资源简介

2026北京房山高三一模
数 学
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
（1）已知集合M ={ x | 5 x 3}，N ={ x | x2 16 }，则集合M N =
（A）{ x | 4 x 3} （B）{ x | 5 x 3}
（C）{ x | 4 x 4 } （D）{ x | 5 x 4 }
（2）若复数 z满足 i z =1+ i，则 | z | =
（A）1 （B） 2
2
（C） 2 （D）
2
6
（3） (1+ x) 的二项展开式中的一项是
（A） x2 3 （B）15x
（ ） 6x2 3C （D） 20x
（4）若直线2x my + 6 = 0是圆 (x 1)2 + (y 2)2 = 4的一条对称轴，则实数m =
（A） 2 （B） 4
（C）6 （D）8
（5）若{an}是以 d 为公差的等差数列，bn = 2an +1(n

N )，则等差数列{bn}的公差为
（A） 2 （B） 2d +1
（C） d （D） 2d
（6）已知抛物线C : y2 = 4x的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线交于M，N 两点，若 |MF | = 2，则
|MN | =
（A） 4 （B）5 （C）6 （D）7
（7）设 ， 是两个不同的平面， l，m，n是三条不同的直线， α ⊥ β，α β = l，
m α， n β ，则“m ⊥ n”是“ l ⊥ m或 l ⊥ n”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
第1页/共10页
（8） 2025 年我国新能源汽车产量突破1 600万辆．某车企研发了一款新型电池，使用 t (t≤15) 年后的容量
λt
为 h(t) = 0.25e + 0.75 ，其中 λ为常数．已知该电池使用 3年后容量衰减为初始 (t = 0 时 ) 容量的
90% ．若要保证电池容量不低于初始容量的80% ，则该电池最长可使用约
（参考数据： ln 3 1.10， ln 5 1.61）
（A） 7 年 （B）8年
（C） 9 年 （D）10 年
a(x + 2)，x a，

（9）设 0 a 1，函数 f (x) =
2 2
a x ， a≤ x≤ a，则 f (x)
a(x 2)，x a .

（A）是偶函数，且有最大值 （B）是偶函数，且没有最大值
（C）是奇函数，且有最大值 （D）是奇函数，且没有最大值

（10）已知平面直角坐标系 xOy中，OA OB = 0 ， | AB |= 2 ，C(3，4) ，则CA CB的取值范围是
（A）[15，35] （B）[ 15，35]
（C） [16，36] （D） [ 16，36]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
x2 y2
（11）双曲线 =1的离心率为 ．
9 7
1 3
（12）在平面直角坐标系 xOy中，角 以Ox为始边，终边过点M ( ， )，则 sin = ；将点M绕着
2 2
π
原点O逆时针旋转 得到点 N，则点 N的纵坐标为 ．
3
（13）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某 AI 科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户
输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正
确答案的概率为 0.8；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为 0.3，且每次生成
答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为 0.9 ，估计对于该用户此软件生成
正确答案的概率为 ．
π
（14）设函数 f (x) = cos( x ) ( 0)，若 f (x) 在区间 (0，π)上有且只有一条对称轴，
3
则 的一个取值为 ．
（15）如图，在正方体 ABCD A1B1C1D |1中， AB| = 2， D1 C1
A B11
点 E满足 AE = xAB + yAD1 (0≤ x≤1，0≤ y≤1)，
F为 AB的中点，给出下列四个结论： D C
①若 |AE| = |CE|，则点 E的轨迹的长度为 2 3 ；
A F B
第2页/共10页
②若CE ⊥ BD1，则点 E的轨迹的长度为 6 ；
③若 |AE|+ |BE| = 6 ，则 |EF | 的最小值为 2 2 ；
④若 |AE| |BE| =1，则 |EF | 的最小值为 1 .
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = 2 3sinxcosx cos2x．
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期和值域 ；
（Ⅱ）设△ABC中， f (B) = 2， a = 5，b = 7 ，求△ABC的面积 ．
（17）（本小题 14 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中， ABCD为正方形，CDEF 为矩形， AD = 3 ，DE = 2．
（Ⅰ）求证： BF // 平面 ACE；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体 ABCDEF 存在且唯
一确定．求直线 AB与平面 AEC所成角的正弦值．
E F
条件①：DE ⊥ AC；
条件②： AE = EC；
2 D C
条件③： tan DAE = ．
3
A B
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条
件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未
来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 2 000 名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据
进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 2023-2025 年各季度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023 年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024 年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025 年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 t [0，100) 时，消费者信心处于弱信心区
间，信心指数 t [100，200)时，消费者信心处于强信心区间．
假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．
第3页/共10页
（Ⅰ）从上述 12 个季度中随机抽取 1 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（Ⅱ）从 2024 年和 2025 年各随机抽取 1 个季度，记这 2 个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为
X ，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ） 2025 年 3 月国家发布《提振消费专项行动方案》．记 2025 年第 i季度消费者信心指数较上一季度
的增长率为 x i (i =1，2，3，4) ．据估计：2026 年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等
于 x1 ，x2 ，x3 ，x4 中的最大值，写出 2026 年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = xe
1 x．
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）设 g(x) = f (x) ，分别讨论函数 f (x) 与 g(x) 在 ( ，+ )上的单调性；
（Ⅲ）证明：当 0 t x时， f (t) + f (x) f (t + x) ．
（20）（本小题 15 分）
x2 y2 6
已知椭圆 E : + =1(a b 0)的离心率为 ， A，C分别是 E的上、下顶点， B，D分别是 E的左、
a2 b2 3
右顶点，且 |BD| = 2 3 ．设 P (x0 ，y0 ) (x0 0，y0 0) 为椭圆 E上的动点，过点 P的直线 l与椭圆有且只有
一个公共点，直线 l与直线 x = a交于点M，直线 AP与直线CD交于点 N．
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）求证：直线MN与CD的夹角为定值．
（21）（本小题 15 分）
已知数列{an} : a1，a2，a3， ，ak ， k

N ，若集合{i1，i2，i3， ，ik } ={1，2，3， ，k}，则称数列
a i ，a i ，a i ， ，a i 为数列{an} 的一个置换． 1 2 3 k
（Ⅰ）求数列{an} :1，2，4，8，16，32，64，128 的任意置换的前 6 项和的最大值；
（Ⅱ）已知数列{an} :1，2，3，4，5，6，7 ．写出{an}的一个置换，使得该置换的前 n项的和 S n 满足：存
在m

N ， S 6 = 2Sm．对任意 p， q R，数列{pan + q}是否也存在一个置换，使得该置换的前 n

项的和 S n 满足：存在 r N ， S 6 = 2S r？说明理由；
（Ⅲ）在项数为 2k +1 ( k N ) 的数列{cn}中， cn N ，n =1，2， ，2k +1，证明：“数列{cn}为常数列”
的充要条件为 “在数列{cn}的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 S 2k = 2S k ”．
第4页/共10页
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）C （3）D （4）B （5）D
（6）A （7）C （8）C （9）B （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
4 3 3
（11） （12）
3 2 2
（13） 0.75 （14）1 (答案不唯一)
（15）① ② ③
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）

解：（Ⅰ）因为 f (x) = 3sin 2x cos2x = 2sin(2x )，
6
2
所以 f (x) 的最小正周期T = = ．
2

因为 x R，所以 1≤ sin(2x )≤1， 2≤ 2sin(2x )≤ 2 ．
6 6
所以 f (x) 的值域为 [ 2，2] ． ………… 6 分

（Ⅱ）因为在△ABC中，由 f (B) = 2，得 2sin(2B ) = 2，即 sin(2B ) =1．
6 6
11
因为 0 B ，所以 2B ．
6 6 6

所以 2B = ，解得 B = ．
6 2 3
2 2 2
由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accosB，得 7 =5 + c 2 5 ccos ，即 c2 5c 24 = 0 ．
3
解得 c = 8或 c = 3（舍）．
1 1 3
所以△ABC的面积为 S = a csinB = 5 8 =10 3 . ………… 13 分
2 2 2
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为四边形 ABCD为正方形，所以 AB//CD，且 AB = CD．
因为四边形CDEF 为矩形，所以CD//EF ，且CD = EF ．
所以 AB//EF ，且 AB = EF．即四边形 ABFE是平行四边形．
所以 AE //BF，又因为 AE 平面 ACE， BF 平面 ACE，
所以 BF // 平面 ACE． ………… 6 分
第5页/共10页
（Ⅱ）选择条件①：DE ⊥ AC．
因为四边形CDEF 为矩形，所以DE ⊥ DC．
z
又因为DE ⊥ AC， AC DC = C， E F
所以DE ⊥平面 ABCD．
D C
y
故DE ⊥ AD .
A B
又因为 ABCD为正方形，所以DE，AD，DC 两两垂直． x
如图建立空间直角坐标系D xyz，

则 A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0 ，3 ，0) ，E(0 ，0 ，2)， AC = ( 3，3，0)，AE = ( 3，0，2)，AB = (0，3，0) ．

AC n = 0， 3x + 3y = 0，
设平面 ACE的法向量为 n = (x，y，z) ，则 即
AE n = 0 . 3y + 2z = 0 .
令 x = 2 ，则 y = 2，z = 3，于是 n = (2，2，3)．
设直线 AB与平面 AEC所成角为 ，则

| AB n | 6 2 17
sin = |cos AB，n | = = = ．
| AB || n | 3 17 17
2 17
所以直线 AB与平面 AEC所成角的正弦值为 ． ………… 14 分
17
选择条件②： AE = EC．
因为 AE = EC， AD = CD，DE =DE，
所以△ADE≌△CDE．
因为四边形CDEF 为矩形，所以DE ⊥ DC．
π
所以 ADE = CDE = ，所以DE ⊥DA．
2
又因为 ABCD为正方形，所以DE，AD，DC 两两垂直．
接下来同选择条件①．
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）记事件 A为：“从上述12 个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间”，
上述12 个季度中，消费者信心处于强信心区间的有 2023 年 4 个季度，2024 年 2 个季度，
2025 年1个季度，共 4 + 2 +1= 7个季度；
7
估计 P(A) = ． ………… 3 分
12
（Ⅱ） X 的取值范围为{0，1，2}．
2 1
从 2024 年 4 个季度中随机抽取1个季度，消费者信心处于强信心区间的概率为 P1 = = ；
4 2
1
从 2025 年 4 个季度中随机抽取1个季度，消费者信心处于强信心区间的概率 P2 = ；
4
第6页/共10页
1 1 6 3
P(X = 0) = (1 )(1 ) = = ；
2 4 16 8
1 1 1 1 1
P(X =1) = (1 ) + (1 ) = ；
2 4 2 4 2
1 1 1
P(X = 2) = = ．
2 4 8
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 3 1 1
8 2 8
3 1 1 3
数学期望 E(X ) = 0 +1 + 2 = . ………… 10 分
8 2 8 4
（Ⅲ）111.4 ………… 13 分
（19）（本小题 15 分）
1 2 2 2
解：（Ⅰ）因为 f (2) = 2e = ，所以切点为 (2， )．
e e
1
因为 f (x) = ( xe1 x ) = e1 x + xe1 x = (x 1)e1 x ，所以切线斜率 k = f (2) = ．
e
1 4
所以 f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程为： y = x ，即 x ey 4 = 0． ………… 5 分
e e
（Ⅱ） 由 f (x) 0得 x 1， f (x) 在 (1，+ )上单调递增；
由 f (x) 0得 x 1， f (x) 在 ( ，1)上单调递减．
因为 g(x) = f (x) = (x 1)e1 x， y
f''(x)
y=f'(x)
所以 g (x) = e1 x (x 1)e1 x = (2 x)e1 x． xO 1 2
y = f(x)
由 g (x) 0 得 x 2 ， g(x) 在 ( ，2)上单调递增；
由 g (x) 0得 x 2 ， g(x) 在 (2，+ )上单调递减． ………… 10 分
（Ⅲ）因为 0 t x，所以 x x+ t．
g(xP + xQ) = –0.80
①当 x≥1时，1≤ x x + t，由（Ⅱ）知 f (x) 在[1，+ ) 上单调递增，
所以 f (x) f (x + t) ．
因为 t 0，所以 f (t) = te1 t 0．
所以 f (t) + f (x) f (t + x) ．
第7页/共10页
②当 0 x 1时，令 h(x) = f (t) + f (x) f (x + t)，则
h (x) = f (x) f (t + x)． 0 x t + x 2 ．
由（Ⅱ）知 g(x) = f (x) 在 (0，2) 上单调递增，所以 f (x) f (t + x)．
所以 h (x) 0．
所以 h(x) 在 (0，1) 上单调递减． h(x) 在[0，1)上单调递减．
所以 h(x) h(0) = f (0) = 0，即当 0 x 1时， f (t) + f (x) f (x + t) 0．
综上，当 0 t x时， f (t) + f (x) f (t + x) ． ………… 15 分
（20）（本小题 15 分）
4 a2 + b2 = 8，

c 6
解：（Ⅰ）由题设得 = ， 解得 a = 3，b =1．
a 3
a2 = b2 + c2.

x2
所以 E的方程为 + y2 =1． ………… 5 分
3
（Ⅱ）由 P (x0 ，y0 ) (x0 0，y0 0) 在椭圆上，得 x
2 2
0 + 3y0 = 3．
依题意可得直线 l的斜率存在，设 l方程为 y = kx +m．则m = y0 kx0 ．
y = kx +m，

由 2 得， (3k 2 +1)x 2 y x + 6kmx + 3m
2 3 = 0 ．
+ y
2 =1 A
3
由Δ = 0 得，3k 2 +1 m 2 = 0 ． B O D x
N
3k 2 +1 m 2 = 0， MC
P
由 m = y0 kx
2
0 ， 得9y0k + 6x0 y0k + x
2
0 = 0 ．

x 2 + 3y 2 0 0 = 3
x
k = 0
1
解得 ，m = ．
3y0 y0
x = 3 3 x
设M ( 3，yM ) ，由 得， yM = 3k +m =
0 ．
y = kx +m 3y0
直线 AP，CD的方程分别为： (y0 1)x x0 y + x0 = 0， x 3y 3 = 0 ．
因为点 P不在直线CD上，所以 x0 3y0 + 3 0 ．
(y0 1)x x0y + x0 = 0 x
由 得， y 0
+ 3y0 3
N = ．
x 3y 3 = 0 x0 3y0 + 3
第8页/共10页
2 2
( 3 x0 )(x0 3y0 + 3) 3y0(x0 + 3y0 3) 3 x= 0
3y0
所以 yM yN = = 0
3y0 (x0 3y0 + 3) 3y0 (x0 3y0 + 3)
所以 yM = yN．
因为 x0 + 3y0 3 0 ，所以MN // x轴．
3 π
又直线CD的斜率为 k = ，所以直线MN 与直线CD的夹角的大小为 ，为定值．…… 15 分
3 6
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）数列{an}的每个置换的前 6 项和 S 6 = S8 a i a j ≤ S8 1 2 = 253 ． …………2 分
当置换为 4，8，16，32，64，128，1，2 时， S 6 = 252．
所以 S 6 的最大值为 252 ． …………4 分
（Ⅱ）数列{an}的一个置换：1，3，7，2，4，5，6 ，存在m = 3，使得 S 6 = 2Sm．…………6 分
对任意 p，q R，数列{pan + q}，存在一个置换为：
p + q，3p + q，7p + q，2p + q，4p + q，5p + q，6p + q，
存在 r = 3，使得 S 6 = 22p + 6q = 2S r． …………8 分
（Ⅲ）必要性：
因为数列{cn}为常数列，每个置换是常数列，存在m = k， S 2k = 2kc1 = 2S k．…………9 分
充分性：“{cn}的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 S 2k = 2S k ．”称{cn}具有性
质 P．
由 ci + S 2k = S 2k+1 ，得 ci + 2S k = S 2k+1 ．又因为 2S k 为偶数， S

2k+1 N 为定值，
所以数列{cn}的所有项的奇偶性相同．称{cn}具有性质Q． …………11 分
1
对具有性质Q的数列施加变换M：若{an} 的所有项均为偶数，令bn = an；
2
1
若{an}的所有项均为奇数，令bn = (an +1) ．得到数列{bn}．
2
1
（1）若{an}的所有项均为偶数，bn = an，
2
则“{an}具有性质 P”等价于“{bn}具有性质 P”．
1
又因为 a n N ，所以bn = an an．且数列{bn}具有性质Q． …………12 分
2
第9页/共10页
1
（2）若{an} 的所有项均为奇数，bn = (an +1) ，
2
则“{an}具有性质 P”等价于“{bn}具有性质 P”．
又因为 a
1
n N ，所以bn = (an +1)≤ an ，当且仅当 an =1时取等号．
2
且数列{bn}具有性质Q． …………13 分
总之，对数列施加变换M，数列保持性质 P和性质Q不变．
对数列{cn}施加 (cn ) max 1次变换M后，得到常数列{bn}：1，1，1， ，1． …………14 分
常数列{bn}：1，1，1， ，1，经过 (cn ) max 1次相反的变换： an = 2bn 1或者 an = 2bn，每次得到的数
列都是常数列，最终得到数列{cn}，且数列{cn}为常数列． …………15 分
第10页/共10页

展开更多......

收起↑