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贵州省黔东南苗族侗族自治州2025年中考二模数学试题
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·黔东南模拟）下列四个数中最大的是（　　）
A． B．0 C．3 D．6
2．（2025·黔东南模拟）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2025·黔东南模拟）下面几何体中，主视图是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·黔东南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·黔东南模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·黔东南模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·黔东南模拟）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过二、四象限
B．图象与坐标轴有两个交点
C．图象经过点
D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大
8．（2025·黔东南模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·黔东南模拟）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·黔东南模拟）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·黔东南模拟）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·黔东南模拟）分解因式： =　 　．
14．（2025·黔东南模拟）关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　.
15．（2025·黔东南模拟）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为　 　度．
16．（2025·黔东南模拟）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为　 　．
三、解答题：（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·黔东南模拟）（1）计算：
（2）下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
18．（2025·黔东南模拟）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出当时的取值范围；
（3）在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025·黔东南模拟）2025年3月14日是第六个“世界圆周率日”，也是国际数学日．某市团委在全市中小学生中，举办了数值背诵、数学难题解答、圆周率主题手抄报三项比赛活动．现对各校选手进行评分，小明将其所在学校参赛选手的成绩（用表示）分为四组：组，组，组，组，并绘制了如下所示的不完整的统计图表（参赛选手的成绩均不低于60分）：
本校参赛选手的成绩频数统计表
组别 频数
组（） 4
组（）
组
组（） 10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中，_____，______；
（2）小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在______组内；
（3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分，可实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因
20．（2025·黔东南模拟）某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息：
①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；
②每个A款书包比每个B款书包少10元；
③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元．
（1）从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价；
（2）在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润．
21．（2025·黔东南模拟）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单．
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为．
测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角
说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米）
22．（2025·黔东南模拟）如图，在中，平分交于点E，点F在上，，连接．
（1）试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形？说明理由；
（2）连接交于点O，若，且，求的面积．
23．（2025·黔东南模拟）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E．
（1）写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线）
（2）求证：；
（3）若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）．
24．（2025·黔东南模拟）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米．
分值（分） 11 12 13 14 15
落地距离（m）
（注：落地距离包含最小值，不包含最大值）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：）
（3）为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？
25．（2025·黔东南模拟）【问题情境】
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
【操作判断】
（1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________．
【深入思考】
将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．
（2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是6．
故选D．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点P表示的数为，
故选：B
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为等腰梯形，不符合题意；
D、主视图为矩形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．与不是同类项，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故选A．
【分析】根据二次根式加法即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数，
∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确；
正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误；
∵当时，，
∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误；
∵，
∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据正比例函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；约分
【解析】【解答】解：．
故选C．
【分析】根据分式的性质约分化简，结合平方差公式即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形；
A．不一定相等，选项错误，不符合题意；
B．不一定相等，选项错误，不符合题意；
C．不一定相等，选项错误，不符合题意；
D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
，
∴，在第二象限，点在第四象限，
，
故选：D．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】连接，根据补角可得∠PBA，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设的长为，则．
，．
．
由作图可知，，
．
是的外角，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
（负值已舍去）．
故选：C．
【分析】设的长为，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，由作图可知，，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠ABD，根据角之间的关系可得∠DBC，则，根据等角对等边可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
13．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△=42-4m=0，
解得m=4.
故答案为4.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出即可.
15．【答案】45
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得∠ABD，根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，过点P作，交的延长线于点H，
∵边长为4的菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，，
∴
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点P作，交的延长线于点H，根据菱形性质可得，，则，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，即，根据折叠性质可得，，，则，，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理可得PH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：（1）原式
（2）①一；
②解：去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【解答】解：（2）①第一步，去分母错误，
故答案为：一；
【分析】（1）根据0指数幂，二次根式性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）①根据题意逐项进行判断即可求出答案.
②去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：把点代入，得：
∴反比例函数的解析式为.
把点代入，得：
∴
把点，代入，得
，解得：.
∴一次函数的解析式为.
（2）或
（3）解：存在.
直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P.
设直线的解析式为：.
把，代入，得：
，解得：.
∴直线的解析式为：.
∴直线与x轴的交点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）∵，
由图可知，当时，或.
【分析】（1）根据待定相反数将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，将点A坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，D坐标代入解析式可得直线的解析式为：，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
（1）把点代入，得：
∴反比例函数的解析式为.
把点代入，得：
∴
把点，代入，得
，解得：.
∴一次函数的解析式为.
（2）∵，
由图可知，当时，或.
（3）存在.
直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P.
设直线的解析式为：.
把，代入，得：
，解得：.
∴直线的解析式为：.
∴直线与x轴的交点P的坐标为.
19．【答案】（1）8；18
（2）C
（3）解：解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本是本校的，不具有代表性．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
即本校参赛选手的总人数为40名，
，
；
故答案为：8，18
（2）解：∵，总人数为40名，
∴小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在C组内；
故答案为：C
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再根据总人数乘以B组的占比可得m，再根据总人数减去其他组人数可得n.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据抽样的要求分析即可求出答案.
（1）解：名，
即本校参赛选手的总人数为40名，
，
；
故答案为：8，18
（2）解：∵，总人数为40名，
∴小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在C组内；
故答案为：C
（3）解：解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本是本校的，不具有代表性．
20．【答案】（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，
根据题意，得：
解得： ．
答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个．
（2）解：设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售
完的总利润为w元，根据题意，得
，
即，
又根据题意，知：，
∴．
又∵在中，w随m的增大而减小．
∴当时，w有最大值为：（元）．
答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，利用总价=单价×数量，结合“购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；每个A款书包比每个B款书包少10元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，根据A款书包的数量不低于B款书包的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝A款书包的销售利润×购进A款书包的购进数量＋B款书包的销售利润×购进B款书包的购进数量，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，根据题意，得：
解得： ．
答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个．
（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售
完的总利润为w元，根据题意，得
，
即，
又根据题意，知：，
∴．
又∵在中，w随m的增大而减小．
∴当时，w有最大值为：（元）．
答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元．
21．【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，延长交于点，则，米，
由题意知，
，
，
，即．
设米，则米，
米，米，
在中，，
，
解得，
米，
答：这棵大树的高度约为9.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）延长交于点，则，米，由题意知，根据直线平行性质可得，根据正切定义可得，设米，则米，根据边之间的关系可得AH，FH，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，延长交于点，则，米，
由题意知，
，
，
，即．
设米，则米，
米，米，
在中，，
，
解得，
米，
答：这棵大树的高度约为9.5米．
22．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图
∵四边形是菱形．
∴，．
∵．
∴．
∴，
∴
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据平行四边形判定定理及性质，结合菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得OA，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形．
∴，．
∵．
∴．
∴，
∴
∵，
∴．
23．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（3）解：连接.
、
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.

【知识点】切线的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接，交于点，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，根据圆周角定理的推论可得，根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3）连接，根据直线平行性质可得，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，解直角三角形可得DE，再根据，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（3）解：连接.
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.
24．【答案】（1）解：把点A代入抛物线，得
∴
∴抛物线的表达式为：

（2）解：令
解得：（不符合题意，舍去），.
∵落地距离在6.4～6.6得12分.
∴该同学得分为12分.
（3）解：根据题意知，抛物线的顶点为.
∴设抛物线的表达式为：
将点A代入上式，得
解得：.
∴抛物线的表达式为：.
令.
解得：（不符合题意，舍去），
∵.
∴该同学能得到15分的满分.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式，解方程可得x，再估算无理数的范围即可求出答案.
（3）设抛物线的表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的表达式为：，将y=0代入解析式，解方程可得x，再估算无理数的范围即可求出答案.
（1）把点A代入抛物线，得
∴
∴抛物线的表达式为：
（2）令
解得：（不符合题意，舍去），.
∵落地距离在6.4～6.6得12分.
∴该同学得分为12分.
（3）根据题意知，抛物线的顶点为.
∴设抛物线的表达式为：
将点A代入上式，得
解得：.
∴抛物线的表达式为：.
令.
解得：（不符合题意，舍去），
∵.
∴该同学能得到15分的满分.
25．【答案】（1）；
（2）∵，，，
∴，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得：，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
（3）当点与点重合时，如图：过点作于点，由旋转和平移得，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点不与点重合时，如图：过点作于点，
∵由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的长为或
【知识点】平移的性质；解直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在中，，是斜边的中线，
∴．
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，由平移的性质可知，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，根据直角三开心哦斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得，解直角三角形可得，由题意得，，根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系可得，即旋转角为，根据平行性质可得，则，解直角三角形可得DE，根据边之间的关系可得EM，再根据正切定义即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点与点重合时，过点作于点，由旋转和平移得，则，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；当点不与点重合时，过点作于点，由旋转，平移得到，，则，根据直线平行判定定理可得，则，由旋转，平移得到，则，根据等角对等边可得，则，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州2025年中考二模数学试题
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（2025·黔东南模拟）下列四个数中最大的是（　　）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是6．
故选D．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·黔东南模拟）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点P表示的数为，
故选：B
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
3．（2025·黔东南模拟）下面几何体中，主视图是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为等腰梯形，不符合题意；
D、主视图为矩形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．（2025·黔东南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．与不是同类项，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方运算逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·黔东南模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·黔东南模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故选A．
【分析】根据二次根式加法即可求出答案.
7．（2025·黔东南模拟）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过二、四象限
B．图象与坐标轴有两个交点
C．图象经过点
D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数，
∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确；
正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误；
∵当时，，
∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误；
∵，
∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据正比例函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
8．（2025·黔东南模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；约分
【解析】【解答】解：．
故选C．
【分析】根据分式的性质约分化简，结合平方差公式即可求出答案.
9．（2025·黔东南模拟）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形；
A．不一定相等，选项错误，不符合题意；
B．不一定相等，选项错误，不符合题意；
C．不一定相等，选项错误，不符合题意；
D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·黔东南模拟）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
，
∴，在第二象限，点在第四象限，
，
故选：D．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
11．（2025·黔东南模拟）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，，点在的延长线上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】补角；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】连接，根据补角可得∠PBA，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
12．（2025·黔东南模拟）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧与交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设的长为，则．
，．
．
由作图可知，，
．
是的外角，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
（负值已舍去）．
故选：C．
【分析】设的长为，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，由作图可知，，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠ABD，根据角之间的关系可得∠DBC，则，根据等角对等边可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（2025·黔东南模拟）分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
14．（2025·黔东南模拟）关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△=42-4m=0，
解得m=4.
故答案为4.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出即可.
15．（2025·黔东南模拟）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为　 　度．
【答案】45
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得∠ABD，根据直线平行性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．（2025·黔东南模拟）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，过点P作，交的延长线于点H，
∵边长为4的菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，，
∴
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点P作，交的延长线于点H，根据菱形性质可得，，则，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，即，根据折叠性质可得，，，则，，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理可得PH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题：（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·黔东南模拟）（1）计算：
（2）下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】解：（1）原式
（2）①一；
②解：去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【解答】解：（2）①第一步，去分母错误，
故答案为：一；
【分析】（1）根据0指数幂，二次根式性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）①根据题意逐项进行判断即可求出答案.
②去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2025·黔东南模拟）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出当时的取值范围；
（3）在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点代入，得：
∴反比例函数的解析式为.
把点代入，得：
∴
把点，代入，得
，解得：.
∴一次函数的解析式为.
（2）或
（3）解：存在.
直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P.
设直线的解析式为：.
把，代入，得：
，解得：.
∴直线的解析式为：.
∴直线与x轴的交点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）∵，
由图可知，当时，或.
【分析】（1）根据待定相反数将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，将点A坐标代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，D坐标代入解析式可得直线的解析式为：，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
（1）把点代入，得：
∴反比例函数的解析式为.
把点代入，得：
∴
把点，代入，得
，解得：.
∴一次函数的解析式为.
（2）∵，
由图可知，当时，或.
（3）存在.
直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P.
设直线的解析式为：.
把，代入，得：
，解得：.
∴直线的解析式为：.
∴直线与x轴的交点P的坐标为.
19．（2025·黔东南模拟）2025年3月14日是第六个“世界圆周率日”，也是国际数学日．某市团委在全市中小学生中，举办了数值背诵、数学难题解答、圆周率主题手抄报三项比赛活动．现对各校选手进行评分，小明将其所在学校参赛选手的成绩（用表示）分为四组：组，组，组，组，并绘制了如下所示的不完整的统计图表（参赛选手的成绩均不低于60分）：
本校参赛选手的成绩频数统计表
组别 频数
组（） 4
组（）
组
组（） 10
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中，_____，______；
（2）小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在______组内；
（3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分，可实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因
【答案】（1）8；18
（2）C
（3）解：解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本是本校的，不具有代表性．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
即本校参赛选手的总人数为40名，
，
；
故答案为：8，18
（2）解：∵，总人数为40名，
∴小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在C组内；
故答案为：C
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再根据总人数乘以B组的占比可得m，再根据总人数减去其他组人数可得n.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据抽样的要求分析即可求出答案.
（1）解：名，
即本校参赛选手的总人数为40名，
，
；
故答案为：8，18
（2）解：∵，总人数为40名，
∴小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在C组内；
故答案为：C
（3）解：解：由题意可得，
小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本是本校的，不具有代表性．
20．（2025·黔东南模拟）某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息：
①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；
②每个A款书包比每个B款书包少10元；
③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元．
（1）从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价；
（2）在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，
根据题意，得：
解得： ．
答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个．
（2）解：设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售
完的总利润为w元，根据题意，得
，
即，
又根据题意，知：，
∴．
又∵在中，w随m的增大而减小．
∴当时，w有最大值为：（元）．
答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，利用总价=单价×数量，结合“购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；每个A款书包比每个B款书包少10元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，根据A款书包的数量不低于B款书包的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝A款书包的销售利润×购进A款书包的购进数量＋B款书包的销售利润×购进B款书包的购进数量，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，根据题意，得：
解得： ．
答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个．
（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售
完的总利润为w元，根据题意，得
，
即，
又根据题意，知：，
∴．
又∵在中，w随m的增大而减小．
∴当时，w有最大值为：（元）．
答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元．
21．（2025·黔东南模拟）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单．
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为．
测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角
说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，延长交于点，则，米，
由题意知，
，
，
，即．
设米，则米，
米，米，
在中，，
，
解得，
米，
答：这棵大树的高度约为9.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；平行投影；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）延长交于点，则，米，由题意知，根据直线平行性质可得，根据正切定义可得，设米，则米，根据边之间的关系可得AH，FH，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，延长交于点，则，米，
由题意知，
，
，
，即．
设米，则米，
米，米，
在中，，
，
解得，
米，
答：这棵大树的高度约为9.5米．
22．（2025·黔东南模拟）如图，在中，平分交于点E，点F在上，，连接．
（1）试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形？说明理由；
（2）连接交于点O，若，且，求的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图
∵四边形是菱形．
∴，．
∵．
∴．
∴，
∴
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据平行四边形判定定理及性质，结合菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据勾股定理可得OA，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形．
∴，．
∵．
∴．
∴，
∴
∵，
∴．
23．（2025·黔东南模拟）如图，是的外接圆，为直径，平分，交于点，过点作的切线，交的延长线于点E．
（1）写出图中一对相等的角：______；（不能添加字母或辅助线）
（2）求证：；
（3）若的半径为3，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（3）解：连接.
、
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.

【知识点】切线的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）连接，交于点，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，根据圆周角定理的推论可得，根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3）连接，根据直线平行性质可得，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，解直角三角形可得DE，再根据，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；（答案不唯一）
（2）证明：如图，连接，交于点.
平分.
，
，
，
.
.
，
是的直径.
.
是的切线.
，
，
.
（3）解：连接.
.
.
，
∴.
，
，
.
∴.
∴.
24．（2025·黔东南模拟）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米．
分值（分） 11 12 13 14 15
落地距离（m）
（注：落地距离包含最小值，不包含最大值）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：）
（3）为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？
【答案】（1）解：把点A代入抛物线，得
∴
∴抛物线的表达式为：

（2）解：令
解得：（不符合题意，舍去），.
∵落地距离在6.4～6.6得12分.
∴该同学得分为12分.
（3）解：根据题意知，抛物线的顶点为.
∴设抛物线的表达式为：
将点A代入上式，得
解得：.
∴抛物线的表达式为：.
令.
解得：（不符合题意，舍去），
∵.
∴该同学能得到15分的满分.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）将y=0代入解析式，解方程可得x，再估算无理数的范围即可求出答案.
（3）设抛物线的表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的表达式为：，将y=0代入解析式，解方程可得x，再估算无理数的范围即可求出答案.
（1）把点A代入抛物线，得
∴
∴抛物线的表达式为：
（2）令
解得：（不符合题意，舍去），.
∵落地距离在6.4～6.6得12分.
∴该同学得分为12分.
（3）根据题意知，抛物线的顶点为.
∴设抛物线的表达式为：
将点A代入上式，得
解得：.
∴抛物线的表达式为：.
令.
解得：（不符合题意，舍去），
∵.
∴该同学能得到15分的满分.
25．（2025·黔东南模拟）【问题情境】
如图1，在中，，，，是斜边的中线．
【操作判断】
（1）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．则线段与的数量关系是：__________．
【深入思考】
将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．
（2）如图，当时，垂足为，与交于点，与交于点，求线段的长．
（3）在旋转的过程中，线段与交于点，当点在线段上时，试求线段的长．
【答案】（1）；
（2）∵，，，
∴，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得：，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，；
（3）当点与点重合时，如图：过点作于点，由旋转和平移得，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点不与点重合时，如图：过点作于点，
∵由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
由旋转，平移得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的长为或
【知识点】平移的性质；解直角三角形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在中，，是斜边的中线，
∴．
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，由平移的性质可知，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，根据直角三开心哦斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得，解直角三角形可得，由题意得，，根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系可得，即旋转角为，根据平行性质可得，则，解直角三角形可得DE，根据边之间的关系可得EM，再根据正切定义即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点与点重合时，过点作于点，由旋转和平移得，则，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；当点不与点重合时，过点作于点，由旋转，平移得到，，则，根据直线平行判定定理可得，则，由旋转，平移得到，则，根据等角对等边可得，则，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
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