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广东省清远市第三中学教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高二下·清远期中）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·清远期中）设等差数列的前n项和为，且，则（　　）
A．9 B．6 C．3 D．0
3．（2025高二下·清远期中）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025高二下·清远期中）等差数列的前项之和为，若，则（　　）
A．110 B．132 C．154 D．176
5．（2025高二下·清远期中）已知、满足，则与的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．不能确定
6．（2025高二下·清远期中）函数，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·清远期中）已知函数，则的一个单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·清远期中）已知数列满足则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·清远期中）A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法
C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法
10．（2025高二下·清远期中）下列叙述正确的是（　　）
A．的最小值为
B．命题p：，的否定为：，
C．8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为151
D．设随机变量X服从正态分布且，则
11．（2025高二下·清远期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2025高二下·清远期中）与的等比中项为　 　．
13．（2025高二下·清远期中）一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发，沿向上或向右方向爬至点，，记可能的爬行方法总数为，则　 　.(用组合数作答)
14．（2025高二下·清远期中）已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和　 　.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·清远期中）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
16．（2025高二下·清远期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
　 男学生 女学生 合计
关注度极高 45 40 85
关注度一般 5 10 15
合计 50 50 100
（1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
（2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望．
17．（2025高二下·清远期中）已知函数
（1）求函数在区间上的最值；
（2）在所给的坐标系中画出函数在区间上的图象；
（3）若直线是函数的一条切线，求的值.
18．（2025高二下·清远期中）在二项式的展开式中，求：
（1）展开式的第四项；
（2）展开式的常数项；
（3）展开式的各项系数的和．
19．（2025高二下·清远期中）已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并解不等式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
2．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由， 可得，解得，
则.
故答案为：A．
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线的导数为，
设切点为，则过的切线方程为
代入(0，0)点得
故答策为：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.先设出切点坐标，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，据此可写出过的切线方程，再将原点坐标代入切线方程可求出切点横坐标，据此可求出切点的纵坐标，进而求出点坐标.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，由，
可得，解得，
则，
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，其中，求导可得，
当时，，则函数在区间上单调递增，
因为，所以，即，即，
即，即，故.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性结合对数运算性质判断即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
易知，函数在上单调递增，
因为，
所以，所以，
即.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再比较的大小来即可得的大小关系.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
求导可得
，
令，解得或，则的单调递增区间是，.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求解函数的单调递增区间即可.
8．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，
可得
累加得：，
则.
故答案为：D.
【分析】根据，分别令，再利用累加法求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、 A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种），该选项正确，符合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.该选项正确，符合题意；
D、由C得该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】
求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.
10．【答案】B,C
【知识点】命题的否定；基本不等式；众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A，，而等号成立时，即显然不成立，A不符合题意；
对于B，命题p：，的否定为：，，B符合题意；
对于C，8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为，C符合题意；
对于D，因为随机变量X服从正态分布且，则，，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据基本不等式及三角函数的性质可判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可判断B，根据中位数的概念可判断C，根据正态分布的性质可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，
则，
令，则，故A正确；
B、，解得，
则，故B错误；
C、，
取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确；
D、，
其中，所以能被15整除，
则除以15的余数为1，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用赋值法，令求解即可判断A；逆用二项式定理求解即可判断B；由，利用二项式定理展开求解即可判断C；展开求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设等比中项为G，则，即．
故答案为：.
【分析】利用等比中项的定义列式求解即可.
13．【答案】（或）.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：电子蚂蚁一共需要爬行步，其中向上n步，向右m步，
需要在步中选出m步向右（n步向上）即可，则（或）.
故答案为：（或）.
【分析】根据组合数公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因函数，
条件①，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件③，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件②，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2，
所以.
故答案为：
【分析】由题意解方程得，由等比数列定义判断改数列不是等比数列，从而判断条件①；同理得，符合等比数列定义，从而判断条件②；同理得，不符合等比数列定义，从而判断条件③.
15．【答案】解：任意取出两个元素的所有排列为：
.
【知识点】排列的定义
【解析】【分析】根据排列的定义，直接写出从a、b、c、d、e五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列 即可.
16．【答案】（1）解：记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”，
则；
（2）解：从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为，
由题意得，则．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据条件概率公式求解即可；
（2）易知从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为，由题意得服从二项分布，根据二项分布的期望公式求解即可.
（1）记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”．
．
（2）从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为．
由题意得，
则．
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
因为，，，，
所以，；
（2）解：由（1）可得在区间上的图象，如图所示：
（3）解：由（1）知：，令，解得或，
当时，切点为，则切线方程为：，；
当时，切点为，则切线方程为：，即，，
综上所述：或.
【知识点】函数的图象；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再求极值和区间端点值，比较即可得函数的最值；
（2）由（1）的结论，利用函数在区间上的单调性和最值，画出函数的图象；
（3）由（1）知：，令，解得或，根据切线斜率，利用导数几何意义，结合点斜式求切线方程，进而得到的值.
（1），
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
，.
（2）由（1）可得在区间上的图象如下图所示，
（3）由（1）知：，令，解得：或；
当时，切点为，则切线方程为：，；
当时，切点为，则切线方程为：，即，；
综上所述：或.
18．【答案】（1）解：展开式的通项为，
则第四项；
（2）解：二项展开式的通项为，
令，得，则展开式的常数项为；
（3）解：令，得展开式的各项系数的和为．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）写出展开式通项，由通项公式可求二项式的第四项即可；
（2）写出展开式通项，令x的指数为零，求常数项即可；
（3）令求所有项系数和即可．
（1）二项式的展开式的通项为，
所以第四项．
（2）二项展开式的通项为，
令，得，
所以展开式的常数项为．
（3）令，得展开式的各项系数的和为．
19．【答案】（1）解：选择①：设等差数列的公差为d，因为是等差数列，所以，
所以，，
同时平方得，所以，所以，解得，
则，，，满足题意；
选择②：设等差数列的公差为，
则，，，，，
所以，
当时，满足上式，
则；
选择③：，
当时，，
两式相减得，整理可得，
又因为，所以当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
则；
（2）解：由（1）知，，则，
则，
由，所以且，
则的解集为{n|n > 1011且n∈N*}.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）①、设等差数列的公差为d，由已知，转化为的方程，解方程求，利用等差数列通项公式求的通项公式即可；
②、设等差数列的公差为，由条件求出数列的通项公式，再根据和关系求的通项公式即可；
③、根据和的关系，由条件可得数列的递推式，由此证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求其通项公式即可；
（2）由（1）知，，，利用裂项相消法求，再解不等式即可.
（1）选择①：设的公差为d．因为是等差数列，
所以，
所以，，
同时平方得，
所以，
所以，解得．
则，
则，，满足题意．
选择②：设的公差为，
则，，，
所以，所以．
所以，
当时，满足上式，
所以．
选择③：，
当时，，
两式相减得，
所以．
又，所以当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）知，，
则，
则．
由，所以且．
解集为{n|n > 1011且n∈N*}.
1 / 1广东省清远市第三中学教育集团2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．（2025高二下·清远期中）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
2．（2025高二下·清远期中）设等差数列的前n项和为，且，则（　　）
A．9 B．6 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由， 可得，解得，
则.
故答案为：A．
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质求解即可.
3．（2025高二下·清远期中）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：曲线的导数为，
设切点为，则过的切线方程为
代入(0，0)点得
故答策为：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.先设出切点坐标，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，据此可写出过的切线方程，再将原点坐标代入切线方程可求出切点横坐标，据此可求出切点的纵坐标，进而求出点坐标.
4．（2025高二下·清远期中）等差数列的前项之和为，若，则（　　）
A．110 B．132 C．154 D．176
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，由，
可得，解得，
则，
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式求解即可.
5．（2025高二下·清远期中）已知、满足，则与的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，其中，求导可得，
当时，，则函数在区间上单调递增，
因为，所以，即，即，
即，即，故.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性结合对数运算性质判断即可.
6．（2025高二下·清远期中）函数，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
易知，函数在上单调递增，
因为，
所以，所以，
即.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再比较的大小来即可得的大小关系.
7．（2025高二下·清远期中）已知函数，则的一个单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
求导可得
，
令，解得或，则的单调递增区间是，.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，令，求解函数的单调递增区间即可.
8．（2025高二下·清远期中）已知数列满足则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，
可得
累加得：，
则.
故答案为：D.
【分析】根据，分别令，再利用累加法求解即可.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·清远期中）A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法
C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、 A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种），该选项正确，符合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.该选项正确，符合题意；
D、由C得该选项错误，不合题意.
故答案为：AC
【分析】
求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD.
10．（2025高二下·清远期中）下列叙述正确的是（　　）
A．的最小值为
B．命题p：，的否定为：，
C．8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为151
D．设随机变量X服从正态分布且，则
【答案】B,C
【知识点】命题的否定；基本不等式；众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A，，而等号成立时，即显然不成立，A不符合题意；
对于B，命题p：，的否定为：，，B符合题意；
对于C，8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为，C符合题意；
对于D，因为随机变量X服从正态分布且，则，，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据基本不等式及三角函数的性质可判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可判断B，根据中位数的概念可判断C，根据正态分布的性质可判断D.
11．（2025高二下·清远期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为1
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，
则，
令，则，故A正确；
B、，解得，
则，故B错误；
C、，
取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确；
D、，
其中，所以能被15整除，
则除以15的余数为1，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用赋值法，令求解即可判断A；逆用二项式定理求解即可判断B；由，利用二项式定理展开求解即可判断C；展开求解即可判断D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2025高二下·清远期中）与的等比中项为　 　．
【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设等比中项为G，则，即．
故答案为：.
【分析】利用等比中项的定义列式求解即可.
13．（2025高二下·清远期中）一只电子蚂蚁在如图所示的格线上由原点出发，沿向上或向右方向爬至点，，记可能的爬行方法总数为，则　 　.(用组合数作答)
【答案】（或）.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：电子蚂蚁一共需要爬行步，其中向上n步，向右m步，
需要在步中选出m步向右（n步向上）即可，则（或）.
故答案为：（或）.
【分析】根据组合数公式求解即可.
14．（2025高二下·清远期中）已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和　 　.
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因函数，
条件①，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件③，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件②，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2，
所以.
故答案为：
【分析】由题意解方程得，由等比数列定义判断改数列不是等比数列，从而判断条件①；同理得，符合等比数列定义，从而判断条件②；同理得，不符合等比数列定义，从而判断条件③.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·清远期中）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
【答案】解：任意取出两个元素的所有排列为：
.
【知识点】排列的定义
【解析】【分析】根据排列的定义，直接写出从a、b、c、d、e五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列 即可.
16．（2025高二下·清远期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
　 男学生 女学生 合计
关注度极高 45 40 85
关注度一般 5 10 15
合计 50 50 100
（1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
（2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望．
【答案】（1）解：记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”，
则；
（2）解：从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为，
由题意得，则．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）先记事件，再根据条件概率公式求解即可；
（2）易知从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为，由题意得服从二项分布，根据二项分布的期望公式求解即可.
（1）记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”．
．
（2）从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为．
由题意得，
则．
17．（2025高二下·清远期中）已知函数
（1）求函数在区间上的最值；
（2）在所给的坐标系中画出函数在区间上的图象；
（3）若直线是函数的一条切线，求的值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，；当时，；
则函数在，上单调递增，在上单调递减，
因为，，，，
所以，；
（2）解：由（1）可得在区间上的图象，如图所示：
（3）解：由（1）知：，令，解得或，
当时，切点为，则切线方程为：，；
当时，切点为，则切线方程为：，即，，
综上所述：或.
【知识点】函数的图象；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再求极值和区间端点值，比较即可得函数的最值；
（2）由（1）的结论，利用函数在区间上的单调性和最值，画出函数的图象；
（3）由（1）知：，令，解得或，根据切线斜率，利用导数几何意义，结合点斜式求切线方程，进而得到的值.
（1），
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
，.
（2）由（1）可得在区间上的图象如下图所示，
（3）由（1）知：，令，解得：或；
当时，切点为，则切线方程为：，；
当时，切点为，则切线方程为：，即，；
综上所述：或.
18．（2025高二下·清远期中）在二项式的展开式中，求：
（1）展开式的第四项；
（2）展开式的常数项；
（3）展开式的各项系数的和．
【答案】（1）解：展开式的通项为，
则第四项；
（2）解：二项展开式的通项为，
令，得，则展开式的常数项为；
（3）解：令，得展开式的各项系数的和为．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）写出展开式通项，由通项公式可求二项式的第四项即可；
（2）写出展开式通项，令x的指数为零，求常数项即可；
（3）令求所有项系数和即可．
（1）二项式的展开式的通项为，
所以第四项．
（2）二项展开式的通项为，
令，得，
所以展开式的常数项为．
（3）令，得展开式的各项系数的和为．
19．（2025高二下·清远期中）已知的前n项和为，．①，都是等差数列；②是等差数列，；③是正项数列，．从①②③中选择一个条件，完成下列问题．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和，并解不等式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：选择①：设等差数列的公差为d，因为是等差数列，所以，
所以，，
同时平方得，所以，所以，解得，
则，，，满足题意；
选择②：设等差数列的公差为，
则，，，，，
所以，
当时，满足上式，
则；
选择③：，
当时，，
两式相减得，整理可得，
又因为，所以当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
则；
（2）解：由（1）知，，则，
则，
由，所以且，
则的解集为{n|n > 1011且n∈N*}.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）①、设等差数列的公差为d，由已知，转化为的方程，解方程求，利用等差数列通项公式求的通项公式即可；
②、设等差数列的公差为，由条件求出数列的通项公式，再根据和关系求的通项公式即可；
③、根据和的关系，由条件可得数列的递推式，由此证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求其通项公式即可；
（2）由（1）知，，，利用裂项相消法求，再解不等式即可.
（1）选择①：设的公差为d．因为是等差数列，
所以，
所以，，
同时平方得，
所以，
所以，解得．
则，
则，，满足题意．
选择②：设的公差为，
则，，，
所以，所以．
所以，
当时，满足上式，
所以．
选择③：，
当时，，
两式相减得，
所以．
又，所以当时，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）知，，
则，
则．
由，所以且．
解集为{n|n > 1011且n∈N*}.
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