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内蒙古自治区通辽市第四中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）
A． B．
C． D．
2．下列各数：，其中无理数的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列各组单项式中，是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．m 与 2 D．与
4．据了解：2024年甘肃省新能源总装机突破64000000千瓦，位列全国第二，风电成为甘肃最大电源，新能源主体地位基本确立．数据64000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的6倍
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8．、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果代数式的值是7，那么代数式的值等于__________．
10．若是的平方根，的立方根是，则___________
11．因式分解：________．
12．某商品原价元，连续两次涨价后，售价为元．若平均增长率为，则_____．
13．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______．
14．如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东方向，渔船向正东方向航行 海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是__________海里．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
16．一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，其三视图如图所示（单位：m），求圆锥的母线长，并计算该“粮仓”的表面积．
17．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
(1)求、两种型号智能机器人的单价．
(2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
18．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
(1)求、的长；
(2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数）
20．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B D A B C
1．C
【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；
由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；
由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合．
故选：C．
2．B
【详解】解：开方开不尽，是无理数；
中是无理数，因此是无理数；
是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
∴无理数共有个．
3．D
【详解】解：A． 与中，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意．
B． 与中，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意．
C． 与中，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意．
D． 与中，所含字母都是和，且相同字母的指数都相同，是同类项，符合题意．
4．B
【详解】解：∵科学记数法要求，为原数的整数位数减1，是位整数，
∴可得，，
∴用科学记数法表示为．
5．D
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：D．
6．A
【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后，
新分式为，
所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍．
7．B
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：B．
8．C
【详解】解：根据题意，，且，
，
．
故选：C．
9．15
【详解】解：由题意可得：，
，
故答案为：15．
10．或
【详解】解： 是的平方根，
或
的立方根是，
当
当
综上：
故答案为：或．
11．
【详解】解：
．
12．
【详解】设平均增长率为，
根据题意列方程：，
解得：（不合题意，舍去），，
故答案为：．
13．16
【详解】解：∵迎水坡的坡度是，
∴，
又，
∴
在中，，
故答案为：16．
14．1
【详解】过点C作，交的延长线于点M，根据垂线段最短，可知最短距离为的长，
根据题意，得，，
设，
则，
∵,
∴,
解得，
故答案为：1．
15．(1)
(2)
(3)；当时，原式=2
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
当x的值为和2时，原分式无意义；
当时，原式．
16．
【详解】解：母线长为，
其表面积是：．
17．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
18．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【详解】解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=，
∴PC=PA cos∠APC=40（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
∴PB==40≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
19．(1)
(2)塔的高度约为
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
在中，，，，，
∴，
；
（2）解：如图，过点作于点，
在中，设，
∵，，
∴，
易知四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
即，
解得，
即，
∴塔的高度约为．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，即点D为中点，
，即点O为中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：由（1）知，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴．

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