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人教版数学七年级下册同步分层训练10.3 实际问题与二元一次方程组
一、夯实基础
1．（2025七下·德清期末） 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·浙江月考）列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（　　）
A．34 B．43 C．50 D．54
3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如：明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是(　　).
A．-1，1 B．1，3 C．3，1 D．1，1
4．（2025七下·杭州期末） 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七上·白云期末）若与是同类项，则　 　，　 　．
6．（2023七下·邹平期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为　 　里/小时．
7．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是　 　．
8．（2024七下·桃源期末）首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有　 　块．
9．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
10．（2025七下·射洪月考）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长．
二、能力提升
11．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
12．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则　 　．
13．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为　 　个．
14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为　 　元．
15．（2025七下·余姚期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区。如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m。
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由。
16．（2025七上·桂阳月考）东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5 24.5
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
（2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？
三、拓展创新
17．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
18．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
19．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得
故答案为： A.
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
∴阴影部分的面积之和为．
故答案为：D.
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于的二元一次方程组，求解，再利用阴影部分的面积之和＝大长方形的面积小长方形的面积计算即可．
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，列方程组如下
故答案为：A .
【分析】这是一道方程的实际应用问题，需要从文字中发现两个量，木头长度和绳子长度，找到它们之间的两个等量关系：绳子不对折时，比木头长4.5尺；绳子对折时，比木头短1尺。根据这两个等量关系就可以列出一元二次方程组。
5．【答案】2；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
解得，
故答案为：，．
【分析】本题主要考查同类项的概念。根据定义，同类项需满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。解题时需根据同类项的定义建立方程，然后通过解方程得出结果。
6．【答案】60
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里小时），
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为60里小时，
答：戴宗的速度为60里小时。
故答案为：60。
【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组：，然后再解方程组即可。
7．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
8．【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设白色皮块有x块，黑色皮块有y块，
根据题意，得，
解得，
则黑色皮块有12块，
故答案为：12．
【分析】设黑色皮块有x块，白色皮块有y块，根据“一个足球上共有黑白皮块共32块”，建立方程：x+y=32；每块白色皮有3条边与黑色皮相连，所以，黑色皮共有3x条边，而黑色皮共有5y条边，据此建立方程：3x=5y，联合以上两条方程即可求解
9．【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
10．【答案】解：设每块地砖的长为，宽为，由题意得：，
解得：，
∴每块地砖的长与宽分别为和，
∴所拼成的地面的周长．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设每块地砖的长为，宽为，根据示例图片， 通过分析地砖的排列方式即可得出方程组，解方程组求解即可。
11．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
12．【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
13．【答案】40
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作甲种纸盒个，乙种纸盒个，
甲种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，
乙种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，
由此得到方程组：
解得：
因此，制作的甲种纸盒的数量为个．
故答案为：40．
【分析】本题基于“资源总量与消耗分配的等量关系”，即现有正方形硬纸片和长方形硬纸片的总量是固定的，制作甲、乙两种纸盒时，这两种硬纸片的消耗数量之和分别等于其总量，通过分析甲、乙纸盒各自所需正方形、长方形硬纸片的数量，建立二元一次方程组来刻画这种“总量与消耗的平衡关系”，即可求解出甲种纸盒的数量.
14．【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，
由图知，，
由①②得：，
整理得：，
第三束气球的价格为元．
故答案为：．
【分析】设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，根据 一、二束气球列二元一次方程组，两方程相加求出4x+4y=36，即可得到第三束气球的价格.
15．【答案】（1）解：设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，
解得：
答：大棚的宽为14米，长为8米
（2）解：大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为：224×60 500=12940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为：224×70(1 20%)=12544(元)
显然：12544＜12940，所以选择方案二更好
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)设大棚的宽为a米，长为b米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，列出方程组求解即可；
(2)先判断面积是否超过100平方米 ，超过了再分别求出两种方案的造价进而得出答案，通过比较大小即可选出最佳方案.
16．【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，再根据运输的车辆数与总吨数，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出二元一次方程，再根据车辆数为正整数写出可能组合即可．
（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
17．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
18．【答案】（1）解：点A是“中山点”，理由如下：
，
点A是“中山点”。
（2）解：点B(k，3)是“中山点”，
，又，
解得.
（3）解：解方程组得
点C(x，y)是“中山点”，满足可求得
又，
.
整理得.
∵p，q是有理数，
∴，.
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先根据点A的坐标，求出m，n的值，然后把m，n的值代入 8m-6n=5，进行验证即可；
（2）根据“中山点”的定义，可得出方程组，解方程组，即可得出k的值；
(3)首先解 关于x，y的方程组 解得再根据“中山点”的定义，可求得，进一步根据m，n满足，可得出，再根据p，q是有理数，可求得p，q的值。
19．【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
1 / 1人教版数学七年级下册同步分层训练10.3 实际问题与二元一次方程组
一、夯实基础
1．（2025七下·德清期末） 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得
故答案为： A.
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
2．（2025七下·浙江月考）列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（　　）
A．34 B．43 C．50 D．54
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
∴阴影部分的面积之和为．
故答案为：D.
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于的二元一次方程组，求解，再利用阴影部分的面积之和＝大长方形的面积小长方形的面积计算即可．
3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如：明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是(　　).
A．-1，1 B．1，3 C．3，1 D．1，1
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
4．（2025七下·杭州期末） 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. 意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺. 设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，列方程组如下
故答案为：A .
【分析】这是一道方程的实际应用问题，需要从文字中发现两个量，木头长度和绳子长度，找到它们之间的两个等量关系：绳子不对折时，比木头长4.5尺；绳子对折时，比木头短1尺。根据这两个等量关系就可以列出一元二次方程组。
5．（2025七上·白云期末）若与是同类项，则　 　，　 　．
【答案】2；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
解得，
故答案为：，．
【分析】本题主要考查同类项的概念。根据定义，同类项需满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。解题时需根据同类项的定义建立方程，然后通过解方程得出结果。
6．（2023七下·邹平期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为　 　里/小时．
【答案】60
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里小时），
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为60里小时，
答：戴宗的速度为60里小时。
故答案为：60。
【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组：，然后再解方程组即可。
7．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
8．（2024七下·桃源期末）首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有　 　块．
【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设白色皮块有x块，黑色皮块有y块，
根据题意，得，
解得，
则黑色皮块有12块，
故答案为：12．
【分析】设黑色皮块有x块，白色皮块有y块，根据“一个足球上共有黑白皮块共32块”，建立方程：x+y=32；每块白色皮有3条边与黑色皮相连，所以，黑色皮共有3x条边，而黑色皮共有5y条边，据此建立方程：3x=5y，联合以上两条方程即可求解
9．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
10．（2025七下·射洪月考）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长．
【答案】解：设每块地砖的长为，宽为，由题意得：，
解得：，
∴每块地砖的长与宽分别为和，
∴所拼成的地面的周长．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设每块地砖的长为，宽为，根据示例图片， 通过分析地砖的排列方式即可得出方程组，解方程组求解即可。
二、能力提升
11．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
12．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则　 　．
【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
13．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒若干个，则制作的甲种纸盒的数量为　 　个．
【答案】40
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作甲种纸盒个，乙种纸盒个，
甲种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，
乙种无盖长方体纸盒需要张正方形硬纸片和张长方形硬纸片，
由此得到方程组：
解得：
因此，制作的甲种纸盒的数量为个．
故答案为：40．
【分析】本题基于“资源总量与消耗分配的等量关系”，即现有正方形硬纸片和长方形硬纸片的总量是固定的，制作甲、乙两种纸盒时，这两种硬纸片的消耗数量之和分别等于其总量，通过分析甲、乙纸盒各自所需正方形、长方形硬纸片的数量，建立二元一次方程组来刻画这种“总量与消耗的平衡关系”，即可求解出甲种纸盒的数量.
14．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为　 　元．
【答案】18
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，
由图知，，
由①②得：，
整理得：，
第三束气球的价格为元．
故答案为：．
【分析】设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元，根据 一、二束气球列二元一次方程组，两方程相加求出4x+4y=36，即可得到第三束气球的价格.
15．（2025七下·余姚期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区。如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m。
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由。
【答案】（1）解：设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，
解得：
答：大棚的宽为14米，长为8米
（2）解：大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为：224×60 500=12940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为：224×70(1 20%)=12544(元)
显然：12544＜12940，所以选择方案二更好
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)设大棚的宽为a米，长为b米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，列出方程组求解即可；
(2)先判断面积是否超过100平方米 ，超过了再分别求出两种方案的造价进而得出答案，通过比较大小即可选出最佳方案.
16．（2025七上·桂阳月考）东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第1次 3 2 14
第2次 4 5 24.5
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？
（2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？
【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）先设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，再根据运输的车辆数与总吨数，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出二元一次方程，再根据车辆数为正整数写出可能组合即可．
（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴，
∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车．
三、拓展创新
17．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
18．（2025七下·中山期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足8m-6n=5，那么就称点P（1+n，1-2m）为“中山点”
（1）判断点是否为“中山点”，并说明理由；
（2）若点B（k，3）是“中山点”，求k的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“中山点”，求p，q的值.
【答案】（1）解：点A是“中山点”，理由如下：
，
点A是“中山点”。
（2）解：点B(k，3)是“中山点”，
，又，
解得.
（3）解：解方程组得
点C(x，y)是“中山点”，满足可求得
又，
.
整理得.
∵p，q是有理数，
∴，.
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先根据点A的坐标，求出m，n的值，然后把m，n的值代入 8m-6n=5，进行验证即可；
（2）根据“中山点”的定义，可得出方程组，解方程组，即可得出k的值；
(3)首先解 关于x，y的方程组 解得再根据“中山点”的定义，可求得，进一步根据m，n满足，可得出，再根据p，q是有理数，可求得p，q的值。
19．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
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