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辽宁省本溪市三校2026届高三下学期3月考试数学试卷
一、单选题
1．集合的真子集个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．是的充要条件
C．若，则是的充分条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
4．已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ）
A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对 C．两人都错 D．两人都对
5．使得的展开式中含有常数项的最小的n为
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点为，点在轴上，且满足，抛物线的准线与轴的交点是，则（ ）
A．-4 B．4 C．0 D．-4或4
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．数列中，，，使对任意的（为正整数）恒成立的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左 右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
三、填空题
12．设正项等比数列的前项和为，且，则______
13．近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有______种方案.
14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知，函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恒成立．求的取值范围．
16．已知等差数列首项，公差为，且数列是公比为的等比数列.
（1）求；
（2）求数列的通项公式及前项和；
（3）求数列的前项和 ．
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格.
(1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？
生成的文章合格 生成的文章不合格 总计
甲同学 80
乙同学
总计 200
(2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望.
附：，其中（结果精确到0.001）.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C D B BC AD
题号 11
答案 ABD
12．
13．36
14．
15．解（1）的定义域为，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，因为在上均单调递增，则在上单调递增；
由在上恒成立，可得恒成立，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
则在上单调递减，在上单调递增；
故，
则，解得，
故的取值范围为．
16．解
(1) 数列是公比为等比数列，，则
（2）
（3）
所以
17．解（1）由平面，平面，则，由矩形，得，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，
于是，而平面的一个法向量为，
显然，又平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，
则，令，得，显然平面的一个法向量为，
因此，由图知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
18．解（1）由题意得
生成文章合格 生成文章不合格 总计
甲同学 80 40 120
乙同学 40 40 80
总计 120 80 200
零假设生成的文章是否合格与甲、乙同学给出的指令无关，
，
∵，所以我们推断不成立，
所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；
（2）合格的篇数的所有可能取值为，，，
由题意， ，
故的分布列为
0 1 2 3
故期望.
19．解（1）依题意，，解得
所以椭圆的方程为.
（2）因为，所以，所以，
所以点所在的直线的方程为.
（3）由（2）知，直线，
联立，解得或，则，
设点，则，两式相减得，
又，于是，所以，所以，
所以线段的中点在上，故线段被直线平分，
设点到直线的距离为，则四边形的面积，
而，故，
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大，
由，消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与不可能相切，
即小于平行直线和（或）的距离，
所以，得证.

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