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(共12张PPT)
21.1　四边形及多边形
第2课时　多边形及其内角和
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （云南中考）一个六边形的内角和等于（　C　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
2. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
C
C
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3. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是六边形的外角，其中∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝320°，则∠1的度数为（　B　）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
第3题
B
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4. 新情境 现实生活 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，同样向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点O时，一共走的路程是（　C　）
A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米
第4题
C
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5. ★如图所示为正n边形纸片的一部分，其中∠B，∠C和边BC，AB，CD是完整的，直线l与边AB，CD相交.若α＋β＝90°，则n的值为（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第5题
C
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 正九边形的每一个内角的度数是 　140°　.
7. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则该正多边形的内角和是 　1 440°　.
8. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与和它相邻的外角的度数比为7∶2，这个多边形的内角和是 　1 260°　.
140°　
1 440°　
1 260°　
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9. 如图，在正五边形ABCDE中，连接两条对角线AD，BD，则∠ADB的度数为 　36°　.
第9题
36°　
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10. ★如图，在八边形ABCDEFGH中，HA，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的邻补角之和等于200°，则∠AOD的度数为 　20°　.
第10题
20°　
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三、 解答题（共50分）
11. （14分）如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝100°，∠B＝120°.求∠C的度数.
解：∵ AE∥CD，∴ ∠D＋∠E＝180°.∵ 五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°，∴ ∠C＝540°－（∠A＋∠B＋∠D＋∠E）＝540°－（100°＋120°＋180°）＝140°
第11题
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12. （16分）（教材P53习题21.1第6题变式）如图，在n边形的边上取一点P，连接点P与n边形的各个顶点（除点P所在的边上的2个顶点），请你利用这种方法推导n边形的内角和公式.
解：由图可知，在n边形的边上取一点P，连接点P与n边形的各个顶点（除点P所在的边上的2个顶点），可以将n边形分成（n－1）个三角形.∵ 三角形的内角和是180°，∠AnPA1＋∠A2PA3＋∠A3PA4＋∠A4PA5＋∠A5PA6＋…＋∠An－1PAn＝180°，∴ 这个多边形的内角和为180°×（n－1）－180°＝180°×（n－1－1）＝（n－2）×180°
第12题
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13. ★（20分）如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且∠DAB＝60°.
（1） 在不添加任何字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行线；
解：（1） EF∥BC，AF∥CD，EF∥AD，BC∥AD，AB∥DE
第13题
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（2） 选择（1）中的一组平行线，说明其成立的理由.
解：（2） 答案不唯一，如选择AB∥DE　理由：∵ 六边形的内角和为（6－2）×180°＝720°，六边形ABCDEF的内角都相等，∴ 每个内角的度数为720°÷6＝120°.又∵ ∠DAB＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，∴ ∠CDA＝360°－∠DAB－∠B－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°.∴ ∠EDA＝∠EDC－∠CDA＝120°－60°＝60°.∴ ∠EDA＝∠DAB＝60°.∴ AB∥DE.
第13题
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13(共13张PPT)
21.1　四边形及多边形
第1课时　四边形及其内角和
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 一个四边形的四个内角度数之比为1∶2∶4∶5，则这个四边形中，最小的内角为（　A　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
2. 四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能（　C　）
A. 都是钝角 B. 都是锐角
C. 一个是锐角、一个是钝角 D. 一个是锐角、一个是直角
A
C
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3. （教材P49练习第3题变式）小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，下列选项中，最好的加固方案是（　B　）
A B C D
B
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4. 如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE. 如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C的度数为（　B　）
A. 40° B. 60° C. 50° D. 55°
第4题
B
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5. 如图，∠1＋∠2＋∠M＋∠N＋∠P＋∠Q的度数为（　B　）
A. 300° B. 360° C. 400° D. 480°
第5题
B
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 新情境 现实生活 如图，活动挂架、放缩尺都做成了四边形，它们利用了四边形的 　不稳定性　（填“稳定性”或“不稳定性”）.
第6题
不稳定性　
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7. 如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度数为 　140°　.
8. 如图，学校有一块四边形试验田，现被分割成A，B两块，由图可知，x－y＝ 　3°　.
第7题 第8题
140°　
3°　
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9. 如图，在四边形ABDC中，∠ACD与∠BDC的平分线相交于点P，且∠A＝70°，∠B＝80°，则∠P的度数为 　75°　.
第9题
10. 在四边形的四个角中，最多有 　3　个锐角，最多有 　4　个直角，最多有 　3　个钝角.
75°　
3　
4　
3　
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三、 解答题（共50分）
11. （14分）（教材P49练习第1题变式）如图①②③，求出下列图形中x的值.
解：图①：∵ 四边形的内角和为360°，∴ x＋x＋10＋60＋90＝360.
∴ x＝100.图②：∵ 四边形的内角和为360°，∴ x＋x＋80＋150＝360.
∴ x＝65.图③：∵ 四边形的内角和为360°，∴ 82＋（180－x）＋90＋73＝360，解得x＝65
第11题
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12. （16分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，那么BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
解：BE∥DF　∵ ∠A＝∠C＝90°，∴ ∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°.∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴ ∠ABE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC. ∴ ∠ABE＋∠ADF＝ （∠ABC＋∠ADC）＝90°.∵ ∠A＝90°，∴ ∠AFD＋∠ADF＝90°.
∴ ∠ABE＝∠AFD. ∴ BE∥DF
第12题
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13. ★（20分）新考法 操作实践题 八年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角和与和它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？
【回顾】 如图①，请直接写出∠CBD与∠A，∠C之间的数量关系： 　∠CBD＝∠A＋∠C　.
第13题
∠CBD＝∠A＋∠C　
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【探究】 如图②，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，请写出∠DCE与∠A，∠B，∠D之间的数量关系并证明.
解：【探究】 ∠DCE＝∠A＋∠B＋∠D－180°　∵ ∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴ ∠BCD＝360°－∠A－∠B－∠D.
∵ ∠BCD＋∠DCE＝180°，∴ ∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－（360°－∠A－∠B－∠D）＝∠A＋∠B＋∠D－180°
第13题
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【应用】 如图③，∠DCE为四边形ABCD的一个外角，CF平分∠DCE交∠ABC的平分线于点F. 若∠A＋∠D＝220°，求∠F的度数.
解：【应用】 由【回顾】可知，∠FCE＝∠FBC＋∠F. ∵ BF平分∠ABC，CF平分∠DCE，∴ ∠ABC＝2∠FBC，∠DCE＝2∠FCE＝2（∠FBC＋∠F）＝∠ABC＋2∠F. 由【探究】可知，∠DCE＝∠A＋∠ABC＋∠D－180°，∴ ∠A＋∠ABC＋∠D－180°＝∠ABC＋2∠F. ∴ ∠A＋∠D－180°＝2∠F. ∴ ∠F＝ （∠A＋∠D－180°）＝ ×（220°－180°）＝20°
第13题
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13(共11张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第6课时　正方形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 已知矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的为（　C　）
A. OA＝OC B. OA＝OB
C. OA⊥OB D. AC＝BD
2. 菱形ABCD的对角线为AC和BD，下列条件中，不能判定菱形ABCD是正方形的为（　D　）
A. AC＝BD B. AB⊥BC
C. ∠ADB＝45° D. AB＝AC
C
D
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3. 已知四边形ABCD是平行四边形，增加下列条件后，能判定四边形ABCD是正方形的为（　C　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等且互相垂直 D. 对角线平分一组对角
C
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，若再从① AB＝BC，② ∠B＝∠D，③ AD＝BC，④ ∠D＝90°这四个条件中，选择两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列选法正确的是（　C　）
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
C
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5. ★如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BE，CE的中点，要使四边形EGFH是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（　B　）
A. BC＝AB B. BC＝2AB
C. BC＝ AB D. BC＝ AB
第5题
B
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二、 填空题（每题8分，共24分）
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 　答案不唯一，如AB＝AC　（写出一个即可）.
第6题
答案不唯一，如AB＝AC　
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7. ★如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s.连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，当t＝ 　3　时，四边形DEBF为正方形.
第7题
3　
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8. ★ 新情境 现实生活 周末，淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来.淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了.爸爸说只要把备胎换上就行了.于是爸爸从后备箱取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了淘气的注意.如图①所示为一种利用了四边形的不稳定性设计的千斤顶.如图②，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C两点之间的距离）.已知AB＝40 cm，∠ADC＝60°，则当千斤顶升高 　（40 －40）　cm时，四边形ABCD为正方形.
第8题
（40 －40）　
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三、 解答题（共46分）
9. （15分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝ AO，求证：矩形ABCD为正方形.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD.
∴ AO＝BO. ∴ AO2＋BO2＝2AO2.∵ AB＝ AO，∴ AB2＝2AO2.∴ AB2＝AO2＋BO2.∴ ∠AOB＝90°.∴ AC⊥BD. ∴ 矩形ABCD为正方形
第9题
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10. （15分）（教材P78练习第2题变式）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形DECF是正方形.
解：如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∵ DE⊥BC，DF⊥AC，∴ ∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°.∴ 四边形DECF是矩形.∵ BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB，∴ DE＝DH，DH＝DF. ∴ DE＝DF. ∴ 四边形DECF是正方形
第10题答案
解：如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∵ DE⊥BC，DF⊥AC，∴
∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°.∴ 四边形DECF是矩形.∵ BD平分
∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB，∴ DE
＝DH，DH＝DF. ∴ DE＝DF. ∴ 四边形DECF是正方形
第10题答案
第10题
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11. ★（16分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作线段EF，连接BE，DF，∠ABE＝∠CDF.
（1） 求证：BE＝DF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BO＝DO，AB∥CD.
∴ ∠ABD＝∠CDB. ∵ ∠ABE＝∠CDF，
∴ ∠EBO＝∠FDO. 在△EBO和△FDO中， ∴ △EBO≌△FDO.
∴ BE＝DF
第11题
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（2） 连接ED，BF，若∠ABE＝∠ADE，当△BDE的边BE，DE满足什么数量关系时，四边形BEDF是正方形？
解：（2） BE＝DE　∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝∠ADC＝90°.∵ ∠ABE＝∠ADE，∴ 易得∠BED＝∠BAD＝90°.∵ ∠ABE＝∠ADE，∠ABE＝∠CDF，∴ ∠ADE＝∠CDF. ∴ ∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF＝90°.∴ ∠EDF＝90°.∵ ∠BED＝90°，∴ ∠EDF＋∠BED＝180°.∴ BE∥DF. ∵ BE＝DF，∴ 四边形BEDF是平行四边形.∵ ∠BED＝90°，∴ 四边形BEDF是矩形.
∵ BE＝DE，∴ 四边形BEDF是正方形
第11题
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11(共13张PPT)
21.2　平行四边形
第1课时　平行四边形及其性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 若平行四边形中两个内角的度数比为2∶1，则其中较大的内角的度数是（　C　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°
2. 在 ABCD中，如果∠A＋∠C＝120°，那么∠A的度数为（　C　）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 70°
C
C
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，可能错误的是（　A　）
A. AB＝AD B. AB∥DC
C. OA＝OC D. ∠ABC＝∠ADC
第3题
A
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4. 如图， ABCD的周长为36 cm，△ABC的周长为28 cm，则对角线AC的长为（　C　）
A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 12 cm
第4题
C
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5. （教材P57例1变式）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC. 若BD＝8，AC＝4，则AB的长为（　B　）
A. B. 2 C. D. 2
第5题
B
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 　（－2，－　.
第6题
（－2，－1）　
7. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝10，AD＝7，△BOC的周长为 　16　.
第7题
16　
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8. 新情境 现实生活 如图所示为“左侧通行”的交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形.若∠ABC＋∠ADC＝100°，则∠BAD的度数为 　130°　.
第8题
130°　
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9. （教材P65习题21.2第2题变式）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，其中∠1，∠2，∠3均为光线与纸板所成的夹角.若∠2－∠1＝40°，则∠3的度数为 　70°　.
第9题
10. 若平行四边形的一个内角的平分线把一条边分成3 cm和5 cm的两条线段，则该平行四边形的周长为 　22 cm或26 cm　.
70°　
22 cm或26 cm　
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三、 解答题（共50分）
11. （14分） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为20，且△AOB的周长比△BOC的周长小4.求边AB和BC的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴ AB＝CD，DA＝BC，OA＝OC. ∵ ABCD的周长为20，∴ 2AB＋2BC＝20.∴ AB＋BC＝10.∵ △AOB的周长比△BOC的周长小4，
∴ BC＋OB＋OC－（AB＋OB＋OA）＝4.∴ BC＝AB＋4.∴ AB＋AB＋4＝10.∴ AB＝3，BC＝7.∴ 边AB和BC的长分别为3和7
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12. （16分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC＝90°，且AC∶BD＝2∶3.若 ABCD的面积为16 ，求AB的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AC＝2AO，BD＝2OB.
∵ AC∶BD＝2∶3，∴ OA∶OB＝2∶3.设OA＝2x，则OB＝3x，AC＝4x.
∵ ∠BAC＝90°，∴ AB＝ ＝ x.∵ ABCD的面积为16 ，∴ AC AB＝16 .∴ 4x x＝16 .∴ x＝2（负值舍去）.
∴ AB＝ x＝2
第12题
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13. ★（20分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC.
（1） 求证：DE＝BF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC. ∵ DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴ ∠ADE＝ ∠ADC，∠CBF＝ ∠ABC. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF
第13题
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（2） 如果把条件“DE平分∠ADC，BF平分∠ABC”改成“DE∥BF”，求证：AE＝CF.
解：（2） 如图，连接EF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠BEF＝∠DFE. ∵ DE∥BF，∴ ∠BFE＝∠DEF. 在△BEF和△DFE中， ∴ △BEF≌△DFE. ∴ BE＝DF. ∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF
解：（2） 如图，连接EF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴
AB∥CD，AB＝CD. ∴ ∠BEF＝∠DFE. ∵ DE∥BF，∴ ∠BFE＝
∠DEF. 在△BEF和△DFE中， ∴
△BEF≌△DFE. ∴ BE＝DF. ∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF
第13题答案
第13题
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（3） 如果把条件“DE平分∠ADC，BF平分∠ABC”改成“DF＝BE”，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.
解：（3） 成立　∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C. ∵ BE＝DF，∴ AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF. ∴ DE＝BF
第13题
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13(共11张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第2课时　矩形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD是矩形的为（　D　）
A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD D. AC⊥BD
D
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2. 依据所标数据，下列四边形不一定是矩形的为（　A　）
A B C D
A
3. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若OA＝OD＝5，AB＝6，则四边形ABCD的面积为（　C　）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
C
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4. 新考法 探究题 学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一张四边形纸片的形状是否为矩形.嘉嘉准备了一把刻度尺，淇淇准备了一个量角器，关于他俩谁能判定这张纸片的形状是否为矩形，下列说法正确的是（　C　）
A. 嘉嘉能，淇淇不能 B. 淇淇能，嘉嘉不能
C. 他俩都能 D. 他俩都不能
C
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5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（　C　）
A. 互相平分 B. 相等
C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 新情境 现实生活 木工师傅要做一个矩形桌面，做好后量得四边形桌面的长为150 cm，宽为80 cm，对角线为170 cm，这个桌面 　合 格　（填“合格”或“不合格”）.
合格　
7. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快 　4　s后，四边形ABPQ成为矩形.
第7题
4　
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12
8. 新考法 条件开放题 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 　AC⊥BD　.
第8题
AC⊥BD　
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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，则EF的长最小为 　2.4　cm.
第9题
2.4　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是CB延长线上一点，BD＝BC，过点A和点D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE和DE相交于点E，连接BE. 求证：四边形AEBC是矩形.
解：∵ AE∥BD，DE∥BA，∴ 四边形ABDE是平行四边形.∴ AE＝BD. ∵ BD＝BC，∴ AE＝BC. ∵ AE∥BC，∴ 四边形AEBC是平行四边形.∵ ∠C＝90°，∴ 四边形AEBC是矩形
第10题
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11. （16分）（教材P71例2变式）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF. ∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H. 求证：四边形EGFH是矩形.
第11题
解：∵ EH平分∠BEF，∴ ∠FEH＝ ∠BEF. ∵ FH平分∠DFE，
∴ ∠EFH＝ ∠DFE. ∵ AB∥CD，∴ ∠BEF＋∠DFE＝180°.
∴ ∠FEH＋∠EFH＝ （∠BEF＋∠DFE）＝ ×180°＝90°.
∵ ∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴ ∠EHF＝180°－（∠FEH＋∠EFH）＝180°－90°＝90°.同理可得∠EGF＝90°.∵ EG平分∠AEF，∴ ∠GEF＝ ∠AEF.
又∵ ∠FEH＝ ∠BEF，∴ ∠GEF＋∠FEH
＝ （∠AEF＋∠BEF）＝ ×180°＝90°，
即∠GEH＝90°.∴ 四边形EGFH是矩形
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12. ★（18分）如图，在 ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接BD，EC. 若∠BOD＝80°，当∠A等于多少度时四边形BECD是矩形？并说明理由.
第12题
解：若∠BOD＝80°，当∠A＝40°时，四边形BECD是矩形　理由：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB∥DC，AB＝CD，∠BCD＝∠A＝40°.∵ BE＝AB，∴ BE＝CD. ∵ BE∥CD，∴ 四边形BECD是平行四边形.∴ BO＝CO，OD＝OE. ∵ ∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴ ∠ODC＝80°－40°＝40°＝∠BCD. ∴ OC＝OD.
∴ BC＝DE. ∴ 四边形BECD是矩形.
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12(共15张PPT)
阶段检测（21.3）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（　B　）
A. 12 B. 13 C. 15 D. 16
第1题
B
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2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　C　）
A. 若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形
B. 若OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则四边形ABCD是矩形
C. 若OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，则四边形ABCD是菱形
D. 若AB＝BC，AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形
第2题
C
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3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC. 若AC＝4，则四边形DOCE的周长为（　B　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
第3题
B
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4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作 AE⊥BC于点E，连接OE. 若OB＝5，菱形ABCD的面积为40，则OE的长为（　A　）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
第4题
A
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动.设点P的运动时间为t s，下列结论正确的是（　D　）
D
A. 当t＝4时，四边形ABMP为矩形
B. 当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形
C. 当CD＝PM时，t＝4
D. 当CD＝PM时，t＝4或t＝6
第5题
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA＝ ，AB＝3，则BC的长为 　4　.
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为13，点B的坐标是（8，12），点D的坐标是（8，2），则点A的坐标是 　（－4，7）　.
4　
（－4，7）　
第7题
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12
8. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC的中点，F是边CD的中点，连接BE，EF，若BE＝2 ，则EF的长为 　2　.
第8题
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12
9. ★如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. 当AB＝4 时，S四边形EBFO＝ 　8　.
第9题
8　
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三、 解答题（共51分）
10. （13分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF.
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） ∵ AE⊥BD，DF⊥AC，
∴ ∠AEO＝∠DFO＝90°.在△AEO和△DFO中， ∴ △AEO≌△DFO.
∴ AO＝DO. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO，DO＝BO.
∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形
第10题
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（2） 若∠BAE＝ ∠EAD，求∠AOE的度数.
解：（2） ∵ ∠BAE＝ ∠EAD，∴ ∠BAE＋∠EAD＝∠BAD＝3∠BAE. ∴ ∠BAE＝ ∠BAD. 由（1），得四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD＝90°，AO＝BO. ∴ ∠BAE＝ ×90°＝30°，∠OAB＝∠ABE＝60°.在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－∠BAE＝60°＝∠OAB. ∴ ∠AOE＝180°－∠OAB－∠ABE＝60°
第10题
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11. （18分）如图，在矩形ABCD中，M是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），作ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F.
（1） 求证：四边形EBFM是矩形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°.∵ ME⊥AB，MF⊥BC，∴ ∠MEB＝90°，∠MFB＝90°.∴ 四边形EBFM是矩形
第11题
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12
（2） 连接BM，当点M运动到使∠ABM的度数为何值时，矩形EBFM为正方形？请证明你的结论.
解：（2） 当点M运动到使∠ABM＝45°时，矩形EBFM为正方形　∵ 四边形EBFM为矩形，∴ ∠ABC＝∠MEB＝90°.∵ ∠ABM＝45°，∴ ∠EMB＝45°.∴ EB＝EM. ∴ 矩形EBFM为正方形
第11题
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12. ★（20分）（广安中考）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：△ADE≌△CBF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝CB，BC∥AD.
∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中，
∴ △ADE≌△CBF
第12题
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12
（2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长.
解：（2） 如图，连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD为正方形，BD＝10，∴ BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.∴ AF＝CF，AE＝CE. 由（1），可知△ADE≌△CBF，∴ AE＝CF. ∴ AF＝CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.∴ OF＝OE. ∴ EF＝2OF. ∵ 四边形AECF的周长＝4AF＝4 .∴ AF＝ .在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF＝ ＝ ＝3，∴ EF＝2OF＝6，即EF的长为6
解：（2） 如图，连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD为正方形，
BD＝10，∴ BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.∴ AF
＝CF，AE＝CE. 由（1），可知△ADE≌△CBF，∴ AE＝CF. ∴
AF＝CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.∴ OF＝OE. ∴ EF＝
2OF. ∵ 四边形AECF的周长＝4AF＝4 .∴ AF＝ .在Rt△AOF
中，由勾股定理，得OF＝ ＝ ＝3，∴ EF
＝2OF＝6，即EF的长为6
第12题答案
第12题
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12(共14张PPT)
阶段检测（21.2）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 根据所标数据，不能判定下列四边形是平行四边形的为（　C　）
A B C D
C
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2. 如图，校园内有一块等边三角形空地ABC. 已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4 m.若想用围栏把四边形BCNM围成一个花园，则需要的围栏的长至少是（　C　）
A. 12 m B. 16 m C. 20 m D. 22 m
第2题
C
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11
3. 如图，在 ABCD中，AC交BD于点O，经过点O的直线分别交直线AB，CD，AD，BC于点E，F，M，N，下列结论错误的是（　A　）
A. AM＝CF B. ∠E＝∠F
C. DM＝BN D. EM＝FN
第3题
A
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11
4. 如图，在 ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC⊥AB，则 ABCD的面积是（　C　）
A. 12 B. 20 C. 24 D. 40
第4题
C
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5. ★（安徽中考）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列是定值的为（　C　）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的度数
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
第5题
C
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二、 填空题（每题7分，共21分）
6. 如图， ABCD的两条对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线的长度之和是 　36　.
第6题
36　
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11
7. 如图，在 ABCD中，AD⊥BD，E，F分别为DC，BD的中点，连接EF. 若BD＝6，EF＝ ，则 ABCD的周长为 　16＋4 　.
第7题
16＋4 　
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8. ★如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝45°，延长BC至点D，使得CD＝ BC，过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF. 若DF＝4，则AC的长为 　4 　.
第8题
4 　
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三、 解答题（共54分）
9. （16分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝2AD，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF.
（1） 求证：四边形AECD是平行四边形；
解：（1） ∵ E是BC的中点，∴ BC＝2CE. ∵ BC＝2AD，∴ AD＝CE. 又∵ AD∥BC，∴ 四边形AECD是平行四边形
第9题
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（2） 若AB＝4，BC＝6，求EF的长.
解：（2） 如图，连接BD. ∵ AD∥BC，∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°.∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠BAD＝90°.∵ BC＝6，BC＝2AD，∴ AD＝3.∴ BD＝ ＝ ＝5.∵ E，F分别是BC，CD的中点，∴ EF是△BCD的中位线.∴ EF＝ BD＝
解：（2） 如图，连接BD. ∵ AD∥BC，∴ ∠BAD＋∠ABC＝
180°.∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠BAD＝90°.∵ BC＝6，BC＝2AD，∴
AD＝3.∴ BD＝ ＝ ＝5.∵ E，F分别是BC，CD
的中点，∴ EF是△BCD的中位线.∴ EF＝ BD＝
第9题答案
第9题
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10. （18分）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，AB＝CD，线段AE与线段DF平行，AE＝DF. 求证：四边形EBFC是平行四边形.
解：如图，连接AF，ED，EF，EF交AD于点O. ∵ AE＝DF，AE∥DF，∴ 四边形AEDF是平行四边形.∴ EO＝FO，AO＝DO. 又∵ AB＝CD，∴ AO－AB＝DO－CD. ∴ BO＝CO. 又∵ EO＝FO，∴ 四边形EBFC是平行四边形
第10题答案
解：如图，连接AF，ED，EF，EF交AD于点O. ∵ AE＝DF，
AE∥DF，∴ 四边形AEDF是平行四边形.∴ EO＝FO，AO＝DO. 又
∵ AB＝CD，∴ AO－AB＝DO－CD. ∴ BO＝CO. 又∵ EO＝FO，
∴ 四边形EBFC是平行四边形
第10题答案
第10题
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11. ★（20分）如图，在四边形ABCD中，点E，F在BD上，且AE∥FC，AB∥CD，BE＝DF.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
解：（1） ∵ AE∥FC，∴ ∠AEF＝∠CFE.
∴ ∠AEB＝∠CFD.
∵ AB∥CD，∴ ∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AB＝CD. 又∵ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形
第11题
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（2） 若BH⊥CD，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝5，求AB，CD两条平行线之间的距离.
解：（2） 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD＝3，CD＝AB＝5.∵ ∠DBC＝90°，∴ BD＝ ＝ ＝4.∵ BH⊥CD，∴ S△BCD＝ CD BH＝ BC BD. ∴ CD BH＝BC BD. ∴ BH＝ ＝ ＝ .∴ AB，CD两条平行线之间的距离为
第11题
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11(共14张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第1课时　矩形的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 如图，有3个村庄可以用点A，B，C来表示，若AB⊥BC，且AC＝10千米，在AC上有个水源D，若水源D到A，C两个村庄的距离相等，则水源D到村庄B的距离为（　C　）
A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 6千米
第1题
C
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2. 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F在BE上，连接CF，BF＝CF，则∠DCF的度数为（　C　）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 30°
第2题
C
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11
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13
3. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝4，则AC的长为（　A　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
第3题
A
1
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3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
4. 如图，AC与BD是矩形ABCD的对角线，延长BC至点E，使得BE＝AC，连接DE，若∠E＝70°，则∠ADB的度数为（　B　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
第4题
B
1
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3
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5
6
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13
5. ★如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为E，F是OC的中点，连接EF，若AB＝4，则EF的长是（　D　）
A. 3 B. 4 C. 4 D. 2
第5题
D
1
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12
13
二、 填空题（每题6分，共30分）
6. （湖北中考）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 　2m　.
7. （福建中考）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 　4　m.
第7题
2m　
4　
1
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3
4
5
6
7
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13
8. 如图，矩形ABCD的边AB＝4，∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积为 　16 　.
第8题
16 　
9. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝3，AC＝5，则△EDC的周长是 　7　.
第9题
7　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
10. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED. 若BC＝2，∠CBE＝45°，则AB＝ 　 　.
第10题
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
三、 解答题（共45分）
11. （14分）（教材P70练习第2题变式）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，BD，DF. 求证：BD＝DF.
第11题
解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD.
∴ ∠FAE＝∠CDE. ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. 在△FAE和△CDE中， ∴ △FAE≌△CDE. ∴ CD＝FA.
∵ CD∥AF，∴ 四边形ACDF是平行四边形.∴ AC＝DF. ∴ BD＝DF
1
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12. （15分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
（1） 求证：DF＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OC＝ AC，OD＝ BD，AC＝BD. ∴ OC＝OD. ∴ ∠ACD＝∠BDC. ∵ ∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴ ∠DCF＝∠CDF.
∴ DF＝CF
第12题
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13
（2） 若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积.
解：（2） 由（1），得DF＝CF. 又∵ ∠CDF＝60°，∴ △CDF是等边三角形.∴ CD＝DF＝6.∵ ∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴ △OCD是等边三角形.∴ OD＝CD＝6.∴ BD＝2OD＝12.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCD＝90°.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝6 .∴ S矩形ABCD＝BC CD＝6 ×6＝36
第12题
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13
13. ★（16分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°，AC＝AD＝2，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
（1） 求证：BM＝MN；
解：（1） 在△ABC中，∵ ∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴ BM＝ AC. ∵ M，N分别为AC，CD的中点，∴ MN＝ AD. ∵ AC＝AD，∴ BM＝MN
第13题
1
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13
（2） 若∠BAD＝60°，求BN的长.
解：（2） ∵ ∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴ ∠BAC＝∠DAC＝30°.∵ ∠ABC＝90°，M为AC的中点，∴ BM＝AM＝MC＝ AC＝1.∴ ∠BAM＝∠ABM. ∴ ∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵ M，N分别为AC，CD的中点，∴ MN∥AD. ∴ ∠NMC＝∠DAC＝30°.∴ ∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∵ BM＝MN＝1，∴ 在Rt△BMN中，由勾股定理，得BN＝ ＝
第13题
1
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13(共13张PPT)
小专题（五）　正方形中的常见模型
第二十一章　四 边 形
类型一　正方形中相交垂线段问题（“十字架”模型）
1. （1） 如图①，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF. 要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们是什么位置关系？
BE和AF的数量关系是 　BE＝AF　；
BE和AF的位置关系是 　BE⊥AF　.
BE＝AF　
BE⊥AF　
第1题
1
2
3
4
（2） 如图②，ABCD是一块正方形草地，现要在内部修建两条路MN，EF，且MN⊥EF，MN，EF还相等吗？为什么？
解：相等　如图②，作AR∥EF，交CD于点R，作DT∥MN，交BC于点T，DT和AR交于点O. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD. ∴ 四边形AFER，四边形MNTD是平行四边形.∴ AR＝EF，DT＝MN.
∵ MN⊥EF，∴ 易得AR⊥DT. ∴ ∠DOR＝90°.∴ ∠RDO＋∠ARD＝90°.∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DAR＋∠ARD＝90°.
∴ ∠RDO＝∠DAR. 在△ADR和△DCT中，
∴ △ADR≌△DCT.
∴ AR＝DT. ∴ MN＝EF
第1题
1
2
3
4
类型二　正方形中过对角线交点的直角问题
2. ★如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，AB上的点，且∠EOF＝90°.
（1） 若DO＝4，求四边形AEOF的面积.
第2题
1
2
3
4
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，∴ DO＝BO，AO＝CO，BD＝AC，BD⊥AC. ∴ DO＝AO＝4，∠AOD＝90°.∵ ∠EOF＝90°，∴ ∠DOE＝90°－∠AOE＝∠AOF. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝AB＝CB＝CD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴ ∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°.∴ ∠ADB＝∠BAC. 在△DOE和△AOF
中 ∴ △DOE≌△AOF.
∴ S△DOE＝S△AOF. ∴ S四边形AEOF＝S△AOE＋
S△AOF＝S△AOE＋S△DOE＝S△AOD＝ ×4×4＝8.
∴ 四边形AEOF的面积是8
第2题
1
2
3
4
（2） 线段AF，BF和EF之间有什么样的数量关系？并证明.解：（2） EF2＝BF2＋AF2　∵ 四边形ABCD是正方形，∴ OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD. ∴ ∠EOF＝∠AOB＝90°.∴ ∠EOA＝90°－∠AOF＝∠FOB. 在△EOA和△FOB中， ∴ △EOA≌△FOB. ∴ AE＝BF. 在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF2＝AE2＋AF2.∴ EF2＝BF2＋AF2
解：（2） EF2＝BF2＋AF2　∵ 四边形ABCD是正方形，∴ OA＝OB，
∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD. ∴ ∠EOF＝∠AOB＝90°.
∴ ∠EOA＝90°－∠AOF＝∠FOB. 在△EOA和△FOB中，
∴ △EOA≌△FOB.
∴ AE＝BF. 在Rt△EAF中，
由勾股定理，得EF2＝AE2＋AF2.
∴ EF2＝BF2＋AF2
第2题
1
2
3
4
类型三　外角平分线模型
3. 如图①，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，请你认真阅读下列关于这幅图的探究片段，完成所提出的问题.
（1） 探究1：小强看到图①后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等，考虑到E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM（如图②）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程.

第3题
1
2
3
4
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵ E是BC的中点，M是AB的中点，∴ BE＝EC＝ BC，AM＝BM＝ AB. ∴ AM＝BM＝BE＝EC. ∴ ∠BME＝45°.∴ ∠AME＝135°.∵ CF是正方形外角的平分线，∴ ∠DCF＝45°.∴ ∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°.∵ ∠AEF＝90°，∠B＝90°，∴ ∠AEB＋∠CEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°.∴ ∠BAE＝∠CEF. 在△MAE和△CEF中，
∴ △MAE≌△CEF.
∴ AE＝EF　
第3题
1
2
3
4
（2） 探究2：小强继续探究，如图③，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论.
第3题
解：（2） 如图③，在AB上取点P，使BP＝BE，连接EP. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵ BP＝BE，
∴ AB－BP＝BC－BE，即AP＝EC，∠BPE＝45°.∴ ∠APE＝135°.∵ CF是正方形外角的平分线，∴ ∠DCF＝45°.∴ ∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°.∵ ∠AEF＝90°，∠B＝90°，∴ ∠AEB＋∠CEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°.∴ ∠BAE＝∠CEF. 在△PAE和△CEF中，
∴ △PAE≌△CEF. ∴ AE＝EF　
1
2
3
4
（3） 探究3：小强继续探究，如图④，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，则结论AE＝EF是否仍成立呢？直接写出结论.
解：（3） AE＝EF仍成立

第3题
1
2
3
4
类型四　半角模型
4. ★★如图①，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，我们把这种模型称为“半角模型”.在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一.
第4题
1
2
3
4
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°.∴ ∠ABG＝90°＝∠ADF. 在△ADF和△ABG中， ∴ △ADF≌△ABG. ∴ AF＝AG，∠DAF＝∠BAG. ∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠DAF＋∠BAE＝45°.∴ ∠BAG＋∠BAE＝45°，即∠EAG＝45°.∴ ∠EAF＝∠EAG.
在△EAF和△EAG中，
∴ △EAF≌△EAG. ∴ EF＝EG. ∵ GE＝BE＋BG，
BG＝DF，∴ GE＝BE＋DF. ∴ EF＝BE＋DF　
（1） 如图②，为了证明结论“EF＝BE＋DF”，小亮延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，请按小亮的思路写出证明过程.
第4题
1
2
3
4
（2） 如图③，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上.若AE＝3 ，∠EAF＝45°，求AF的长.
解：（2） ∵ 正方形ABCD的边长为6，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°.在Rt△ABE中，∵ AB＝6，AE＝3 ，∴ 由勾股定理，得BE＝ ＝ ＝3.∴ CE＝BC－BE＝6－3＝3.由（1），知EF＝BE＋DF，设DF＝x，则CF＝CD－DF＝6－x，EF＝BE＋DF＝3＋x.在Rt△FEC中，由勾股定理，得CE2＋CF2＝EF2，∴ 32＋（6－x）2＝（3＋x）2，解得x＝2.∴ DF＝2.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF＝ ＝ ＝2
第4题
1
2
3
4(共14张PPT)
21.2　平行四边形
第2课时　平行四边形性质的应用
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　A　）
A. 75° B. 53° C. 85° D. 90°
第1题
A
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5
6
7
8
9
10
11
2. 铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（　A　）
A. 平行线间的距离处处相等 B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线
A
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 如图，AB∥EF，C是EF上一个动点，当点C的位置变化时，△ABC的面积将（　C　）
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 变大变小要看点C向左还是向右移动
第3题
C
1
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9
10
11
4. 如图，点E在 ABCD的边AD上，△ABE的面积记为S1，△CDE的面积记为S2，△BCE的面积记为S3，则下列结论正确的是（　A　）
A. S1＋S2＝S3 B. S1＋S2＞S3
C. S1＋S2＜S3 D. 以上结论都不对
第4题
A
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11
二、 填空题（每题7分，共28分）
5. （教材P59练习第2题变式）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，若△ABE的周长为8，则 ABCD的周长为 　16　.
第5题
16　
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5
6
7
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10
11
6. 如图，m∥n，点C，D，E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为3，则 ABED的面积是 　6　.
第6题
6　
1
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5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝6 cm，BC＝11 cm，E为边BC上一点，AE∥CD，AD，BC之间的距离CD＝12 cm，则AB的长为 　13 cm　.
第7题
13 cm　
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9
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11
8. ★如图，在 ABCD中，∠C＝135°，过点A作AG⊥BC于点G，作AH⊥CD于点H，AG＝3，AH＝4，则 ABCD的面积是 　12 　.
第8题
12 　
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三、 解答题（共44分）
9. （12分）（宜宾中考）如图，E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.
∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴ △ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10
第9题
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10
11
10. ★（14分）如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与平行四边形的一组对边分别交于点E，F，则OE＝OF. 若过点O的直线与平行四边形的一组对边的延长线分别相交于点E，F（如图②③），则OE与OF仍然相等吗？请说明理由.
第10题
1
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10
11
解：OE与OF仍然相等　理由：在图②中，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，OA＝OC. ∴ ∠E＝∠F. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF. 在图③中，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，OA＝OC. ∴ ∠E＝∠F. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF.
第10题
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11. ★（18分）如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝4，求AD2＋AB2的值.
解：如图，过点D作DT⊥AC于点T，过点B作BJ⊥AC于点J. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC＝ AC＝4，OD＝OB＝ BD＝2.∵ DT⊥AC，BJ⊥AC，∴ ∠DTO＝∠BJO＝90°.在△DOT和△的值为40
解：如图，过点D作DT⊥AC于点T，过点B作BJ⊥AC于点J. ∵ 四
边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC＝ AC＝4，OD＝OB＝ BD
＝2.∵ DT⊥AC，BJ⊥AC，∴ ∠DTO＝∠BJO＝90°.在△DOT和
第11题答案
第11题
1
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3
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5
6
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8
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10
11
△BOJ中， ∴ △DOT≌△BOJ. ∴ DT＝BJ，OT
＝OJ. 设DT＝BJ＝x，OT＝OJ＝y，则有AD2＋AB2＝（DT2＋
AT2）＋（BJ2＋AJ2）＝x2＋（4－y）2＋x2＋（4＋y）2＝2x2＋2y2＋
32＝2（x2＋y2）＋32.∵ 在Rt△BOJ中，由勾股定理，得BJ2＋OJ2＝
OB2，即x2＋y2＝22＝4，∴ 2（x2＋y2）＋32＝40，即AD2＋AB2的值
为40
第11题答案
第11题
1
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10
11(共12张PPT)
21.2　平行四边形
第4课时　平行四边形的判定（2）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有（　B　）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
第1题
B
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11
2. 四边形ABCD的部分数据如图所示，在①或②处添加恰当的数据，使得四边形ABCD是平行四边形，两名同学给出了如下回答.嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加.对于两名同学的回答，下列判断正确的是（　B　）
A. 只有嘉嘉的回答正确
B. 只有淇淇的回答正确
C. 两人的回答都正确
D. 两人的回答都不正确
B
第2题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足（　B　）
A. ∠A＋∠C＝180° B. ∠B＋∠C＝180°
C. ∠A＋∠B＝180° D. ∠B＋∠D＝180°
B
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3
4
5
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11
4. ★如图，四边形ABCD是平行四边形，在对角线BD上取两点E，F，连接AE，CE，AF，CF. 有下列条件：① BE＝DF；② ∠BAE＝∠DCF；③ AE⊥BD，CF⊥BD；④ AE＝CF；⑤ AE∥CF. 其中，能证明四边形AECF是平行四边形的有（　C　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第4题
C
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11
二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到△A1B1C1的位置，此时四边形ABB1A1的形状为 　平行四边形　.
第5题
平行四边形　
1
2
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11
6. 新考法 条件开放题 如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM；③ AM＝DN；④ ∠AMB＝∠DNE. 其中，能使四边形AMDN为平行四边形的是 　①②④　（填序号）.
第6题
①②④　
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5
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11
7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝8 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动， 　 　s后四边形ABQP是平行四边形.
第7题
　
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3
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11
8. ★如图，在 ABCD中，E和F分别是边CD和AB上的点，AE∥CF，连接BE和DF，AF＝2BF，四边形BFDE的面积是3，则四边形AFCE的面积是 　6　.
第8题
6　
1
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3
4
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6
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8
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11
三、 解答题（共52分）
9. （16分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF. 求证：四边形ABDF是平行四边形.
解：∵ AB平分∠CAE，∴ ∠CAB＝∠BAE. ∵ AB∥DF，∴ ∠BAE＝∠EFD. ∴ ∠CAB＝∠EFD. 在△CAB和△EFD中， ∴ △CAB≌△EFD. ∴ AB＝FD. 又∵ AB∥FD，∴ 四边形ABDF是平行四边形
第9题
1
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6
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8
9
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11
10. （16分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且AE＝CF，BE＝DF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AB＝CD，∠ABE＝∠CDF. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
第10题
1
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11
11. ★（20分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在CB，AD的延长线上，∠ABE与∠CDF的平分线分别交直线AC于点G，H，连接DG，BH. 求证：四边形BHDG是平行四边形.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC. ∴ ∠BAC＝∠ACD. ∵ ∠ABC＋∠ABE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，∠BAC＋∠BAG＝180°，∠ACD＋∠DCH＝180°，∴ ∠ABE＝∠CDF，∠BAG＝∠DCH. ∵ BG，DH分别平分∠ABE与∠CDF，∴ ∠ABG＝ ∠ABE，∠CDH＝ ∠CDF.
∴ ∠ABG＝∠CDH. 在△ABG和△CDH中，
∴ △ABG≌△CDH.
∴ BG＝DH，∠AGB＝∠CHD. ∴ BG∥DH.
∴ 四边形BHDG是平行四边形
第11题
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10
11(共13张PPT)
21.2　平行四边形
第3课时　平行四边形的判定（1）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　C　）
A. ∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC
B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB＝CD，BC∥AD
D. AO＝CO，BO＝DO
第1题
C
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10
11
12
2. 如图，在△ABC中，∠B＝49°，先以点A为圆心，BC长为半径作弧，再以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（　B　）
A. 41° B. 49° C. 51° D. 59°
第2题
B
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9
10
11
12
3. 当四边形ABCD是平行四边形时，∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足的条件可以是（　D　）
A. 1∶2∶2∶1 B. 2∶1∶1∶1
C. 1∶2∶3∶4 D. 2∶1∶2∶1
D
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10
11
12
4. 如图，取两根长度不等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定（记为点O），转动木棒AC，在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD，下列结论一定成立的是（　D　）
A. AB＝AD B. OA＝AD
C. ∠BAD＝∠ABC D. ∠BAD＝∠BCD
第4题
D
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11
12
5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　D　）
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
第5题
D
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4
5
6
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10
11
12
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 一个四边形的三个相邻内角的度数依次是88°，92°，88°，那么这个四边形 　是　（填“是”或“不是”）平行四边形.
7. 如图，△ABC，△ACE，△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有 　2　个.
第7题
是　
2　
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9
10
11
12
8. ★如图，在四边形ABCD中，AD＝8，DO＝OB＝6，AC＝20，∠ADB＝90°，则BC的长为 　8　.
第8题
9. 已知一个四边形的边分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形为 　平行四边形　.
8　
平行四边形　
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12
三、 解答题（共51分）
10. （15分）如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠B＝∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：在△ACD和△CAB中， ∴ △ACD≌△CAB. ∴ CD＝AB，AD＝CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
第10题
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10
11
12
11. （16分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且O为AC的中点，AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：∵ O为AC的中点，∴ OA＝OC. ∵ AE＝CF，∴ OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF. ∵ DF∥BE，∴ ∠E＝∠F. 在△BOE和△DOF中， ∴ △BOE≌△DOF. ∴ OB＝OD. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
第11题
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11
12
12. ★（20分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在 ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF.
（1） 若DE＝ OD，BF＝ OB，求证：四边形AFCE为平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ DE＝ OD，BF＝ OB，∴ DE＝BF. ∴ DE＋OD＝BF＋OB，即OE＝OF. ∴ 四边形AFCE为平行四边形
第12题
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12
（2） 若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由.
解：（2） 若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE是平行四边形　理由：∵ DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，∴ DE＝BF. ∴ OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE. ∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形.
第12题
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12
（3） 若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论.
解：（3） 若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE是平行四边形
第12题
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11
12(共13张PPT)
21.2　平行四边形
第5课时　三角形的中位线
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在△ABC中，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，则DE的长为（　D　）
A. B. C. 1 D. 2
第1题
D
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11
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是（　B　）
A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°

第2题
B
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11
3. 如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第3题
B
1
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4
5
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9
10
11
4. 如图，E，F分别是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H分别是两条对角线AC，BD的中点.若EH＝6，则下列结论不正确的是（　D　）
A. EH∥GF B. GF＝6
C. AD＝12 D. BC＝12

D
第4题
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11
5. 如图，在四边形ABCD中，P是边CD上的一个动点，Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（　D　）
A. 逐渐变大 B. 逐渐变小
C. 先变小再变大 D. 始终不变

D
第5题
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11
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 如图，D是△ABC内一点，AD＝7，BC＝6，若E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是 　13　.
第6题
13　
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10
11
7. （浙江中考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE. 若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 　4　.
第7题
4　
1
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7
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10
11
8. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD的周长为14，则AB＋BC＝ 　14　.
第8题
14　
1
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10
11
9. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E，F分别为DM，MN的中点，则EF长的最大值为 　2　.
第9题
2　
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9
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11
三、 解答题（共46分）
10. （22分）如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接GH，GF，EH，EF. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
解：如图，连接AC. ∵ E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的
中点，∴ HG，EF分别是△ACD，△ABC的中位线.∴ HG∥AC，
HG＝ AC，EF∥AC，EF＝ AC. ∴ HG∥EF，HG＝EF. ∴ 四边
形EFGH是平行四边形
第10题答案
第10题
1
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11
11. ★（24分） 新考法 探究题 我们学习了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.如图①，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，通过延长DE至点F，使DE＝FE，连接CF，易证DE∥BC且DE＝ BC. 如图②，如果将△ADE截去，剩下梯形BCED且DE∥BC，取BD，CE的中点M，N，连接MN，那么MN叫作梯形BCED的中位线，探索MN与BC，DE之间的关系，并证明你的结论.
第11题
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11
解：MN∥DE∥BC且MN＝ （BC＋DE）　如图②，连接DN并延长，交BC的延长线于点F. ∵ DE∥BC，∴ ∠DEN＝∠NCF. ∵ N是CE的中点，∴ NE＝NC. 又∵ ∠DNE＝∠FNC，∴ △DEN≌△FCN. ∴ DE＝CF，DN＝FN. 又∵ M是BD的中点，∴ MN是△DBF的中位线.∴ MN∥BF且MN＝ BF. ∵ BF＝BC＋CF＝BC＋DE，DE∥BC，∴ MN∥DE∥BC且MN＝ （BC＋DE）
第11题
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10
11(共14张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第4课时　菱形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 依据所标数据，下列四边形不一定是菱形的为（　C　）
A B C D
C
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11
12
2. （湖南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第2题
C
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11
12
3. 如图，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，连接AC，BD，则下列结论不一定正确的是（　C　）
A. AB＝CD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. AC⊥BD
第3题
C
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12
4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点O，交BC于点E. 若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　D　）
A. 4 B. 3 C. D. 2
第4题
D
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11
12
二、 填空题（每题6分，共30分）
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： 　答案不唯一，如AC⊥BD　，使 ABCD为菱形.
第5题
答案不唯一，如AC⊥BD　
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12
6. 如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD：① 画长度为2个单位长度的线段AC；② 分别以点A，C为圆心，2个单位长度为半径画弧，分别交于点B，D；③ 连接AB，BC，CD，DA，BD. 由此可知，∠CBD的度数是 　30°　.
第6题
30°　
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12
7. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是四条边的中点，HF＝2，EG＝4，则四边形EFGH的面积为 　4　.
第7题
4　
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12
8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC. 若AD＝4，则四边形CODE的周长为 　16　.
第8题
16　
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12
9. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC的中点，G，H分别是线段BD，AC的中点.当四边形ABCD的边满足 　AB＝CD　时，四边形EGFH是菱形.
第9题
AB＝CD　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （14分）（教材P74例4变式）如图，在 ABCD中，CD边的垂直平分线恰好经过点A，且与BC的延长线交于点E，连接AC，DE，求证：四边形ACED是菱形.
解：∵ AE垂直平分CD，∴ AD＝AC，AE⊥CD. ∴ ∠CAE＝∠DAE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BE. ∴ ∠DAE＝∠AEC. ∴ ∠CAE＝∠CEA. ∴ AC＝CE＝AD. ∵ AD∥BE，∴ 四边形ACED是平行四边形.又∵ AE⊥CD，∴ 四边形ACED是菱形
第10题
1
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12
11. （14分） 新考法 操作实践题 如图，有一张锐角三角形纸片ABC，请用尺规作图法，在该纸片上作一个菱形AEFG，使∠A为菱形的一个内角，点F在边BC上（不写作法，保留作图痕迹）.
第11题 第11题答案
第11题答案
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12
12. ★（18分）如图，有一张矩形纸片ABCD，将纸片折叠，使点B与对角线AC上的点M重合，折痕CE交AB于点E，且使点D与对角线AC上的点H重合，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF.
（1） 求证：AF∥CE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD∥BC. ∴ ∠DAC＝∠BCA. 由折叠可知，∠DAF＝∠HAF＝ ∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝ ∠BCA，∴ ∠HAF＝∠MCE. ∴ AF∥CE
第12题
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12
（2） 当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是菱形？请说明理由.
解：（2） 当∠BAC的度数为30°时，四边形AECF是菱形　理由：
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD. 由（1），得AF∥CE，∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ ∠BAC＝30°，AB∥CD，∴ ∠ACD＝30°.由折叠的性质，得∠DAF＝∠HAF＝ ＝30°，∴ ∠HAF＝
∠ACD. ∴ AF＝CF. ∴ 四边形AECF是菱形.
第12题
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11
12(共13张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第3课时　菱形的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在菱形ABCD中，∠DCB＝40°，则∠1的度数为（　A　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
第1题
A
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13
2. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，M为AB的中点，连接OM. 若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　A　）
A. B. 4 C. 5 D.
第2题
A
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13
3. 如图，菱形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　D　）
A. B. 2 C. 2 D. 4
第3题
D
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12
13
4. ★（教材P80习题21.3第11题变式）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长是（　D　）
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4.8
第4题
D
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12
13
5. ★如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BOE＝30°，BO＝2，则AO的长为（　B　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
第5题
B
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13
二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝5，那么菱形ABCD的面积为 　15　.
7. 已知菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线长10 cm，则这个菱形较小的一个内角的度数为 　60°　.
8. （南通中考）若一个菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 　cm.
15　
60°　
　
1
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10
11
12
13
9. 如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB＝ ，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为 　（2，1）　.
10. ★如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为 　6　.
第9题 第10题
（2，1）　
6　
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13
三、 解答题（共40分）
11. （12分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F. 求证：CE＝CF.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D. ∵ AE⊥CD，AF⊥BC，∴ ∠AED＝∠AFB＝90°.在△ADE和△ABF中， ∴ △ADE≌△ABF. ∴ DE＝BF.
∴ CD－DE＝BC－BF. ∴ CE＝CF
第11题
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13
12. （12分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，且DE∥AC，AE∥BD.
（1） 试判断四边形ODEA的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形ODEA是矩形　理由：∵ DE∥AC，AE∥BD，
∴ 四边形ODEA是平行四边形.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD.
∴ ∠AOD＝90°，∴ 四边形ODEA是矩形.
第12题
1
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11
12
13
（2） 连接OE，求OE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OA＝ AC，OD＝ BD，AC⊥BD. ∴ ∠AOD＝90°.∵ AC＝12，BD＝16，∴ AO＝6，OD＝8.∴ AD＝ ＝10.∵ 四边形ODEA是矩形，∴ OE＝AD＝10
第12题
1
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12
13
13. ★（16分）如图①，菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AE，AF，EF.
（1） △AEF的形状如何？请说明理由.
解：（1） △AEF为等边三角形　理由：如图①，连接AC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°.∴ △ABC和△ADC都是等边三角形.∴ ∠BAC＝∠DAC＝60°.∵ E，F分别是BC，CD的中点，∴ AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，AF⊥CD. ∴ ∠CAE＝∠CAF＝30°.∴ ∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°.∵ 菱形ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，∴ AE＝AF.
∴ △AEF为等边三角形.
第13题
第13题答案
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13
（2） 如图②，若将“E为BC的中点，F为CD的中点”改为“E为BC上的任意一点，F为CD上的一点”，且∠EAF＝60°，其他条件不变，则△AEF的形状如何？请说明理由.
解： （2） △AEF为等边三角形　理由：如图②，连接AC. 由（1），得△ABC，△ADC都是等边三角形，∴ ∠BAC＝∠B＝∠ACD＝60°，AB＝AC. ∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°，∴ ∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF. 在△BAE和△CAF中，
∴ △BAE≌△CAF.
∴ AE＝AF. ∵ ∠EAF＝60°，
∴ △AEF为等边三角形.
第13题 第13题答案
第13题答案
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13(共16张PPT)
小专题（六）　利用特殊四边形巧解折叠问题
第二十一章　四 边 形
类型一　折叠中求角度
1. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB的度数为（　C　）
A. 24° B. 33° C. 57° D. 66°
第1题
C
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2. ★如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，将纸片展开，再把△ADH沿DH折叠得到△GDH，使得点A落在EF上的点G处，则∠HDG的度数为（　A　）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

第2题
A
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3. 如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F. 若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 　112°　.
第3题
112°　
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4. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点A落在点F处，BF交DC于点E，再将△DEF沿DE折叠后，点F落在点G处.若DG刚好平分∠BDC，则∠GDE的度数是 　18°　.

第4题
18°　
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类型二　折叠中求线段长
5. 如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合.若正方形ABCD的边长为6，E是边AD的中点，则CG的长是（　C　）
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1
第5题
C
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6. ★如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF. 若AB＝4，BC＝6，则CF的长是（　D　）
A. 3 B. C. D.
第6题
D
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7. ★如图，将 ABCD沿对边上两点连线EF折叠，使点A恰好落在点C处，若∠ABC＝120°，AD＝4，AB＝8，则AE的长为（　C　）
A. 4.6 B. 4 C. 5.6 D. 5
第7题
C
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8. 如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点E不动，将边BE折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE. 若DE＝EF，CE＝1，求AD的长.
第8题
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解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAB′＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°.由折叠，得∠AB′E＝∠B＝90°，BE＝B′E，∠BAE＝∠B′AE＝45°.∴ 易得四边形ABEB′为正方形，四边形CDB′E为矩形.∴ CD＝B′E，B′D＝CE＝1.∴ BE＝CD. ∵ ∠B＝∠C＝90°，DE＝EF，∴ Rt△BEF≌Rt△CDE. ∴ BF＝CE＝1.由折叠，得GF＝BF＝1，∠EGF＝∠B＝90°.∴ ∠AGF＝180°－∠EGF＝90°.∵ ∠BAE＝45°，∴ ∠AFG＝90°－∠BAE＝45°.∴ AG＝GF＝1.∴ 在Rt△AFG中，由勾股定理，得AF＝ ＝ ＝ .∴ AB＝AF＋BF＝ ＋1.∴ AB′
＝AB＝ ＋1.∴ AD＝AB′＋B′D
＝ ＋2
第8题
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9. ★如图①，将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF，再折出矩形BCFE的对角线BF. 如图②，将AB折到BF上，点A落在BF上的点A′处，折痕为BG. 若AB＝2，求A′G的长.
第9题
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解：如图②，连接GF. ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝BC＝2.由折叠，得AG＝A′G，DF＝CF＝ CD＝1，BA′＝BA＝2.在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝ ，则A′F＝BF－BA′＝ －2.设AG＝A′G＝x，则GD＝2－x.由折叠，得∠BA′G＝∠A＝90°，
∴ ∠GA′F＝90°.在Rt△A′GF和Rt△DGF中，由勾股定理，得A′F2＋A′G2＝DF2＋DG2，即（ －2）2＋x2＝12＋（2－x）2，解得x＝ －1.∴ A′G的长为 －1
第9题
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11
类型三　折叠中求面积
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点F处，CF交AD于点E，则△CDE的面积为（　C　）
A. B. C. D. 26
第10题
C
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11. ★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD沿MN折叠，使点C恰好与点A重合，点D落在点E处，连接CM，连接AC交MN于点O.
第11题
（1） 求证：四边形ANCM是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝90°，
AM∥CN. ∴ ∠AMN＝∠MNC. 由折叠，
得∠MNC＝∠ANM，∴ ∠AMN＝∠ANM.
∴ AM＝AN. 由折叠，得NC＝NA，∴ AM＝CN.
∵ MA∥CN，∴ 四边形ANCM是平行四边形.∵ CN＝NA，
∴ 四边形ANCM是菱形
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（2） 求四边形ANCM的面积；
解：（2） 设AN＝CN＝x，则BN＝8－x.在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB2＋BN2＝AN2，即42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5.
∴ CN＝5.∴ S菱形ANCM＝CN AB＝5×4＝20
第11题
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11
（3） 求线段MN的长度.
解：（3） ∵ 四边形ANCM是菱形，∴ AO＝OC，OM＝ON，AC⊥MN. ∵ AB＝4，BC＝8，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝4 .∴ OA＝2 .∵ 在菱形ANCM中，AC⊥MN，∴ ∠AON＝90°.在Rt△AON中，
∵ AN＝5，∴ 由勾股定理，得ON＝
＝ ＝ .∴ MN＝2ON＝2
第11题
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11(共13张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
第5课时　正方形的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　C　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角
C
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2. （教材P80习题21.3第12题变式）如图，面积为25的正方形OBCD的两边分别与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（　C　）
第2题
C
A. （25，25）
B. （－5，5）
C. （5，5）
D. （ ， ）
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13
3. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，若∠AEB＝65°，则∠CBE的度数为（　D　）
A. 45° B. 25° C. 15° D. 20°
D
第3题
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4. 若正方形的对角线长2 cm，则这个正方形的面积为（　B　）
A. 4 cm2 B. 2 cm2 C. cm2 D. 2 cm2
B
5. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F. 若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（　C　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第5题
C
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13
二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（－2，0），则线段BD的长是 　4　.
第6题
4　
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7. 用四根长度相等的木条制作学具，先制作如图①所示的正方形ABCD，测得BD＝10 cm，拉动学具成如图②所示的四边形ABCD，测得∠B＝60°，则图②中AC的长为 　5 　cm.
第7题
5 　
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8. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F. 若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　25　.
9. ★已知正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AC上，∠OBE＝15°，则∠ABE的度数为 　60°或30°　.
第8题
25　
60°或30°　
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10. ★如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为 　5　.
第10题
5　
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13
三、 解答题（共40分）
11. （12分）（浙江中考）如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（涂色部分），点E在对角线BD上.
（1） 该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CB，∠ABD＝∠CBD. 在△ABE和△CBE中， ∴ △ABE≌△CBE
第11题
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（2） 若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.∵ DE＝DA，∴ ∠DAE＝∠DEA. ∵ ∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，∴ ∠DAE＝∠DEA＝67.5°.∴ ∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°
第11题
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13
12. （12分）如图，在正方形ABCD中，延长BC到点F，过点B作BG⊥DF于点G，BG交CD于点E. 求证：CE＝CF.
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝DC，∠BCD＝90°.
∴ ∠BCE＝∠DCF＝90°.∴ 在Rt△BCE中，∠CBE＋∠CEB＝90°.∵ BG⊥DF，∴ ∠DGE＝90°.在Rt△DGE中，∠CDF＋∠DEG＝90°.又∵ ∠CEB＝∠DEG，∴ ∠CBE＝∠CDF. 在△BCE和△DCF中，
∴ △BCE≌△DCF. ∴ CE＝CF
第12题
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13
13. ★（16分）（教材P79习题21.3第6题变式）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为对角线BD上一点，BE＝BC，过点E作EF⊥CD于点F，连接BF，求△BEF的面积.
解：∵ 四边形ABCD是正方形，且AB＝2，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠C＝90°，∠BDC＝45°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝ ＝2 .∵ BE＝BC＝2，∴ DE＝BD－BE＝2 －2.∵ EF⊥CD，∠BDC＝45°，∴ △EFD是等腰直角三角形.∴ EF＝DF. 由勾股定理，得DE＝ ＝ EF，∴ EF＝DF＝ DE＝ ×（2 －2）＝2－ .
∴ CF＝CD－DF＝2－（2－ ）＝ .
∴ △BEF的面积为 EF CF＝ ×（2－ ）
× ＝ －1
第13题
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13(共15张PPT)
第二十一章小测
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （遂宁中考）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　A　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
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12
2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠DEB 的度数为（　C　）
A. 37.5° B. 42.5° C. 45° D. 47.5°
第2题
C
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11
12
3. 如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设 AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　C　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第3题
C
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12
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD＝50°，则∠DHO的度数为（　B　）
A. 20° B. 25° C. 27° D. 40°
第4题
B
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12
5. ★如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，顺次连接点E，F，G，H，得到四边形EFGH，下列描述错误的是（　B　）
A. 四边形EFGH一定是平行四边形
B. 当∠BAC＝90°时，四边形EFGH为矩形
C. 当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
D. 当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
B
第5题
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6 cm，则 ABCD的对角线AC的长为 　6 　cm.
第6题
6 　
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12
7. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，BC＝4，E，F分别是AB，AD的中点，则EF＝ 　2 　.
第7题
2 　
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12
8. 如图，正方形ABCD与菱形AECF有一条共同的对角线AC，若∠EAF＝60°，AE＝2，则正方形ABCD的边长是 　 　.
第8题
　
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9. ★（内江中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值为 　5　.
第9题
5　
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形.
解：∵ DE∥BC，DE＝BC，∴ 四边形BCDE是平行四边形.∵ ∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴ CD＝ AB＝BD. ∵ ∠BAC＝30°，∴ ∠ABC＝90°－30°＝60°.∴ △BCD为等边三角形.∴ BC＝CD. ∴ 四边形BCDE是菱形
第10题
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11. （16分）如图，在△ABC中，E，F分别是边BC，AC的中点，过点A作BC的平行线，交射线EF于点D.
（1） 求证：四边形ABED是平行四边形；
解：（1） ∵ E，F分别是边BC，AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB. ∵ AD∥BC，∴ 四边形ABED是平行四边形
第11题
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12
（2） 若AB＝AC，连接AE，CD，求证：四边形AECD为矩形.
解：（2） 由（1）可知，四边形ABED是平行四边形，∴ AD＝BE.
∵ E是BC的中点，∴ BE＝CE. ∴ AD＝CE. ∵ AD∥CE，∴ 四边形AECD是平行四边形.∵ AB＝AC，E是BC的中点，∴ AE⊥BC.
∴ ∠AEC＝90°.∴ 四边形AECD为矩形
第11题
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12. ★（16分）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG.
（1） 求证：四边形AEGF是菱形；
第12题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD，
∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC. 在△ABE和△ADF
中， ∴ △ABE≌△ADF. ∴ AE＝AF，∠BAE＝∠DAF. ∴ ∠EAG＝∠FAG. ∵ FG∥AE，∴ ∠EAG＝∠FGA.
∴ ∠FAG＝∠FGA，∴ FG＝AF＝AE. ∵ FG∥AE，
∴ 四边形AEGF是平行四边形.又∵ AF＝AE，
∴ 四边形AEGF是菱形
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12
（2） 如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BC∥AD. ∴ ∠B＋∠BAD＝180°.∵ ∠B＝∠BAE＝30°，△ABE≌△ADF，∴ ∠BAE＝∠DAF＝30°.∴ ∠BAD＝180°－∠B＝150°.∴ ∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝150°－30°－30°＝90°.∴ 四边形AEGF是正方形
第12题
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12(共11张PPT)
小专题（四）　中点四边形
第二十一章　四 边 形
类型一　探究中点四边形的形状
1. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点.有下列说法：① 若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；② 若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③ 若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④ 若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中，正确的个数是（　A　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
A
第1题
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3
4
5
6
7
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F.
（1） 四边形GEHF是 　平行四边形　.
第2题
平行四边形　
1
2
3
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5
6
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（2） 当AB与BD满足什么条件时，四边形GEHF是矩形？请说明理由.
解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形　理由：如图，连接GH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD. ∵ G，H分别是AD，BC的中点，∴ AG＝ AD，BH＝ BC. ∴ AG＝BH. 又∵ AD∥BC，即AG∥BH，∴ 四边形ABHG是平行四边形.∴ AB＝GH. ∵ E，O，F分别是BD上的四等分点，∴ BE＝OE＝OF＝DF. ∴ BD＝2EF. ∵ BD＝2AB，∴ EF＝AB. ∴ GH＝EF. 由（1），知四边形GEHF是平行四边形，∴ 四边形GEHF是矩形.
解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形　理由：如图，连接GH. ∵
四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD. ∵
G，H分别是AD，BC的中点，∴ AG＝ AD，BH＝ BC. ∴ AG＝
BH. 又∵ AD∥BC，即AG∥BH，∴ 四边形ABHG是平行四边形.∴
AB＝GH. ∵ E，O，F分别是BD上的四等分点，∴ BE＝OE＝OF
＝DF. ∴ BD＝2EF. ∵ BD＝2AB，∴ EF＝AB. ∴ GH＝EF. 由
（1），知四边形GEHF是平行四边形，∴ 四边形GEHF是矩形.
第2题
第2题答案
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3. ★我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形.
（1） 如图①，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形.
解：（1） 如图①，连接BD. ∵ E，H分别为边AB，AD的中点，
∴ EH∥BD，EH＝ BD. ∵ F，G分别为BC，DC的中点，
∴ FG∥BD，FG＝ BD. ∴ EH＝FG，EH∥FG. ∴ 中点四边形
EFGH是平行四边形
第3题答案
第3题
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（2） 如图②，P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.
解：（2） 四边形EFGH是菱形　如图②，连接AC，BD. ∵ ∠APB＝∠CPD，∴ ∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 又∵ AP＝BP，PC＝PD，∴ △APC≌△BPD. ∴ AC＝BD. ∵ E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，∴ EF＝ AC， FG＝ BD. ∴ EF＝FG. 由（1），得四边形EFGH是平行四边形，∴ 四边形EFGH是菱形
解：（2） 四边形EFGH是菱形　如图②，连接AC，BD. ∵ ∠APB＝
∠CPD，∴ ∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝
∠APC. 又∵ AP＝BP，PC＝PD，∴ △APC≌△BPD. ∴ AC＝BD.
∵ E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，∴ EF＝ AC， FG＝
BD. ∴ EF＝FG. 由（1），得四边形EFGH是平行四边形，∴ 四边形
EFGH是菱形
第3题答案
第3题
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（3） 若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，请直接写出中点四边形EFGH的形状.
解：（3） 四边形EFGH是正方形　
第3题
解析：设AC，BD的交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N. ∵ △APC≌△BPD，∴ ∠ACP＝∠BDP. ∵ ∠DMO＝∠CMP，∴ ∠COD＝∠CPD＝90°.由（1），得EH∥BD，∴ ∠HNO＝∠COD＝90°.∵ G，H分别是CD，DA的中点，∴ GH∥AC.
∴ ∠EHG＝180°－∠HNO＝90°.由（2），得四边形EFGH是菱形，∴ 四边形EFGH是正方形.
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类型二　探究中点四边形的线段长
4. ★如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2＋FH2的值.
解：如图，连接EF，FG，GH，EH，设EG和FH交于点O. ∵ E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴ EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EH＝ BD，EF＝ AC，FG＝ BD. ∴ EF∥HG，EH∥FG. ∴ 四边形EFGH为平行四边形.∵ AC＝BD，∴ EF＝FG. ∴ 四边形EFGH为菱形.∴ EG⊥FH，EG＝2OE，FH＝2OH. 在Rt△OEH中，由勾股定理，得OE2＋OH2＝EH2，∴ EG2＋FH2＝（2OE）2＋（2OH）2＝4（OE2＋OH2）＝4EH2＝4×2＝4×32＝36
解：如图，连接EF，FG，GH，EH，设EG和FH交于点O. ∵ E，
F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴ EF∥AC，
HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EH＝ BD，EF＝ AC，FG＝
BD. ∴ EF∥HG，EH∥FG. ∴ 四边形EFGH为平行四边形.∵ AC＝
BD，∴ EF＝FG. ∴ 四边形EFGH为菱形.∴ EG⊥FH，EG＝
2OE，FH＝2OH. 在Rt△OEH中，
由勾股定理，得OE2＋OH2＝ EH2，
∴ EG2＋FH2＝（2OE）2＋（2OH）2
＝4（OE2＋OH2）＝ 4EH2
＝4×2＝4×32＝36
第4题答案
第4题
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类型三　探究中点四边形的周长
5. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长是（　C　）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
C
第5题
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6. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长（　B　）
A. 只与AB，CD的长有关
B. 只与AD，BC的长有关
C. 只与AC，BD的长有关
D. 与四边形ABCD各边的长都有关
第6题
B
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类型四　探究中点四边形的面积
7. 如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD各边上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG＝DH，M，N，P，Q分别是EH，EF，FG，HG的中点.当AE从小于BE到大于BE的变化过程中.如果正方形ABCD的周长始终保持不变，那么四边形MNPQ的面积变化情况是（　D　）
A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
D
第7题
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