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广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·深圳期中）设随机变量服从正态分布，记，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
根据和正态曲线的对称性，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】由随机变量服从正态分布 ，可得，再由已知条件，结合正态曲线的对称性，可得，最后根据求解即可.
2．（2025高二下·深圳期中）已知，则集合M的真子集的个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】解：依题意，，
所以集合有个元素，真子集的个数为个.
故答案为：C
【分析】令x=1，2，4，8得成立，得集合M元素个数，可得真子集个数.
3．（2025高二下·深圳期中）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：若数列是等差数列，设其首项为，公差为，
则，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，则充分性成立；
若数列是等差数列，取，则，符合要求，
但数列不为等差数列，则必要性不成立，
故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】若数列是等差数列，设其首项为，公差为，根据等差数列的性质，推得数列为等差数列，判断充分性成立，若数列是等差数列，取，使是等差数列，但不是等差数列，判断必要性不成立，从而可得正确答案.
4．（2025高二下·深圳期中）已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
曲线定义域为，，则切线的斜率为，切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故切线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设切点坐标为，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，最后根据切线过原点，代入原点坐标求出的值，即可得切线的斜率.
5．（2025高二下·深圳期中）已知等比数列的前n项和，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列的前n项和，
所以，，，
又数列为等比数列，
所以数列的公比，
所以，所以，，
所以，
故，
故答案为：B.
【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项，可求出答案.
6．（2025高二下·深圳期中）已知数列满足，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
，，
将以上等式左右两边分别相加得：，即，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，利用累加法可得，即可求得的值.
7．（2025高二下·深圳期中）包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（　　）
A．180 B．246 C．168 D．192
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法，
再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法；
当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法，
综上可得一共有种排法.
故答案为：D.
【分析】先对除甲乙丙以外的三人进行全排列，再分甲乙相邻且与丙不相邻、甲与乙相邻且乙与丙相邻两种情况讨论，利用捆绑法和插空法求解即可.
8．（2025高二下·深圳期中）从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 这些数中是 的倍数，则甲取到的数是 的倍数，共有 中取法；
若甲取到的数是，而乙只能从 中取；
若甲取到的数，乙数可以从中取；
若甲取到的数，乙数可以从中取，
因此甲取到的数是5的倍数，甲数大于乙数的取法共有 种，
则甲取到的数是5的倍数，甲数大于乙数的概率是 .故答案为：A.
【分析】1到15中5的倍数得数有3个，先求甲取5的倍数得，甲乙取数包含的基本事件个数，再分甲取、10、15时，乙的取数包含的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式求解即可.
二、多选题
9．（2025高二下·深圳期中）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（　　）
A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变大
C．残差平方和变小 D．决定系数变小
【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；回归分析；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.
对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，
所以去掉点后，相关系数变大，故A错误；
对于B，由线性回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确；
对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点后，
残差平方和变小，故C正确；
对于D，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点后，
决定系数变大，故D错误；
故选：BC.
【分析】根据图象，点较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.结合相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断，即可求解.
10．（2025高二下·深圳期中）若，则下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：，
A、令，则，故A错误；
B、令，则，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，
对等式两侧同时求导函数得，
令得，，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】给x分别赋值0，1，-1求解即可判断ABC；令，则，两边同时求导，再赋值求解即可判断D.
11．（2025高二下·深圳期中）若，则函数的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：①、当时，，其图象为指数函数的一部分；
②、当为正的奇数时，函数定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，函数在处取得极小值，此时是负数；
4个选项中没有与以上两种情况对应的图象；
③、当为正的偶数时，函数的定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，且，故B正确；
④、当为负的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，
时，，则，故C正确；
⑤当为负的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】当时，函数，其图象为指数函数的一部分，再分为正的奇数、为正的偶数、为负的奇数、为负的偶数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断图象即可.
三、填空题
12．（2025高二下·深圳期中）若随机变量，则　 　.
【答案】6.4
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征；二项分布
【解析】【解答】解：由，则
所以
故答案为：6.4
【分析】
由题意得随机变量符合二项分布，代入方差公式公式得由方差的性质得可得解.
13．（2025高二下·深圳期中）若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得恰有两个实数根，显然时，不符合题意；
当时，令，解得，令，
，令，解得，
则在单调递增，单调递减，且有最大值，
综上可知：.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得恰有两个零点，显然时，不符合题意，时，令，解得，令，求导，利用导数判断其单调性，并求最值，据此可得实数的取值范围.
14．（2025高二下·深圳期中）已知数列满足，为其前项和，则　 　．
【答案】1830
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，
则，，，即，
同理，，，，，
同理可得，
由此可知，，，，构成首项为10，公差为16的等差数列，
则．
故答案为：.
【分析】根据递推公式计算数列的项，可得，，，构成首项为10，公差为16的等差数列，根据等差数列的求和公式求解即可.
四、解答题
15．（2025高二下·深圳期中）一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
【答案】（1）解：由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法；
（2）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种；
（3）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法；
（4）解：由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合数公式求解即可；
（2）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算全是男教师的选派方法，相减即可得结果；
（3）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任的选派方法，相减即可得结果；
（4）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任和有主任且没有女教师的选派方法，相减即可得结果.
（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
16．（2025高二下·深圳期中）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男 女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：
性别 购买意愿 合计
有愿意 无愿意
男性 22 18 40
女性 48 12 60
合计 70 30 100
（1）试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？
（2）企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望.
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01；
（2）解：易知的可能取值为，
的分布列为：
1 2 3 4
.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再根据公式和列联表求出，比较判断即可；
（2）易知的可能取值为，根据服从超几何分布求得相应的概率，列分布列，根据分布列求数学期望即可.
（1）零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）的可能取值为，
所以的分布列为：
1 2 3 4
所以.
或根据超几何分布的数学期望有.
17．（2025高二下·深圳期中）甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，，
则第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）解：由题意知，X的所有可能值为2，4，6，
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，，
则随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可；
（2）由题意知，X的所有可能值为2，4，6，根据独立事件的概率乘法公式求对应的概率，列分布列，再根据分布列求数学期望即可.
（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．
所以随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
所以
18．（2025高二下·深圳期中）已知数列的前项和为，且.
（1）证明： 为等比数列
（2）求数列的通项公式
（3）求数列的前 项和
【答案】（1）证明： 数列的前项和为，且，
由题意可得，即，
两边同时除以可得，
又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得，即，
当时，，化简可得，
当时，代入也成立，
所以；
（3）解：由（1）可得，
则，
，
两式作差可得，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用关系，结合等比数列的概念求解即可；
（2）由（1）得，即，再根据关系求数列的通项公式即可；
（3）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）由题意可得，即，
两边同时除以可得，
又，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
当时，，
化简可得，
当时，代入也成立，
所以.
（3）因为，
则，
，
两式作差可得，
所以.
19．（2025高二下·深圳期中）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性：
（2）当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：函数的定义域为，，，
令，
，，
①、当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，函数在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去，
②、当，即时，此时，
下面证明恒成立即可，即证，
令，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即，
综上可得，a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知当时，当时，，
即，令，则，化简可得，
所以，
即，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数讨论函数的单调性，求实数a的取值范围即可；
（3）利用(2)的结论：当时，，令，化简可得，再利用累加法求解证明即可.
（1）当时，，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
（2），，
令，
，
①当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去，
②当，即时，此时，
下面证明恒成立即可，即证，
令，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即
综上可得，a的取值范围为.
（3）由（2）知当时，当时，，
即，令，则，
化简可得，，
所以，
即，
所以.
1 / 1广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高二下·深圳期中）设随机变量服从正态分布，记，则（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
2．（2025高二下·深圳期中）已知，则集合M的真子集的个数是（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
3．（2025高二下·深圳期中）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·深圳期中）已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·深圳期中）已知等比数列的前n项和，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·深圳期中）已知数列满足，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025高二下·深圳期中）包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（　　）
A．180 B．246 C．168 D．192
8．（2025高二下·深圳期中）从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2025高二下·深圳期中）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（　　）
A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变大
C．残差平方和变小 D．决定系数变小
10．（2025高二下·深圳期中）若，则下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2025高二下·深圳期中）若，则函数的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2025高二下·深圳期中）若随机变量，则　 　.
13．（2025高二下·深圳期中）若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是　 　．
14．（2025高二下·深圳期中）已知数列满足，为其前项和，则　 　．
四、解答题
15．（2025高二下·深圳期中）一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
16．（2025高二下·深圳期中）某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男 女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：
性别 购买意愿 合计
有愿意 无愿意
男性 22 18 40
女性 48 12 60
合计 70 30 100
（1）试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？
（2）企业随机致电8位无愿意购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望.
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2025高二下·深圳期中）甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．（2025高二下·深圳期中）已知数列的前项和为，且.
（1）证明： 为等比数列
（2）求数列的通项公式
（3）求数列的前 项和
19．（2025高二下·深圳期中）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性：
（2）当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
根据和正态曲线的对称性，可得，
则.
故答案为：B.
【分析】由随机变量服从正态分布 ，可得，再由已知条件，结合正态曲线的对称性，可得，最后根据求解即可.
2．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】解：依题意，，
所以集合有个元素，真子集的个数为个.
故答案为：C
【分析】令x=1，2，4，8得成立，得集合M元素个数，可得真子集个数.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：若数列是等差数列，设其首项为，公差为，
则，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，则充分性成立；
若数列是等差数列，取，则，符合要求，
但数列不为等差数列，则必要性不成立，
故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】若数列是等差数列，设其首项为，公差为，根据等差数列的性质，推得数列为等差数列，判断充分性成立，若数列是等差数列，取，使是等差数列，但不是等差数列，判断必要性不成立，从而可得正确答案.
4．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点坐标为，
曲线定义域为，，则切线的斜率为，切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故切线的斜率为.
故答案为：C.
【分析】设切点坐标为，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，最后根据切线过原点，代入原点坐标求出的值，即可得切线的斜率.
5．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列的前n项和，
所以，，，
又数列为等比数列，
所以数列的公比，
所以，所以，，
所以，
故，
故答案为：B.
【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项，可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
，，
将以上等式左右两边分别相加得：，即，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，利用累加法可得，即可求得的值.
7．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法，
再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法；
当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法，
综上可得一共有种排法.
故答案为：D.
【分析】先对除甲乙丙以外的三人进行全排列，再分甲乙相邻且与丙不相邻、甲与乙相邻且乙与丙相邻两种情况讨论，利用捆绑法和插空法求解即可.
8．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 这些数中是 的倍数，则甲取到的数是 的倍数，共有 中取法；
若甲取到的数是，而乙只能从 中取；
若甲取到的数，乙数可以从中取；
若甲取到的数，乙数可以从中取，
因此甲取到的数是5的倍数，甲数大于乙数的取法共有 种，
则甲取到的数是5的倍数，甲数大于乙数的概率是 .故答案为：A.
【分析】1到15中5的倍数得数有3个，先求甲取5的倍数得，甲乙取数包含的基本事件个数，再分甲取、10、15时，乙的取数包含的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；回归分析；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.
对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，
所以去掉点后，相关系数变大，故A错误；
对于B，由线性回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点后，回归直线靠近y轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B正确；
对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点后，
残差平方和变小，故C正确；
对于D，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点后，
决定系数变大，故D错误；
故选：BC.
【分析】根据图象，点较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.结合相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：，
A、令，则，故A错误；
B、令，则，故B正确；
C、令，则，故C正确；
D、令，则，
对等式两侧同时求导函数得，
令得，，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】给x分别赋值0，1，-1求解即可判断ABC；令，则，两边同时求导，再赋值求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：①、当时，，其图象为指数函数的一部分；
②、当为正的奇数时，函数定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，函数在处取得极小值，此时是负数；
4个选项中没有与以上两种情况对应的图象；
③、当为正的偶数时，函数的定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，且，故B正确；
④、当为负的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，
时，，则，故C正确；
⑤当为负的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】当时，函数，其图象为指数函数的一部分，再分为正的奇数、为正的偶数、为负的奇数、为负的偶数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断图象即可.
12．【答案】6.4
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征；二项分布
【解析】【解答】解：由，则
所以
故答案为：6.4
【分析】
由题意得随机变量符合二项分布，代入方差公式公式得由方差的性质得可得解.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得恰有两个实数根，显然时，不符合题意；
当时，令，解得，令，
，令，解得，
则在单调递增，单调递减，且有最大值，
综上可知：.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得恰有两个零点，显然时，不符合题意，时，令，解得，令，求导，利用导数判断其单调性，并求最值，据此可得实数的取值范围.
14．【答案】1830
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，
则，，，即，
同理，，，，，
同理可得，
由此可知，，，，构成首项为10，公差为16的等差数列，
则．
故答案为：.
【分析】根据递推公式计算数列的项，可得，，，构成首项为10，公差为16的等差数列，根据等差数列的求和公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法；
（2）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种；
（3）解：由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法；
（4）解：由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合数公式求解即可；
（2）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算全是男教师的选派方法，相减即可得结果；
（3）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任的选派方法，相减即可得结果；
（4）先计算从10名教师里选6名的选派方法，再计算没有主任和有主任且没有女教师的选派方法，相减即可得结果.
（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
16．【答案】（1）解：零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01；
（2）解：易知的可能取值为，
的分布列为：
1 2 3 4
.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再根据公式和列联表求出，比较判断即可；
（2）易知的可能取值为，根据服从超几何分布求得相应的概率，列分布列，根据分布列求数学期望即可.
（1）零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.
（2）的可能取值为，
所以的分布列为：
1 2 3 4
所以.
或根据超几何分布的数学期望有.
17．【答案】（1）解：由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，，
则第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）解：由题意知，X的所有可能值为2，4，6，
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，，
则随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意可知， 第二局比赛结束时比赛停止 ，则甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可；
（2）由题意知，X的所有可能值为2，4，6，根据独立事件的概率乘法公式求对应的概率，列分布列，再根据分布列求数学期望即可.
（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．
所以随机变量X的分布列为：
X 2 4 6
P
所以
18．【答案】（1）证明： 数列的前项和为，且，
由题意可得，即，
两边同时除以可得，
又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得，即，
当时，，化简可得，
当时，代入也成立，
所以；
（3）解：由（1）可得，
则，
，
两式作差可得，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用关系，结合等比数列的概念求解即可；
（2）由（1）得，即，再根据关系求数列的通项公式即可；
（3）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）由题意可得，即，
两边同时除以可得，
又，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
当时，，
化简可得，
当时，代入也成立，
所以.
（3）因为，
则，
，
两式作差可得，
所以.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：函数的定义域为，，，
令，
，，
①、当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，函数在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去，
②、当，即时，此时，
下面证明恒成立即可，即证，
令，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即，
综上可得，a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知当时，当时，，
即，令，则，化简可得，
所以，
即，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数讨论函数的单调性，求实数a的取值范围即可；
（3）利用(2)的结论：当时，，令，化简可得，再利用累加法求解证明即可.
（1）当时，，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
（2），，
令，
，
①当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去，
②当，即时，此时，
下面证明恒成立即可，即证，
令，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即
综上可得，a的取值范围为.
（3）由（2）知当时，当时，，
即，令，则，
化简可得，，
所以，
即，
所以.
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