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(共9张PPT)
第八章　实数
《立方根》自测
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.（2024青海）-8的立方根是（　　）
A.-2　 B.2 C.±2　 D.不存在
2.计算的正确结果是（　　）
A.8　 B.-8　 C.±8　 D.无意义
3.的相反数是（　　）
A.±8　 B.-8 C.2　 D.-2
A
B
D
4.下列说法正确的是（　　）
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数的平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与互为相反数
5.用计算器计算的值约为（　　）
A.3.049　 B.3.050　 C.3.051　 D.3.052
6.若正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，则正方体A的棱长是正方体B的棱长的（　　）
A.2倍　 B.3倍　 C.4倍　 D.5倍
D
B
B
二、填空题（每小题5分，共20分）
7.4的算术平方根是　　　　，9的平方根是　　　　，-27的立方根是
　　　　.
8.-27的立方根与的平方根之和是　　　　　.
9.计算：-=　　　　，=　　　　.
10.已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是　　　　.
2
±3
-3
0或-6
-4　
　-
4
三、解答题（每小题10分，共50分）
11.求下列各式的值：
（1）； （2）-；
（3）-+.
-10　
4
-1
12.求下列各式中x的值：
（1）8x3+125=0； （2）（x+3）3+27=0.
x=-　
x=-6
13.（人教7下P51改编，教材新增）一个长8 m、宽8 m、高2 m的长方体的容积是一个正方体的容积的2倍，求这个正方体的棱长.
解：设这个正方体的棱长为x m，由题意得
2x3=8×8×2，
x3=64，
x=4.
答：这个正方体的棱长为4 m.
14.（人教7下P51，教材新增）（运算能力）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为22 600 cm3，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（π取3.14，结果保留小数点后两位）
解：由题意得πr2h=22 600，
又h=5.48r，π取3.14，
则3.14r2·5.48r=22 600，解得r≈10.95.
答：底面半径r约是10.95 cm.
15.（运算能力）（1）填表：
（2）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律： 　
　 ；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知≈1.442，则≈　　　　　，≈　 　　　；
②已知≈0.076 97，则≈　　　　　　　　.
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000

0.01
0.1　
1
10
100
被开方数扩大为原来的1 000倍，则其立方根扩大为原来的10倍（答案不唯一）
14.42
0.144 2
7.697(共8张PPT)
第八章　实数
母题探源 《实数》教材母题精选（北师大版）
1.（北师8上P40知识技能）把下列各数填入相应的集合内：
-7.5，　15，4，　917，23，3-27，0.31，-π，0.1·5·.
（1）有理数集合：
｛　 …｝；
（2）无理数集合：
｛　 …｝；
（3）正实数集合：
｛　 …｝；
（4）负实数集合：
｛　 …｝.
-7.5，4，，，0.31，0.
，，-π
，4，，，0.31，0.
-7.5，，-π
2.（北师8上P49知识技能）求下列各数的算术平方根及平方根：
（1）361：　　　　，　　　　；
（2）2.25：　　　　，　　　　；
（3）：　　　　，　　　　.
3.（北师8上P49知识技能）求下列各数的立方根：
（1）-512：　　　　；
（2）0.008：　　　　；
（3）-：　　　　.
19
±19　
1.5
±1.5
　
±
-8
0.2
-
4.（北师8上P29知识技能）
（1）一个正数的平方等于361，求这个正数；
（2）一个负数的平方等于121，求这个负数；
（3）一个数的平方等于196，求这个数.
解：（1）∵192=361，∴这个正数是19.
解： （2）∵（-11）2=121，∴这个负数是-11.
解： （3）∵（±14）2=196，∴这个数是14或-14.
5.（北师8上P26例题）（跨学科融合）自由下落的物体的高度s（m）与下落时间t（s）的关系为s=4.9t2.有一铁球从离地面19.6 m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将s=19.6代入公式s=4.9t2，得4.9t2=19.6，
可得t2=4，结合实际意义得t=2.
答：铁球到达地面需要2 s.
6.（北师8上P51数学理解）填空：
（1）一个数的平方等于它本身，这个数是　　　　；
（2）平方根等于本身的数是　　　　；
（3）算术平方根等于本身的数是　　　　；
（4）立方根等于本身的数是　 　　　；
（5）大于0且小于π的整数是　　　 　；
（6）满足-0或1
0
0或1
0或±1
1，2，3　
-1，0，1，2
7.（北师8上P51问题解决）一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多少厘米？（结果精确到0.01 cm）
解：设正方形的边长是x cm，
根据题意得π×12=x2，解得x≈1.77.
答：正方形的边长约是1.77 cm.
8.（北师8上P29联系拓广）对于任意数a，一定等于a吗？请说明理由.
解：不一定，
理由：只有当a≥0时，才等于a，
例如：当a=-2时，=2≠a.(共20张PPT)
第八章　实数
第6课时　实数及其简单运算（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）无限不循环小数叫作　　　　.
（2）常见的无理数：
①所有开方开不尽的数，如：，-，，-；
②圆周率π以及一些含有π的数，如：；
③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如：0.202 002 000 2….
（3）注意：带根号的数不一定就是无理数，如：；
不带根号的数也不一定就是有理数，如：π.
知识点 1
无理数的概念
无理数
1.（2024遂宁）下列各数中，是无理数的是（　　）
A.-2 B. C. D.0
2.下列各数是无理数的是（　　）
A. B.0.
C. D.0.202 002
3.有下列数：-3.，，π，，，其中是无理数的有
　　　　个.
C
C
2
（1）实数的概念：有理数和 统称实数.
（2）实数的分类
①按定义分类：实数
知识点 2
实数的概念及其分类
无理数
②按正负分类：实数
4.实数2，0，-2，中，为负数的是（　　）
A.2 B.0 C.-2 D.
5.（人教7下P54、北师8上P25及P39）判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数； （　　　）
（2）无理数都是无限小数； （　　　）
（3）用根号表示的数都是无理数. （　　　）
C
×
×
√
6.把下列各数填在相应的大括号内：
5，-π，-，，，0.
整数：｛　　　　　　　　　　…｝；
负分数：｛　　　　　　　　　　…｝；
无理数：｛　　　　　　　　　　…｝.
-
5，，0
，
（1）实数与数轴上的点是　　　　　　的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
（2）大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数　　　　.
知识点 3
实数与数轴上的点一一对应
一一对应
大
7.（2024东莞三模）如图，数轴上表示-的点可能是（　　）

A.点E B.点F C.点G D.点H
8.在实数-1，-，0，中，最小的实数是 .
A
-
9.【例1】有下列实数：
，，0，-π，，-，3.14，
0.313 113 111 3…（相邻两个3之间依次多一个1），
其中无理数的个数是（　　）
A.4　　 B.2 C.1　 D.3
D
13.（2024湛江模拟）在实数0，π，，，-中，无理数的个数是（　　）
A.1　 B.2　
C.3 D.4
B
10.【例2】下列各数中：-3，-，π，1-，，1.131 313 13…，，1.010 010 001…，.

有理数： ；

无理数： .
-3，，1.131 313 13…，
-，π，1-，1.010 010 001…，
14.（人教7下P54、北师8上P51）在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？
解：0，±1，±2，±3是有理数；
±，，±，，，±，，±，，±，，±，，±，是无理数.
11.【例3】把下列各数填入相应的横线上：
，，，π，0.，-，，3，0.13.
有理数： ；
无理数： ；
整数： ；
分数： ；
实数： .
，，0.，-，3，0.13
，π，
，，3
0.，-，0.13
，，，π，0.，-，，3，0.13
15.把下列各数填入相应的横线上：
，，0.，-，2π，，
3.141 592 6，，，0.
有理数： ；
无理数： ；
整数： ；
分数： .
，0.，-，，3.141 592 6，0
，2π，，
，0
，0.，-，3.141 592 6
12.【例4】（1）（2024滨州）写出一个比大且比小的整
数： ；
（2）（人教7下P54）把-2，，，-π用“<”连接：
< < < ；
（3）（人教7下P54、北师8上P39）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，
与正半轴的交点就表示 ，
与负半轴的交点就表示 .
2（或3）
-π
-2
　
　
-
16.（人教7下P57，教材新增）（运算能力）写出所有符合下列条件的数：
（1）小于的所有正整数；

（2）大于-且小于的所有整数；

（3）绝对值小于的所有整数.

1，2，3，4，5，6
-3，-2，-1，0，1，2，3
-2，-1，0，1，2
★17. 0.45 如图，直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O'，则点O'对应的数是　　　　.
π+2(共21张PPT)
第八章　实数
第5课时　立方根（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，根指数3不能省略.
（2）性质：
①正数的立方根是　　　　数；
②负数的立方根是　　　　数；
③0的立方根是　　　　.
（3）开立方与立方互为逆运算，可以通过这种互逆关系求一个数的立方根.
知识点 1
立方根的复习
正
负
0
1.求下列各数的立方根：
（1）； 　（2）-512；　 （3）-1 000；


（4）0； （5）-3； （6）-（-0.027）.
　
-8
-10
0
-　
0.3
一般地，=-.
知识点 2
互为相反数的两个数的立方根的关系
2.（人教7下P49）（1）计算= ，=　　　　，
被开方数的关系是　　　　　　，结果的关系是　　　　　　；
（2）计算=　　　　，=　　　　，从中发现的规律是
　　　　　　　　 　.
-2　
2　
互为相反数　
互为相反数
-3
3　
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
（1）在求某个数的立方根时，有时这个数比较复杂或者立方根难以求
出，我们便可以借助计算器，一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）.
（2）一般计算器的按键顺序为：先按键（或用SHIFT键选择出第二功能键），再输入被开方数，最后按=键.
（3）注意：不同的计算器按键的顺序可能不同，使用时应以说明书为准.
知识点 3
用计算器求一个数的立方根（或其近似值）
3.用计算器求下列各式的值（保留小数点后两位）：
（1）≈　　　　；
（2）≈　　　　；
（3）-≈　　　　；
（4）≈　　　　.
9.28
-0.93
-1.91
5.71
4.【例1】（人教7下P50，教材新增）求下列各式的值：
（1）；
（2）-；
（3）.
解：（1）=-=-8.
解：（2）-==0.1.
解： （3）==4.
10.（人教7下P50改编）求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3）.
-0.3
-7
-
5.【例2】用计算器求值：（结果保留小数点后四位）
（1）≈　　　　　　　　；
（2）≈　　　　　　　　；
（3）-≈　　　　　　　　.
1.817 1　
1.529 8
-8.559 0
11.用计算器求值：（结果保留小数点后三位）
（1）≈　　　　　　　　；
（2）≈　　　　　　　　；
（3）-≈　　　　　　　　.
1.710
-4.642　
-0.681
6.【例3】（人教7下P50，教材新增）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（1）　　　　<<　　　　；
（2）　　　　<<　　　　；
（3）　　　　<<　　　　；
（4）　　　　<<　　　　.
1
2
4
　5
8
　9
-4　
-3
12.（人教7下P51、北师8上P50）比较下列各组数的大小：
（1）　　　　2；
（2）　　　　2.5；
（3）-　　　　-.
<
<
>
7.【例4】（人教7下P51）求下列各式中x的值：
（1）x3=-0.064； （2）x3-3=；
（3）（x+1）3=8.
x=-0.4　
x=
x=1
13.求下列各式中x的值：
（1）2x3-=0；
　　　
（2）（x-3）3=125.
解：（1）将原式变形成x3=，x=.
解：（2）x-3=5，x=8.
8.【例5】（人教7下P51、北师8上P32）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？n倍呢？
解：设原正方体的棱长为a，则体积为a3，
当其体积扩大为原来的8倍时，体积为8a3，此时棱长为2a，变为原来的2倍；
当其体积扩大为原来的27倍时，体积为27a3，此时棱长为3a，变为原来的3倍；
当其体积扩大为原来的n倍时，体积为na3，此时棱长为a，变为原来的倍.
14.将一个正方体的每条棱都增加2 cm，它的体积达到216 cm3，求正方体原来的棱长.

解：设正方体原来的棱长为x cm，
依题意，得（x+2）3=216.
可得x+2=6，解得x=4.
答：正方体原来的棱长是4 cm.
9.【例6】（运算能力）已知≈2.472，≈1.147，≈0.532 5，则的值约为（　　）
A.24.72　 B.53.25
C.11.47　　 D.114.7
C
★15. 0.45 已知=2，=3，=4，…，根据规律可得 （用含n的式子表示，n为大于1的正整数）.
=n(共11张PPT)
第八章　实数
微专题5　无理数的运算与运用（运算能力）
1.【例1】（2024陕西三模）计算：-= .
类型一 平方根与立方根的简单运算
-6
6.（2024合肥三模）计算：+=　　　　.
2
2.【例2】（2024中山三模）计算：-（-2）+（-1）2 025.
类型二 实数的运算
解：原式=2-+2-1=3-.
7.（2024甘肃模拟）计算：-+|3-|-+2.
解：原式=-4+3-+2+2=1+.
3.【例3】先简，再求值：（2x2-5x+4）-3（x2-x+1），其中x=.
类型三 整式的简求值
解：原式=2x2-5x+4-3x2+3x-3=-x2-2x+1.
当x=时，原式=-（）2-2×+1=-2-2 +1=-1-2 .
8.先简，再求值：（-x2+3-7x）+（5x-7+2x2），其中x=.
解：原式=-x2+3-7x+5x-7+2x2=x2-2x-4，
当x=时，原式=（）2-2×-4=-1-2 .
4.【例4】与2+最接近的整数是（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
类型四 无理数的估算
C
9.（2024重庆）已知m=3-，则实数m的取值范围是（　　）
A.2C.4B
5.【例5】（人教7下P47，教材新增、北师8上P52）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间t（单位：s）与钟摆的长度l（单位：m）之间满足t=2π.当钟摆的长度为0.25 m时，
摆动一个来回所用的时间是多少秒？（π取3.14，g取9.8 m/s2，
结果保留小数点后两位）
类型五 跨学科运用中无理数的运算
解：把l=0.25代入t=2π，得t=2×3.14×≈1.00（s）.
答：摆动一个来回所用的时间约是1.00 s.
10.（人教7下P62，教材新增）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了58 mm.如果玻璃杯内部的底面半径为95 mm，那么正方体的棱长是多少毫米？（π取3.14，结果取整数）
解：设正方体的棱长是x mm，由题意得
π×952×58=x3，
∴x≈≈118 （mm）.
答：正方体的棱长约是118 mm.(共9张PPT)
第八章　实数
新课标新题型 综合实践与探究
教材拓展
1.（素材来源：人教7下P59数学活动）综合与实践.
【实践主题】估算A0纸的长与宽.
【新知学习】按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对折、截开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、截开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、截开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、截开，便成A4纸……
（1）如图1，A4纸的短边长为
　　　　（用含a的代数式表示）；
图1
a　
【操作与观察】
（2）将一张A4纸按如图2所示的方式进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好与点C重合，你会发现线段
AB=　　　　；
图2
AC
【探究与验证】
（3）求A4纸的长与宽之比；
解：（3）设A4纸的宽为n，
第一次折叠，形成一个正方形，∴AB=n.
第二次折叠，得到AB=AC=n，
∴A4纸的长与宽之比为n∶n=∶1.
（4）估算A0纸的长与宽分别为多少毫米（结果取整数）.
解：（4）同理可知：A0纸的长与宽之比是∶1，
设A0纸的宽为x mm，则长为x mm，
∵A0纸的面积为1 m2=106 mm2，
∴x·x=106，∴x2=，
根据边长的实际意义及计算器得x≈841，
∴x≈1 189，
故A0纸的长约为1 189 mm，宽约为841 mm.
2.（素材来源：人教7下P59数学活动）综合与实践.
【活动主题】口算求立方根.
【背景资料】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出
国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有
道智力题：一个数是59 319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试.
【实践分析】
（1）由103=1 000，1003=1 000 000，你能确定是 位数；
（2）由59 319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是
　　　　；
（3）如果划去59 319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此你能确定的十位上的数是　　　　；
两　
9
3
【拓展运用】
（4）①已知19 683是整数的立方，按照上述，确定=
　　　　；
②已知110 592是整数的立方，按照上述，请你确定它的立方根（写出分析过程）；
27
解：（4）②由103<110 592<1003，得是两位数，
由110 592的个位数字是2，得的个位数字是8，
划去110 592后面的三位592得到数110，
而43=64，53=125，由此可以确定的十位数字是4，
故110 592的立方根是48.
③若四个连续奇数之积为1 666 665，试求出这四个数.
解：（4）③借助估算.
1 666 665往前移动4位小数点，约为166.
因为34=81，44=256，且166在81和256之间，
即1 666 665在810 000和2 560 000之间，
所以这四个奇数在30~40之间.
考虑积的个位数字特征，其中一个必为35.
验证：31×33×35×37=1 324 785，
33×35×37×39=1 666 665，
所以这四个数是33，35，37，39.(共22张PPT)
第八章　实数
第2课时　算术平方根（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根　　　　叫作的a算术平方根，正数a的算术平方根用　　　　来表示.
（2）规定：0的算术平方根是　　； 0的算术平方根也记为　　　.
（3）理解：①正数有　　　　个算术平方根，负数　　　　算术平方根；
②算术平方根具有双重非负性：
a大于或等于0且大于或等于0.
知识点 1
算术平方根的定义及表示
　
　
0
　
1
没有
1.（1）4的算术平方根是　　　　；
（2）5的算术平方根是　　　　；
（3）的算术平方根是　　　　.
2.（1）（2024陕西）计算：=　　　　；
（2）计算：=　　　　.
2
　
4
0.2
3.（2024广东）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A.2　 B.5　 C.10　 D.20
4.算术平方根是本身的数有　　　　和 .
B
0　
1
知识点 2
平方根与算术平方根的区别和联系
正数的算术平方根 正数的平方根
区别 个数 只有一个 有两个
表示 ±
取值 一定是正数 一正一负，互为相反数
联系 ①一个数的正的平方根即算术平方根； ②只有非负数才有平方根和算术平方根； ③ 0的平方根与算术平方根均为0
5.（1）9的算术平方根是　　　　，
9的平方根是　　　　；
（2）的算术平方根是　　　　，
的平方根是　　　　；
（3）=　　　　，=　　　　，
-=　　　　，±=　　　　.
3
±3
1
0
-0.5
±
±
能用有理数估计一个无理数的大致范围.估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.
依据：被开方数越大，对应的算术平方根就越大.
知识点 3
估算
6.（人教7下P43）估算的大小：
（1）可以取和2最近的两个完全平方数：1和　　　　；
（2）因为1<2<　　　　，
所以<<　　　　，
即1<< .
4
4
　
2
无限不循环小数是指小数位数无限，且　　　　部分不循环的小数.
知识点 4
无限不循环小数
小数
7.（人教7下P43）在，，，这4个数中，是无限不循环小数的有（　　）
A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个
D
8.【例1】（1）若x2=16，则正数x=　　　　；
（2）若x2=，则正数x=　　　　.
4
13.（1）若m2=25，则正数m=　　　　；
（2）若m2=0.01，则正数m=　　　　.
5
0.1
9.【例2】（人教7下P42、北师8上P26）求下列各数的算术平方根：
（1）100；　　 （2）；　　
（3）0.000 1.
10　
　
0.01
14.（人教7下P43）求下列各数的算术平方根：
（1）0.09； （2）；　　
（3）52.
0.3
　
5
10.【例3】求下列各式的值：
（1）；　 （2）；


（3）；　 （4）+.
13
10
　
9
15.求下列各式的值：
（1）； （2）；

（3）； （4）+.
　
3　
　
11.【例4】（2024天津）估计的值在（　　）
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
C
16.（2024深圳）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是　　　　 （写出一个答案即可）.
2（答案不唯一）
12.【例5】（人教7下P44，教材新增）排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积162 m2.它的长与宽分别是多少？
解：设宽是x m，则长是2x m，
由题意得
2x2=162，x2=81，
由边长的实际意义，得x=9，
∴2x=18.
答：它的长是18 m，宽是9 m.
★17. 0.50（运算能力）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图，现在想扩大花坛的面积.要使花坛的面积增加80平方米后仍是正方形，边长应该延长多少米？
解：设边长应该延长x米，根据题意，得
（x+8）2=82+80，即（x+8）2=144，
∵边长为正数，且122=144，
∴x+8=12，∴x=4.
答：边长应该延长4米.(共19张PPT)
第八章　实数
第1课时　平方根
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
知识点 1
平方根的概念
概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根
性质 ①正数有　　　　个平方根，它们互为　　　　　；
② 0的平方根是　　　　；
③负数　　　　　平方根
两
相反数
0　
没有
1.填空：
（1）∵（±4）2=16，
∴16的平方根是　　　　；
（2）∵（　　　　）2=25，
∴25的平方根是　　　　；
（3）36的平方根是　　　　；
　　　　的平方根是0；
-36　　　　平方根.
±4
±5
±5
±6
0
没有
（1）开平方：
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
（2）正数a的正的平方根记为“　　　　”，读作“根号a”，a叫作
　　　　　；正数a的负的平方根可以用“　　　　”表示，故正数a的平方根可以用“　　　　”表示，读作“正、负根号a”.它们互为　　　　.
知识点 2
求一个非负数的平方根
　
被开方数
-
±
相反数
（3）注意：
①被开方数a一定是非负数（即正数或0）；
②平方与开平方互为　　　　运算；
③当a大于或等于0时，有意义；
当a小于0时，没有意义.
逆
2.（人教7下P40、北师8上P28改编）求下列各数的平方根：
（1）64； （2）；


（3）0.01； （4）11.

±8
±
±0.1
±
3.（人教7下P41，教材新增）下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
（1）0.36；　
（2）-5；　
（3）（-4）2.
解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6.
解： （2）因为-5是负数，所以-5没有平方根.
解： （3）因为（-4）2=16是正数，所以（-4）2有两个平方根，
±=±=±4.
4.【例1】（1）求16的平方根；
（2）求81的负的平方根.
±4
-9
9.（1）若x2=10，则x叫作　　　　的 ，
即x=　　　　　；
（2）求的平方根.
10
平方根　
±
±
5.【例2】（人教7下P44）求下列各式的值：
（1）； （2）-；


（3）±； （4）±.
6　
-0.8
±　
±3
10.求下列各数的平方根：
（1）900；　　　　　　　　（2）2；


（3）0.001 6；　　　　　　 （4）.
±30
±　
±0.04　
±
6.【例3】（北师8上P29）求未知数x的值：
（1）x2=； （2）x2=6.
x=±
x=±
11.（人教7下P42，教材新增）求下列各式中x的值：
（1）x2=25；　
（2）9x2=4；　
（3）（x-1）2=1.
x=±5
x=±　
x=0或2
7.【例4】（运算能力）一个数的两个平方根分别是2a-3和4-a，求这个数负的平方根.
解：因为一个数的两个平方根互为相反数，
所以2a-3+4-a=0，解得a=-1，即2a-3=-5<0，
故这个数负的平方根是-5.
12.（运算能力）一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a，求a和x
的值.
解：∵一个正数x的平方根是2a-3和5-a，
∴2a-3+5-a=0，解得a=-2，
∴2a-3=-7，
∴x=（-7）2=49.
8.【例5】（2024成都）若m，n为实数，且（m+4）2+=0，则（m+n）2的值为　　　　.
1
★13. 0.50（2024恩施模拟）已知+|y-3|=0，则x+y的平方根为 .
±(共18张PPT)
第八章　实数
第4课时　立方根（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
知识点 1
立方根的概念
概念 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
表示 一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.中的根指数“3”不能省略
性质 ①正数的立方根是　　　　数；
②负数的立方根是　　　　数；
③0的立方根是　　　
正
负
0
1.填空：
（1）∵23=8，∴8的立方根是　　　　；
∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是　　　　；
（2）（2024巴中）27的立方根为　　　　， 即=　　　　；
（3）的立方根是　　　　；
　　　　的立方根是0；
-的立方根是　　　　.
2
-2　
3
3
　
　
　
（1）开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
（2）开立方与立方互为　　　　运算，可以通过这种互逆关系求一个数的立方根.
（3）根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根.
知识点 2
求一个数的立方根
逆
2.求下列各数的立方根：
（1）1 000； （2）-27；


（3）； （4）0.001.
10　
-3
　
0.1
（1）正数的平方根有　　　　个，而正数的立方根只有
　　　　个；
（2）平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有；
（3）在用符号表示平方根时，根指数“2”可以省略不写；而用符号表示立方根时，根指数“3”不能省略；
（4）互为相反数的两个数的立方根互为　　　　.
知识点 3
平方根与立方根的区别
2
1
相反数
3.填空：
（1）100的算术平方根是　　　　；
（2）64的平方根是　　　　；
（3）-的立方根是　　　　；
（4）-=　　　　；
（5）±=　　　　；
（6）-=　　　　.
10　
±8
-　
-5
±　
-0.1
4.【例1】（人教7下P49）求下列各数的立方根：
（1）（-2）3；　　（2）343；　　　（3）-64；


（4）； （5）0.008； （6）-.
-2
7
-4
0.2
-
8.求下列各数的立方根：
（1）-125；　　（2）1；　　　　（3）-1；


（4）0.343； （5）27 000； （6）.
-5
1
-1
0.7　
30
2
5.【例2】求下列各式的值：
（1）；　（2）-；　（3）.
5
-0.6
-
9.（人教7下P51）求下列各式的值：
（1）-；　（2）-；　（3）.
-0.5
-9　
-
6.【例3】（人教7下P49）判断题.
（1）-3是-27的立方根；（　　）
（2）±3是27的立方根；（　　）
（3）（-1）3的立方根是-1；（　　）
（4）的立方根是-2.（　　）
√　
√　
×
×
10.下列说法中，正确的有　 　　　　（填序号）.
①正数的立方根是一个正数；
②负数的立方根是一个负数；
③3是27的立方根；
④（-2）2的平方根是-2；
⑤（-5）3的立方根是-5；
⑥ 0的平方根与立方根都是0.
①②③⑤⑥
7.【例4】（1）（人教7下P49，教材新增、北师8上P32）一个形状为正方体的魔方，它的体积为216 cm3，则它的棱长是　　　　cm；
（2）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25 m3，且长方体的高是底面边长的2倍，求长方体的底面边长.
6
解：设底面边长为x m，则高为2x m，
则x2·2x=0.25，即x3=0.125，
开立方得x=0.5，
故长方体的底面边长为0.5 m.
★11. 0.45 （运算能力）如图，圆柱形容器的容积为81升，其底面直径是高的2倍.
（1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？
解：（1）设这个圆柱形容器的高为x分米，
则它的底面直径是2x分米，依题意得
πx2·x=81，即3x3=81，x3=27，
开立方得x=3，∴2x=6.
答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米.
（2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗，π取3）
解：（2）2π×32+2π×3×3=108（平方分米）.
答：制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米.(共26张PPT)
第八章　实数
第8课时　《实数》单元复习
02
对点训练
01
知识要点
03
精典范例
04
变式练习
（1）平方根：正数a的平方根记为±.
①正数有　　　个平方根，它们互为　 　　数；
②负数平方根 ；③ 0的平方根是 .
（2）算术平方根：a的算术平方根记为.
①正数有　　　个算术平方根；②负数　　　　算术平方根；
③0的算术平方根是　　　　.
知识点 1
平方根与算术平方根
2
相反
没有
0
1
没有
0
1.（2024内江）16的平方根是（　　）
A.2 B.-4 C.4 D.±4
2.（2024张家口模拟）的算术平方根是（　　）
A.±9 B.±3 C.9 D.3
3.（2024上海）若=1，则x=　　　　.
D
D
1
a的立方根记为.
①正数的立方根是　　　　数；
②负数的立方根是　　　　数；
③0的立方根是　　　　.
知识点 2
立方根
正
负
0
4.下列说法正确的是（　　）
A.0.09的平方根是0.3 B.=±4
C.0的立方根是0 D.1的立方根是±1
5.（2024梅州模拟）-27的立方根是　　　　.
C
-3
（1）有理数和　　　　数统称实数.
（2）①按定义分类：
实数
知识点 3
实数
无理
②按正负分类：实数
（3）实数与数轴上的点是一一对应的.
6.把下列各数填入相应的横线上（只填序号）：
①-3，②，③，④0，⑤0.7，⑥，⑦π，⑧-1..
（1）整数：　　　　　　　　　　；
（2）负分数：　　　　　　　　　　；
（3）无理数：　　　　　　　　　　.
②③④
①⑧
⑥⑦
7.（2024山西）比较大小：　　　　2（填“>”“<”或“=”）.
8.（2024南充）如图，数轴上表示的点是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
>
C
（1）实数a的相反数是　　　　.
（2）正实数的绝对值是　　　　　；
负实数的绝对值是　　 　　　　；
0的绝对值是　　　　.
知识点 4
实数的相反数与绝对值
-a
它本身
它的相反数
0
9.（1）-的相反数是　　　　　，绝对值是　　　　；
（2）-+2的相反数是　　　　 ，绝对值是　　 　　.
　
　
-2
-2
（1）实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
（2）有理数的运算法则及性质同样适用实数运算.
知识点 5
实数的运算
10.计算：
（1）（-2）=　　　　；
（2）2 -|2-|=　　　　；
（3）=　　　　.
5-2　
+2　
6
11.【例1】（2024烟台）下列实数中的无理数是（　　）
A. B.3.14 C. D.
C
17.（2024自贡）在0，-2，-，π四个数中，最大的数是（　　）
A.-2 B.0 C.π D.-
C
12.【例2】（2024韶关一模）若|a-2|+=0，则a+b=　　　　.
5
18.（2024汕头一模）若+（2b-1）2=0，则2a+4b-7的值为
　　　　.
-3
13.【例3】计算：
（1）-+；


（2）|-3|+|-1|-.
解：（1）原式=3-4-2=-3.
解：（2）原式=3-+-1-6=-4.
19.计算：
（1）+-（）2；


（2）（-3）2-+.
解：（1）原式=6+3-5=4.
解：（2）原式=9--3=.
14.【例4】填空：
（1）若=10.1，
则±=　　　　；
（2）若的小数部分是a，则a=　　　　.
±1.01
-3
20.一个数的平方根是2a-3和a+9，求这个数.
解：依题意得2a-3+a+9=0，3a+6=0，a=-2，
∴当a=-2时，（a+9）2=（-2+9）2=49，
∴这个数是49.
15.【例5】（2024盐城）矩形相邻两边长分别为 cm， cm，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间（　　）
A.1和2 B.2和3
C.3和4 D.4和5
C
21.（运算能力）（2024东莞一模）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
B
16.【例6】设a为整数，若在数轴上的对应点如图所示，则a的取值范围是（　　）

A.2C.-2B
★22. 0.45 已知a，b，c为实数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示，简：2 +|b+c|--2|a|.
解：原式=2（b-a）+b+c+a-c+2a
=2b-2a+b+c+a-c+2a
=3b+a.(共20张PPT)
第八章　实数
第7课时　实数及其简单运算（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
（2）大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
知识点 1
实数与数轴（复习）
1.（2024深圳）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（　　）

A.a B.b C.c D.d
2.在数轴上表示-的点到原点的距离为　　　　.
A
（1）实数的相反数：
实数a的相反数是　　　　.
（2）实数的绝对值：
一个正实数的绝对值是　 　　　；
一个负实数的绝对值是　　 　；
0的绝对值是　　　　. 即：=
知识点 2
实数的相反数与绝对值
-a　
它本身
它的相反数
　0
3.（人教7下P55）填空：
（1）的相反数是　　　　， -π的相反数是　　　　，
0的相反数是　　　　， -的相反数是　　　　；
（2）的绝对值是　　　　， -π的绝对值是　　　　，
0的绝对值是　　　　， -的绝对值是　　　　.
-
π
0
　
　
π
0
　
（1）实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
（2）在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知识点 3
实数的运算
4.计算：
（1）2-+2； （2）+2-；


（3）+2； （4）-2.
4-　
2
3　
-
5.【例1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　）

A.a=b B.a>b
C.|a|<|b| D.|a|>|b|
C
9.（2024徐州二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A.a>b B.-a>-b
C.|a|>|b| D.|-a|>|-b|
B
6.【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
（1）；
（2）-2；

解：（1）相反数是-，绝对值是.
解： （2）相反数是2-，绝对值是2-.
（3）；
（4）3.14-π.
解： （3）相反数是-，绝对值是.
解： （4）相反数是π-3.14，绝对值是π-3.14.
10.求下列各数的相反数和绝对值：
（1）3 ；
（2）；

解：（1）相反数是-3 ，绝对值是3 .
解： （2）相反数是，绝对值是.
（3）-；
（4）-2.3.
解： （3）相反数是-，绝对值是-.
解： （4）相反数是2.3-，绝对值是2.3-.
7.【例3】（人教7下P56及P61）计算：
（1）（+）-；　　 （2）3+2；

（3）（+2）； （4）.
　
5
2+2
4
11.（人教7下P56及P57，教材新增）计算：
（1）2-3；　　 （2）-|1-|；

（3）2（-）-|2-|； （4）（-）2+（-）3.
-
1
-　
0
8.【例4】（人教7下P56，教材新增）计算（结果保留小数点后两位）：
（1）-；　
（2）π·；

解：（1）-≈2.236-2.646=-0.41.
解： （2）π·≈3.142×1.442≈4.53.
（3）+；　
（4）-.
解： （3）+≈4.123+4.690≈8.81.
解： （4）-≈1.817-2.449≈-0.63.
★12. 0.40（人教7下P57，教材新增）（运算能力）如图，长方形内两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2.
（1）求长方形的周长；
（2）求图中两块阴影部分的面积和.
解：（1）∵两个正方形的面积分别为3 cm2，1 cm2，
∴大正方形的边长为 cm，小正方形边长为1 cm，
∴长方形的周长为 2（+1+）=（4+2）（cm）.
（2）两块阴影部分的面积和为（-1）×1=（-1）（cm2）.(共10张PPT)
第八章　实数
微专题6　非负数性质的应用（运算能力）
常见的非负数：
绝对值（|a|）、偶数次幂（a2n）、非负数的算术平方根（，其中a大于或等于0）.
非负数的性质：
①非负数大于或等于0；
②非负数的和与积仍是非负数；
③若几个非负数的和为0，则每个非负数必等于0.
1.【例1】（2024珠海二模）若+（y+2）2=0，则x+y的值为
（　　）
A.-1　 B.1　 C.5　 D.-5
类型一 几个非负数的和为零
B
5.（2024潮州一模）若|a-2|++=0，则abc=　　　　.
2
2.【例2】若与|b+2|互为相反数，求（a-b）2的值.
类型二 几个非负数互为相反数
解：∵与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|=0，
∴2a-2=0，b+2=0，
∴a=1，b=-2，
∴（a-b）2=（1+2）2=9.
6.若与（b-27）2互为相反数，求-的值.
解：∵与（b-27）2互为相反数，
∴+（b-27）2=0，∴a+8=0，b-27=0，
∴a=-8，b=27，
∴-=-=-2-3=-5.
3.【例3】已知x，y为实数，y=++4，求+的值.
类型三 多重非负性判定取值
解：∵y=++4，
由非负性可得x-9=0且9-x=0时成立，∴x=9，
将x=9代入原等式得y=4，
∴+=+=3+2=5.
7.已知x，y为实数，++y=4，求xy+的值.
解：∵++y=4，
由非负性可得2x-1=0且1-2x=0时成立，∴x=，
将x=代入原等式得y=4，
∴xy+=+=.
4.【例4】已知a，b满足+（ab-3）2=0，求+++…+.
类型四 运用非负性简求值
解：∵+（ab-3）2=0，
∴a-1=0，ab-3=0，∴a=1，b=3，
∴原式=+++…+
=×
=×=.
8.已知x，y为实数，且（2-|x|）2+=0.
（1）求x2+y2的平方根；
（2）若x解：（1）∵（2-|x|）2+=0，
∴2-|x|=0，1-y2=0，∴x=±2，y=±1，
∴±=±=±，
即x2+y2的平方根是±.
（2）∵x∴原式=|-2|-（1-）+|-|=2--1++-=1.(共16张PPT)
第八章　实数
母题变式 《实数》教材难题生长题（人教版）
教材难题
1.【例】（人教7下P47拓广探索）（运算能力、推理能力）
（1）求（）2，（）2，（）2，（）2，（）2的值.对于任意非负数a，（）2等于多少？
解：（1）（）2=0，（）2=4，（）2=9，（）2=25，（）2=36，
对于任意非负数a，（）2=a.
（2）求，，，，的值.对于任意数a，等于多少？
解题思路：直接计算各式进而得出一般规律.
解：（2）=0，=2，=3，=5，=6，
对于任意数a，=|a|.
2.【例】（人教7下P51拓广探索）（运算能力、推理能力）
（1）求（）3，（）3，（）3，（）3，（）3的值.对于任意数a，（）3等于多少？
解：（1）（）3=0，（）3=8，（）3=-8，（）3=27，（）3=-27，
对于任意数a，（）3=a.
（2）求，，，，的值.对于任意数a，等于多少？
解题思路：直接计算各式进而得出一般规律.
解：（2）=0，=2，=-2，=-3，=4，
对于任意数a，=a.
难题生长
0.35 【探究应用一】
（1）计算：=　　　　，=　　　　，
=　　　　，=　　　　，
=　　　　；
探究：对于任意数a，=　　　　；
16
　0
　
1
5
　|a|
（2）应用：实数a，b在数轴上的位置如图所示，简：
--+|a+b|.
解：（2）观察数轴可知a<0，b>0，a-b<0，a+b<0，
∴原式=-a-b+a-b-a-b=-a-3b.
【探究应用二】
（3）计算：=　　　　，=　　　　，
=　　　　，=　　　　，=　　　　；
探究：对于任意数a，=　　　　；
3
-3　
5
　-
　0　
a
（4）应用：实数a，b在数轴上的位置如（2）中的图所示，简：+-|a+b|.
解：（4）观察数轴可知a<0，b>0，a+b<0，
∴原式=a+b+a+b=2a+2b.
【探究应用三】观察：①+=2+（-2）=0；②+=10+（-10）=0；
③+=+=0；….
（5）观察规律，写出一个类似的式子：　　　　　　　　　　 　；
（6）根据以上规律解答：若与的值互为相反数，求
-的值.
+=0（答案不唯一）
解：（6）若与的值互为相反数，
则（3-2x）+（x+5）=0，解得x=8，∴-=-=-4.
教材难题
4.【例】（人教7下P62拓广探索）（运算能力、几何直观、应用意识、创新意识）
（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？
解： （1）如图，沿虚线剪4刀，拼成一个边长为的大正方形.
（2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点.
解题思路：根据面积确定大正方形的边长，由此设计图形.
解：（2）如图，结合（1）得点A为大正方形的边长所对应的点.
5.【例】（北师8上P51数学理解）（运算能力、几何直观、应用意识、创新意识）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，并拼成一个正方形.这个正方形的边长是多少？
解题思路：根据面积确定大正方形的边长，由此设计图形.
解：如图，沿虚线剪2刀，拼成一个大正方形.
∵正方形的面积为5，
∴正方形的边长为.
难题生长
6. 0.35 【实践操作】如图1，纸上有两个边长为1的小正方形组成的图形，我们可沿虚线把它剪开拼成一个正方形，易知拼成的正方形的面积是2，由算术平方根的意义可得，拼成的正方形的边长是.
【问题解决】（1）如图2，如果纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们也可沿虚线把它剪开拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的面积是　　　　，边长是　　　　；
（2）如图3，以数轴上单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示-1的点为圆心、直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是　　　　，点A表示的数的相反数是
　　　　；
5
　
-1
1-
（3）你能把如图4所示的由十个边长为1的小正方形组成的图形剪开并拼成一个正方形吗？若能，请画出示意图，并写出它的边长.
解：（3）能拼成一个正方形，如图，
∵大正方形的面积为10×1×1=10，
∴大正方形的边长为.(共8张PPT)
第八章　实数
《平方根》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.（2024菏泽三模）64的算术平方根是（　　）
A.±8　 B.8 C.±4　 D.4
2.下列说法正确的是（　　）
A.=±3　 B.2的平方根是4
C.（-1）2的平方根是±1　 D.0没有平方根
3.的相反数是（　　）
A.25　 B.-5 C.±5　 D.-25
B
C
B
4.的平方根是（　　）
A.±3　 B.3 C.±9　 D.9
5.（2024资阳）若A.2 B.3 C.4 D.5
6.一个正数的两个平方根分别为2a-1和4-a，则这个正数为（　　）
A.25　 B.36　 C.49　 D.64
A
B
C
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.（2024上海模拟）一块面积为5 m2的正方形桌布，其边长为　 　.
8.如果的平方根等于±2，那么a=　　　　.
9.（2024汕头二模）若式子+|b-3|=0，则ab=　　　　.
10.请你观察、思考下列计算过程：
因为112=121，所以=11；
同样：因为1112=12 321，所以=111；…；
由此猜想=　　　　　　　　　　　.
m
16
-6
111 111 111
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.计算和简：
（1）-；　　　（2）；　　　　　　（3）.
12.求x的值：（x-1）2=25.


-1.5
　
解：由题意得x-1=±5，解得x=6或-4.
13.（跨学科融合）某农场有一块长30米、宽20米的场地，在这块场地上建一个正方形鱼池，使它的面积为场地面积的一半，问能否建成？若能建成，请你估计鱼池的边长为多少.（精确到1米）
解：设鱼池的边长为x米，则x2=×30×20，x2=300，x=（负值舍去），因为300<202，所以<20，
故能建成，可以估计鱼池的边长约为17米.
14.（1）填写下表：
观察上表，并且说明当被开方数a的小数点向右（或向左）每移动两位时，的小数点移动规律是怎样的？

a 0.000 4 0.04 4 400 40 000

0.02
0.2
2
20
200
解：（1）规律：被开方数a的小数点向右（或向左）每移动两位时，的小数点向右（或向左）移动一位.
（2）已知≈1.859，≈5.879，请用你观察到的规律直接写出结果：
①≈　　　　　　　；
≈　　　　　　　；
≈　　　　　　　；
②如果≈0.185 9，那么x≈　　　　　　　.
185.9
18.59
58.79
0.034 56(共18张PPT)
第八章　实数
第3课时　算术平方根（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）在求某些有理数的算术平方根时，有些数比较大或算术平方根不易求出，此时便可利用计算器求算术平方根.大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）.
（2）计算器的型号不同，按键顺序有所不同，但一般先按键，然后输入数据，再按=键，计算器上显示的结果就是该数的算术平方根（或其近似值）.
知识点 1
用计算器求一个正有理数的算术平方根（或其近似值）
1.（人教7下P44）用计算器求下列各式的值：
（1）； （2）；

（3）（结果保留小数点后三位）；
（4）（结果保留小数点后两位）.
56
222
1.414
22.76
被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律
是：被开方数的小数点每移动2n位，它的算术平方根的小数点就相应地移动　　　　位.
知识点 2
用计算器求算术平方根并寻找规律
n
2.计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中.





0.01
0.1　
1
　10
100
用有理数估计算术平方根的大小解决实际问题
知识点 3
3.已知一个长方形的面积是60 cm2，它的长与宽的比为4∶3，求它的长和宽.（结果保留小数点后一位）
解：设长方形的长为4x cm，则它的宽为3x cm.
依题意，得4x·3x=60，12x2=60，x2=5，
由边长的实际意义，得x=.
∴4x=4 ≈8.9，3x=3 ≈6.7.
答：长方形的长约为8.9 cm，宽约为6.7 cm.
4.【例1】用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：
（1）≈　　　　；
（2）≈　　　　；
（3）≈　　　　；
（4）≈　　　　.
1.73　
20.76
0.35　
0.26
8.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：
（1）≈　　　　；
（2）≈　　　　；
（3）≈　　　　；
（4）≈　　　　.
2.65
17.72
0.15　
0.63
5.【例2】（人教7下P44改编）利用计算器可得：=0.25；≈0.790 57；=2.5；≈7.905 7；=25；≈79.057；=250；≈790.57.
（1）规律是 ；
（2）已知≈1.732，则≈　　　　，≈　　　　，≈　　　　；你能根据的值确定的值吗？
被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍
0.173 2
17.32
173.2
解：不能根据的值确定的值.
9.（人教7下P44改编）若≈1.414，则：
（1）≈　　　　；
（2）≈　　　　；
（3）≈　　　　；
（4）≈　　　　；
（5）若≈1 414，则a≈　　　　　.
14.14
141.4
0.141 4
0.014 14
2 000 000
10.（人教7下P47、北师8上P27）一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的　　　　倍；面积扩大为原来的9倍，边长变为原来的　　　　倍；面积扩大为原来的n倍，边长扩大为原来的
　　　　倍.
2
3
　
6.【例3】（人教7下P46，教材新增）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1） 在2和3之间.
解： （2）在5和6之间.
解： （3）在1和2之间.
11.（2024惠州一模）设n为正整数，若n<　　　　.
12.比较下列各组数的大小：
（1）　　　　3；　（2）　　　　7；
（3）　　　 ；
（4）+4　　　　 .
2
<　
>
<　
<　
7.【例4】（人教7下P45）小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为4∶3，但她不知能否裁得出来，正在发愁.请用计算说明能否用这块纸片裁出想要的纸片.
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，
则3x·2x=300，6x2=300，x2=50，
由边长的实际意义，得x=，∴长方形纸片的长为3 cm.
∵50>49，∴>7，∴3>21.
∵=20，∴20<21，∴不能用这块纸片裁出想要的纸片.
★13. 0.45（运算能力）（人教7下P46，教材新增）长方形画纸的面积为700 cm2，长与宽的比为5∶4.王芳想从中裁出半径为12 cm的圆形画纸，她的想法可行吗？
解：设长方形画纸的长为5x cm，宽为4x cm，
则5x·4x=700，20x2=700，x2=35，
由边长的实际意义，得x=，∴长方形画纸的宽为4 cm.
∵35<36，∴<6，∴4<24.
∵2×12=24，∴不能裁出半径为12 cm的圆形画纸，
∴她的想法不可行.(共10张PPT)
第八章　实数
《实数及其简单运算》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列各数：1.414，，-，0，其中是无理数的是（　　）
A.1.414　 B.　 C.-　 D.0
2.实数-的绝对值是（　　）
A.2　 B.　 C.-　 D.-
3.的相反数是（　　）
A.-25　 B.-5 C.±5　 D.25
B
B
B
4.（2024长沙模拟）在实数1，-1，0，-中，绝对值最大的数是
（　　）
A.1 B.-1 C.0 D.-
5.对于“”，下面说法不正确的是（　　）
A.它是一个无理数
B.它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数
C.若a<D.它可表示面积为7的正方形的边长
D
B
6.（2024巴中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A.ab>0 B.a+b<0 C.|a|>|b| D.a-b<0
D
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.比较大小：-　　　　-，　　　　3.
8.若≤x≤，则整数x为　　　　.
9.计算：3 -|-|=　　　　　.
10.（2024资阳模拟）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是　　　　.
>
<
2
4-
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.把下列各数填入相应的横线上.
0.302，，，，，-，0，-160.
（1）无理数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
（2）正有理数：　　　　　　　　　　　　　　 　　　　；
（3）负实数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
，，-
0.302，
，-，-160
12.计算：
（1）+（-2）2+|-3|；　　　　　　　　
（2）-|2-|+|-|.

解： （1）原式=-3+4+3-=4-.
解：（2）原式=-（-2）+=-+2+=2.
13.已知长方形的长为12 cm，宽为3 cm，求与这个长方形面积相等的正方形的边长.
解：设这个正方形的边长为x cm，
由题意得x2=12×3，
x2=36，
x=6（舍去负值），
所以这个正方形的边长为6 cm.
14.（运算能力）阅读理解：
∵<<，即2<<3，∴的整数部分为2，小数部分为-2，
∴1<-1<2，∴-1的整数部分为1，∴-1的小数部分为-2.
解决问题：已知a是-3的整数部分，b是-3的小数部分.
（1）求a，b的值；
解：（1）∵<<，∴4<<5，
∴1<-3<2，∴a=1，b=-4.
（2）求（-a）3+（b+4）2的平方根.
解：（2）（-a）3+（b+4）2
=（-1）3+（-4+4）2
=-1+17
=16，
故（-a）3+（b+4）2的平方根是±4.(共11张PPT)
第八章　实数
微专题7　无理数的整数与小数部分的计算
（运算能力、阅读素养）
1.【例1】【阅读理解】
∵<<，即2<<3，
∴的整数部分为2，小数部分为-2，
∴1<-1<2，∴-1的整数部分为1，
∴-1的小数部分为-2.
【解决问题】（1）若a是的整数部分，b是的小数部分，则a的值为　　　　，b的值为　　　　；并求2a3+（b+3）2的平方根；
3
-3
解：（1）2a3+（b+3）2=2×33+（-3+3）2=54+10=64，
故2a3+（b+3）2的平方根是±8.
（2）若m是-3的小数部分，求m的值.
解：（2）∵<<，∴4<<5，
∴0<-4<1，
∴m=-4.
3.【观察】∵<<，即2<<3，
∴的整数部分为2，小数部分为-2.
规定符号［m］表示实数m的整数部分，
例如：=0，［］=2.
【解决问题】（1）计算：［+2］=　　　　；
5
（2）若的小数部分为a，的整数部分为b，求［a+b］的值.
解：（2）∵<<，即2<<3，
∴的整数部分是2，小数部分a=-2，
∵<<，即4<<5，
∴的整数部分b=4，
∴a+b=-2+4=+2，
∵2<<3，∴4<+2<5，∴［a+b］=4.
2.【例2】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
【解决问题】
（1）的整数部分是　　　　，小数部分是　　　　；
4　
-4
（2）若7+=x+y，其中x是整数，且0解：（2）∵3<<4，
∴10<7+<11，
∴x=10，y=7+-10=-3，
∴x-y=10-（-3）=10-+3=13-，
∴x-y的相反数为-13.
（3）已知5+的小数部分是a，5-的小数部分是b，求a+b的值.
解：（3）∵3<<4，
∴8<5+<9，1<5-<2，
∴a=5+-8=-3，b=5--1=4-，
∴a+b=-3+4-=1.
4.【问题情境】无理数的小数部分不可能全写出来，用“……”或“≈”表示都不够准确.
【尝试】智慧小组用-2来表示的小数部分，因为<<，即2<<3，所以的整数部分为2，小数部分为-2.也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间.
【解决问题】
（1）+2的整数部分是　　　　，小数部分是　　　　；
3
-1
（2）已知15+夹在两个相邻的整数之间，可以表示为a<15+解：（2）∵<<，即3<<4，
∴15+3<15+<15+4，即18<15+<19.
∵15+夹在两个相邻的整数之间，a<15+∴a=18，b=19，∴a+b=18+19=37.
（3）若-6=m+n，其中m是整数，且0解：（3）∵<<，即9<<10，
∴9-6<-6<10-6，即3<-6<4.
∵-6=m+n，其中m是整数，且0∴m=3，n=-6-3=-9，
∴n-2m=-9-2×3=-9-6=-15，
∴n-2m的绝对值为15-.

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