资源简介

(共24张PPT)
7.2　平行线
7.2.1　平行线的概念
学习目标
1.理解平行线的概念及平面内两条直线相交或平行的两种位置关系.
2.掌握平行线的基本事实及其推论.
3.会用符号语言表示平行线基本事实的推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
4.能从模型的操作及实际生活中抽象出平行线的概念.通过对几何模型的操作,培养直觉思维和创造性思维,获得成就感.
课前准备
如图,分别将木条a,b与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线.转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交变为在c的右侧与b相交.
(1)直线a与直线b的交点位置将发生什么变化
(2)想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢
(3)同一平面内,两条直线存在哪些位置关系
结论:在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:
　 　　　和　 　　　.
定义:一般地,在同一平面内,　　　　　的两条直线叫作平行线.
如图:直线a和b互相平行,记作　　　　,读作　　　　　.
课堂探究
问题一　平行线的基本事实及其推论
如图,已知直线AB和直线外一点P.
(1)过点P画一条直线和已知直线AB平行.
解：（1）如图所示
(2)经过点P能画出几条直线与直线AB平行
解：（2）一条
点拨:
平行线的画法:“一落,二靠,三推,四画”.
归纳:
平行线的基本事实:过直线外一点　　　　一条直线与这条直线平行.
答案：有且只有
问题二
如图,有三条直线AB,CD,EF,如果AB∥EF,CD∥EF,那么直线AB与CD可能相交吗
答案：不可能
归纳:
平行线基本事实的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也　　　　.
即如果b∥a,c∥a,那么　　　　　　.
问题三
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开,折痕为EF,把长方形ABEF平摊在桌面上,另一面CDFE无论怎样改变位置,总有CD∥AB存在,为什么
解：根据题意，易得CD∥EF，AB∥EF，
∴CD∥AB．
变式应用:
(1)在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是(　　)
A.垂直或平行　 B.垂直或相交
C.平行或相交　 D.平行、垂直或相交
C
(2)有下列四种说法:①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;②同一平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直;③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;④平行于同一条直线的两条直线互相平行.其中正确的有(　　)
A.1种　 B.2种　　 C.3种　 D.4种
D
(3)在同一平面内有三条直线,如果使其中有且只有两条直线平行,那么这三条直线有且只有　　　　个交点.
(4)已知a∥b,b∥c,则a∥c.理由是　 .
答案：（3）2（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
(5)如图,如果CD∥AB,CE∥AB,那么C,D,E三点是否共线 你能说明理由吗
（5）解：共线，理由如下：
因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行，所以点C、D、E三点共线．
学后反思
尝试和小组成员对本节课所学内容进行归纳、总结.通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.点P,Q都是直线l外的点,下列说法正确的是(　 　)
A.连接PQ,则PQ一定与直线l垂直
B.连接PQ,则PQ一定与直线l平行
C.连接PQ,则PQ一定与直线l相交
D.过点P能画一条直线与直线l平行
巩固训练
基础题
D
2.在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系(　 　)
A.有两种:垂直或相交
B.有三种:平行、垂直或相交
C.有两种:平行或相交
D.有两种:平行或垂直
C
3.在同一平面内,下列说法错误的是(　 　)
A.过两点有且只有一条直线　
B.过一点有无数条直线与已知直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
4.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是(　 　)
A.平行线的基本性质
B.等量代换
C.等式的性质
D.平行于同一条直线的两条直线平行
D
5.在同一平面内,直线a与b满足下列条件,把它们的位置关系填在后面的横线上.
(1)a与b没有公共点,则a与b　 　;
(2)a与b有且只有一个公共点,则a与b　 　;
(3)a与b有两个及以上公共点,则a与b　 　.
平行
相交
重合
(1)用直尺在网格中作图.
①画出直线AB的一条平行线;
②经过点C画直线垂直于CD.
(2)用符号表示(1)中的平行、垂直关系.
解:(1)如图.　(2)EF∥AB, MC⊥CD.
6.如图,完成下列各题.
拓展题
1.下列说法错误的是(　 　)
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d
D.同一平面内,若一条直线与两平行线中的一条相交,那么它也和另一条相交
A
2.如图1,AB∥CD,EF∥AB,AE∥MN,BF∥MN,由图中字母标出的互相平行的直线共有(　 　)
A.4组
B.5组
C.6组
D.7组
C
图1
3.如图2,在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA;
(2)过点P画l2∥OB;
(3)用量角器量一量l1和l2相交所成的角与∠O的大小,说说它们有怎样的关系.
解:(1)如图.　(2)如图.
(3) l1和l2相交所成的角与∠O相等或互补.
图2(共27张PPT)
7.2.3　平行线的性质
第1课时　平行线的性质
学习目标
1.掌握平行线的三条性质定理,了解两直线平行,同位角相等的推理过程;探索并推理两直线平行,内错角相等(或同旁内角互补),能熟练地运用平行线的性质解决问题.
2.能应用平行线的性质进行简单推理和计算.
3.能总结平行线的研究框架,体会几何图形关系研究的一般观念.
课前准备
如图.
(1)∠3=∠B,则EF∥AB,依据是　 ;
(2)∠2+∠A=180°,则DC∥AB,依据是　 ;
(3)∠1=∠4,则GC∥EF,依据是　 ;
(4)GC∥EF,AB∥EF,则GC∥AB,依据是　 .
答案：（1）同位角相等，两直线平行（2）同旁内角互补，两直线平行（3）内错角相等，两直线平行（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
课堂探究
问题一
探究1-1:如图①,直线a∥b,直线c分别与直线a,b相交.
(1)用量角器量出∠1=　　　,∠2=　　　.
(2)比较∠1与∠2的大小:　　　　　　.
(3)根据你的结果,你有什么想法
归纳:平行线的性质1:　 .
简单说成:　 .
①
答案：（1）63° 63° （2）∠1=∠2 （3）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
两直线平行，同位角相等
探究1-2:如果a与b不平行,那么∠1与∠2的大小关系是否发生变化
解：发生变化
探究1-3:如图②,几何语言表述为:∵AB∥CD,
②
∴∠　　　=∠　　　(　　　　　　　　　　　).
答案：EHB EGD 两直线平行，同位角相等
探究1-4:平行线的判定方法1与平行线的性质1之间有什么联系和区别
解：判定与性质互逆，判定由角推线，性质由线推角
问题二
有了上面的研究,你能猜想如果两条直线平行,内错角与同旁内角各有什么关系吗
解：猜想如果两条直线平行，那么内错角相等，同旁内角互补
探究2-1:如图,AB∥CD,请用量角器度量图中的8个角的度数并完成下表.
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
答案：126° 54° 126° 54° 126° 54° 126° 54°
探究2-2:学生根据测量所得数据作出猜想,两直线平行时内错角有怎样的关系 并利用平行线的性质1说明你的猜想.
猜想:两直线平行时,内错角　　　　　　.
解:∵AB∥CD(已知),
∴∠1=　　　　(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=　　　　(对顶角相等),
∴∠　　　=∠　　　(等量代换).
结论:
平行线的性质2:　 .
简单说成:　 .
答案：
相等 5 3 5 3
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
两直线平行，内错角相等
探究2-3:学生根据测量所得数据作出猜想,两直线平行时同旁内角有怎样的关系 并说明你的猜想.
解：两直线平行时同旁内角互补.
结论:
平行线的性质3:　 .
简单说成:　 .
答案：
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
两直线平行，同旁内角互补
问题三
探究3-1:根据图①将下列几何语言补充完整.
(1)∵AD∥　　　(已知),
∴∠A+∠ABC=180°(　　　　　　　　　　　　　　);
①
答案：
探究3-1
（1）BC 两直线平行，同旁内角互补
(2)∵AB∥　　　(已知),
∴∠4=∠　　　(　　　　　　　　　　　　　　　　).
∠ABC=∠　　　(　　　　　　　　　　　　　　　).
答案：
（2）DC 1 两直线平行，内错角相等 5 两直线平行，同位角相等
探究3-2:如图②,BE平分∠ABC,DE∥BC,图中相等的角共有(　　)
A.3对　　 B.4对
C.5对　　 D.6对
②
C
探究3-3:如图③是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=
115°,梯形另外两个角分别是多少度
③
解：∵四边形ABCD为梯形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，∠B＝115°，
∴∠D＝80°，∠C＝65°．
问题四
如图,AB∥CD,∠1=45°,∠D=∠C,求∠D,∠C,∠B的度数.
解：∵AB∥CD，∠D＝∠C
∴∠D＝∠1＝45°，∠B+∠C＝180°，
∴∠D＝∠C＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣45°＝135°．
学后反思
尝试和小组成员对本节课所学内容进行归纳、总结.通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按图1所示的方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°,则∠2的度数为(　 　)
A.60° B.65°
C.70° D.75°
巩固训练
基础题
C
图1
2.如图2,AB∥CD,点P为CD上一点,PF是∠EPC的平分线,若∠1=55°,则∠EPD的大小为(　 　)
A.60° B.70°
C.80° D.100°
B
图2
3.如图3,将直尺与三角板叠放在一起,如果∠1=28°,那么∠2的度数为
(　 　)
A.62° B.56°
C.28° D.72°
A
图3
4.如图4,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF.若∠EFG=64°,则∠EGD的大小是(　 　)
A.132° B.128°
C.122° D.112°
C
图4
5.如图5,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F,EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM∥NF.试说明:AB∥CD.
解:略
图5
拓展题
1.如图1,∠A=∠CEF,∠1=∠B,试说明:DE∥BC.
解:略
图1
2.如图2,直线DE经过点A,若∠EAC=∠C,AC平分∠BAE,∠B=44°,求∠C的度数.
解:∠C=68°.
图2(共32张PPT)
7.2.2　平行线的判定
学习目标
1.掌握平行线判定的基本事实,发展空间观念、几何直观与抽象能力.
2.会运用语言、图形和符号描述并证明平行线的判定定理,发展推理
能力.
3.领悟转化和归纳的数学思想方法,初步学习推理论证的基本步骤和书写格式.
课前准备
1.如图,已知三条直线AB,CD,EF.
(1)∠1与∠5是直线　　　　和直线　　　　被直线　　　　　所截而成的　　　　　　角;
(2)∠3与∠7是直线　　　　　和直线　　　　被直线　 所截而成的　　　　　　　角;
答案：1.（1）AB CD EF 同位角
（2）AB CD EF 同位角
(3)∠4与∠6是直线　　　　　和直线　　　　　被直线　　　所截而成的　　　　　　　角;
(4)∠3与∠5是直线　　　　　和直线　　　　　被直线　　　　　所截而成的　　　　　　　角;
(5)∠3与∠6是直线　　　　　和直线　　　　　被直线　　　　　所截而成的　　　　　　　角.
答案：（3）AB CD EF 内错角
（4）AB CD EF 内错角
（5）AB CD EF 同旁内角
2.下面说法中正确的是(　　)
A.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种
B.在同一平面内,不垂直的两条直线必平行
C.在同一平面内,不平行的两条直线必垂直
D.在同一平面内,不相交的两条直线一定不垂直
3.如果a∥b,b∥c,那么　　　　　　,理由是　 .
D
4.两直线被第三条直线所截,当同位角、内错角、同旁内角具有什么特征时,两直线互相平行呢
4.解：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，两直线互相平行
课堂探究
问题一
如图①,在用直尺和三角板画平行线的过程中,你有什么发现
①　　　 　　 ②
平行线的判定方法1:　 .
简单说成:　 .
符号语言:如图②.
∵∠　　　=∠　　　(已知),
∴　　　　　(　　　　　　　　　　　　　　　).
答案：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
同位角相等，两直线平行
1 5 AB∥CD 同位角相等，两直线平行
问题二
借助图①②猜测:两直线被第三条直线所截,当内错角∠AHG与∠DGH具有什么特征时,两直线平行 请说明理由.
平行线的判定方法2:　 .
简单说成:　 .
符号语言:如图②.
∵∠　　　=∠　　　(已知),
∴　　　　　(　　　　　　　　　　　　　　　).
①　　 　　　 ②
答案：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
内错角相等，两直线平行
2 8 AB∥CD 内错角相等，两直线平行
问题三
借助图①猜测:两直线被第三条直线所截,当同旁内角∠AHG与∠CGH具有什么特征时,两直线平行 请说明理由.
①
平行线的判定方法3:　 .
简单说成:　 .
符号语言:如图②.
∵∠　　 　=∠　　 　(已知),
∴　　　　　(　　　　　　　　　　　　　　　　　).
②
答案：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
同旁内角互补，两直线平行
3 8 AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
问题四
探究4-1:如图①,若∠1=∠2,则　　　 　　∥　　　　 　　,根据是
　　　　　　　　　　　　　　　.
若∠1=∠3,则　　　∥　　　,根据是　 .
①
探究4-2:如图②,若∠1=62°,∠2=118°,则　　　　　∥　　　　　,根据是　　　　　　　　　　.
②
探究4-3:根据图③完成下列填空.(括号内填写相关定理或基本事实)
(1)∵∠1=∠4(已知),
∴　　　∥　　　(　　　　　　　　　　　　　　　　　).
(2)∵∠ABC+∠　　　　=180°(已知),
∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　　　　　　　　).
③
(3)∵∠　　　=∠　　　　(已知),
∴AD∥BC(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　).
(4)∵∠5=∠　　　　　　(已知),
∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　).
答案：AB CE 内错角相等，两直线平行
AC DE 内错角相等，两直线平行
AD BC 同旁内角互补，两直线平行
AB CD 内错角相等，两直线平行
BCD 同旁内角互补，两直线平行
2 3 内错角相等，两直线平行
ABC 同位角相等，两直线平行
问题五
探究5-1:如图,木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线,就可以再找出两条平行线a和b,你能说明其中的道理吗
结论(判定推论):在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
简记为:在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
用几何语言表述为:∵a⊥l1,b⊥l1,∴　　　　.
探究5-2:如图,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE.
证明：∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°（垂直定义）；
∵BC⊥CD（已知），
∴∠BCD＝90°（垂直定义），
∴∠ABC＝∠DCB；
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ABC﹣∠2＝∠DCB﹣∠1，
即∠FBC＝∠ECB，
∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）．
学后反思
尝试和小组成员对本节课所学内容进行归纳、总结.通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.如图1,直线a,b被直线c所截,下列条件能判定直线a与b平行的是
(　 　)
A.∠1=∠3
B.∠3=∠4
C.∠2=∠3
D.∠1+∠4=180°
巩固训练
基础题
A
图1
2.如图2,能判定直线a∥b的条件是(　 　)
A.∠2+∠4=180°
B.∠3=∠4
C.∠1+∠4=90°
D.∠1=∠4
D
图2
3.如图3,点E是AD延长线上一点,如果添加一个条件,使BC∥AD,那么可添加的条件为　 　(添加一个即可).
∠CBD=∠BDA(答案不唯一)
图3
4.如图4,∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°,直线l1与l2平行吗 为什么
图4
解:l1∥l2,理由略.
5.如图5所示是一个由4条射线构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=
50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.
图5
解:OA∥BC,OB∥AC,理由略.
拓展题
1.如图1.
(1)∵∠1=∠A(已知),
∴　 　∥　 　(同位角相等,两直线平行).
(2)∵∠3=∠4(已知),
∴　 　∥　 　(内错角相等,两直线平行).
BC
图1
AD
AB
CD
(3)∵∠2=∠5(已知),
∴　 　∥　 　(内错角相等,两直线平行).
(4)∵∠ADC+∠C=180°(已知),
∴　 　∥　 　(同旁内角互补,两直线平行).
AD
BC
AD
BC
2.如图2,如果∠1与∠B互为补角,且∠B=∠E,那么直线AB与直线DE平行吗 直线BC与直线EF平行吗 为什么
解:AB∥DE,BC∥EF,理由略.
图2(共22张PPT)
第2课时　平行线的性质与判定的综合运用
学习目标
1.理解平行线的概念和基本事实及其推论.
2.能综合运用平行线的判定和性质进行推理与运算,发展推理能力.
3.能应用平行线的判定与性质解决简单的实际问题,发展模型观念.
课前准备
1.如图.
(1)若直线AD∥BC,∠1=80°,∠B=100°,则∠C=　 　 　度,∠A=
　 　度;
(2)若∠B+∠C=180°,则　　　　∥　　　　;
若∠1=∠C,则　　　　∥　　　　.
答案：
1.（1）80 80（2）AB CD AD BC
2.平行线的性质与平行线的判定之间有什么联系与区别
答案：2.平行线的性质与判定的区别在于条件和结论不同，应用方向也不同；联系是逻辑上互逆，且都是几何知识体系中紧密相连的两个方面.
课堂探究
问题一
探究1-1: 如图,已知直线a∥b,∠1=∠3.
(1)根据a∥b,可以得到哪些角的关系 依据是什么
解：（1）∠1=∠2，依据：两直线平行，内错角相等
(2)要判定c与d 平行,可以通过哪些角的关系得到 依据是什么
解： （2）∠1、∠2、∠3之间的关系得到，
依据：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行
探究1-2:根据上图,将下列几何语言补充完整.
解:直线c与d平行.理由如下:
∵a∥b(已知),
∴∠1=　　　　(　　　　　　　　　　　　　　　　).
又∵∠1=∠3,
∴∠2=　　　　　　　　(　　　　　　　　　　　　).
∴c∥d(　　　　　　　　　　　　　　　　).
答案：∠2 两直线平行，内错角相等 ∠3 等量代换 同位角相等，两直线平行
问题二
如图,∠1=∠2,∠3=50°.
探究2-1:∠1与∠2是什么关系的角 由∠1=∠2可以得到哪两条直线平行 依据是什么
探究2-2:要求出∠ABC的度数,可以推导∠ABC与哪个角的关系 为什么
答案： 可以推导∠ABC与∠3 可以通过两直线平行，得到同位角相等
探究2-3:∠ABC与∠3是什么关系的角 由哪两条直线平行可以得到∠ABC=∠3 依据是什么
答案：同位角 直线a与直线b平行 两直线平行，同位角相等
探究2-4: ∠ABC等于多少度
问题三
如图,∠1=∠2,∠E=∠F,判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
解：AB∥CD，理由如下：
如图所示，延长BE交DC的延长线于点M，
∵∠BEF＝∠F，
∴BM∥FC，
∴∠M＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠M＝∠1，
∴AB∥CD．
学后反思
尝试和小组成员对本节课所学内容进行归纳、总结.通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.如图1,DA⊥AB,CD⊥DA,∠B=56°,则∠C的度数是(　 　)
图1
A.154°　　 B.144°　　 C.134°　　 D.124°
巩固训练
基础题
D
2.如图2,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4=　 　°.
80
图2
3.如图3,已知∠B=∠BGD,∠BGC=∠F.试说明:∠B+∠F=180°.
解:∵∠B=∠BGD(已知),
∴　 　∥CD (　 　).
∵∠BGC=∠F(已知),
∴CD∥　 　(　 　).
∴　 　∥　 　(平行于同一直线的两直线平行).
∴∠B+　 　=180°(　 　).
AB
图3
内错角相等,两直线平行
EF
同位角相等,两直线平行
AB
EF
∠F
两直线平行,同旁内角互补
4.如图4,已知AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2,试说明:∠3=∠E.
图4
解:∵AB⊥BF,CD⊥BF,
∴∠CDF=∠B=90°.
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
∵∠1=∠2,
∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行).
∴CD∥EF(平行于同一直线的两直线互相平行).
∴∠3=∠E(两直线平行,同位角相等).
5.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢,某自行车的实物图及其示意图如图5,其中AB∥CD,AE∥BD.若∠CDB=60°,∠ACD=80°,求∠EAC的度数.
解:∵AB∥CD,
∴∠ACD+∠BAC=180°,∠BDC+∠ABD=180°.
∵∠ACD=80°,∴∠BAC=100°.∵AE∥BD,
∴∠BAE+∠ABD=180°.
∴∠BAE=∠BDC=60°.∴∠EAC=100°-60°=40°.
拓展题
[综合与实践]
台灯作为一种照明工具,适合书桌、床头等需要局部照明的地方,它能够集中光线,使得周围环境适合阅读、学习或工作,对于保护眼睛健康也具有重要意义.如图1是一盏可折叠台灯.图2、图3是其平面示意图,底座MN位于水平位置,支架AB,BC为固定支撑杆,支架OC可绕点C旋转,从而调节灯光照射方向.已知灯体顶角
∠DOE=52°,∠DOE的平分线OP始终与
OC垂直.
(1)求∠COD的度数;
(2)如图2,当支架OC旋转至水平位置时,OD恰好与BC平行,求支架BC与水平方向夹角∠θ的度数;
解:(2)∵OD∥BC,∴∠C+∠COD=180°.
∴∠C=180°-116°=64°.
由题可知OC∥BF,∴∠θ=∠C=64°.
(3)若(2)中支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数保持不变,将OC绕点C旋转到如图3的位置,旋转后∠OCB=84°,求此时OD与水平方向QN的夹角∠OQN的度数.
解:(3)如图,分别过点C,O作CG∥MN,OH∥MN.
∵BF∥MN,CG∥MN,OH∥MN,
∴OH∥CG∥BF∥MN.
∴∠BCG=∠θ=64°.
∴∠OCG=∠OCB-∠BCG=84°-64°=20°.
∴∠COH=∠OCG=20°.
由(1)可知∠COD=116°,
∴∠QOH=∠COH+∠COD=20°+116°=136°.
∴∠OQN=180°-∠QOH=180°-136°=44°.

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