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人教版数学七年级下册同步分层训练8.1 平方根
一、夯实基础
1．（2026八上·成华期末）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·常宁期末）4的算术平方根是（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．-2
3．（2026八上·罗湖期末） “6的平方根”可用数学式子表示为（　　）
A． B． C．62 D．
4．（2026九上·罗湖期末）计算 的结果是　 　。
5．（2024八下·永兴开学考）已知都是实数，且，则　 　．
6． 若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2026八上·德惠期末） 的平方根是 ，用数学表达式表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026七上·嘉兴期末） 计算：
（1）
（2）
9．（2025七下·新会期中）a、b均为实数且，则　 　，　 　．
10．（2019七下·白城期中）的平方根是 　 　．
二、能力提升
11．（2025七下·广州期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值．
12．（2019七下·东城期末）的算术平方根是　 　
13．（2024七上·金华期末）已知一个正数的平方根为和．
（1）求的值；
（2），的平方根是多少？
14．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数2平方根第2课时平方根）已知2a-1的平方根为士3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+ 2b的平方根．
15．（2025七上·金华期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算( ： 例如：
（1） 填空： (-2) 3=　 　；
（2） 求2 [(-1) (-3)]的平方根；
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律 请说明理由.
16．（2025七上·金华期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异.某段婺江的宽度是一个正数(单位：米)，它的平方根是a和a-8，那么这段婺江的宽度是 (　　)
A．4米 B．16米 C．25米 D．36米
三、拓展创新
17．（2024八下·岫岩月考）若都为实数，且，则　 　．
18．小华学习《实数》一章后，进行了如下探究：
①因为 和 都是36的算数平方根，而36 的算数平方根只有一个，所以
②和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以 ▲ .
（1）请仿照①帮助小华完成②的填空.
（2）运用以上结论，计算 .
（3）猜想 的计算结果为　 　.
19．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9这三个数，3，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6。
（1）试判断2，8，50这三个数是否为“老根数”。如果是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”。
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、±3，故该项不正确，不符合题意；
B、3，故该项不正确，不符合题意；
C、2，故该项不正确，不符合题意；
D、4，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是，
故选；B．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
3．【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
6的平方根表示为
故答案为：A
【分析】根据平方根的定义即可求出答案.
4．【答案】-3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=-3
故答案为：-3
【分析】根据算术平方根即可求出答案.
5．【答案】64
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
∴．
故答案为：64．
【分析】
根据算术平方根被开方数的非负性，的被开方数需要同时满足；，解出x，代入原式得y，最后计算即可.
6．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由两个已知等式可得，
，，
而|b|≥0，
∴c≤2
当c=2时，可得a=9，b=0，满足已知等式.
∴c可能取的最大值为2.
故答案：C.
【分析】将两等式组成关于和|b|方程组，求出其表达式(含c)，再根据非负性的性质解答即可.
7．【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解： 的平方根是 可表示为.
故答案为： A.
【分析】由平方根的表示方式直接选择即可.
8．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根，然后运算减法解答即可；
（2）先计算乘方，然后根据乘法分配律去括号运算乘法，最后计算减法解答即可．
9．【答案】2；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
故答案为：2，．
【分析】本题考查非负数的性质，二次根式和绝对值都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，解题时据此分别列出方程和，分别求解这两个一元一次方程，即可得到和的值。
10．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
11．【答案】解：由题意得，，解得：，
∴，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程，根据该性质可列出关于的一元一次方程，解出的值后，将代入求出其中一个平方根，再根据平方根的定义，正数等于其平方根的平方，据此计算出的值。
12．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵（ ）2= ，
∴的算术平方根是 ，
即= ．
故答案为
【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
13．【答案】（1）解：正数的平方根为和，这两个数互为相反数或表示同一个数，
或，
解得：或
解得：或；
（2）解：，
，，，
，，，
，
的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质得到：或进而解此方程即可求解；
（2）根据非负数之和为零，则每个非负数均为0，即可求出a、b、c的值，即可知进而即可求解.
14．【答案】解：因为2a-1的平方根为±3，
所以2a-1=9．解得a=5．
因为3a+b-1的算术平方根为4，
所以3a+b- 1=16，即15+b-1=16，解得b= 2．
所以a+2b=5+4=9．
所以a+2b的平方根为±3．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】由平方根、算术平方根的意义，可得2a-1=9，3a+b- 1=16，据此分别求出a、b值，然后代入求出a+ 2b，再求其平方根即可.
15．【答案】（1）17
（2）解：
，
的平方根为.
（3）解：满足交换律
∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）先求得，再计算平方根，即可求解．
（3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
16．【答案】B
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，
解方程可得：，
那么这个正数（婺江的宽度）为．
故答案为：B .
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）．
17．【答案】26
【知识点】算术平方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵等式中同时出现与，若x≠5，则两个算术平方根中必有一个没有意义.
∴x=5.
∴y=1.
∴.
故答案为：26.
【分析】根据算出平方根的定义，判断出x的值是关键.
18．【答案】（1）
（2）解：
.
（3）12
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）∵和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以.
故答案为：.
（3）
.
【分析】（1）根据题干演示直接得出答案；
（2）运用题干结论，将 变形成，然后即可计算；
（3）解题关键在于将与分别拆分成和.
19．【答案】（1）解：是“老根数”。=20，∴2，8，50这三个数是“老根数”。其中“最小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是20。
（2）解：分三种情况讨论：①当a<16时，则②当16【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据计算，即可求解．
（2）分三种情况讨论：①当a<16时，②当161 / 1人教版数学七年级下册同步分层训练8.1 平方根
一、夯实基础
1．（2026八上·成华期末）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、±3，故该项不正确，不符合题意；
B、3，故该项不正确，不符合题意；
C、2，故该项不正确，不符合题意；
D、4，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可．
2．（2026八上·常宁期末）4的算术平方根是（　　）
A．±2 B．2 C．4 D．-2
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是，
故选；B．
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
3．（2026八上·罗湖期末） “6的平方根”可用数学式子表示为（　　）
A． B． C．62 D．
【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
6的平方根表示为
故答案为：A
【分析】根据平方根的定义即可求出答案.
4．（2026九上·罗湖期末）计算 的结果是　 　。
【答案】-3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=-3
故答案为：-3
【分析】根据算术平方根即可求出答案.
5．（2024八下·永兴开学考）已知都是实数，且，则　 　．
【答案】64
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
∴．
故答案为：64．
【分析】
根据算术平方根被开方数的非负性，的被开方数需要同时满足；，解出x，代入原式得y，最后计算即可.
6． 若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由两个已知等式可得，
，，
而|b|≥0，
∴c≤2
当c=2时，可得a=9，b=0，满足已知等式.
∴c可能取的最大值为2.
故答案：C.
【分析】将两等式组成关于和|b|方程组，求出其表达式(含c)，再根据非负性的性质解答即可.
7．（2026八上·德惠期末） 的平方根是 ，用数学表达式表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解： 的平方根是 可表示为.
故答案为： A.
【分析】由平方根的表示方式直接选择即可.
8．（2026七上·嘉兴期末） 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根，然后运算减法解答即可；
（2）先计算乘方，然后根据乘法分配律去括号运算乘法，最后计算减法解答即可．
9．（2025七下·新会期中）a、b均为实数且，则　 　，　 　．
【答案】2；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
故答案为：2，．
【分析】本题考查非负数的性质，二次根式和绝对值都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，解题时据此分别列出方程和，分别求解这两个一元一次方程，即可得到和的值。
10．（2019七下·白城期中）的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
二、能力提升
11．（2025七下·广州期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值．
【答案】解：由题意得，，解得：，
∴，
∴．
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程，根据该性质可列出关于的一元一次方程，解出的值后，将代入求出其中一个平方根，再根据平方根的定义，正数等于其平方根的平方，据此计算出的值。
12．（2019七下·东城期末）的算术平方根是　 　
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵（ ）2= ，
∴的算术平方根是 ，
即= ．
故答案为
【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
13．（2024七上·金华期末）已知一个正数的平方根为和．
（1）求的值；
（2），的平方根是多少？
【答案】（1）解：正数的平方根为和，这两个数互为相反数或表示同一个数，
或，
解得：或
解得：或；
（2）解：，
，，，
，，，
，
的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质得到：或进而解此方程即可求解；
（2）根据非负数之和为零，则每个非负数均为0，即可求出a、b、c的值，即可知进而即可求解.
14．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数2平方根第2课时平方根）已知2a-1的平方根为士3，3a+b-1的算术平方根为4，求a+ 2b的平方根．
【答案】解：因为2a-1的平方根为±3，
所以2a-1=9．解得a=5．
因为3a+b-1的算术平方根为4，
所以3a+b- 1=16，即15+b-1=16，解得b= 2．
所以a+2b=5+4=9．
所以a+2b的平方根为±3．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】由平方根、算术平方根的意义，可得2a-1=9，3a+b- 1=16，据此分别求出a、b值，然后代入求出a+ 2b，再求其平方根即可.
15．（2025七上·金华期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算( ： 例如：
（1） 填空： (-2) 3=　 　；
（2） 求2 [(-1) (-3)]的平方根；
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律 请说明理由.
【答案】（1）17
（2）解：
，
的平方根为.
（3）解：满足交换律
∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）先求得，再计算平方根，即可求解．
（3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
16．（2025七上·金华期中）婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异.某段婺江的宽度是一个正数(单位：米)，它的平方根是a和a-8，那么这段婺江的宽度是 (　　)
A．4米 B．16米 C．25米 D．36米
【答案】B
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，
解方程可得：，
那么这个正数（婺江的宽度）为．
故答案为：B .
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）．
三、拓展创新
17．（2024八下·岫岩月考）若都为实数，且，则　 　．
【答案】26
【知识点】算术平方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵等式中同时出现与，若x≠5，则两个算术平方根中必有一个没有意义.
∴x=5.
∴y=1.
∴.
故答案为：26.
【分析】根据算出平方根的定义，判断出x的值是关键.
18．小华学习《实数》一章后，进行了如下探究：
①因为 和 都是36的算数平方根，而36 的算数平方根只有一个，所以
②和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以 ▲ .
（1）请仿照①帮助小华完成②的填空.
（2）运用以上结论，计算 .
（3）猜想 的计算结果为　 　.
【答案】（1）
（2）解：
.
（3）12
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）∵和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以.
故答案为：.
（3）
.
【分析】（1）根据题干演示直接得出答案；
（2）运用题干结论，将 变形成，然后即可计算；
（3）解题关键在于将与分别拆分成和.
19．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9这三个数，3，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6。
（1）试判断2，8，50这三个数是否为“老根数”。如果是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”。
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值。
【答案】（1）解：是“老根数”。=20，∴2，8，50这三个数是“老根数”。其中“最小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是20。
（2）解：分三种情况讨论：①当a<16时，则②当16【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据计算，即可求解．
（2）分三种情况讨论：①当a<16时，②当161 / 1

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