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2026届高三3月质量检测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，
1.已知集合A={x∈Z10}，则(CRB)∩A=
A.{3,4}
B.{2,3}
C.{2}
D.(3}
2.已知z=2一i,则1x2+1|=
A.4
B.42
C.33
D.2√6
3.设甲：函数f(x)=ln(lnx)有意义，乙：函数g(x)=√nx有意义，则
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D,甲是乙的既不充分也不必要条件
4.已知平面向量a=(2,x),b=(1,1),若a在b上的投影向量为x(a·b)b,则x=
A号
B.-2
c或-2
D.2或-2
y2
已知椭圆C土1(a>b>0的左右顶点分别为A,B,点M在C上，且BM=41S
IAM=10,tan∠BAM=青，则点M的横坐标为
A-月
B.-3
C.-2
D.、22
3
6.3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男
同学不相邻，则不同的排法种数为
A.240
B.364
C.432
D.468
7,若tan(0-孕=2，则sim(20+)=
A语
836
20
a-
D.、 2
10
【高三数学试题第1页（共5页）】
1
8.已知定义在R上的函数f(x)满足当n一l≤xf(x)=f(x十1)，若方程(x)=kx有无穷多个解，则k的取值范围是
A.[-1,0]
B.[-2,0]
C.[0,1]
D.[0,2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=tan(x+骨)，则
A.f(x)-f(z+Z)
B,f(x)在区间（于，）上单调递增
3’3
C.曲线y=f(x)关于点(，0)中心对称
D.方程f(x)=√在区间(0,2π]上有3个解
10.已知函数f(x)=一x3十3x一2，则
A.f(x)有两个极值点
B.当0C.f(x)的零点个数为3
D.不等式f(x)<0的解集为{x|x>一2，且x≠1}
1,设双曲线工-21(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为A,B,点P在双曲线T的右支上，自
AP=2PB,已知T的实轴长一定，则
A若△APB为锐角三角形，则T的离心率e∈（√5，√5）
B.若△APB为钝角三角形，则T的离心率e>√⑤
C,当∠PAB取得最大值时，△APB为直角三角形
D.当△APB为直角三角形时，△APB的面积最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知数列
是公差为2的等差数列，若a1=2,则a3=
13.吸光度用于描述材料对光的吸收程度.记吸光度为A,透射光的光强为I,入射光的光强为
1,则A=B会现有光强为1。的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知服射材料甲得到透射
光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的2，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值
为
【高三数学试题第2页（共5页）】
2２０２６届高三３月质量检测 数学
参考答案、提示及评分细则
１．【答案】C
【解析】由题意可得A＝{
７ ７
２,３,４},B＝ ( ,３ ＋∞ ) ,故 RB＝(－∞, ],故(３ RB)∩A＝{２},故选C．
２．【答案】B
【解析】由题意可得z２＝(２－i)２＝４－４i＋i２＝３－４i,于是 z２＋１ ＝ ４－４i ＝ ４２＋(－４)２ ＝４２,故选B．
３．【答案】A
【解析】对于甲,由lnx＞０得x∈(１,＋∞),对于乙,由lnx≥０得x∈[１,＋∞),可知甲是乙的充分不必要条
件,故选 A．
４．【答案】D

【解析】由题意可得a b２ ＝x(a b),即 ( １x－ ) ( １a b)＝ (x－ ) ( ) １b ２ ２ x＋２ ＝０,解得x＝ 或－２,故选２ D．
５．【答案】B
【解析】因为 BM ＞ AM ,所以点 M 在y 轴左侧,如图,作 MN⊥x 轴,垂足为
由 ４,得 ４N． tan∠BAM＝ sin∠BAM＝ ,所以 MN ＝ AM sin∠BAM＝８,即３ ５
２
yM ＝８,则 AN ＝ １０２－８２ ＝６,BN ＝ (４ １３)－８２ ＝１２,所以 AB ＝
２a＝１８,即a＝９,则xM ＝－９＋６＝－３,故选B．
６．【答案】C
【解析】先安排队头有A１３ 种排法,再安排队尾有A１２ 种排法,然后安排４名女同学有A４４ 种排法,最后在４名女
同学中安排剩下男同学有A１３ 种排法,根据分步乘法计数原理可知,不同的排法种数为A１３A１ ４ １２A４A３＝４３２,故
选C．
７．【答案】D
【解析】由题意可得tan( π ) tanθ－１ ,解得 ,显然 ２sinθcosθθ－４ ＝１＋tanθ＝２ tanθ＝－３ sin２θ＝２sinθcosθ＝cos２θ＋sin２θ＝
２tanθ －６ ３ cos２, θ－sin
２θ １－tan２θ １－９ ４
２ ＝ ＝－ cos２θ＝ ２ ２ ＝ ２ ＝ ＝－ ,于是
π ２
１＋tanθ １＋９ ５ cosθ＋sinθ １＋tanθ １＋９ ５ sin(２θ＋４ ) ＝ (２ sin２θ＋
７２
cos２θ)＝－ ,故选１０ D．
８．【答案】A
【解析】注意到x∈[n－１,n)时,f(x)≤０,由周期性可知在定义域上f(x)≤０,而当x∈[n－１,n)时,若
n ２,则 ( ) ( ) n
２
n≥２ f x ＝ x－ － 在[n－１,n)上单调递增,注意到２ ４ f
(n－１)＝－(n－１),可知f(x)在
[n－１,n)上的值域为[－(n－１),０),于是当k∈[－１,０)时,y＝kx 与y＝f(x)在[n－１,n)上有交点,故在
(０,＋∞)上必有无穷个交点,符合要求．当k＜－１时,x＞０时有kx＜f(x),x＜０时kx＞０＞f(x),故交点
个数有限．当k＝０时,注意到f(－n)＝f(－n＋１)＝ ＝f(０)＝０,可知f(x)有无穷个零点,符合要求．当
【高三数学试题参考答案　第　１页(共５页)】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}
k＞０时,注意到
１
x∈[０,１)时f(x)＝x(x－１)＞－１,故x＜－ 时kx＜－１＜f(x),故在(－∞,０)上的交点k
个数有限,而x＞０时kx＞０＞f(x),可得交点个数有限．综上,由题意知k∈[－１,０],故选 A．
９．【答案】BC
【解析】对于A,f(x)的最小正周期T＝π,可得A错误;对于B选项,显然f(x)在区间 ( π,２π) 上有定义,显然其３ ３
在连续定义域上单调递增,故B正确;对于
π
C,f( ３－x)
２π π
＝tan( ３－x) ＝tanê
é π ù
êπ－ (x＋ ) ú３ ú ＝－tan(x＋３ ) ＝
－f(x),可得曲线y＝f(x)关于点 ( π,０) 中心对称,故C正确;对于D,由单调性和周期性可知 (６ f x)＝ ３在
(０,π]和(π,２π]上各只有一个解,矛盾,故D错误,故选BC．
１０．【答案】AD
【解析】易得f′(x)＝－３x２＋３,由f′(x)＝－３x２＋３＞０,解得－１＜x＜１,
由f′(x)＝－３x２＋３＜０,解得x＜－１或x＞１,所以f(x)在(－∞,－１)和
(１,＋∞)上单调递减,在区间(－１,１)上单调递增,所以x＝－１,x＝１分别
为f(x)的极小值点和极大值点,则f(x)有两个极值点,故 A 正确;因为
０＜x＜１,所以０＜x＜ x ＜１,根据f(x)在区间(０,１)上单调递增,所以
f(x)＞f(x),故B错误;f (x)极小值 ＝f(－１)＝－４＜０,f (x)极大值 ＝f(１)
＝０,f(－３)＝１６＞０,结合f(x)的单调性,作出f(x)的大致图象,由右图可
知,f(x)有两个零点,故 C错误;结合图象可知不等式f(x)＜０的解集为
{x x＞－２,且x≠１},故D正确;故选 AD．
１１．【答案】AC
【解析】由双曲线定义及点P 在右支上可知,|AP|－|PB|＝２a,又已知|AP|＝２|PB|,解得|PB|＝２a,
|AP|＝４a,由三角形三边关系得４a－２a＜２c＜４a＋２a,化简得a＜c＜３a,故双曲线离心率e∈(１,３),在
中,由 余 弦 定 理 得 ４a
２＋４c２－１６a２ c２－３a２, １６a
２＋４a２－４c２
△APB cos∠PBA ＝ ２(２a)(２c) ＝ ２ac cos∠APB ＝ ２(４a)(２a) ＝
５a２－c２
２ ,对于选项 A,若△APB 为锐角三角形,则必须满足４a cos∠PBA＞０
且cos∠APB＞０,解得 ３＜e＜
５,故 A正确;对于选项B,若△APB 为钝角三角形,则满足cos∠PBA＜０或cos∠APB＜０,解得１＜e＜
１６a２＋４c２－４a２ ３a２＋c２
３或 ５＜e＜３,故e＞ ５不一定成立,故 B错误;对于选项 C,cos∠PAB＝ ２(４a)(２c) ＝ ４ac ＝
１ ( ３＋e) ,因为e∈(１,３),由基本不等式得１ ( ３ ３＋e) ≥ ,当且仅当e＝ ３时等号成立,此时４ e ４ e ２ cos∠PAB
取得最小值,即∠PAB 取得最大值,将e＝ ３代入得cos∠PBA＝０,即∠PBA＝９０°,此时△APB 为直角三
角形,故C正确;对于选项
１
D,△APB 的面积S＝２|AP||PB|sin∠APB＝４a
２sin∠APB,当∠APB＝９０°,
即e＝ ５时面积取得最大值４a２,但当∠PBA＝９０°,即e＝ ３时△APB 也为直角三角形,此时面积为２３a２
并非最大值,故D错误;故 AC．
１２．【答案】４０
【 】 a解析 由等差数列的定义可得 n a＝ １n ＋２(n－１)＝２n－１,故an＝(２n－１) ２n,故a ＝５×２３３ ＝４０,故答案２ ２
为４０．
【高三数学试题参考答案　第　２页(共５页)】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}
１３．【答案】lg２
【 】 I ２I I I解析 设材料乙的透射光光强为I,A甲 ＝l ０ ０ ０ ０g , ,于是 ,故１ ＝lg I ＝lg２＋lgI A乙 ＝lgI A甲 －A乙 ＝lg２
２I
答案为lg２．
１４．【答案】
８０
２４３
ì １９ ì ８１－pn＝ pn２７ ＝ ì ２ ２７
【 】 , , p
＝
解析 由题意知 í 可得
２
í 解得 í ３,故X~B (６,３ ) , n＋１ ６５ １６ １－ p ＝８１ pn＋１＝８１ n＝３
k ６－k k k
P(X＝k)＝Ck ( ２６ ３ ) (
１
３ )
C ２
＝ ６ ６ ．P(X＝０)
１ １２ ６０
３ ＝３６
,P(X＝１)＝ , ( ) ,３６ P X＝２ ＝３６
P(
１６０ ２４０ １９２ ６４
X＝３)＝ ６ ,P(X＝４)＝ ６ ,P(X＝５)＝ ６ ,P(X＝６)＝ ６,可知P(X＝k)的最大值为P(X＝４)３ ３ ３ ３ ＝
８０,故答案为８０
２４３ ２４３．
１５．【解析】(１)平均每年的研发投入为x
１
＝１２＋ (１００．１＋０．５－０．７＋０．４＋１．１－０．５－１－０．７＋０．６＋０．２
)＝１２
２分
平均每年的营业额为 １y ＝６００＋ (１０５０＋８０＋２０＋６０＋９５＋４０＋０＋３０＋６５＋６０
)＝６５０． ４分
１０
∑(xi－x )(yi－y )
(２)将所给数据代入相关系数计算公式得
１６９．５
r＝ i＝１ ＝ ． ８分
１０ １０
∑(x －x )２i ∑(y －y )２ ４．２６× ７２５０i
i＝１ i＝１
其中 ,所以 １６９．５４．２６× ７２５０＝ ３０８８５≈１７６ r≈ ≈０．９６． 分１７６ １０
(３)由题意知,回归直线过样本中心点(１２,６５０),即６５０＝１２b＋１７０,解得b＝４０． １１分
所以回归方程为y＝４０x＋１７０．将x＝１３．５代入回归方程,得y＝１３．５×４０＋１７０＝７１０,故预测该公司今年的
营业额为７１０亿元． １３分
１
１６．【解析】(１)此时CE→２＝CD→＋DE→２＝－AB→＋ AA→１, １分２
→ → → → １E１A →１＝E１B１＋B１A１＝－AB＋ , 分２AA１ ２
于是CE→２＝E →１A１,而A１E１ 不与CE２ 共面,可得CE２∥A１E１, ３分
由A１E１ 平面A１C１E１,CE２ 平面A１C１E１,可得CE２∥平面A１C１E１． ４分
(２)以A 为坐标原点,AB→的方向为x 轴正方向,AD→的方向为y 轴正方向,AA→１的方
向为z轴正方向,建立空间直角坐标系A－xyz, ５分
不妨设AB＝１,AA１＝λ＞０,则A(０,０,０),C(１,１,０),E１(１,
λ
０, ),２ A
→ →
１(０,０,λ),C１(１,１,λ),AC＝A１C１＝
(１,１,０),AE→１＝(１,
λ λ
０, ),A１E→１＝(１,０,－ ), 分２ ２ ７
n A→１ C＝０ ì x１＋y１＝０
记平面ACE１ 的法向量为n１＝(x１,y１,z１),{n AE→ ,即 í λz ,可取n１＝(－λ,λ,２), １ ９分１ １＝０ x ＋ １ ２ ＝０
【高三数学试题参考答案　第　３页(共５页)】
{#{QQABDYKpxggwkpTACA5LQ0UqCQiYsJCgLMgExRCQOARCSRFABIA=}#}
n A C→＝０ ìx２＋y２＝０２ １ １
记平面A１C１E１ 的法向量为n２＝(x２,y２,z２),{ → ,即 í λz ,可取２ n２＝(λ,－λ,２), n２ A１E１＝０ x２－ ２ ＝０
１１分
|n n| ２ ２
记平面ACE１ 与平面A１C１E１ 夹角为θ,则
１ |－２λ ＋４| |２－λ|
cosθ＝３＝
１ ２
|n||n|＝
, 分
１ ２ ２λ２＋４ ＝ ２＋λ２ １２
λ＜ ２时,６－３λ２＝２＋λ２,λ＝１, １３分
λ＞ ２时,３λ２－６＝２＋λ２,λ＝２, １４分
AA
故 １＝λ＝１或２． 分AB １５
p
１７．【解析】(１)抛物线C:x２＝２py(p＞０)的准线为y＝－ ,由点T(t,－１)在C 的准线上,得p＝２ ２ ２
分
所以抛物线C 的方程为x２＝４y． ３分
(２)由(１)知,抛物线 :
１
C y＝ x２,设A (x１,１x２１ ) , １ １４ ４ B (x ２２, x２ ) ,求导得y′＝ , 分４ ２x ６
１
x２４ １＋１ x直线TA 的斜率kTA＝ ＝
１,整理得
x －t ２ x
２
１－２tx１－４＝０,同理x２２－２tx２－４＝０ ８分
１
因此x１,
x x x
x２ 为方程x２－２tx－４＝０的两个根,x１x２＝－４,而直线TB 斜率k ＝
２
TB ,则２ k
k ＝ １TA TB
２
２ ２
＝－１,所以TA⊥TB． １１分
(３)若点A(x ,y ),B(x ,y ),即x２ ２１ １ ２ ２ １＝４y１,x２＝４y２,则由(２)知,４y１－２tx１－４＝０,４y２－２tx２－４＝０,因此
点A,B 的坐标满足方程４y－２tx－４＝０,即２tx－４y＋４＝０ １３分
则直线 的方程为 tAB ２tx－４y＋４＝０,其斜率为k＝ ,所以当 时,直线 的斜率为
１ 分
２ t＝１ AB ２． １５
１８．【解析】(１)由题意可得f′(x)＝３x２exsinx＋x３exsinx＋x３excosx＝x２ex(xsinx＋xcosx＋３sinx), ３分
故曲线y＝f(x)在x＝０处的切线斜率为f′(０)＝０． ４分
(２)(i)即极值点满足xn(sinxn＋cosxn)＋３sinxn＝０, ５分
, sinxn＋cosx显然 １ ３sinxn≠０ 得
n , 分
sinx ＝１＋tanx ＝－n n x ＜０ ７n
即 １
tanx ＜－１
,可得－１＜tanxn＜０, ８分
n
() ３ ３sinx ２７sin
３x
i 注 意 到 xn ＝ － ＝ －
n ,于 是 n
１ sinx ＋cosx f
(x xnn )＝ － (
１＋ n n sinxn＋cosx
)３ e sinxn ＝n
tanxn
２７exnsin４x
－ n( )３, 分sinxn＋cosx
１１
n
xn ex
题中不等式等价于 e n( )３ ＜ ( )３,而(sinxn＋cosx )
３
n ＝cos３xn (tanx ＋１)３n ,显然sinxn＋cosxn sinxn＋cosxn
tanxn＋１＞０,可知不等式等价于(exn －exn)cosxn＜０, １３分
设g(x)＝ex－ex,g′(x)＝ex－e,x∈(－∞,１)时,g′(x)＜０,g(x)单调递减;x∈(１,＋∞)时,g′(x)＞０,
g(x)单调递增, １５分
于是g(x)≥g(１)＝０,而xn≠１,可得exn －exn＞０,故cosxn＜０, １６分
结合－１＜tanxn＜０可得xn 为第二象限角． １７分
【高三数学试题参考答案　第　４页(共５页)】
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１９．【解析】(１)由题意可知,三角形OPnPn＋１为直角三角形,且∠OPn＋１Pn＝９０°．在 Rt△OPnPn＋１中,|OPn＋１|
＝|OPn|cosθ,又因为|OP１|＝１,所以数列{|OPn|}是以１为首项,cosθ 为公比的等比数列,则|OPn|＝
(cosθ)n－１＝cosn－１θ． ２分
在Rt△OP n－１nPn＋１中,|PnPn＋１|＝|OPn|sinθ＝sinθ cos θ,所以数列{|PnPn＋１|}是以sinθ 为首项,cosθ
( n )
为公比的等比数列,其前 项和 为 sinθ１－cosθn Sn Sn＝ ． 分１－cosθ ４
(２)存在这样的实数λ．设射线l１,l２,l３ 方向上的单位向量分别为e→ → → n－１１,e２,e３,由(１)可知|OPn|＝cos θ．对
于向量P → → → → → → → →１P２,有P１P２＝OP２－OP１＝|OP２|e２－|OP１|e１＝cosθe２－e１． ６分
对于向量P P→,由于点列P → →４ ５ n 所在射线按l１,l２,l３ 顺序循环,故P４ 在l１ 上,P５ 在l２ 上,则P４P５＝OP５－
OP→４＝|OP５|e→２－|OP４|e→１． ８分
由(１),代入可得P P→４ ５＝cos４θe→２－cos３θe→１＝cos３θ(cosθe→ →２－e１),对比可得P P→ ３ →４ ５＝cosθP１P２．因此存在实
数λ＝cos３θ,使得P４P→５＝λP１P→２． １０分
(３)记a ＝|PP→|２n １ n ．由向量模长公式可得a ＝|P P→|２＝|OP→－OP→|２＝|OP→|２n １ n n １ n ＋|OP→ ２１| －２OP→ →n OP１,
又已知|OP→|＝１,且由(１)知|OP→|＝cosn－１θ,故a ＝cos２(n－１)１ n n θ＋１－２OP→n OP→１． １２分
当n＝３k－２(k∈N )时,此时Pn 位于射线l 上,OP→ →１ n与OP１同向．OP→ →n OP１＝|OPn| |OP１| cos０°＝
cosn－１θ,则an＝cos２(n－１)θ＋１－２cosn－１θ＝(１－cosn－１θ)２．
当n≠３k－２(k∈N )时,此时Pn 位于射线l２ 或l３ 上．由题意知,射线l１ 与l２、l３ 的夹角均为θ．
OP→ →n OP１＝|OPn| |OP１| cosθ＝cosn－１θ cosθ＝cosnθ,则a ２n－２ nn ＝１＋cos θ－２cosθ．综上所述,
(１－cosn－１θ)２, n＝３k－２(k∈N )
|P１P→ ２n| ＝{ ． １４分１＋cos２n－２θ－２cosnθ, n≠３k－２(k∈N )
下面证明:当n≥２时,点Pn 始终在以P１ 为球心,１为半径的球内,即证明对于任意n≥２,都有|P１P→n|２＜１．当
π
n＝３k－２(k∈N )且n≥２时,|P P→１ n|２＝(１－cosn－１θ)２,因为０＜θ＜ ,所以０＜cosθ＜１,进而０＜cosn－１２ θ
＜１,所以０＜１－cosn－１θ＜１,故(１－cosn－１θ)２＜１成立．当n≠３k－２(k∈N )且n≥２时,|P P→|２１ n ＝１＋
cos２n－２θ－２cosnθ,要证该式小于１,只需证cos２n－２θ－２cosnθ＜０,也即证cosnθ(cosn－２θ－２)＜０,因为
０＜cosθ＜１,所以cosnθ＞０,又因为cosn－２θ≤１,所以cosn－２θ－２≤－１＜０,所以上述不等式恒成立,即
|P P→ ２１ n| ＜１成立,综上所述,当n≥２时,点Pn 始终在以P１ 为球心,１为半径的球内． １７分
【评分细则】第三问若考生在证明的时候利用几何的角度去说明解释,只要逻辑严谨过程合理均酌情给分．
【高三数学试题参考答案　第　５页(共５页)】
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