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(共14张PPT)
阶段检测（20.1）
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，以原点O为圆心、斜边OB的长为半径画弧，交数轴负半轴于一点，则这个点表示的数为（　B　）
A. B. － C. －2 D. －
第1题
B
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2. （南通中考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）.若小正方形的面积为5，（m＋n）2＝21，则大正方形的面积为（　B　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
B
第2题
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3. ★ 分类讨论思想 已知直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为（　D　）
A. 5 B. C. D. 或
D
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4. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（从点A到点C，B为AC的中点）.已知石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则该雕龙的长度至少为（　A　）
A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米
第4题
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一名高1.6米的学生CD正对着门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则该学生头顶离感应器的距离AD为 　1.3米　.
1.3米　
第5题
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6. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲船以20 n mile/h的速度向南偏东45°方向航行，乙船向南偏西45°方向航行.已知它们离开港口O 2 h后，相距60 n mile，则乙船2 h航行 　20 　n mile，乙船平均每小时航行 　10 　n mile.
第6题
20 　
10 　
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7. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O. 若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝ 　20　.
8. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8 cm，则图中所有正方形的面积的和是 　192　cm2.
第7题 第8题
20　
192　
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三、 解答题（共52分）
9. （15分）将平面直角坐标系放在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都表示1，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，点A的坐标为（2，2）.
（1） 写出△ABC另外两个顶点的坐标；
解：（1） 点B的坐标为（－2，－1），点C的坐标为（3，－2）
第9题
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（2） 求此三角形的周长；
解：（2） 由勾股定理，得AB＝ ＝5，AC＝ ＝ ，BC＝ ＝ ，∴ △ABC的周长为5＋ ＋
（3） △ABC的面积为 　9.5　.
第9题
9.5　
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10. ★（16分）
（1） 如图①，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝3 ，CD＝6，BC＝10，求△ABC的面积；
解：（1） ∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝3；在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝8.
∴ AB＝AD＋BD＝3＋8＝11.∴ S△ABC＝ AB CD＝ ×11×6＝33
第10题
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（2） 如图②，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面积.
解：（2） 过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∴ ∠BDC＝90°.∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠DAC＝60°.∴ ∠ACD＝90°－∠DAC＝30°.∵ AC＝8，∴ AD＝ AC＝4.在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD＝ ＝ ＝4 .∴ S△ABC＝ AB CD＝ ×4×4 ＝8
第10题
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11. ★（21分）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图①，B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边长分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置，如图②所示，该同学用图①、图②的面积不变证明了勾股定理.请你写出用该方法证明勾股定理的过程.
第11题
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解：如图②，连接BF. ∵ AC＝b，∴ 正方形ACDE的面积为b2.∵ CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，∴ BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b.∵ ∠CAE＝90°，∴ ∠BAC＋∠BAE＝90°.
∵ ∠BAC＝∠EAF，∴ ∠EAF＋∠BAE＝90°，即∠BAF＝90°.
又∵ BA＝FA，∴ △BAF为等腰直角三角形.∴ 四边形ABDF的面积为 c2＋ （b－a）（a＋b）＝ c2＋ （b2－a2）.∵ 正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴ b2＝ c2＋ （b2－a2）.∴ b2＝ c2＋ b2－ a2.∴ a2＋ b2＝ c2.∴ a2＋b2＝c2
第11题
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11(共10张PPT)
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第2课时　利用勾股定理的逆定理解决一些实际问题
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题8分，共24分）
1. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，由于在BC上有一古建筑D，故BC的长不能直接测出，测量人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，AC＝150米，则BC的长为（　C　）
A. 90米 B. 120米 C. 140米 D. 150米
C
第1题
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2. 如图，在△ABC中，AB＝ ，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为（　B　）
A. B. C. 1 D.
第2题
B
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3. ★在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均表示1，A，B，C三点均在小正方形的顶点上，则下列结论错误的是（　D　）
A. 点A到直线BC的距离是2 B. ∠BAC＝90°
C. AB＝2 D. S△ABC＝10
第3题
D
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二、 填空题（每题8分，共32分）
4. 在△ABC中，AB＝10，BC＝12，且边BC上的中线AD＝8，那么AC的长为 　10　.
5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝AB＝2，BC＝ ，CD＝ ，则∠ABC的度数为 　135°　.
10　
135°　
第5题
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6. 在平面直角坐标系中，点C的坐标为（－3，0），点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足 ＋｜OA－2｜＝0，则△ABC是 　直角　三角形（按角分）.
7. 如图，∠A＝90°，AC＝AB＝8，CD＝4，BD＝12，则∠ACD＝ 　45　°.
直角　
45　
第7题
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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，Rt△ABC与Rt△CDE有一个公共点C，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝ .求证：∠ACE＝90°.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝32＋22＝13；在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2＝CD2＋DE2＝62＋42＝52.∵ AE2＝（ ）2＝65，∴ AE2＝AC2＋CE2.∴ △ACE是直角三角形，且∠ACE＝90°
第8题
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9. （14分）某文化创意工作室为打造具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材料用量.如图所示为该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，CD＝2 ，AD＝2 ，请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积.
第9题
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解：如图，连接AC. 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，由勾股定理，得AC＝ ＝2 .在△ACD中，AC2＋CD2＝（2 ）2＋（2 ）2＝24，AD2＝（2 ）2＝24，∴ AC2＋CD2＝AD2.∴ △ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.∴ 该饰品部件平面图的面积＝S△ACD－S△ABC＝ AC CD－ AB BC＝6－2
第9题答案
第9题
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10. ★（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h.试判断以a＋b，h，c＋h为边长的三角形的形状，并说明理由.
解：以a＋b，h，c＋h为边长的三角形是直角三角形　理由：在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2＋b2＝c2.∵ S△ABC＝ ab＝ ch，
∴ ab＝ch.∴ （a＋b）2＋h2＝a2＋b2＋h2＋2ab＝c2＋h2＋2ch＝（c＋h）2.∴ 以a＋b，h，c＋h为边长的三角形是直角三角形.
第10题
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10(共15张PPT)
第二十章小测
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则下列等式正确的是（　D　）
A. b2＝a2＋c2 B. 2a2＝c2
C. 2b2＝c2 D. 2a＝c
D
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2. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB在数轴上，点A表示的数为－1.若以点A为圆心，对角线AC的长为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（　C　）
A. B. C. －1 D. －1
第2题
C
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3. 如图，一只蚂蚁沿着棱长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B. 若它运动的路径是最短的，则最短路径的长为（　C　）
A. B. C. D. 2
第3题
C
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4. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形A，C，D的面积依次是5，6，20，则正方形B的面积是（　B　）
A. 15 B. 9 C. 10 D. 21
第4题
B
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5. 下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（　D　）
A B C D
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 有下列几组数：① 8，15，17；② 1，2， ；③ 0.3，0.4，0.5；④ ， ， ；⑤ 12，16，20.其中，属于勾股数的是 　①⑤　（填序号）.
①⑤　
7. （连云港中考）如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 　2.4　m.
第7题
2.4　
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8. 如图，网格中每个小正方形的边长都表示1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以AB，CD，2 为边的三角形的形状为 　直角　三角形（按角分）.
第8题
9. ★在△ABC中，AB＝15，AC＝13，边BC上的高AD＝12，则边BC的长是 　14或4　.
直角　
14或4　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）为帮助学生们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八年级（1）班、八年级（2）班各分一块三角形劳动试验基地.
（1） 当班主任测量出八年级（1）班试验基地
的三边长分别为5 m，12 m，13 m时，一边的小
明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积
为 　30　m2.
30　
第10题
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（2） ★八年级（2）班的劳动试验基地的三边长分别为AB＝15 m，BC＝14 m，AC＝13 m（如图），你能帮助他们求出面积吗？
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. 设BH＝x m，则CH＝（14－x）m.在Rt△BHA中，由勾股定理，得AH2＝AB2－BH2；在Rt△AHC中，由勾股定理，得AH2＝AC2－CH2.∴ AB2－BH2＝AC2－CH2，即152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9.∴ AH＝ ＝12（m）.∴ △ABC的面积＝ BC AH＝ ×14×12＝84（m2）
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. 设BH＝x m，则CH＝（14－
x）m.在Rt△BHA中，由勾股定理，得AH2＝AB2－BH2；在
Rt△AHC中，由勾股定理，得AH2＝AC2－CH2.∴ AB2－BH2＝AC2－
CH2，即152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9.∴ AH＝ ＝
第10题答案
第10题
12（m）.∴ △ABC的面积＝ BC AH＝ ×14×12＝84（m2）
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11. （16分）已知三角形的三边长为a，b，c，其中一边上的高为h，且 ＋ ＝ ，ab＝ch.求证：此三角形是直角三角形.
解：∵ ＋ ＝ ，∴ ＝ .∴ h2＝ .∵ ab＝ch，∴ h＝ .∴ 2＝ .∴ c2＝a2＋b2.∴ 此三角形是直角三角形
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12. ★（18分）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，多年来，人们对它进行了大量的研究，它的证明方法有许多.下面是证明勾股定理的几个步骤：
如图，AC＝a，BC＝b，AB＝c，分别以Rt△ABC的三边为边作正方形ABFE、正方形AJKC、正方形BCIH，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA，CF.
第12题
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第一步可证明△ABH≌△FBC；第二步可证明正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等；第三步可证明a2＋b2＝c2.
综合上述内容，完成下列各题.求证：
（1） △ABH≌△FBC；
解：（1） ∵ 四边形ABFE和四边形BCIH是正方形，∴ AB＝FB，HB＝CB，∠ABF＝∠CBH＝90°.∴ ∠CBH＋∠ABC＝∠ABF＋∠ABC，即∠HBA＝∠CBF. ∴ △ABH≌△FBC　
第12题
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（2） 正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等；
解：（2） ∵ 四边形BCIH是正方形，∴ CI∥BH，即AI∥BH.
∴ S△ABH＝ S正方形BCIH. 易得CG∥BF，四边形BFGD为长方形.∴ S△FBC＝ S长方形BFGD. 又∵ △ABH≌△FBC，∴ S△ABH＝S△FBC. ∴ S正方形BCIH＝S长方形BFGD，即正方形BCIH的面积与长方形BFGD的面积相等　
第12题
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（3） a2＋b2＝c2.
解：（3） 由（2），同理可得，正方形AJKC的面积与长方形ADGE的面积相等，∴ S正方形AJKC＋S正方形BCIH＝S长方形ADGE＋S长方形BFGD＝S正方形ABFE，即AC2＋BC2＝AB2.∴ a2＋b2＝c2
第12题
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12(共13张PPT)
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第1课时　勾股定理的逆定理
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　B　）
A. 1，1，2 B. 1， ，2
C. 5，6，7 D. 2， ，
2. 下列各组数中，是勾股数的一组为（　C　）
A. 4，5，6 B. 1， ，
C. 5，12，13 D. 1， ，
B
C
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3. 在△ABC中，三边长a，b，c满足（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC的形状是（　A　）
A. 以a为斜边长的直角三角形
B. 以b为斜边长的直角三角形
C. 以c为斜边长的直角三角形
D. 不是直角三角形
A
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4. 如图，在方格纸中，A，B，C三点均在小正方形的顶点上，则∠ABC的度数为（　A　）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
第4题
A
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5. 如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（　D　）
A. 25 B. 17 C. 18 D. 20
第5题
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 新考向 数学文化 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：“今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”译文是有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，这块沙田的面积是 　84　平方丈（平方丈是中国市制土地面积单位）.
84　
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7. 一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为60 cm，则其面积为 　150　cm2.
8. 在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5.点D在直线AC上，且AD＝11，则线段BD的长为 　6 或20　.
9. 若△ABC的三边长a，b，c满足a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，则△ABC是 　直角　三角形.
150　
6 或20　
直角　
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10. ★（扬州中考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：① 3，4，5；② 5，12，13；③ 7，24，25；④ 9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 　11，60，61　.
11，60，61　
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三、 解答题（共50分）
11. （16分）（教材P36练习第1题变式）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1） a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5；　　
解：（1） ∵ 0.32＋0.42＝0.52，∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形
（2） a＝ ，b＝1，c＝ ；
解：（2） ∵ 2＋12≠2，∴ 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形
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（3） a＝2，b＝ ，c＝ ；　　
解：（3） ∵ 22＋（ ）2＝（ ）2，∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形
（4） a＝ ，b＝4，c＝5.
解：（4） ∵ 52＋42＝（ ）2，∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形
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12. （16分）（教材P36练习第2题变式）如图，以△ABC的三边为边向外作等边三角形ABE，ACD，BCF，三个三角形的面积分别为S1，S2，S3.若S1＝S2＋S3，判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
第12题
解：△ABC是直角三角形　理由：如图，过点E作EH⊥AB于点H.
∵ △ABE是等边三角形，∴ AE＝AB，AH＝ AB. 由勾股定理，得EH＝ ＝ AB，∴ S1＝ AB EH＝ ×AB× AB＝ AB2.同理可得S2＝ AC2，S3＝ BC2.∵ S1＝S2＋S3，∴ AB2＝ （AC2＋BC2）.∴ AB2＝AC2＋BC2.∴ △ABC是直角三角形.
第12题答案
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13. ★（18分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB. 若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB的勾股分割点.
第13题
（1） 已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB. 若AM＝1.5，MN＝2.5，NB＝2，则M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
解：（1） M，N是线段AB的勾股分割点　理由：∵ AM2＋NB2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴ AM2＋NB2＝MN2.∴ 以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形.∴ M，N是线段AB的
勾股分割点.
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（2） 已知M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB＝24，AM＝6，求NB的长.
解： （2） 设NB＝x，则MN＝24－AM－NB＝18－x.① 当MN为斜边时，MN2＝AM2＋NB2，即（18－x）2＝62＋x2，解得x＝8.② 当NB为斜边时，NB2＝AM2＋MN2，即x2＝62＋（18－x）2，解得x＝10.综上所述，NB的长为8或10
第13题
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13(共16张PPT)
小专题（三）　利用勾股定理解决最短路径问题
第二十章　勾股定理
类型一　求平面上的最短路径长
1. 如图，D，E分别是等边三角形ABC中边BC，AB的中点，AB＝6，F是线段AD上的动点，则BF＋EF的最小值为（　D　）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 3
第1题
D
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2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E是AD上任意一点，F是AB上任意一点，AC＝5，BD＝3，则BE＋EF的最小值是（　C　）
A. 2.4 B. 4 C. 4.8 D. 3
第2题
C
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3. ★（成都中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为 　5　.
第3题
5　
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4. ★如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值.
解：如图，作点Q关于AC的对称点D，连接BD，CD，PD，则∠ACB＝∠ACD，CQ＝CD，PQ＝PD. ∵ Q为BC的中点，∴ BQ＝CQ＝ BC＝1.∴ △PBQ的周长＝BQ＋BP＋PQ＝1＋BP＋PD≥1＋BD. ∵ △ABC为等腰直角三角形，∴ ∠ACB＝45°.∴ ∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝2∠ACB＝90°.在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝CQ＝1，∴ 由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝ .∴ △PBQ周长的最小值为1＋
解：如图，作点Q关于AC的对称点D，连接BD，CD，PD，则
∠ACB＝∠ACD，CQ＝CD，PQ＝PD. ∵ Q为BC的中点，∴ BQ＝
CQ＝ BC＝1.∴ △PBQ的周长＝BQ＋BP＋PQ＝1＋BP＋PD≥1＋
BD. ∵ △ABC为等腰直角三角形，∴ ∠ACB＝45°.∴ ∠BCD＝
∠ACB＋∠ACD＝2∠ACB＝90°.在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝
CQ＝1，∴ 由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝ .∴
△PBQ周长的最小值为1＋
第4题 第4题答案
第4题答案
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5. ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是△ABC的角平分线，P，Q分别是AD和AC上的动点，求PQ＋PC的最小值.
解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，则PQ
＝PQ′.∵ AD平分∠BAC，∴ 点Q′在AB上.∴ PQ＋PC＝PQ′＋
PC. ∴ 当CQ′⊥AB，P为CQ′与AD的交点时，PQ′＋PC取得最小
值，即PQ＋PC取得最小值，最小值为CQ′的长.在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ 由勾股定理，得AB＝
＝ ＝10.当CQ′⊥AB时，
∵ S△ABC＝ AC BC＝
AB CQ′，即 ×6×8＝ ×10CQ′，
∴ CQ′＝ .∴ PQ＋PC的最小值为
第5题答案
第5题 第5题答案
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类型二　求立体图形上的最短路径长
6. 如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从点A爬行到点M的最短距离为（　A　）
A. B. C. 5 D. 2＋
第6题
A
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7. 如图，一圆柱的底面周长为10 cm，高AB为12 cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程为（　B　）
A. 17 cm B. 13 cm C. 12 cm D. 14 cm
第7题
B
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8. 如图所示为一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的顶点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是 　25　dm.
第8题
25　
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9. 如图，一只蚂蚁沿着一个长方体表面从点A出发，经过三个面爬到点B. 已知底面是边长为2的正方形，高为8，则蚂蚁爬行的最短路径的长为 　10　.
第9题
10　
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10. ★如图所示为一块长、宽、高分别是4，6，3的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长.
第10题
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解：第一种情况：把长方体的前面和上面展开，组成一个长方形，如图①，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则由勾股定理，得蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 ＝ ；第二种情况：把长方体的左面与上面展开，组成一个长方形，如图②，则这个长方形的长和宽分别是7和6，则由勾股定理，得蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 ＝ ；第三种情况：把长方体的前面和右面展开，组成一个长方形，如图③，则这个长方形的长和宽分别是10和3，则由勾股定理，得蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 ＝ .∵ ＜ ＜ ，∴ 蚂蚁需要爬行的最短路径的长是
第10题
第10题答案
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类型三　利用数形结合求最短路径长
11. ★★如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC. 已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x.
（1） 用含x的代数式表示AC＋CE的值.
解：（1） 在Rt△ABC和Rt△CDE中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ，CE＝ ＝ ，∴ AC＋CE＝ ＋
第11题
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（2） 探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
解：（2） 当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小，如图①，过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，连接AE. 易得四边形ABDF是长方形，∴ DF＝AB＝2，AF＝BD＝4.∴ EF＝DE＋DF＝3.在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝5.∴ AC＋CE的最小值是5　
解：（2） 当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小，如图①，过
点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，连接AE. 易得四边形ABDF是
长方形，∴ DF＝AB＝2，AF＝BD＝4.∴ EF＝DE＋DF＝3.在
Rt△AEF中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝5.∴ AC
＋CE的最小值是5　
第11题答案
第11题
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（3） 根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 ＋ 的最小值.
解：（3） 如图②，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，取BD上任意一点C，连接AC，CE. 设BC＝x，则CD＝BD－BC＝12－x.在Rt△ABC和Rt△CDE中，由勾股定理，得AC＋CE＝ ＋ ＝ ＋ 的最小值为13
解：（3） 如图②，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，取BD上任意一点C，连接AC，CE.
设BC＝x，则CD＝BD－BC＝12－x.在Rt△ABC和Rt△CDE中，由
勾股定理，得AC＋CE＝ ＋ ＝ ＋
第11题
第11题答案
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11
.连接AE，则AE的长为代数式 ＋
的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，
得长方形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12.∴ EF＝ED＋DF＝
3＋2＝5.在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE＝ ＝
＝13.∴ ＋ 的最小值为13
第11题
第11题答案
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11(共14张PPT)
20.1　勾股定理及其应用
第3课时　勾股定理在作图与计算中的应用
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－3，0），B（0，5），以点A为圆心、AB的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标位于（　D　）
A. 4和5之间 B. 3和4之间
C. 5和6之间 D. 2和3之间
D
第1题
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2. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（0，3），（0，－3），C为x轴正半轴上的一点，AC＝BC＝4，则点C的坐标为（　C　）
A. （5，0） B. （2.5，0）
C. （ ，0） D. （3.5，0）
C
第2题
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3. ★如图，△ABC的顶点A，B，C在正方形网格的格点上（每个小正方形的边长均表示1），BD⊥AC于点D，则AD的长为（　D　）
A. B. C. D.
第3题
D
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4. ★如图，F，O，D，A是数轴上的四个点，点O与原点重合，边长为3的正方形OABC被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，OD＝2，DE＝DF，则点F表示的数为（　B　）
A. B. 2＋ C. 3 D. 2＋
第4题
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，3），以点A为圆心、AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则BC的长为 　 　.
第5题
　
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6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均表示1，A，B，C均为格点，连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为 　3－ 　.
第6题
3－ 　
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7. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片（Rt△ABC和Rt△ABD）放在数轴上方，纸片上的点A在数轴上表示的数为－2，AC＝BC＝BD＝1.若以点A为圆心、AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A的右侧），则点E表示的数为 　 －2　.
第7题
－2　
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8. 如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱的表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 　25π　.
第8题
25π　
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11
三、 解答题（共52分）
9. （14分）在如图所示的数轴上找到表示 的点M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图，点M即为所求作
第9题答案
第9题
第9题答案
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10. ★（16分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都表示1.
（1） 请在网格中画出格点三角形ABC，使AB＝2 ，BC＝ ，AC＝ ；
解：（1） ∵ （2 ）2＝22＋22，∴ 2 看作是以2为直角边长的等腰直角三角形的斜边长.∵ （ ）2＝22＋32，∴ 看作是以2，3为直角边长的直角三角形的斜边长.∵ （ ）2＝42＋12，∴ 看作是以4，1为直角边长的直角三角形的斜边长.∴ △ABC如图所示
第10题答案
第10题答案
第10题
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11
（2） 求△ABC的面积.
解：（2） S△ABC＝4×3－ ×4×1－ ×2×2－ ×2×3＝5，即△ABC的面积是5
第10题
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11. （22分） 新考法 阅读理解 阅读下面的材料并回答问题.
　　已知平面内有两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理，可得这两点间的距离MN＝ .
　　例如：如图①，点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（1，－2），则MN＝ ＝ .
第11题
（1） 已知点P（2，－3），Q（－1，3），求P，Q两点间的距离；
解：（1） ∵ P（2，－3），Q（－1，3），∴ PQ＝ ＝3
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（2） 如图②，在平面直角坐标系中，OB＝ ，OB与x轴正半轴的夹角是45°，求点B的坐标.
解：（2） 过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BFO＝90°.∵ OB与x轴正半轴的夹角是45°，∴ ∠FOB＝45°.∴ ∠OBF＝90°－∠FOB＝45°.∴ ∠FOB＝∠OBF. ∴ OF＝BF. 设点B的坐标为（m，－m）（m＞0），则OB＝ ＝ .∴ 2m2＝2，解得m＝1（负值舍去）.∴ 点B的坐标为（1，－1）
第11题
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11(共11张PPT)
20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.2 km后，再向北飞行0.9 km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径的长为（　B　）
A. 1.0 km B. 1.5 km C. 1.8 km D. 2.1 km
B
第1题
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2. （教材P30习题20.1第2题变式）如图，一棵树被大风刮断，折断处离地面7.5 m，树的顶端离树根4 m，则这棵树在折断之前的高度是（　A　）
A. 16 m B. 18 m C. 22 m D. 24 m
第2题
A
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3. （教材P31习题20.1第10题变式）如图，平静的水面上，荷花AC亭亭玉立，露出水面2 cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好完全浸入水面.仔细观察，发现荷花AC偏离原位置8 cm，则水的深度BC为（　C　）
A. 10 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 17 cm
第3题
C
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4. 如图，将一根24 cm长的筷子，置于底面直径为15 cm、高为8 cm的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　D　）
A. h≤17 B. h≥8
C. 15≤h≤16 D. 7≤h≤16
第4题
D
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5. ★ 新情境 现实生活 如图所示为某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面20 cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15 cm，出水口D到点E的距离为17 cm，并且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台台面的高度BE为（　B　）
A. 8 cm B. 12 cm
C. 15 cm D. 17 cm
B
第5题
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段.同学们首先测量了多出的这段绳子的长度为1 m，然后将这根绳子拉直，当绳子的底端和地面接触时，绳子底端与旗杆底端的距离恰好为5 m，则旗杆的高度为 　12　m.
12　
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第7题
7. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′距地面0.6 m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB为3 m，距地面1.6 m，则秋千AB的长为 　5 m　.
5 m　
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8. 如图，该衣架可以近似地看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，AD⊥BC于点D. 若AC＝60 cm，∠C＝30°，则BC的长为 　60 　cm.
第8题
60 　
9. ★小明把一根70 cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40 cm、30 cm、50 cm的长方体木箱中，他 　能　（填“能”或“不能”）放进去.
能　
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三、 解答题（共42分）
10. （20分）如图，某校八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，方案如下：竹竿长度为5 m，壁挂音箱MN所在直线垂直于地面AB，垂足为O，线段AM，BN表示同一根竹竿.第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处，已知AO＝3 m，BO＝4 m.请根据上述方案中的内容，计算MN的长.
第10题
解：由题意可知，∠NOB＝90°.在Rt△OAM中，AM＝5 m，OA＝3 m，∴ OM＝ ＝ ＝4（m）.在Rt△OBN中，BN＝5 m，OB＝4 m，∴ ON＝ ＝ ＝3（m）.
∴ MN＝OM－ON＝4－3＝1（m）
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11. ★（22分）（教材P31习题20.1第11题变式）如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸片折叠，使点A与点B重合，求折痕的长.
第11题
解：如图，折痕为GH，易知直线GH是线段AB的垂直平分线，连接BH，∴ AH＝BH，GH⊥AB. 由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝10（cm），由折叠，得AG＝BG＝ AB＝ ×10＝5（cm）.设AH＝BH＝x cm，则HC＝（8－x）cm.在Rt△BCH中，根据勾股定理，得62＋（8－x）2＝x2，∴ x＝ .在Rt△AGH中，根据勾股定理，得2－52＝GH2，∴ GH＝ cm.∴ 折痕的长为 cm
第11题答案
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11(共12张PPT)
20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理及验证
第二十章　勾股定理
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，则AC的长为（　C　）
A. 5 B. C. D. 7
第1题
C
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2. （教材P26练习第2题变式）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（　C　）
A. 36 cm2 B. 18 cm2 C. 81 cm2 D. 27 cm2
第2题
C
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3. ★在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中发现，他用9张直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（　B　）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
B
第3题
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4. ★直角三角形三边长分别为a，b，c，分别以直角三角形的三边为边（或直径）向外作正方形（如图①）、等边三角形（如图②）、宽均为m的长方形（如图③）、半圆（如图④）.其中，面积关系满足S1＋S2＝S3的有（　C　）
A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
C
第4题
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二、 填空题（每题8分，共24分）
5. （教材P26练习第3题变式）在平面直角坐标系xOy中，已知点P的坐标是（2，4），则点P到原点O的距离为 　2 　.
6. （教材P30习题20.1第7题变式）（1） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.若AB＝6，则AC＝ 　3 　；
（2） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，若AB＝4，则AC＝ 　2 　.
2 　
3 　
2 　
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE. 若△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1＋S2＝ 　 　.
第7题
　
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三、 解答题（共52分）
8. （14分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝21，AD＝12，且AD⊥BC，垂足为D. 求AC的长.
第8题
解：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝5.∵ BC＝21，∴ CD＝BC－BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝20
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9. ★（16分）（教材P31习题20.1第13题变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，求涂色部分的面积.
第9题
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2.∵ AC＝3，BC＝4，∴ S涂色＝直径为AC的半圆的面积＋直径为BC的半圆的面积＋S△ABC－直径为AB的半圆的面积＝ π 2＋ π 2＋ AC BC－ π 2＝ π AC2＋ π BC2－ π AB2＋ AC BC＝ π （AC2＋BC2－AB2）＋ AC BC＝ AC BC＝ ×3×4＝6
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10. ★★（22分）新考法 操作实践题 如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a，b（a＜b），斜边长为c，图②是以c为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
第10题
（1） 画出拼成的这个图形的示意图，并指出它是什么图形.
解：（1） 如答案图①所示，是梯形
第10题答案
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（2） 用这个图形证明勾股定理.
解：（2） 根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝ （a＋b）（a＋b）.从答案图①中我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积和，即 ab＋ ab＋ c2.∴ （a＋b）（a＋b）＝ ab＋ ab＋ c2，化简可得a2＋b2＝c2
第10题
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（3） 假设图①中的直角三角形有若干个，你能只用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？若能，请画出拼成的示意图并证明；若不能，请说明理由.
解：（3） 画边长为a＋b的大正方形，如答案图②所示　∵ 大正方形的面积＝4× ab＋c2＝（a＋b）2，∴ a2＋b2＝c2
第10题
第10题答案
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