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湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高一下学期4月份期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·永州期中）已知集合A满足，这样的集合A有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题得集合.
故答案为：C
【分析】采用列举法。
2．（2025高一下·永州期中）若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由得，
因为若，则，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“”是“”的必要不充分条件。
3．（2025高一下·永州期中）在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 在 上连续单调递增，
且 ，
所以函数的零点在区间 内，
故答案为：C.
【分析】先判断函数 在 上单调递增，由 ，利用零点存在定理可得结果.
4．（2025高一下·永州期中）已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别确定a、b、c与 0、1 的大小关系，通过 “中间量法” 快速比较三者的大小。
5．（2025高一下·永州期中）已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：与方向相同的单位向量为.
故答案为：C.
【分析】与向量 方向相同的单位向量，等于向量 除以它的模长 。
6．（2025高一下·永州期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，由，得，
因为不等式的解集为，
所以由，知，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】先将目标不等式通过配方变形，再利用已知不等式的解集，通过整体代换求解。
7．（2025高一下·永州期中）函数的单调递增区间是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，则可以化为，
当时，函数单调递增，
即，解得，
故原函数的单调递增区间为．
故答案为：B
【分析】采用换元法，将复合函数的内层表达式设为t，利用正弦函数y=sint的标准单调递增区间，通过解不等式求出x的范围。
8．（2025高一下·永州期中）在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；辅助角公式
【解析】【解答】解：如图所示建立直角坐标系：
由题意设，其中，
所以
令
所以
所以
所以
所以
所以的取值范围是
故答案为：D.
【分析】利用参数方程表示线段AB端点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，再求其值域。
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．（2025高一下·永州期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．，，使得
D．若 ，，则最小值为
【答案】A,B
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：由于，所以，故，故A正确；
B：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
C：当时，不成立，故C错误；
D：若、，，则，整理得，即，所以，故的最大值为1，故D错误；
故答案为：AB．
【分析】A：利用不等式性质，由推出，再通过同向不等式相加判断结论。
B：对函数变形，凑出可使用基本不等式的形式，结合的条件确定最大值及取等条件。
C：通过举反例（如），验证全称命题不成立。
D：利用基本不等式，将已知等式转化为关于的不等式，解出的范围，判断最值类型。
10．（2025高一下·永州期中）下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A，由幂函数性质知为奇函数，值域为，故A正确；
B，当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
则的值域为，故B错误；
C，设，，定义域关于原点对称，
，则为奇函数，
当时，因为在上单调递增，
故在上为增函数，时，函数值为0，
当时，，，画出图形如图，所以，故C正确；
D，，当且仅当时等号成立，所以值域为，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：验证f( x)= f(x)判断奇偶性，结合幂函数单调性确定值域为R。
B：先判断奇偶性，再利用对勾函数性质分析值域，排除不满足值域为R的条件。
C：验证奇偶性，结合函数单调性与极限情况分析值域为R。
D：利用偶函数定义判断奇偶性，结合均值不等式求值域，排除不满足条件的选项。
11．（2025高一下·永州期中）已知函数 ，且对于 都有 成立.现将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数 相邻的对称轴距离为
C．函数 是奇函数
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为对于 都有 成立，
所以 ， ，
所以 对于 都成立，
可得 的周期 ，所以 ，
所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得 ，
对于A.
，
A符合题意；
对于B：函数 周期为 ，所以相邻的对称轴距离为 ， B符合题意；
对于C： 是偶函数，C不符合题意；
对于D：当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】 先求出f (x)的解析式，再利用函数y= A sin(wx + φ )的图象变换规律，求得g (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·永州期中）若函数为偶函数，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设为偶函数，
则，
，
恒成立，所以.
故答案为：
【分析】根据偶函数的定义 f( x)=f(x)，代入函数表达式后，要求所有奇次项的系数为 0，从而建立方程求解m。
13．（2025高一下·永州期中）函数，的最大值是　 　．
【答案】1
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：任取，且，
则，
∵
∴根据不等式的性质可得，，
∵，
∴，即，
∴函数在上单调递增，
∴函数在上的最大值是.
故答案为：1.
【分析】先通过定义法判断函数在区间[ 1，1]上的单调性，再根据单调性确定最大值的位置并计算。
14．（2025高一下·永州期中）设函数，若函数在上有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：设，．
则原函数有意义等价于在上恒成立，
，设，
，所以，.
故答案为：
【分析】函数在上有意义，等价于被开方数在该区间上恒成立。通过换元法将指数函数转化为二次函数，再分离参数，求对应函数的最大值，从而确定的取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·永州期中）已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
【答案】（1）证明：由题意得，
因为，所以
所以是直角三角形
又，，
，
是等腰直角三角形
（2）解：设点，则，
，且，
解得，，，
，
，
，，
．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)先求出向量和，通过点积为0证明，再计算模长证明，从而得出是等腰直角三角形。
(2)根据求出点的坐标，再得到向量和，利用向量夹角公式计算余弦值。
16．（2025高一下·永州期中）已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角
【答案】解：∵，∴，即.代入，得，又，则，.则..(2)∵，，∴.又，∴.∴==.由，得.
（1）解：∵，∴，即.
代入，得，
又，则，.
则.
.
（2）解：∵，，∴.
又，∴.
∴=
=.
由，得.
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）由 计算公式得，结合角的范围得该角的正余弦值，代入两倍角公式得解；
（2）由角的范围，得，凑角得，代入正弦得两角差公式可解.
17．（2025高一下·永州期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
【答案】（1）解：设，由，得；
设，由，得.
（2）解：设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意，收益函数分别与投资额和成正比，设出比例系数，代入已知投资1万元时的收益数据，即可求出函数解析式。
(2)设投资股票万元，则投资债券万元，列出总收益函数，通过换元法转化为二次函数，利用配方法求最大值。
（1）依题意设，由，得；
设，由，得.
（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，
，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
18．（2025高一下·永州期中）在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】解：1、由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
2、，
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）等式左右两边边由三角函数的平方关系将余弦代换为正弦，再由正弦定理角化边，得，运用余弦定理得解；（2）由正弦定理可得，代入周长，化简得，结合A得角的范围，可得解.
19．（2025高一下·永州期中）已知函数，常数.
（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，.的定义域为.
当时，
.
∴，
∴是奇函数，
是由和复合而成，
单调递减，
在 和单调递减，
所以在 和单调递增，
所以的单调增区间为，.
（2）解：由，
得，
令，
若使题中不等式恒成立，只需要.
由（1）知在上是增函数，单调递减，
所以在上是增函数，
所以.
所以的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)先代入化简函数，验证证明奇函数；再通过复合函数单调性分析，内层函数递减、外层函数递减，故整体递增，从而得到单调区间。
(2)将不等式变形，分离参数，构造函数，利用函数单调性求出在区间上的最小值，从而确定的取值范围。
1 / 1湖南省永州日升高级中学2024-2025学年高一下学期4月份期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·永州期中）已知集合A满足，这样的集合A有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025高一下·永州期中）若，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一下·永州期中）在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·永州期中）已知，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·永州期中）已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·永州期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（　　）
A． B．或
C． D．或
7．（2025高一下·永州期中）函数的单调递增区间是（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2025高一下·永州期中）在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．（2025高一下·永州期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．，，使得
D．若 ，，则最小值为
10．（2025高一下·永州期中）下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·永州期中）已知函数 ，且对于 都有 成立.现将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数 相邻的对称轴距离为
C．函数 是奇函数
D．函数 在区间 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·永州期中）若函数为偶函数，则　 　．
13．（2025高一下·永州期中）函数，的最大值是　 　．
14．（2025高一下·永州期中）设函数，若函数在上有意义，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·永州期中）已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
16．（2025高一下·永州期中）已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角
17．（2025高一下·永州期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
18．（2025高一下·永州期中）在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
19．（2025高一下·永州期中）已知函数，常数.
（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题得集合.
故答案为：C
【分析】采用列举法。
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由得，
因为若，则，反之不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出“”是“”的必要不充分条件。
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 在 上连续单调递增，
且 ，
所以函数的零点在区间 内，
故答案为：C.
【分析】先判断函数 在 上单调递增，由 ，利用零点存在定理可得结果.
4．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别确定a、b、c与 0、1 的大小关系，通过 “中间量法” 快速比较三者的大小。
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：与方向相同的单位向量为.
故答案为：C.
【分析】与向量 方向相同的单位向量，等于向量 除以它的模长 。
6．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，由，得，
因为不等式的解集为，
所以由，知，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】先将目标不等式通过配方变形，再利用已知不等式的解集，通过整体代换求解。
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，则可以化为，
当时，函数单调递增，
即，解得，
故原函数的单调递增区间为．
故答案为：B
【分析】采用换元法，将复合函数的内层表达式设为t，利用正弦函数y=sint的标准单调递增区间，通过解不等式求出x的范围。
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；辅助角公式
【解析】【解答】解：如图所示建立直角坐标系：
由题意设，其中，
所以
令
所以
所以
所以
所以
所以的取值范围是
故答案为：D.
【分析】利用参数方程表示线段AB端点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，再求其值域。
9．【答案】A,B
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：由于，所以，故，故A正确；
B：由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
C：当时，不成立，故C错误；
D：若、，，则，整理得，即，所以，故的最大值为1，故D错误；
故答案为：AB．
【分析】A：利用不等式性质，由推出，再通过同向不等式相加判断结论。
B：对函数变形，凑出可使用基本不等式的形式，结合的条件确定最大值及取等条件。
C：通过举反例（如），验证全称命题不成立。
D：利用基本不等式，将已知等式转化为关于的不等式，解出的范围，判断最值类型。
10．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A，由幂函数性质知为奇函数，值域为，故A正确；
B，当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
则的值域为，故B错误；
C，设，，定义域关于原点对称，
，则为奇函数，
当时，因为在上单调递增，
故在上为增函数，时，函数值为0，
当时，，，画出图形如图，所以，故C正确；
D，，当且仅当时等号成立，所以值域为，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：验证f( x)= f(x)判断奇偶性，结合幂函数单调性确定值域为R。
B：先判断奇偶性，再利用对勾函数性质分析值域，排除不满足值域为R的条件。
C：验证奇偶性，结合函数单调性与极限情况分析值域为R。
D：利用偶函数定义判断奇偶性，结合均值不等式求值域，排除不满足条件的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为对于 都有 成立，
所以 ， ，
所以 对于 都成立，
可得 的周期 ，所以 ，
所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得 ，
对于A.
，
A符合题意；
对于B：函数 周期为 ，所以相邻的对称轴距离为 ， B符合题意；
对于C： 是偶函数，C不符合题意；
对于D：当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，D符合题意
故答案为：ABD
【分析】 先求出f (x)的解析式，再利用函数y= A sin(wx + φ )的图象变换规律，求得g (x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.
12．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：设为偶函数，
则，
，
恒成立，所以.
故答案为：
【分析】根据偶函数的定义 f( x)=f(x)，代入函数表达式后，要求所有奇次项的系数为 0，从而建立方程求解m。
13．【答案】1
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：任取，且，
则，
∵
∴根据不等式的性质可得，，
∵，
∴，即，
∴函数在上单调递增，
∴函数在上的最大值是.
故答案为：1.
【分析】先通过定义法判断函数在区间[ 1，1]上的单调性，再根据单调性确定最大值的位置并计算。
14．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：设，．
则原函数有意义等价于在上恒成立，
，设，
，所以，.
故答案为：
【分析】函数在上有意义，等价于被开方数在该区间上恒成立。通过换元法将指数函数转化为二次函数，再分离参数，求对应函数的最大值，从而确定的取值范围。
15．【答案】（1）证明：由题意得，
因为，所以
所以是直角三角形
又，，
，
是等腰直角三角形
（2）解：设点，则，
，且，
解得，，，
，
，
，，
．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)先求出向量和，通过点积为0证明，再计算模长证明，从而得出是等腰直角三角形。
(2)根据求出点的坐标，再得到向量和，利用向量夹角公式计算余弦值。
16．【答案】解：∵，∴，即.代入，得，又，则，.则..(2)∵，，∴.又，∴.∴==.由，得.
（1）解：∵，∴，即.
代入，得，
又，则，.
则.
.
（2）解：∵，，∴.
又，∴.
∴=
=.
由，得.
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）由 计算公式得，结合角的范围得该角的正余弦值，代入两倍角公式得解；
（2）由角的范围，得，凑角得，代入正弦得两角差公式可解.
17．【答案】（1）解：设，由，得；
设，由，得.
（2）解：设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】(1)根据题意，收益函数分别与投资额和成正比，设出比例系数，代入已知投资1万元时的收益数据，即可求出函数解析式。
(2)设投资股票万元，则投资债券万元，列出总收益函数，通过换元法转化为二次函数，利用配方法求最大值。
（1）依题意设，由，得；
设，由，得.
（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，
，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
18．【答案】解：1、由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
2、，
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）等式左右两边边由三角函数的平方关系将余弦代换为正弦，再由正弦定理角化边，得，运用余弦定理得解；（2）由正弦定理可得，代入周长，化简得，结合A得角的范围，可得解.
19．【答案】（1）证明：当时，.的定义域为.
当时，
.
∴，
∴是奇函数，
是由和复合而成，
单调递减，
在 和单调递减，
所以在 和单调递增，
所以的单调增区间为，.
（2）解：由，
得，
令，
若使题中不等式恒成立，只需要.
由（1）知在上是增函数，单调递减，
所以在上是增函数，
所以.
所以的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)先代入化简函数，验证证明奇函数；再通过复合函数单调性分析，内层函数递减、外层函数递减，故整体递增，从而得到单调区间。
(2)将不等式变形，分离参数，构造函数，利用函数单调性求出在区间上的最小值，从而确定的取值范围。
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