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湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·长沙期中）复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算将原式化为-1+i，继而得解.
2．（2025高二下·长沙期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由，
故答案为：B
【分析】由题意得需要代入条件概率 P ( B | A ) 的计算公式为 P ( B | A ) = P ( A B ) P ( A ) ，得解.
3．（2025高二下·长沙期中）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即.
故答案为：B
【分析】第一步，将需要相邻的甲、乙两位同学捆绑成一个元素，现在有5个新元素，全排列得；第二步甲乙内部排列得，可得解；
4．（2025高二下·长沙期中）若函数，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；导数的概念
【解析】【解答】解：函数，求导得，所以.
故答案为：B
【分析】根据导数的加减运算性质得f'(x)，代入x=0得解.
5．（2025高二下·长沙期中）甲 乙两人独立地破译一份密码，已知甲 乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为甲 乙两人独立地破译一份密码，且甲 乙能破译的概率分别是，
所以密码被破译的概率为，
故答案为：D
【分析】利用对立事件求解，先计算 “密码未被破译” 的概率，再用 1 减去该概率得到 “密码被破译” 的概率。
6．（2025高二下·长沙期中）已知直线与直线平行，则的值为（　　）
A．3 B． C．1或 D．或3
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，或；
当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；
当时，两条直线为：两条直线平行；
故答案为：B
【分析】由两条直线平行性质得，代回验证是否共线可得解.
7．（2025高二下·长沙期中）从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（　　）
A．504种 B．729种 C．84种 D．27种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不同选法有．
故答案为：C
【分析】此问题为无顺序要求的选取，直接运用组合数公式计算从 9 个元素中选取 3 个元素的组合数。
8．（2025高二下·长沙期中）已知双曲线的焦距为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦距为，
所以，即，又，即，解得，
所以的离心率.
故答案为：C
【分析】先由焦距求出半焦距 ，再利用双曲线中 的关系求出 ，最后代入离心率公式 计算。
二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9．（2025高二下·长沙期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．圆的圆心为 B．点在圆内
C．圆的半径为5 D．点在圆内
【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、圆的圆心为，半径为5，该选项正确，符合题意；
B、由，得点在圆内，该选项正确，符合题意；
C、由A得该选项正确，符合题意；
D、由，得点在圆外，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC
【分析】由圆的方程性质可得圆心和半径，可判断AC；将点（1，0）代入圆的标准方程可判断B；同理可判断D.
10．（2025高二下·长沙期中）已知空间向量，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：向量，，
A、，故A错误；
B、由知，，解得，故B正确；
C、由知，，解得，故C错误；
D、当时，，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量模长的坐标表示列式求解即可判断A；根据向量垂直的坐标表示求解即可判断B；根据向量平行的坐标表示列式求解即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.
11．（2025高二下·长沙期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
故，
，．
故答案为：ACD.
【分析】先根据两点分布的定义求出 P(X=1)，再利用期望和方差公式计算 E(X)、D(X)，最后结合期望和方差的线性性质判断各选项。
12．（2025高二下·长沙期中）已知，，且，则下列正确的是（　　）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．
【答案】A,C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，，且，则，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B：由得，即，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故B错误；
C：由，即，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确；
D：，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】利用 “1 的代换”、基本不等式及指数函数性质，逐一判断各选项的最值或不等式是否成立。
三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（2025高二下·长沙期中）设 是第一象限的角，若，则　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第一象限角，，所以，
则
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系求解即可.
14．（2025高二下·长沙期中）在等差数列中，，则　 　．
【答案】2
【知识点】等差中项
【解析】【解答】解：因为在等差数列中，，所以，即.
故答案为：2
【分析】利用等差数列的等差中项性质，即 ，直接代入已知条件求解。
15．（2025高二下·长沙期中）的展开式中的系数为　 　.（用数字作答）
【答案】-30
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为，
则的展开式中的系数为.
故答案为：-30.
【分析】先写出展开式的通项公式，再根据两个二项式相乘求展开式中的系数即可.
16．（2025高二下·长沙期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由高斯函数的定义可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
函数图象如图所示：
由图象可知函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，由图即可得函数的值域.
四、解答题（17题10分，其它各题12分)
17．（2025高二下·长沙期中）已知.
（1）求函数的最小正周期：
（2）求函数在上的单调区间.
【答案】（1）解：函数，最小正周期为；
（2）解：令则
因为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用函数的性质求函数的最小正周期；
（2）利用整体法，根据正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间.
（1）最小正周期为：
令则
由
所以的单调递增区间为，
（2）令则
由，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
18．（2025高二下·长沙期中）已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求：
（1）第一次抽取的题目是选择题的概率；
（2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率；
（3）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望．
【答案】（1）解：记第i次抽到选择题为，则；
（2）解：；
（3）解：由题意可知：随机变量可能为0，1，2，
分布列为：
0 1 2
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）记第i次抽到选择题为，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）利用条件概率的公式求解即可；
（3）由题意可知：随机变量可能为0，1，2，利用超几何分布先求对应的概率，列分布列，再利用期望的公式求期望即可.
（1）记第i次抽到选择题为，则
（2）
（3）可能为0，1，2，
分布列为：
0 1 2
19．（2025高二下·长沙期中）已知等差数列的前n项和为，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求前n项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
则的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，
则.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及求和公式列式求解即可；
（2）由（1）可得，再利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可.
（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以.
20．（2025高二下·长沙期中）长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，如下图所示，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）解：以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)线线垂直证明：通过角度关系推导线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂直；
(2)求出平面的法向量，再利用线面角的向量公式计算线面角的正弦值.

（1）连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
21．（2025高二下·长沙期中）已知抛物线的焦点坐标为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求．
【答案】（1）解：由题设，则抛物线方程为；
（2）解：由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的焦点坐标为，结合已知焦点，直接求出的值，即可得到抛物线方程。
(2)先写出过焦点且斜率为1的直线方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算弦长。
（1）由题设，则抛物线方程为；
（2）由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
22．（2025高二下·长沙期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）解：由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)先求导函数，通过分析的符号确定函数的单调区间，再根据单调性找到极值点并计算极值。
(2)将恒成立问题转化为，利用导数求出在区间上的最小值，解不等式得到的取值范围。
（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
1 / 1湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·长沙期中）复数的虚部是（　　）
A． B．1 C． D．
2．（2025高二下·长沙期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·长沙期中）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·长沙期中）若函数，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2025高二下·长沙期中）甲 乙两人独立地破译一份密码，已知甲 乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·长沙期中）已知直线与直线平行，则的值为（　　）
A．3 B． C．1或 D．或3
7．（2025高二下·长沙期中）从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（　　）
A．504种 B．729种 C．84种 D．27种
8．（2025高二下·长沙期中）已知双曲线的焦距为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.
9．（2025高二下·长沙期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（　　）
A．圆的圆心为 B．点在圆内
C．圆的半径为5 D．点在圆内
10．（2025高二下·长沙期中）已知空间向量，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025高二下·长沙期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2025高二下·长沙期中）已知，，且，则下列正确的是（　　）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．
三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（2025高二下·长沙期中）设 是第一象限的角，若，则　 　.
14．（2025高二下·长沙期中）在等差数列中，，则　 　．
15．（2025高二下·长沙期中）的展开式中的系数为　 　.（用数字作答）
16．（2025高二下·长沙期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为　 　.
四、解答题（17题10分，其它各题12分)
17．（2025高二下·长沙期中）已知.
（1）求函数的最小正周期：
（2）求函数在上的单调区间.
18．（2025高二下·长沙期中）已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求：
（1）第一次抽取的题目是选择题的概率；
（2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率；
（3）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望．
19．（2025高二下·长沙期中）已知等差数列的前n项和为，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求前n项和.
20．（2025高二下·长沙期中）长方体中，，，M为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
21．（2025高二下·长沙期中）已知抛物线的焦点坐标为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求．
22．（2025高二下·长沙期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算将原式化为-1+i，继而得解.
2．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：由，
故答案为：B
【分析】由题意得需要代入条件概率 P ( B | A ) 的计算公式为 P ( B | A ) = P ( A B ) P ( A ) ，得解.
3．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即.
故答案为：B
【分析】第一步，将需要相邻的甲、乙两位同学捆绑成一个元素，现在有5个新元素，全排列得；第二步甲乙内部排列得，可得解；
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；导数的概念
【解析】【解答】解：函数，求导得，所以.
故答案为：B
【分析】根据导数的加减运算性质得f'(x)，代入x=0得解.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为甲 乙两人独立地破译一份密码，且甲 乙能破译的概率分别是，
所以密码被破译的概率为，
故答案为：D
【分析】利用对立事件求解，先计算 “密码未被破译” 的概率，再用 1 减去该概率得到 “密码被破译” 的概率。
6．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，或；
当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；
当时，两条直线为：两条直线平行；
故答案为：B
【分析】由两条直线平行性质得，代回验证是否共线可得解.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不同选法有．
故答案为：C
【分析】此问题为无顺序要求的选取，直接运用组合数公式计算从 9 个元素中选取 3 个元素的组合数。
8．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为双曲线的焦距为，
所以，即，又，即，解得，
所以的离心率.
故答案为：C
【分析】先由焦距求出半焦距 ，再利用双曲线中 的关系求出 ，最后代入离心率公式 计算。
9．【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、圆的圆心为，半径为5，该选项正确，符合题意；
B、由，得点在圆内，该选项正确，符合题意；
C、由A得该选项正确，符合题意；
D、由，得点在圆外，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC
【分析】由圆的方程性质可得圆心和半径，可判断AC；将点（1，0）代入圆的标准方程可判断B；同理可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：向量，，
A、，故A错误；
B、由知，，解得，故B正确；
C、由知，，解得，故C错误；
D、当时，，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量模长的坐标表示列式求解即可判断A；根据向量垂直的坐标表示求解即可判断B；根据向量平行的坐标表示列式求解即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
故，
，．
故答案为：ACD.
【分析】先根据两点分布的定义求出 P(X=1)，再利用期望和方差公式计算 E(X)、D(X)，最后结合期望和方差的线性性质判断各选项。
12．【答案】A,C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，，且，则，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
B：由得，即，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故B错误；
C：由，即，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确；
D：，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】利用 “1 的代换”、基本不等式及指数函数性质，逐一判断各选项的最值或不等式是否成立。
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第一象限角，，所以，
则
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系求解即可.
14．【答案】2
【知识点】等差中项
【解析】【解答】解：因为在等差数列中，，所以，即.
故答案为：2
【分析】利用等差数列的等差中项性质，即 ，直接代入已知条件求解。
15．【答案】-30
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为，
则的展开式中的系数为.
故答案为：-30.
【分析】先写出展开式的通项公式，再根据两个二项式相乘求展开式中的系数即可.
16．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由高斯函数的定义可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
函数图象如图所示：
由图象可知函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，由图即可得函数的值域.
17．【答案】（1）解：函数，最小正周期为；
（2）解：令则
因为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用函数的性质求函数的最小正周期；
（2）利用整体法，根据正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间.
（1）最小正周期为：
令则
由
所以的单调递增区间为，
（2）令则
由，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
18．【答案】（1）解：记第i次抽到选择题为，则；
（2）解：；
（3）解：由题意可知：随机变量可能为0，1，2，
分布列为：
0 1 2
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；条件概率
【解析】【分析】（1）记第i次抽到选择题为，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）利用条件概率的公式求解即可；
（3）由题意可知：随机变量可能为0，1，2，利用超几何分布先求对应的概率，列分布列，再利用期望的公式求期望即可.
（1）记第i次抽到选择题为，则
（2）
（3）可能为0，1，2，
分布列为：
0 1 2
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
则的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，
则.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及求和公式列式求解即可；
（2）由（1）可得，再利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可.
（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以.
20．【答案】（1）证明：连接，如下图所示，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）解：以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)线线垂直证明：通过角度关系推导线线垂直，结合线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂直；
(2)求出平面的法向量，再利用线面角的向量公式计算线面角的正弦值.

（1）连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
21．【答案】（1）解：由题设，则抛物线方程为；
（2）解：由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的焦点坐标为，结合已知焦点，直接求出的值，即可得到抛物线方程。
(2)先写出过焦点且斜率为1的直线方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算弦长。
（1）由题设，则抛物线方程为；
（2）由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
22．【答案】（1）解：因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）解：由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)先求导函数，通过分析的符号确定函数的单调区间，再根据单调性找到极值点并计算极值。
(2)将恒成立问题转化为，利用导数求出在区间上的最小值，解不等式得到的取值范围。
（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
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