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广东省惠州市惠东县2024-2025学年高二下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·惠东期中）函数的导数是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·惠东期中）可以表示为(　　)．
A． B． C． D．
3．（2025高二下·惠东期中）函数 在[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．
4．（2025高二下·惠东期中）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　）
A．甲赢三局
B．甲赢两局
C．甲、乙平局两次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
5．（2025高二下·惠东期中）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·惠东期中）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（　　）
A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32
7．（2025高二下·惠东期中）已知函数有且仅有两个零点和2，且又是函数的极值点，则的极小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·惠东期中）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高二下·惠东期中）下列关于的二项展开式，说法正确的是（　　）
A．展开式共有10项
B．展开式的二项式系数之和为1024
C．展开式的常数项为8064
D．展开式的第6项的二项式系数最大
10．（2025高二下·惠东期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零
11．（2025高二下·惠东期中）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（　　）
A．、为对立事件 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·惠东期中）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为　 　.
13．（2025高二下·惠东期中）某社团有3名女生 4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是　 　.
14．（2025高二下·惠东期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则　 　
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·惠东期中）设随机变量的分布列为，求：
（1）；
（2）
16．（2025高二下·惠东期中）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最小值和最大值．
17．（2025高二下·惠东期中）汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：．
（1）求汽水温度x在处的导数；
（2）已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数．
18．（2025高二下·惠东期中）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
（1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
（2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
19．（2025高二下·惠东期中）在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取.
（1）求和；
（2）求和的关系；
（3）证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据导数的除法公式，结合基本初等函数的导数公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：＝.
故答案为：C.
【分析】根据排列数公式判断即可.
3．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】平均变化率为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平均变化率的求解方法，进而求出函数 在[0，π]上的平均变化率。
4．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
则表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故答案为：D.
【分析】 确定甲在三局象棋比赛中得分ξ等于3分的所有可能情况，根据得分规则，分别计算每个选项甲的等分，从而确定正确答案即可.
5．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2)处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2)，当x=0时，y=-e2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： ，故答案为D.
【分析】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
6．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，教授迟到的概率为.
故答案为：C
【分析】代入全概率公式 P(D) = P(D|A) P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C) 得解.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数，
，
在区间上，，函数单调递减；
在区间和上，，函数单调递增，
则函数在处取得极小值.
故答案为：D.
【分析】根据函数 有且仅有两个零点和2，设，求导，利用导数判断函数的单调性，确定极小值点的位置，计算极小值即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
若A错误，B、C、D正确，因为是的极值点，是的极值，
所以，即，解得，
又因为点在曲线上，所以，
即，解得，所以，则，
因为，所以不是的零点，故A错误，B、C、D正确.
故答案为：A．
【分析】求函数的导函数，假设A错误，B、C、D正确，根据极值点和极值，以及点在曲线上列式求得函数解析式，再验证是否为函数的零点，即可判断．
9．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A、易知的展开式共有11项，故A错误；
B、展开式的二项式系数之和为，故B正确；
C、展开式的通项为，
令，得，则展开式的常数项为，故C错误；
D、由C可知：当时，二项式系数最大，则展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据二项展开式以及二项式系数的性质即可判断AB；写出展开式的通项公式，令x的指数为零，求解常数项即可判断C；根据二项展开式系数的性质，可知第6项得二项式系数最大，可即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：B、根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，该选项正确，符合题意；
A、由B得是函数的极小值点，该选项正确，符合题意；
C、在上单调递增，不是函数的最小值点，该选项错误，不合题意；
D、函数在处的导数大于切线的斜率大于零，该选项错误，不合题意．
故答案为：AB
【分析】导函数图象得函数的增减区间，可判断B；由增减区间得极小值点，可判断A；上单调递增，得-1不是最小值点，可判断C；f'(0)>0得切线斜率k>0，可判断D
11．【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为甲罐中只有红球和白球，所以A符合题意；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，B符合题意；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，D不正确；，故 C不正确.
故答案为：AB
【分析】 根据事件B是在事件或发生之后求解，逐项进行分析，可得答案.
12．【答案】或
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
，求导可得，则切线斜率，
又因为，所以切线方程为，
将代入并整理可得，解得或.
故答案为：或.
【分析】设切点为，求导，求得斜线的斜率，利用导数的几何意义，结合点斜式表示切线方程，再将代入，整理求解切点的横坐标即可.
13．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，某社团有3名女生 4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，
随机变量男生人数的可能取值为，则.
故答案为：.
【分析】先列出随机变量的可能取值可得，与互为对立事件，由对立事件性质得，代入得解.
14．【答案】
【知识点】基本计数原理的应用；二项式定理的应用；数列的通项公式
【解析】【解答】解：当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故；
当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故.
综上，，故.
故答案为： .
【分析】本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，分当为偶数时，的个数为奇数；当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减求的通项公式，根据通项求即可.
15．【答案】（1）解：，由，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据随机变量的分布列的性质，列式求得，再计算即可；
（2）由（1）可得，根据求解即可.
（1）由题意知，
，解得，
.
（2）.
16．【答案】（1）解：所以，
令，解得或，令，解得，
所以的增区间为，减区间为；
（2）解：令，解得或，
由（1）得单调递增，单调递减，单调递增，
又，
，
，
，所以

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令得单调递增区间，令得单调递减区间；
（2）由极值得定义可得-3是极大值点，2是极小值点，再求出端点得函数值，比较可得解.
（1）所以，
令，解得或，令，解得，
所以的增区间为，减区间为；
（2）令，解得或，
由（1）得单调递增，单调递减，单调递增，
又，
，
，
，所以
17．【答案】（1）解：，求导可得，
则汽水温度x在处的导数为；
（2）解：由，可得，
则，求导可得.
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）函数，求导，将代入即可求得处的导数值；
（2）变形可得，将代入，得y关于t的函数解析式，求导即可得出导函数.
（1）求导可得，
所以，汽水温度x在处的导数为.
（2）由可得，，
所以，.
求导可得，.
18．【答案】（1）解：从6名老师中选3人的方法种数有：，
数学老师多于语文老师的选法有：1名数学，2名英语的选法：种；
2名数学的选法有：种，则数学老师多于语文老师的选法有：种，
故数学老师多于语文老师的概率为：；
（2）解：由题意，的可能取值为：0，1，2，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先计算从6人中选3人不同的选法，分1名数学，2名英语和2名数学计算“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的选法，最后利用古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2，计算对应的概率，列分布列即可.
（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
19．【答案】（1）解：由题意得，，，
，
令，得，，
，所以，
令，得.
（2）解：由题意得，，
令，得.
（3）证明：由（2）知，，
所以，
由几何意义易知：，
所以，
由得，，
即，所以，
所以，
所以，
即.
【知识点】导数的几何意义；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由定义，先求出f(x)在(2，f(2))处的切线方程，再求出该方程与x轴的交点，得；再求出f(x)在处的切线方程，求出该方程与x轴的交点即为；
（2）由题意写出直线的方程，求出该方程与x轴的交点即为 .
（3）由（2）得的递推关系式，两边取平方，再运用基本不等式可得得到的范围，由得进行第一步放缩得到，再进行放缩得，利用数列分组求和即可.
（1）由题意得，，，
，
令，得，，
，所以，
令，得.
（2）由题意得，，
令，得.
（3）由（2）知，，
所以，
由几何意义易知：，
所以，
由得，，
即，所以，
所以，
所以，
即.
1 / 1广东省惠州市惠东县2024-2025学年高二下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·惠东期中）函数的导数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据导数的除法公式，结合基本初等函数的导数公式求解即可.
2．（2025高二下·惠东期中）可以表示为(　　)．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：＝.
故答案为：C.
【分析】根据排列数公式判断即可.
3．（2025高二下·惠东期中）函数 在[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】平均变化率为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平均变化率的求解方法，进而求出函数 在[0，π]上的平均变化率。
4．（2025高二下·惠东期中）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（　　）
A．甲赢三局
B．甲赢两局
C．甲、乙平局两次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
则表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故答案为：D.
【分析】 确定甲在三局象棋比赛中得分ξ等于3分的所有可能情况，根据得分规则，分别计算每个选项甲的等分，从而确定正确答案即可.
5．（2025高二下·惠东期中）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2)处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2)，当x=0时，y=-e2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： ，故答案为D.
【分析】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
6．（2025高二下·惠东期中）一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（　　）
A．0.8 B．0.5 C．0.23 D．0.32
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，教授迟到的概率为.
故答案为：C
【分析】代入全概率公式 P(D) = P(D|A) P(A) + P(D|B) P(B) + P(D|C) P(C) 得解.
7．（2025高二下·惠东期中）已知函数有且仅有两个零点和2，且又是函数的极值点，则的极小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数，
，
在区间上，，函数单调递减；
在区间和上，，函数单调递增，
则函数在处取得极小值.
故答案为：D.
【分析】根据函数 有且仅有两个零点和2，设，求导，利用导数判断函数的单调性，确定极小值点的位置，计算极小值即可.
8．（2025高二下·惠东期中）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D．点在曲线上
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，求导可得，
若A错误，B、C、D正确，因为是的极值点，是的极值，
所以，即，解得，
又因为点在曲线上，所以，
即，解得，所以，则，
因为，所以不是的零点，故A错误，B、C、D正确.
故答案为：A．
【分析】求函数的导函数，假设A错误，B、C、D正确，根据极值点和极值，以及点在曲线上列式求得函数解析式，再验证是否为函数的零点，即可判断．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高二下·惠东期中）下列关于的二项展开式，说法正确的是（　　）
A．展开式共有10项
B．展开式的二项式系数之和为1024
C．展开式的常数项为8064
D．展开式的第6项的二项式系数最大
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A、易知的展开式共有11项，故A错误；
B、展开式的二项式系数之和为，故B正确；
C、展开式的通项为，
令，得，则展开式的常数项为，故C错误；
D、由C可知：当时，二项式系数最大，则展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据二项展开式以及二项式系数的性质即可判断AB；写出展开式的通项公式，令x的指数为零，求解常数项即可判断C；根据二项展开式系数的性质，可知第6项得二项式系数最大，可即可判断D.
10．（2025高二下·惠东期中）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（　　）
A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：B、根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，该选项正确，符合题意；
A、由B得是函数的极小值点，该选项正确，符合题意；
C、在上单调递增，不是函数的最小值点，该选项错误，不合题意；
D、函数在处的导数大于切线的斜率大于零，该选项错误，不合题意．
故答案为：AB
【分析】导函数图象得函数的增减区间，可判断B；由增减区间得极小值点，可判断A；上单调递增，得-1不是最小值点，可判断C；f'(0)>0得切线斜率k>0，可判断D
11．（2025高二下·惠东期中）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（　　）
A．、为对立事件 B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】因为甲罐中只有红球和白球，所以A符合题意；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，B符合题意；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，D不正确；，故 C不正确.
故答案为：AB
【分析】 根据事件B是在事件或发生之后求解，逐项进行分析，可得答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·惠东期中）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为　 　.
【答案】或
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
，求导可得，则切线斜率，
又因为，所以切线方程为，
将代入并整理可得，解得或.
故答案为：或.
【分析】设切点为，求导，求得斜线的斜率，利用导数的几何意义，结合点斜式表示切线方程，再将代入，整理求解切点的横坐标即可.
13．（2025高二下·惠东期中）某社团有3名女生 4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，某社团有3名女生 4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，
随机变量男生人数的可能取值为，则.
故答案为：.
【分析】先列出随机变量的可能取值可得，与互为对立事件，由对立事件性质得，代入得解.
14．（2025高二下·惠东期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则　 　
【答案】
【知识点】基本计数原理的应用；二项式定理的应用；数列的通项公式
【解析】【解答】解：当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故；
当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为
根据乘法原理和加法原理可得：，
因①
②
由，故.
综上，，故.
故答案为： .
【分析】本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，分当为偶数时，的个数为奇数；当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减求的通项公式，根据通项求即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·惠东期中）设随机变量的分布列为，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，由，解得，
则；
（2）解：由（1）可得：，
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据随机变量的分布列的性质，列式求得，再计算即可；
（2）由（1）可得，根据求解即可.
（1）由题意知，
，解得，
.
（2）.
16．（2025高二下·惠东期中）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最小值和最大值．
【答案】（1）解：所以，
令，解得或，令，解得，
所以的增区间为，减区间为；
（2）解：令，解得或，
由（1）得单调递增，单调递减，单调递增，
又，
，
，
，所以

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令得单调递增区间，令得单调递减区间；
（2）由极值得定义可得-3是极大值点，2是极小值点，再求出端点得函数值，比较可得解.
（1）所以，
令，解得或，令，解得，
所以的增区间为，减区间为；
（2）令，解得或，
由（1）得单调递增，单调递减，单调递增，
又，
，
，
，所以
17．（2025高二下·惠东期中）汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：．
（1）求汽水温度x在处的导数；
（2）已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数．
【答案】（1）解：，求导可得，
则汽水温度x在处的导数为；
（2）解：由，可得，
则，求导可得.
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）函数，求导，将代入即可求得处的导数值；
（2）变形可得，将代入，得y关于t的函数解析式，求导即可得出导函数.
（1）求导可得，
所以，汽水温度x在处的导数为.
（2）由可得，，
所以，.
求导可得，.
18．（2025高二下·惠东期中）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
（1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
（2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【答案】（1）解：从6名老师中选3人的方法种数有：，
数学老师多于语文老师的选法有：1名数学，2名英语的选法：种；
2名数学的选法有：种，则数学老师多于语文老师的选法有：种，
故数学老师多于语文老师的概率为：；
（2）解：由题意，的可能取值为：0，1，2，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）先计算从6人中选3人不同的选法，分1名数学，2名英语和2名数学计算“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的选法，最后利用古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2，计算对应的概率，列分布列即可.
（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
19．（2025高二下·惠东期中）在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（IssacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解.现在用这种方法求函数的大于零的零点r的近似值，取.
（1）求和；
（2）求和的关系；
（3）证明：.
【答案】（1）解：由题意得，，，
，
令，得，，
，所以，
令，得.
（2）解：由题意得，，
令，得.
（3）证明：由（2）知，，
所以，
由几何意义易知：，
所以，
由得，，
即，所以，
所以，
所以，
即.
【知识点】导数的几何意义；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由定义，先求出f(x)在(2，f(2))处的切线方程，再求出该方程与x轴的交点，得；再求出f(x)在处的切线方程，求出该方程与x轴的交点即为；
（2）由题意写出直线的方程，求出该方程与x轴的交点即为 .
（3）由（2）得的递推关系式，两边取平方，再运用基本不等式可得得到的范围，由得进行第一步放缩得到，再进行放缩得，利用数列分组求和即可.
（1）由题意得，，，
，
令，得，，
，所以，
令，得.
（2）由题意得，，
令，得.
（3）由（2）知，，
所以，
由几何意义易知：，
所以，
由得，，
即，所以，
所以，
所以，
即.
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