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复兴中学 2025-2026 学年第二学期高三年级数学摸底考
2026.3
一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题 每题 5 分)
1. 设全集 ，则 _____
2. 抛物线 的焦点坐标为_____.
3. 双曲线 的渐近线方程是_____.
4. 数列 中， ， ，则 _____.
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 1 的正方形，则该圆柱的体积是_____.
6. 设 ,若 的展开式中 项的系数为 10,则 _____.
7. 设 ,则 的最小值为_____.
8. 已知两个随机事件 ,若 ,则 _____.
9. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况,为了解植物高度 (单位:厘米) 与生长期 (单位: 天) 之间的关系, 随机统计了某 4 天的植物高度, 并制作了如下对照表:
生长期 3 9 11 17
植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2
由表中数据可得经验回归方程 中 ,试预测生长期是 30 天时,植物高度约为_____厘米.
10. 已知正方体 的棱长为 分别为 的中点,点 在正方体表面上运动，且 平面 ，则动点 的轨迹(包含 ， )所围成图形面积为_____.
11. 雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小. 为了简化问题小明做出下列假设:
假设 1: 小明把人假设为身高、肩宽分别为 的矩形 "纸片人";
假设 2: 受风的影响,雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为 的直线;
假设 3: 伞柄 长为 ,可绕矩形 “纸片人” 上点 旋转;
假设 4: 伞面为被伞柄 垂直平分的线段 .
如图, 在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时, 求其 “裤脚 ”被淋湿(阴影)部分的面积_____(结果精确到 )；
12. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,则 所有可能的取值个数为_____.
二、选择题(本大题共 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题 每题 5 分)
13. ( ”的一个必要非充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
14. 已知 ,函数 ,存在常数 ,使得 为偶函数, 则 可能的值为( )
A. B. C. D.
15. 设 为正整数,空间中 个单位向量构成集合 ,若存在实数 ,满足对任意 ,都有 ,则当 取得最大值时, 的值为 ( )
A. B. C. D.
16. 已知函数 的定义域为 ,对定义域内任意的 的取值为 或 . 有如下两个命题:①若有且仅有 2025 个实数 使得关于 的方程 只有 1 个解,则函数 至少存在 2025 个严格减区间; ②若对任意满足条件的函数 ,方程 都有解,则实数 存在 4051 个可能的取值; 则 ( )
A. ①正确；②正确 B. ①正确；②错误
C. ①错误；②正确 D. ①错误；②错误
三、解答题(本大题共有 78 分，第 17 ~19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分)
17. 某公司生产的糖果每包标识“净含量 500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量 (单位: ) 服从正态分布 .
(1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过 5g 的概率(精确到 0.001)；
(2)随机抽取 3 包该公司生产的糖果，记其中净含量小于 497.5g 的包数为 . 求 的分布和期望(精确到 0.001).
参考数据: ,其中 为标准正态分布函数.
18. 已知函数 , e 为自然常数.
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上有最小值 -2,求实数 的值.
19. 如图,等腰直角三角形 中, 为 中点, 分别为 边上的动点,且 ,将三角形 沿 折起,使点 折至点 的位置,二面角 大小为 ,连接 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若点 为 中点，求异面直线 与 所成的角的大小；
(3)试判断直线 与平面 所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在, 请说明理由.
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,短轴长为 2,点 是 上位于第一象限内的一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ， ，三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，若 ,求点 的坐标;
(3)设直线 与 交于另外一点 ，直线 与 交于另外一点 ， 为直线 上一点，问是否存在实数 满足 ,使得 为定值？若存在,求出 和定值; 若不存在,请说明理由.
21. 若函数 满足: 对于任意 ,均有 为正整数)成立，则称函数 具有“ 级”性质.
(1)分别判断 是否具有 “ 1 级”性质，并说明理由；
(2)已知定义域为 的函数 具有 “ 2 级”性质,求证: 对于任意的 ，都有
(3)已知定义域为 的函数 具有“3 级”性质，求证:函数 为常值函数.
1.
全集 ,则 . 故答案为: .
2.
由题意抛物线的标准方程为 ,所以其焦点坐标为 . 故答案为: .
3.
根据双曲线的渐近线公式得到 故答案为 .
4. 2
,即 是等比数列,公比为 , .
故答案为: 2 .
5.
依题意可得,圆柱的高为 1,底面周长为 1,则底面半径为 ,
所以圆柱体积为 .
故答案为: .
6. 2
项为 ,
由 .
故答案为: 2
7. 4
由 ,得
,当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为 4 .
故答案为: 4
8.
由题意 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: .
9. 7.7
由题意可得 ,
所以 ,
所以经验回归方程为 ,
所以预测生长期是 30 天时,
植物高度约为 (厘米).
故答案为:7.7 .
10.
如图,分别取 ,的中点 ,
连接 ,
则 ,又 平面 平面 ,
所以 平面 ,
同理 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,
在正方体中,易知 平面 ,
所以 平面 ,
又点 在正方体表面上运动,
故 点的轨迹为正六边形 EFGNHM ,
因为正方体 的棱长为 2,即 ，
所以 ,
故正六边形 EFGNHM 的面积为 .
故答案为: .
11.
如图所示,过 作对边的垂线,垂足为点 ,过点 作对边的垂线,垂足为点 , 连接 ,
由题意 ， ，
因为 为 得中点,所以 ，又 ，所以 ， ， 又 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
,
所以 ，
所以 ,
所以阴影部分面积为 .
故答案为:
12. 14
已知 ,两边同时平方可得 . 通过累加法得到 的表达式:
当 时:
...
将以上 个式子累加可得:
因为 ,且 ,所以 .
当 时, .
又因为 ,所以 ,代入上式可得:
由求根公式可得 .
因为 为实数,所以 ,即 .
分析 的可能取值个数:
因为 ,所以 的值由 决定.
又因为 ,所以 .
当 时， ；当 时， .
以此类推, 的值有多种可能.
而 的取值取决于 的取值.
通过分析可知, 的取值为 ,共 14 个.
故答案为: 14 .
13. C
对于选项 ,由 ,得到 ,即 ,所以 可得 ,故选项 A 错误,
对于选项 ,由 ,得到 ,所以 可得 ,故选项 错误,
对于选项 ,由 ,得到 ,即 ,所以 推不出 ,
但 可以得出 ,故选项 正确,
对于选项 ,由 ,得到 ,
又 ,当且仅当 时取等号,显然 不满足题意,
则 ,即 ,
又当 ,有 ,所以 是 的充要条件,故选项 D 错误,
故选: C.
14. C
由函数 ,存在常数 ,使得 为偶函数, 则 ,
由于函数为偶函数，
故 ,
所以 ,
当 时, .
故选: C.
15. C
令集合 的各向量起点为 ,对应终点依次为 ,
由向量 为单位向量,则点 在以 为球心,1 为半径的球面上,
由 ,得点 中任意三点不共线,
由 ,得 ,则 ,
由 ,同理得 ,而点 不共线,
于是点 不共面,点 为球 内接正四面体的 4 个顶点,
若 ,不妨取 ,同理得 平面 ,
又 ,由过一点有且只有一个平面垂直于已知直线,得点 平面 ,
与点 不共面矛盾,因此 ,设正四面体 的棱长为 ,
则正 的外接圆半径为 ,正四面体的高为 , 球心到平面 的距离为 ,因此 ,解得 , 所以 .
故选: C
16. B
由函数 的定义域为 ,对定义域内任意的 的取值为 或 .
①若有且仅有 2025 个实数 使得关于 的方程 只有 1 个解，
由当 时, ,无意义,此时 ,
即对所有的 ,均有 ,
由题意有且仅有 2025 个实数 使得关于 的方程 只有 1 个解,
说明当 ，且 ，时 ，
从而在区间 内包含函数 的 2025 个周期,必有 2025 个严格递减区间.
从而在区间 内至少存在 2025 个严格递减区间. 命题①为真.
②由 与 在 内有 4050 个交点
由定义域内任意的 的取值为 或 ,
对任意满足条件的函数 ,方程 都有解,
只要实数 取上述交点纵坐标,则不论 取值为 或 ,
方程 都有解,
故 存在 4050 个可能的取值,命题②为错误.
17.(1) 由题意, 的概率等于 .
令 ,则 .
因此,
.
故净含量误差超过 的概率约为 0.046 .
(2) 可能的取值为 .
由(1)可知，任取一包糖果，净含量小于 的概率为 .
故 服从二项分布 ,记 ,
从而 的分布为
0 1 2 3
0.595 0.337 0.064 0.004
因此 .
18.
(2)
(1) 当 时, ,则 ,
所以 ,又 ,
所以函数 在 处的切线方程为 , 即 .
(2) ,
易得当 时, 在 上单调递减,
所以 ;
当 时,令 ,
若 ,则 在 上单调递增,
所以 ,矛盾舍去;
若 ,即 ,则 在 上单调递减,
所以 ,矛盾舍去;
若 ,即 ,则 在 上单调递减,在 上递增,
,矛盾舍去.
综上 .
19. (1)证明见解析
(2)
(3)存在， .
(1) 由 ,得 ,则 ,
因此 ,而 平面 ,
所以 平面 .
(2)连接 ，由点 为 中点， ，得 是 的中点，而 为 中点， 则 ， 是异面直线 与 所成的角或其补角，
由(1)得 是二面角 的平面角， ，令 ，
则 是正三角形， ，由( 1 )得 ，于是 ，
而 ,在等腰 中, ,则 ,
所以异面直线 与 所成的角的大小为 .
(3)作 于点 ，由 平面 ， 平面 ，得 ，
而 平面 ,则 平面 ,
又 平面 平面 ,于是 平面 ,
点 到平面 距离等于点 到平面 距离 ,
设 ,直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
而 ,因此 ,令 ,
则 ,当且仅当 时取等号,
因此 ,又 为锐角,则 ,
所以直线 与平面 所成的角的大小存在最大值,最大值为 .
20. (1)
(2)
(3)存在, ,定值为 .
(1)由椭圆 的短轴长为 2 可得, ,
由离心率为 可得, ,
又 ,所以 ,
椭圆 的方程为 .
(2)由(1)可知， ， ，
所以直线 的方程为 ,即 .
设 ,则 ①，且 ，
点 到直线 的距离 ,
因为 ,所以 .②,
联立①②，且 ，解得 .
故点 的坐标为 .
(3)设 ， ， ， .
直线 的方程为 ,
由 ,得 ,
有 ,解得 ,
所以 ,
当 时,直线 的方程为 ,
由 ,得 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,经检验,当 时,结论也成立,
由 ,得 ,
,
,
. 所以
令 ,解得 ,
此时 , 故存在 满足条件,此时 ,定值为 .
21.(1) 当 时,取 ,则 ,
故 不具有 “ 1 级” 性质.
当 时, ,
故 具有 “ 1 级” 性质.
(2)对任意的 ，取 ，
因为 具有 “ 2 级” 性质,故 ,
同理 ,
故 .
(3)若 不是常值函数，则存在 ， ，
不妨设 ，对任意的正整数 ，将区间 等分，得如下分点:
因为 具有 “ 3 级” 性质,
故 ,
而
当 时, 不成立,
这与正整数 的任意性矛盾,故 是常值函数.

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