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(共11张PPT)
19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （湖南中考）计算 × 的结果是（　D　）
A. 2 B. 7 C. 14 D.
2. 计算 × 的结果是（　A　）
A. 4 B. 3 C. 4 D. 16
3. 下列各数中，与 的积仍为无理数的是（　D　）
A. B. C. D.
D
A
D
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4. 下列运算错误的是（　C　）
A. ＝ ＝3
B. ＝ × ＝6
C. ＝－2
D. ＝5
5. ★若xy＜0，则 化简后的结果是（　D　）
A. xy B. x C. －x D. －x
C
D
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二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 计算 的结果是 　14 　.
7. 如果 ＝ ，请写出一个满足条件的x的值： 　答案不唯一，如6　.
8. 如果 × 是一个整数，那么x可取的最小正整数值为 　6　.
14 　
答案不唯一，如6　
6　
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9. 新考向 跨学科 “海阔千江辏，风翻大浪随.”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为wp＝ ，其中wp为风压（单位：kN/m2），v为风速（单位：m/s）.当风压为0.16 kN/m2时，估计风速为 　16　m/s.
10. 已知a，b都是二次根式，且满足ab＝ .请写出一对满足条件的a，b的值： 　答案不唯一，如a＝ ，b＝2 　.
16　
答案不唯一，如a＝ ，b＝2 　
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三、 解答题（共45分）
11. （8分）化简：
（1） ；　　
解：20
（2） ；
解：2.8
（3） ；　　
解：65
（4） （x＞0，y＞0，z＞0）.
解：4xyz
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12. （16分）计算：
（1） × ；　　
解：2
（2） 6 ×（－ ）；
解：－36
（3） （x＞0，y＞0）；　　
解：2xy2
（4） －5 × ×3 .
解：－30
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13. （9分）我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的，如2 ＝ ＝ .仿照示例，化简：
（1） 3 ；
解：3 ＝
＝
（2） － ；
解：－ ＝
－ ＝－ 　
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（3） a .
解：a ＝
－ ＝－
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14. （12分）新考向 数学文化 古希腊的几何学家海伦给出了如下公式：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ （a＋b＋c），则三角形的面积为S＝ （海伦公式）.我国南宋时期的数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求三角形面积的秦九韶公式：S＝ .海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，∴ 我们一般也称此公式为海伦－秦九韶公式.若△ABC的三边长为5，6，7，△DEF的三边长为 ，
， ，请利用上面的公式求出△ABC和△DEF的面积.
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解：∵ △ABC的三边长为5，6，7，∴ p＝ ×（5＋6＋7）＝9.
∴ S△ABC＝ ＝6 .∵ △DEF的三边长为 ， ， ，∴ S△DEF＝ ＝
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14(共10张PPT)
19.2　二次根式的乘法与除法
第3课时　最简二次根式
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（　D　）
A. B. C. D.
2. 计算 的结果是（　A　）
A. B. C. D.
D
A
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3. 下列各式化简正确的是（　D　）
A. ＝ B. ＝5
C. ＝ D. ＝
4. 有一张长方形纸片，其面积为3 cm2，长为2 cm，则这张长方形纸片的宽为（　B　）
A. cm B. cm C. cm D. cm
D
B
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5. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，该过程没有用到的数学知识是（　C　）
A. ＝ （a≥0，b＞0） B. 分数的基本性质
C. （ ）2＝a（a≥0） D. ＝a（a≥0）
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 把 化简为 　6 　.
7. 若 （m，n均不为0）为最简二次根式，则m＝ 　1　，n＝ 　1　.
8. 写出一个正整数n，使 是最简二次根式，则n可以是 　答案不唯一，如1　.
9. ★若 是最简二次根式，则整数a的最小值为 　3　.
6 　
1　
1　
答案不唯
一，如1　
3　
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三、 解答题（共51分）
10. （12分）（教材P10练习第1题变式）化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
解：2
解：3
（3） ；
（4） .
解：
解：
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11. （16分）（教材P10练习第2题变式）计算：
（1） ；
（2） ；
解：
解：
（3） （a＞0）；　　（4） （x＞0，y＞0）.
解：
解：
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12. ★（10分）（教材P11习题19.2第10题变式）已知三角形的面积是4 ，底边长为 ，求底边上的高.
解：4 ×2÷ ＝
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13. ★（13分）在复习“二次根式”时，老师在黑板上写出下面的一道题作为练习：已知 ＝a， ＝b，用含a，b的代数式表示 .
小豪、小麦两名同学跑上讲台，写出了下面两种解法.
小豪： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
小麦： ＝ ＝7 .
∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝7 ＝ .
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（1） 两名同学的解法都正确吗？
解：（1） 两名同学的解法都正确
（2） 请你再给出一种不同的解法.
解：（2） 解法不唯一，如∵ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝
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13(共11张PPT)
19.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列各式计算正确的是（　C　）
A. ＋ ＝ B. 5 －4 ＝1
C. × ＝ D. ÷2＝
2. 计算（ － ）× 的结果是（　B　）
A. B. 1 C. D. 3
C
B
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3. 老师设计的接力游戏规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是（　A　）
A. 只有乙 B. 甲和丁
C. 乙和丙 D. 乙和丁
第3题
A
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4. 已知x＝ ＋1，y＝ －1，则x2＋2xy＋y2的值为（　A　）
A. 20 B. 16 C. 2 D. 4
5. ★如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则涂色部分的面积为（　B　）
A. B. 2 C. 2 D. 6
第5题
A
B
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 计算：（1） （ ＋1）（ －1）＝ 　60　；
（2） × －3 ＝ 　2 　.
7. 若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2＋ a）b的值是 　2　.
8. 已知a＝3＋2 ，b＝3－2 ，则a2b－ab2＝ 　4 　.
60　
2 　
2　
4 　
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9. 已知x＝ ＋ ，则x2－2 x的值是 　4　.
10. 观察下列等式：① 3－2 ＝（ －1）2；② 5－2 ＝（ － ）2；③ 7－2 ＝（ － ）2……请你根据以上规律，写出第⑦个等式： 　15－2 ＝（ － ）2　.
4　
15－2 ＝（ － ）2　
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三、 解答题（共50分）
11. （16分）计算：
（1） （ ＋6 －8 ）÷ ；　　
解：－1
（2） （1＋ ）×（ － ）＋（ － ）× ；
解：
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（3） ×（ － ）－（2 －1）2；　　
解：7 － －9
（4） ×（ － ）＋（ ＋2 ）×（ －2 ）.
解：8－5
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12. （12分）（教材P16习题19.3第6题变式）如图，长方形ABCD的长为2 ＋ ，宽为2 － .
（1） 长方形ABCD的周长是 　8 　；
8 　
（2） 在长方形ABCD的内部挖去一个边长为 － 的正方形，求剩余部分的面积.
解：剩余部分的面积＝（2 ＋ ）×（2 － ）－（ － ）2＝8＋2
第12题
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13. ★（10分）（教材P16习题19.3第7题变式）已知0＜x＜1，且x＋ ＝2 ，求x－ 的值.
解：∵ 0＜x＜1，且x＋ ＝2 ，∴ （x＋ ）2＝x2＋ ＋2＝8.∴ x2＋ ＝6.∴ （x－ ）2＝x2＋ －2＝4.∵ 0＜x＜1，∴ x－ ＜0.∴ x－ ＝－2
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14. ★（12分）观察下列各式的计算过程，寻找规律.
＝ ＝－1＋ ；
＝ ＝－ ＋ ；
＝ ＝－ ＋ ；
…
利用发现的规律计算：（ ＋ ＋ ＋…＋ ）×（ ＋1）.
解：原式＝（－1＋ － ＋ － ＋ －…－ ＋ ）×（ ＋1）＝（ －1）×（ ＋1）
＝2 025
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19.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列各式正确的是（　D　）
A. （ ）2＝25 B. 2＝
C. ＝－100 D. － ＝－
D
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2. 若 ＝4，则x的值为（　A　）
A. ±4 B. 4 C. 16 D. ±16
3. （教材P5习题19.1第9题变式）若 是整数，则正整数n的最小值是（　D　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
D
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4. （教材P5习题19.1第9题变式）若 是整数，则满足条件的自然数n共有（　C　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 － － 的结果为（　A　）
A. －2b B. －2a C. 0 D. 2a－2b
C
A
第5题
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 把下面的非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1） 10＝ 　（ ）2　；　　（2） 3.5＝ 　（ ）2　.
7. 若式子 ＝2－x成立，则x的取值范围是 　x≤2　.
8. 若a＜0，则 ＝ 　－2　.
9. ★化简 －（ ）2的结果是 　1　.
（ ）2　
（ ）2　
x≤2　
－2　
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三、 解答题（共51分）
10. （18分）计算：
（1） （ ）2；
（2） （ ）2；
解：11
解：
（3） （2 ）2；
（4） （－2 ）2；
解：28
解：1
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（5） －（6 ）2；
（6） ；
解：－72
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（7） － ；
（8） ；
解：－
解：
（9） .
解：2－
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11. ★（15分）对于题目：“先化简，再求值： ＋ ，其中a＝ ”，甲、乙两人的解答不同.
甲的解答： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －a＝ －a＝ ；
乙的解答： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋a－ ＝a＝ .
谁的解答是错误的？为什么？
解：乙的解答是错误的　∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，a＝ ，∴ －a＞0.∴ 原式＝ ＋ －a＝ －a.
当a＝ 时，原式＝ － ＝
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12. ★（18分）阅读下面的解题过程.
若代数式 ＋ 的值是2，求a的取值范围.
解：原式＝｜a－1｜＋｜a－3｜.
当a＜1时，原式＝（1－a）＋（3－a）＝4－2a＝2，解得a＝1（不合题意，舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a－1）＋（3－a）＝2，符合题意；
当a＞3时，原式＝（a－1）＋（a－3）＝2a－4＝2，解得a＝3（不合题意，舍去）.
∴ a的取值范围是1≤a≤3.
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上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述方法，解答下列问题：
（1） 当2≤a≤5时，化简： ＋ ＝ 　3　；
（2） 若 ＋ ＝4成立，则a的取值范围是 　3≤a≤7　；
3　
3≤a≤7　
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（3） 若代数式 ＋ 的值是8，求a的值.
解：原式＝｜a＋1｜＋｜a－5｜.当a＜－1时，原式＝－a－1＋（5－a）＝－2a＋4＝8，解得a＝－2，符合题意；当－1≤a≤5时，原式＝（a＋1）＋（5－a）＝6，6≠8，不合题意；当a＞5时，原式＝a＋1＋a－5＝2a－4＝8，解得a＝6，符合题意.∴ a的值为－2或6
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12(共10张PPT)
第十九章小测
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （福建中考）若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　D　）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
2. （济宁中考）下列运算正确的是（　B　）
A. ＋ ＝ B. × ＝
C. 2÷ ＝1 D. ＝－5
D
B
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3. a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 － ＋｜1－b｜的结果是（　A　）
A. －2a B. －2b C. －2a－b D. 2
A
第3题
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4. 正整数a，b满足a＞b，且 和 是可以合并的二次根式，若 ＋ ＝ ， － ＝ ，则 的值为（　A　）
A. B. C. D. 1
A
5. ★已知x，y为实数，xy＝3，则 ＋ 的值为（　D　）
A. B. ± C. 2 D. ±2
D
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. （威海中考）计算： － × ＝ 　－2 　.
7. 已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： 　答案不唯一，如10　.
8. 若x，y都是实数，且 ＋ ＋y＝4，则xy的值为 　4　.
－2 　
答案不唯一，如10　
4　
9. 我们把形如a ＋b（a，b为有理数， 为最简二次根式）的数叫作 型无理数，如3 ＋1是 型无理数，则（ ＋ ）2是 　 　型无理数.
10. ★已知 ＋ ＝3，且0＜m＜1，则 － 的值是
　－ 　.
　
－ 　
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三、 解答题（共50分）
11. （10分）计算：
（1） ÷ － × ＋2 ；　　
解：4＋
（2） （2 －1）2＋（ ＋2）（ －5）.
解：6－7
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12. （10分）（1） 已知x＝2－ ，求代数式x2－4x－16的值；
解：x2－4x－16＝（x－2）2－20.当x＝2－ 时，原式＝（2－ －2）2－20＝10－20＝－10
（2） 已知x＝ ＋1，求（4－2 ）x2－（ －1）x＋ 的值.
解：∵ x＝ ＋1，∴ x2＝（ ＋1）2＝3＋2 ＋1＝4＋2 .∴ 原式＝（4－2 ）×（4＋2 ）－（ －1）×（ ＋1）＋ ＝16－12－（3－1）＋ ＝4－2＋ ＝2＋
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13. （12分）如图所示为一块面积是120平方米的长方形空地.已知该空地的长与宽的比为3∶2，现要在空地的四个角上修建面积均为5平方米的正方形水池，涂色部分为游乐园，求游乐园的面积.
第13题
解：设长方形空地的长为3k米，宽为2k米.由题意，得3k 2k＝120，解得k＝2 （负值舍去）.∴ 3k＝6 ，2k＝4 .∵ 每个正方形水池的面积为5平方米，∴ 每个正方形水池的边长为 米.∴ 游乐园的长为6 －2 ＝4 （米），宽为4 －2 ＝2 （米）.∴ 游乐园的面积为4 ×2 ＝40（平方米）
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14. ★（18分）新考法 探究题 观察下列各式：
＝1＋ － ＝1 　　 ＝1＋ － ＝1
＝1＋ － ＝1
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1） 猜想： ＝ 　1＋ － 　＝ 　1 　；
1＋ － 　
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（2） 归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
解：（2） ＝1＋ － ＝1＋
（3） 应用：用上述规律计算 ＋ ＋ ＋…＋ .
解：（3） ＋ ＋ ＋…＋ ＝1＋1－ ＋1＋ － ＋1＋ － ＋…＋1＋ －
＝10－ ＝9
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小专题（一）　利用二次根式的相关概念求
字母或代数式的值
第十九章　二次根式
类型一　利用二次根式有意义的条件求字母或代数式的值
1. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　D　）
A. x＞2 025 B. x＜2 025
C. x≥2 025 D. x≤2 025
2. 已知a为有理数，则 ＋ ＋ 的值为 　5　.
D
5　
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3. 若实数x，y满足y＝ ＋ ＋3，求 的值.
解：由题意，得 解得x＝2.∴ y＝ ＋ ＋3＝3.∴ ＝ ＝ ＝5
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4. 已知 是整数，求自然数n的值.
解：∵ 有意义，∴ 10－n≥0.又∵ n为自然数，
∴ 0≤n≤10.∵ 是整数，∴ 10－n＝02或10－n＝12或10－n＝22或10－n＝32，解得n＝10或n＝9或n＝6或n＝1.∴ 自然数n的值为10或9或6或1
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5. 已知 ＝ ，且x为奇数，求（x＋1） 的值.
解：由题意，得 解得6≤x＜9.∵ x为奇数，∴ x＝7.∴ 原 式 ＝（x＋1） ＝（x＋1） ＝ ＝ ＝4
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6. ★已知实数a满足｜2 024－a｜＋ ＝a，则a－2 0242的值为多少？
解：∵ 实数a满足｜2 024－a｜＋ ＝a，∴ a－2 025≥0，解得a≥2 025.∴ 2 024－a＜0.∴ ｜2 024－a｜＋ ＝a－2 024＋ ＝a.∴ ＝2 024.∴ a－2 025＝2 0242.∴ a－2 0242＝2 025
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类型二　利用最简二次根式的相关条件求字母的值
7. 与最简二次根式 能合并，则m的值为（　C　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
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8. 若 与 是被开方数相同的最简二次根式，求 的值.
解：∵ 与 是被开方数相同的最简二次根式，
∴ 解得 此时2a＋5＝11＞0，符合题意.∴ ＝ ＝2
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9. 若 和 都是最简二次根式，求mn的值.
解：由 和 都是最简二次根式，得 解得 ∴ mn＝12＝1
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类型三　利用二次根式的加减求字母的值
10. 已知a ＋2 ＋ ＝10，则a的值为（　A　）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
A
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11. 若m，n均为有理数，且 ＋ ＋ ＝m＋n ，求（m－n）2＋2n的值.
解：∵ ＋ ＋ ＝ ＋2 ＋ ＝ ＝m＋n ，m，n均为有理数，∴ m＝0，n＝ .∴ （m－n）2＋2n＝2＋2× ＝ ＋7＝
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12. 嘉淇准备完成题目“计算：（■ － ）－（ －4 ）”时，发现“■”处的数印刷不清楚.他妈妈说：“我看到该题的结果是0.”请你通过计算求出原题中“■”处的数.
解：设原题中“■”处的数是a，则原式＝ － ＝ － ＝ a－2 － ＋2 ＝ ＝0.∴ a－12＝0，解得a＝4 ，即原题中“■”处
的数是4
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小专题（二）　二次根式的化简与求值
第十九章　二次根式
类型一　化简后直接代入求值
1. 先化简，再求值：x（ －x）＋（x＋ ）（x－ ），其中x＝ .
解：原式＝ x－x2＋x2－5＝ x－5.当x＝ 时，原式＝ × －5＝2 －5
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类型二　利用二次根式的非负性化简求值
2. 已知实数a，b满足 ＋ ＝0，则2a 的值是 　2 　.
2 　
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类型三　利用二次根式的性质 ＝｜a｜化简
3. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简－｜a｜－ ＋ － 的结果是 　3a－b　.
3a－b　
第3题
4. 已知a，b，c为三角形的三边长，则 ＋ ＋ ＝ 　a＋b＋c　.
a＋b＋c　
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5. 有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数m，n，使m2＋n2＝a且mn＝ ，则将a±2 变成m2＋n2±2mn，从而化简 .例如：∵ 5＋2 ＝3＋2＋2 ＝（ ）2＋（ ）2＋2 × ＝（ ＋ ）2，∴ ＝ ＝ ＋ .
请仿照例子化简下面的式子：
（1） ；　　
解：∵ 8－2 ＝5＋3－2 ＝
（ ）2＋（ ）2－2 × ＝（ － ）2，
∴ ＝ ＝ － 　　　　　　　　　
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（2） .
解：∵ 8－ ＝8－2 ＝6＋2－2 ＝
（ ）2＋（ ）2－2 × ＝（ － ）2，
∴ ＝ ＝ －
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类型四　利用乘法公式和整体思想化简求值
6. 已知a＝4＋2 ，b＝4－2 ，则a2b－ab2的值为（　C　）
A. －32 B. 32 C. －16 D. 16
7. 若x＝3－ ，则代数式x2－6x－8的值是（　A　）
A. 2 008 B. 2 007 C. 2 006 D. 2 005
C
A
8. ★若x＋ ＝11，则 － 的值是（　B　）
A. 3 B. ±3 C. D. ±
9. ★★若 － ＝1，则 ＋
＝ 　25　.
B
25　
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10. 已知x＝ （ ＋ ），y＝ （ － ），求下面各代数式的值：
（1） x2＋3xy＋y2；　　（2） ＋ .
解：∵ x＝ （ ＋ ），y＝ （ － ），∴ x＋y＝ （ ＋ ）＋ （ － ）＝ ，xy＝ （ ＋ ）× （ － ）＝ ×（7－3）＝1.
（1） x2＋3xy＋y2＝（x＋y）2＋xy＝（ ）2＋1＝7＋1＝8
（2） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝7－2＝5
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11. 新考法 过程性学习 小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值.他的解答过程如下：
∵ a＝ ＝ ＝2－ ，∴ a－2＝－ .∴ （a－2）2＝3，即a2－4a＋4＝3.
∴ a2－4a＝－1.∴ 2a2－8a＋1＝2（a2－4a）＋1＝2×（－1）＋1
＝－1.
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请你根据小明的解答过程，解决如下问题：
若a＝ ，请按照小明的方法求出a3－11a2＋9a＋1的值.
解：∵ a＝ ＝ ＝ ＋5，∴ a－5＝ .
∴ （a－5）2＝26，即a2－10a＋25＝26.∴ a2－10a＝1.∴ a3＝a＋10a2.
∴ a3－11a2＋9a＋1＝a＋10a2－11a2＋9a＋1＝－a2＋10a＋1＝－（a2－10a）＋1＝－1＋1＝0
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类型五　利用二次根式的整数部分和小数部分求值
12. ★已知a＝7－2 ，b＝7＋2 ，若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求 的值.
解：∵ 2 ＝ ，4＜ ＜5，∴ －5＜－ ＜－4.∴ 2＜7－ ＜3，即2＜7－2 ＜3.∵ m为a的整数部分，∴ m＝2.∵ 11＜7＋ ＜12，∴ 11＜7＋2 ＜12.∵ n为b的小数部分，∴ n＝7＋2 －11＝2 －4.∴ ＝ ＝ ＝
＝
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19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列式子中，一定属于二次根式的是（　D　）
A. B. C. D.
2. 若一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为（　B　）
A. 1 dm B. dm C. dm D. 3 dm
D
B
3. （连云港中考）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　D　）
A. x≤1 B. x≥1
C. x≤－1 D. x≥－1
D
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4. （教材P5习题19.1第10题变式）一个圆柱的高为5，体积为V，用代数式表示它的底面半径r，正确的是（　A　）
A. r＝ B. r＝ C. r＝ D. r＝
A
5. ★若式子 ＋ 在实数范围内有意义，则点P（a，b）在（　C　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. （教材P3练习第3题变式）当x＝1时， 的值是 　1　.
7. （绥化中考）若式子 有意义，则x的取值范围是 　x＞－1　.
8. （凉山中考）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 　m≥1　.
1　
x＞－1　
m≥1　
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9. （教材P3练习第1题变式）若一个直角三角形的面积是5 cm2，且两条直角边的长度比为5∶1，则较长直角边的长为 　5 　cm，较短直角边的长为 　 　cm.
10. 若m＝ ＋ ＋1，则am＝ 　2 026　.
5 　
　
2 026　
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三、 解答题（共50分）
11. （12分）当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；　　
解：x≤0
（2） ；　　
解：x为任意实数
（3） ；　　
解：x≥0且x≠1
（4） .
解：x＝2
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12. （12分）有一块正方形工料，面积为16平方米.
（1） 求正方形工料的边长；
解：（1） ∵ 正方形工料的面积为16平方米，∴ 正方形工料的边长是 ＝4（米）
（2） 李师傅准备沿着它的边裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长、宽之比为3∶2，李师傅能办到吗（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）？
解：（2） 设长方形工件的长、宽分别为3x米、2x米.由题意，得3x 2x＝12.∴ x2＝2.∴ x＝ （负值舍去）.∴ 3x＝3 ，2x＝2 .∴ 长方形工件的长是3 米，宽是2 米.∵ 3 ≈4.242，4.242＞4，∴ 李师傅不能办到
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13. （12分）是否存在整数x，使它同时满足下面两个条件：① 与 都有意义；② 的值是整数？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
解：存在　由①，得 解得14≤x≤17.由②，得 的值是整数，∴ x＝16
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14. ★（14分）新考向 跨学科（教材P5习题19.1第8题变式）某实验小组用光滑斜面和质量固定的小球进行动能实验，小球的运动速度为v（单位：m/s）.发现小球质量固定的情况下，动能E（单位：J）与v2成正比例关系，而且当E＝8时，v＝2.试用含E的代数式表示v，并分别求当E＝6和E＝12时，小球的运动速度.
解：根据题意，设E＝kv2.将E＝8，v＝2代入，得8＝4k，解得k＝2.∴ E＝2v2.∴ v＝ .当E＝6时，v＝ ；当E＝12时，v＝ .
∴ 当E＝6时，小球的运动速度为 m/s；当E＝12时，小球的运动速度为 m/s
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19.2　二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 计算 ÷ 的结果为（　B　）
A. B. 2 C. 2 D. 4
2. 若长方形的面积为6 cm2，长为3 cm，则宽为（　B　）
A. cm B. 2 cm
C. 4 cm D. 8 cm
B
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3. 下列等式不成立的是（　C　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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4. 下列计算正确的是（　C　）
A. ÷ ＝ ＝ ＝2 B. ÷ ＝
C. ÷ ＝ ＝ ＝ D. ＝ ＝ ＝
5. 计算 ÷3 × 的结果是（　A　）
A. 1 B. 2.5 C. 5 D. 6
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若 ÷■＝2，则 ■ 表示的数为 　 　.
7. 计算 的结果是 　2 　.
8. 等式 ＝ 成立的条件是 　x＞3　.
　
2 　
x＞3　
9. 已知m为正整数，若 是整数，则根据 ＝ ＝3 × 可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 　3　，最大值
为 　75　.
3　
75　
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三、 解答题（共51分）
10. （21分）计算：
（1） ；
解：2
（2） ÷ ；
解：
（3） ÷ （a＞0，b＞0）；
解：3a
（4） ÷ （a＞0，b＞0）；
解：2a
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（5） ÷ （m＞0，n＞0）；
解：
（6） 3 × ÷2 ；
解： 　
（7） ×（－ ）÷ .
解：－
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11. ★（14分）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为4 cm、宽为3 cm的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为2 cm的圆柱形空玻璃容器中，玻璃容器中的水面高度上升了3 cm.求长方体塑料容器中水面下降的高度（π取3，不计容器厚度）.
解：设长方体塑料容器中水面下降的高度为h cm.由题意，得4 ×3 h＝3×（2 ）2×3 ，解得h＝2 .∴ 长方体塑料容器
中水面下降的高度约为2 cm
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12. ★（16分）新考向 跨学科 行文明之举，向高空抛物说“不”.物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）满足关系式t＝ ，其中g≈10 m/s2（不考虑空气阻力）.小华在实验楼所站楼层的高度是小杰所站楼层的2倍，所以两个相同的物品分别从两人所站楼层抛出（实验环境下），小华说从他所站楼层抛出的物品落地所需时间是从小杰所站楼层抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由.
解：不正确　理由：设小杰所站楼层的高度为h1 m，则 ÷ ＝ ÷ ＝ ，即从他所站楼层抛出的物品落地所需时间是从小杰所站楼层抛出的物品落地所需时间的 倍.∴ 小华的说法
不正确.
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19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
第十九章　二次根式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列二次根式中，可以与 合并的是（　C　）
A. B. C. D.
2. 下列各数中，与 的和是有理数的为（　D　）
A. B. 3 C. 2 D. 2－
C
D
3. 下列计算正确的是（　A　）
A. 3 － ＝2 B. ＋ ＝
C. 4 －3 ＝1 D. 3＋2 ＝5
A
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4. 若一个三角形的三边长分别是 cm， cm， cm，则这个三角形的周长为（　A　）
A. 9 cm B. 8 cm
C. 7 cm D. 6 cm
A
5. ★若 的整数部分为x，小数部分为y，则 x－y的值是（　C　）
A. 3 －3 B. C. 1 D. 3
C
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二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 已知 － ＝a － ＝b ，则ab＝ 　6　.
7. 若最简二次根式 与 可以合并，则a＝ 　4　.
8. 计算 ＋3 的结果是 　2 　.
9. 若长方形相邻两边的长分别是 cm和 cm，则它的周长是 　14 　cm.
10. 分类讨论思想 一个等腰三角形的周长为24 ，一边长为
10 ，则它的底边长为 　10 或4 　.
6　
4　
2 　
14 　
10 或4 　
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三、 解答题（共45分）
11. （20分）计算：
（1） 3 －9 ＋3 ；　　
解：15
（2） （ ＋ ）＋（ － ）；
解：6 ＋
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（3） b ＋b2 ；　　
解：6b2
（4） （ ＋ ）－ （ ＋ ）.
解：
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12. （12分）嘉嘉和淇淇玩摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个大小相同的球，球上分别标有一个数.现从容器中摸球，若摸到白色球，则加上球上的数；若摸到灰色球，则减去球上的数.
第12题
（1） 若嘉嘉摸到如图①所示的两个球，请计算出结果.
解：（1） － ＝
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（2） 如图②，若嘉嘉摸出全部的球，计算结果为x，淇淇说：“x的值能与 合并.”你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由.
解：（2） 淇淇的说法正确　理由：由题意得，x＝ －2 － ＋ ＝ .∵ ＝4 ，∴ x的值能与 合并.
第12题
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13. ★★（13分）是否存在正整数a，b（a＞b），使其满足 ＋ ＝ ？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：存在　∵ ＋ ＝ ＝6 ，∴ ， 与6 是同类二次根式.∵ a＞b，∴ ＞ .∴ ＝5 ， ＝ 或 ＝4 ， ＝2 .∴ a＝75，b＝3或a＝48，b＝12
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