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2026年重庆市丰都县平都中学校中考数学模拟试卷
一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
2．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A．调查某班学生的中考体考成绩，采用抽样调查
B．调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查
C．调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用抽样调查
D．调查某池塘现有鱼的数量，采用全面调查
5．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线，地平面与相切，某时刻，当地纬度，太阳直射纬度时，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ）
A．29 B．31 C．33 D．35
8．如图，在矩形中，，取的中点，以为圆心，为半径画半圆，再以为圆心，为半径画扇形，两条弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．在正方形的边上有一点E，连接，以为直角边作等腰直角三角形，且，点H是的中点，连接．则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论：
①满足条件的整式中只有个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个；
③满足条件的整式一共有个．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______．
12．若实数、同时满足，则________．
13．亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位，，的排列示意图．则亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为________．
窗 过道
14．若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为________．
15．如图，在中，，以为直径的圆交边于点D，点E为的中点，连接．过点C作圆O的切线，切点为F．连接．点H为圆O上一点，且弧等于弧，连接，交于点G．若，则圆的半径为_______， _______．
16．对于一个四位自然数（各数位数字均不为），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数为“倍差和乐数”．例如：，因为，所以是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为，个位数字与十位数字组成的数记为，并规定．若是一个“倍差和乐数”，则_______，若一个四位数（均为整数，且，，，．）是一个“倍差和乐数”，且与的差能被整除，则满足条件的的最大值与最小值之差为_______．
三、解答题
17．求不等式组：的所有整数解．
18．如图，四边形是平行四边形，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论．
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
是的垂直平分线，
，，①______，
又四边形是平行四边形，
②______，
．
在和中，
，
③______，
，
四边形是菱形．
结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______．
19．先化简，再求值：，其中．
20．为了提升学生的交通安全意识，某校开展了以“珍爱生命”为主题的讲座．为了调查学生对交通安全知识的掌握情况，现对学生进行交通安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩是：79，90，80，69，68，68，91，67，98，77，76，65，66，86，80，86，100，92，86，86；
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，87，88，86，89，89；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
年级 七年级 八年级
平均数
中位数 b
众数 a 92
方差
八年级抽取的学生成绩扇形统计表
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握交通安全知识更好？并说明理由；
(3)若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有多少名？
21．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同．
(1)求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？
(2)后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价．
22．如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作交于点，过作交于点．设运动时间为秒．四边形的面积为，的周长与的周长之比为．
(1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23．为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练．为同一平面内的四座小岛．岛位于岛正西方向，岛位于岛北偏西方向海里处，岛位于岛的正北方向，岛位于岛北偏西方向（参考数据：，）．
(1)求小岛间的距离（结果精确到海里）；
(2)甲、乙两海警船同时从岛出发前往岛进行巡航检查训练，甲海警船沿航行，乙海警船沿航行，甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，求小岛间的距离（结果保留小数点后一位）．
24．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且，连接．
(1)求抛物线的函数解析式：
(2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，当的面积最大时，在直线上有一动点，求点的坐标和的最大值：
(3)将抛物线（）沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
25．如图，在三角形中，，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长；
(2)如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：；
(3)若点D在边上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值．
参考答案
1．B
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2．D
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选：D．
3．C
解：3370万．
故选：．
4．B
解：A、调查某班学生的中考体考成绩，采用全面调查方式，本选项说法不合适，不符合题意；
B、调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查，本选项说法合适，符合题意；
C、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，本选项说法不合适，不符合题意；
D、调查某池塘中现有鱼的数量，采用抽样调查方式，本选项说法不合适，不符合题意；
故选：B．
5．C
解：∵，
∴
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
解：如图，设切点为，连接，
∵ 地平面与相切于，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
故选：C．
7．C
解：由所给图形可知，
第1个图案中，棋子的数量为；
第2个图案中，棋子的数量为；
第3个图案中，棋子的数量为；
所以第个图案中，棋子的数量为个．
当时，
（个，
即第8个图案中，棋子的数量为33个．
故选：C．
8．B
解：如图，连接，过点作交于点，
根据题意可得，
三角形为等边三角形，
，，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
9．A
解：如图所示，连接，，
∵四边形是正方形
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴
∵点H是的中点
∴
∵是等腰直角三角形，点H是的中点
∴
∴
∴．
故选：A．
10．A
解：∵，，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
即或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或或或或或或或或或，
∴或或或或或或或或或，
共种，其中单项式有个；
当时，，
∵，
∴，
∵，，，均为绝对值小于的整数，且，
∴或，
∴或，
共种，其中单项式有个；
综上，
满足条件的整式中，有个单项式，
故①错误；
当时，满足条件的整式有且只有个，
故②错误；
满足条件的整式一共有个，
故③错误；
故正确的个数是个，
故选：A．
11．
解：多边形的内角和是：，
设多边形的边数是，
则，
解得：．
故答案为：
12．/0.25
解：∵实数、同时满足①，
∴，，
∴，，
∴由得，②，
②①得，
当时，不成立，
∴，
∴，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴．
故答案为：．
13．
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的结果有：，，共2种，
亮亮和爸爸被分配到不相邻座位的概率为，
故答案为：．
14．
解：由不等式得，
∵不等式组有且只有3个奇数解，
∴不等式组的解为，奇数解为，
∴
∴．
解分式方程得，
∵该分式方程的解为正整数，
∴是2的倍数，即a是偶数．，
又当时，，即，
∴，
综上所述， a应满足且a是偶数且，
∴整数，它们的和为．
故答案为：
15． 2
解：连接，连接，连接交于，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径2，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∴在中，，
∴，
∵弧等于弧，是直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2， ．
16．
解：由题意得，，，，
∴，
∴
，
∴，
∵四位数是一个“倍差和乐数”，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵与的差能被整除，
∴是的倍数，
∴或，
当时，，此时，不合，舍去；
当时，，此时，即，
当，，，时，取最大值，最大值为，
当，，，时，取最小值，最小值为，
∴满足条件的的最大值与最小值之差为，
故答案为：，．
17．0，1，2，3
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的所有整数解为：0，1，2，3．
18．(1)见解析
(2)；；；对边交点形成的四边形是菱形
（1）如图, 为所求；
（2）解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
是的垂直平分线，
，，，
又四边形是平行四边形，
．
在和中，
，
，
，
四边形是菱形．
结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与对边交点形成的四边形是菱形．
故答案为：；；；对边交点形成的四边形是菱形．
19．；
解：
，
由题意得，
，
∴．
20．(1)；
(2)八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高．
(3)七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有人．
（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次，
∴众数，
八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为，
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：八年级的学生掌握交通安全知识更好，理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高．
（3）解：七年级测试成绩为优秀（）的学生占比为：
，
∴七年级测试成绩为优秀（）的学生有：
（人），
七年级测试成绩为优秀（）的学生有：
（人），
∴七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生共有：
（人）．
21．(1)该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元
(2)降价后每份毛肚的实际售价为元
（1）解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元；
（2）解：设降价元，依题意得，
，
解得：或（舍去），
∴降价后每份毛肚的实际售价为（元），
答：降价后每份毛肚的实际售价为元．
22．(1)，
(2)见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小
(3)
（1）解：如图，过点作于点H，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
为过点，过点，
函数图象如图所示：
则函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小；
（3）解：令，即，
解得：，（负值舍去），
则，的图象交点的横坐标为，
由函数图象可得，当时，的取值范围为．
23．(1)小岛间的距离为海里；
(2)小岛间的距离为海里．
（1）解：过点作交于点，
∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向海里处，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∵中，，，
∴，，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
解得，
∴，
将，代入得：
．
答：小岛间的距离为海里．
（2）解：过点作交于点，
∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向，
∴．
∵岛位于岛北偏西方向海里处，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∴ ．
∵甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，
设甲海警船的速度为，乙海警船的速度为，时间，
∴甲海警船的路程为，乙海警船的路程为．
∵，
∴甲海警船的航行路程与乙海警船的航行路程之比也为，
∴设，，
∴，．
∵中，，，，，
∴根据勾股定理：，
，
解得（舍），．
∴．
答：小岛间的距离为海里．
24．(1)
(2)，
(3)，
（1）解：当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴ ，
∴，
由此可得：，
若的面积最大时，则点与抛物线相切，作直线与y轴交于点Q，直线，
∴有一个交点，
∴则，
则，
解得：，
∴，
解得：，
∴，
若的最大值，当P、C、M共线时最大，
∴，
∵,，
∴当与交于点M即为使得的最大值的点，
∴，
解得：，
∴，
；
（3）解：在中，，
，
过点D作 ，在上构造，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，
∴新抛物线是向上平移3个单位，向右平移2个单位，则顶点坐标为，
∴，
∵直线过点，，
∴，
∵直线与x的夹角为且关于y的抛物线的对称轴，
∴B点对称点是点A，则为等腰直角三角形，连接，并延长到G，且，
∴直线过点，，
∴，
过点B作 轴，交直线于点M，则M坐标为，
当，过点M作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，根据勾股定理得，，
∴，即，
∵直线，，
∴直线，
设直线的解析式为过点，
∴，
设 ，
∴ ，解得 或，
∴或，
①直线过点，时，
∴直线的解析式为：，
则 可求Q点横坐标，
∴，
解得：，
②直线过点，时，
∴直线的解析式为：，
则可求Q点横坐标，
∴，
解得：，
∴符合条件的Q点横坐标为：，．
25．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：如图1，作于G，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M，
∴，，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴是固定大小的等腰三角形，
∴可以固定，使进行变动，
如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，
∵，，
∴，
∴点B在上运动，
∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，
设交于G，此时，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵线段绕点D旋转得到线段，
∴，
将绕点B逆时针旋转至，
∴， ，，
∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
连接并延长，交与K，则最大，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴最大值．

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