，即点P到的距离为．
19．【答案】（1）解：如图， 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，
由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，
∴的长度就是与之间的距离，
由两圆弧翼成轴对称可得，
在中，，，，
，
∴，
∴，
∴与之间的距离约为．
（2）解：如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，
∴可得，
在中，，，，
，
∴，
∵点B，E到地面的距离均为20cm，
∴，
∴．
答： 点A到地面的距离约为 72.8cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，则的长度就是与之间的距离，由两圆弧翼成轴对称可得，解直角三角形可得AM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，可得，解直角三角形可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）如图， 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，
由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，，
∴的长度就是与之间的距离，
由两圆弧翼成轴对称可得，
在中，，，，
，
∴，
∴，
∴与之间的距离约为．
（2）如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，
∴可得，
在中，，，，
，
∴，
∵点B，E到地面的距离均为20cm，
∴，
∴．
答： 点A到地面的距离约为 72.8cm．
20．【答案】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一）
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数；根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，据此可补全条形统计图；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组，由题意可知，C组共三个数据，分别是94、90、94，从而即可解答；
（2）用该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别乘以样本中七、八年级成绩的优秀率，再求和，即可估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生人数；
（3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，
故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．
21．【答案】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题综合考查了分式方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意并掌握相关解题方法是关键。
（1）求单价：设A、B两种哪吒玩偶的单价分别为元和元。根据题意列出方程，通过解方程可求得单价。
（2）数量关系最优解：设购进A种玩偶个，则B种为个。根据数量限制条件，解得建立费用函数，利用一次函数性质求解最优方案
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且．
22．【答案】解：（1）；
证明：如图1，过点A作，交的延长线于点，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）如图2，连，过点A作于点，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴
∴，，
∴ ，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
又∵，，
∴为等边三角形，
∴；
（3）如图3，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G，
∵，
由轴对称的性质得，，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
解得（不合题意，舍去），
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点A作，交的延长线于点，先证出，再利用全等三角形的性质可得，，再证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）连，过点A作于点，先证出为等边三角形，可得，，再证出，可得，，利用线段的和差求出AD的长，再利用勾股定理求出AM和AF的长，再结合，，证出为等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得；
（3）以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G，先证出四边形是正方形，可得，设，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可.
23．【答案】（1），
（2）点，在双曲线的图象上，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）分三种情况讨论：
①当时，
四边形是矩形，
，
，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
②当时，
此时点与点重合，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
③当时，
设，
将矩形向右平移个单位长度，
，，
，
，
解得：，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：，
，
与题意不符，故舍去；
综上所述，的值为或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）四边形是矩形，
点是中点，
又，，
，
双曲线过点E，
，
，
该双曲线的解析式为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据矩形性质可得点是中点，根据中点坐标可得，再根据待定系数法将点E坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）根据反比例函数k的几何意义可得，根据矩形性质可得，，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当时，根据矩形性质，结合两点间距离可得AE，则，根据点的坐标可得，根据平移性质可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案；②当时，此时点与点重合，则，根据平移性质可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案；③当时，设，根据平移性质可得，，根据边之间的关系，结合两点间距离建立方程，解方程可得，再将点P，E坐标代入双曲线解析式建立方程，解方程即可求出答案.
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