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(共15张PPT)
第七章　相交线与平行线
《平行线及其判定》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列说法正确的是（　　）
A.同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B.同一平面内，不相交的两条线段平行
C.不相交的两条直线是平行线
D.同一平面内，不相交的两条射线平行
A
2.（2024惠州期中）如图，不能推出a∥b的条件是（　　）
A.∠1=∠3
B.∠2=∠4
C.∠2=∠3
D.∠2+∠3=180°
C
3.（2024恩施模拟）如图，能判断AB∥CE的条件是（　　）
A.∠B=∠ACE　
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠BCA　
D.∠A=∠ACE
D
4.（人教7下P19，教材新增）如图，在下列条件中，能判断直线a∥b的是（　　）
A.∠2+∠5=180°　
B.∠2=∠4
C.∠4+∠5=180°　
D.∠1=∠3
D
5.在同一平面内有三条直线，如果要使其中有两条且只有两条平行，那么它们（　　）
A.没有交点　
B.只有一个交点
C.有两个交点　
D.有三个交点
C
6.如图，要得到DE∥BC，则需要的条件是（　　）
A.CD⊥AB，GF⊥AB　
B.∠4+∠5=180°
C.∠1=∠3　
D.∠2=∠3
C
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.如图，已知直线CD，若OA∥CD，OB∥CD，则可以判断A，O，B三点在　　　　　　，理由是　　 　　　　　　　　　　 　　 　.
同一条直线上　
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8.（跨学科融合）用“丁”字尺（长、短两尺接成丁字，两尺间夹角是90°），沿画图板的边缘移动，如图，可以过P点作直线l'平行于已知直线l，这是根据 .
同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）
9.（2024广州期末）如图，点E在AC的延长线上，请添加一个恰当的条件：　　　　　　　　 　，使AB∥CD.
∠1=∠2（答案不唯一）　
10.（2024岳阳模拟）如图，要使AB∥CD∥EF，则需∠BAC+∠ACE+∠CEF等于　　　　.
360°
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.（北师7下P47）如图，∠DAB+∠CDA=180°，∠ABC=∠1，直线AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？为什么？
解：AB∥CD，AD∥BC，理由如下：
∵∠DAB+∠CDA=180°，∴AB∥CD.
∵∠ABC=∠1，∴AD∥BC.
12.如图，AB∥EF，∠1=60°，∠2=120°，试说明CD∥EF.
解：因为∠1=60°，∠2=120°，
所以∠1+∠2=180°，所以AB∥CD.
因为AB∥EF，所以CD∥EF.
13.（2024上海联考）如图，∠ADC=∠ABC，DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠1=∠2，试说明AB∥CD.
解：因为DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，
所以∠CDE=∠ADC，∠2=∠ABC.
因为∠1=∠2，∠ADC=∠ABC，
所以∠1=∠ADC，所以∠CDE=∠1，
所以AB∥CD.
14.（人教7下P25改编，教材新增）如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M和点N，MG，NH分别平分∠AMN和∠MND，并且∠1=∠2.由这些条件能得出AB平行于CD吗？能得出MG平行于NH吗？
解：能.因为MG，NH分别平分∠AMN和∠MND，
所以∠1=∠AMN，∠2=∠MND.
因为∠1=∠2，所以∠AMN=∠MND，
所以AB∥CD.
因为∠1=∠GMN，∠2=∠MNH，
所以∠GMN=∠MNH，所以MG∥NH.(共15张PPT)
第七章　相交线与平行线
《相交线》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（　　）
A.∠2和∠3　 B.∠1和∠3
C.∠1和∠4　 D.∠1和∠2
A
2.（2024汕头一模）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是
（　　）
A.同位角 B.内错角
C.同旁内角 D.邻补角
A
3.如图，下列说法错误的是（　　）
A.∠1和∠2是内错角　
B.∠1和∠4是同位角
C.∠2和∠4是内错角　
D.∠2和∠3是同旁内角
B
4.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135°，则∠MOD等于（　　）
A.45°　 B.35°　
C.25°　 D.15°
A
5.（2024孝感一模）如图，直线a，b被直线c所截，若∠1=∠2，∠3=50°，则∠4的度数为（　　）
A.50° B.110° C.120° D.130°
D
6.如图，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD=a，CD=b，则BD的长的取值范围为（　　）
A.大于b　 B.小于a
C.大于b且小于a　 D.无法确定
C
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，
则∠2=　　　　.
25°　
8.如图，BC⊥AB，CB=3 cm，AB=4 cm，AC=5 cm，则点C到AB的距离是　　　　.
9.（北师7下P46）如图，用给定的∠1至∠5完成填空：∠1与　 　是同位角，∠2与　　　　是内错角.
3 cm　
∠4　　
∠1
10.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数是
　　　　度.
180
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.如图，点P是∠AOB的边OB上的一点.
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
解：（1）如图.
（2）如图.
（3）线段PH的长度是点P到　　　　　　　　的距离，
　　　　　　 　　是点C到射线OB的距离.因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC，PH，OC这三条线段的大小关系是　　　　　　　　　　（用“<”连接）.
射线OA　
线段CP的长度　
PH12.（1）如图，如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？
（2）如图，如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠6呢？
解：（1）∠1与∠2是内错角，
∠2与∠3是同旁内角.
（2）∠4与∠5是同位角，
∠5与∠6是对顶角.
13.（2024江门一模）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC=120°，求∠BOD的大小.
解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°-120°=60°，
又∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-60°=30°.
14.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，∠1=40°，求∠2和∠3的度数.
解：因为OF⊥CD，所以∠FOC=90°.
因为∠1=40°，AB为直线，
所以∠3+∠FOC+∠1=180°，
所以∠3=180°-90°-40°=50°.
因为∠3与∠AOD互补，所以∠AOD=180°-∠3=130°，
因为OE平分∠AOD，所以∠2=∠AOD=65°.(共19张PPT)
第七章　　相交线与平行线
第4课时　两条直线被第三条直线所截
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念.
2.（2022新课标）识别同位角、内错角、同旁内角.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
同位角的特征：两个角分别在直线AB，CD的同一侧，并且都在直线EF的同侧.举例：如图，互为同位角的是：
（1）∠1和　　　　；
（2）∠2和　　　　；
（3）∠3和　　　　；
（4）∠4和　　　　.
形状：“F”字形.
知识点 1
同位角
∠5　
∠6　
∠7　
∠8　
1.（1）（2024恩施模拟）下列图中，∠1，∠2不是同位角的是
（　　）
D
（2）如图：
①∠2和　　　　是同位角；
②　　　　和∠DAE是同位角.
∠C
∠C
（1）内错角的特征：两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧.
举例：如图，互为内错角的是：
①∠3和　　　　；
②∠4和　　　　.
形状：“Z”字形.
知识点 2
内错角、同旁内角
∠5
∠6
（2）同旁内角的特征：两个角都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁.
举例：如图，互为同旁内角的是：
①∠3和　　　　；
②∠4和　　　　.
形状：“C”字形.
∠6
∠5
2.（1）如图：
①∠1和∠D是　　　　角；
②∠CAD和∠D是　　　　角；
③∠CAD和∠C是　　　　角；
④∠EAD和∠D是　　　　角.
内错
同旁内
同旁内
内错
（2）（人教7下P8、北师7下P46改编）如图，直线a与b被c所截.
①同位角有 ；
②内错角有 ；
③同旁内角有 .
∠3与∠5，∠4与∠6
∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
∠3与∠6，∠4与∠5
3.【例1】如图，按角的位置关系填空：
（1）∠A与∠1是　　　　角；
（2）∠A与∠3是　　　　角；
（3）∠2与∠3是　　　　角；
（4）∠B与∠3是　　　　角；
（5）∠C与∠2是　　　　角.
同旁内
同位
内错
同旁内
同位
7.如图，判断对错（对的打“ √ ”，错的打“×”）：
（1）∠1与∠4是内错角；（　　）
（2）∠1与∠2是同位角；（　　）
（3）∠2与∠4是内错角；（　　）
（4）∠4与∠5是同旁内角；（　　）
（5）∠3与∠4是同位角；（　　）
（6）∠2与∠5是内错角.（　　）
×
√
×
√
√
√
4.【例2】（人教7下P7、北师7下P48改编）如图，直线DE，BC被直线AB所截.
（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
解：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，
∠1和∠4是同位角.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
解：（2）∠1和∠2相等，∠1和∠3互补，理由如下：
∵∠1=∠4，∠4=∠2，∴∠1=∠2；
∵∠1=∠4，∠4+∠3=180°，∴∠1+∠3=∠180°.
8.（人教7下P8改编）如图，直线a，b被c所截.
（1）∠1和　　　　是同位角；
（2）∠2和∠4是　　　　角；
（3）∠2和　　　　是内错角；
（4）∠2和　　　　是同旁内角；
（5）∠3和∠5是　　　　角；
（6）如果∠2=∠6，那么∠2　　　　∠4.
∠3　
同位
∠6　
∠3　
对顶
=　
5.【例3】（人教7下P9改编）如图：
（1）∠3和∠4是　　　　角， ∠1和∠2是　　 　　角；
（2）∠3和∠5是直线　　　　和　　　　被直线　　　　所截成的
　　　　角.
同位　
同旁内
　　内错
AD
BC
　BD
9.（人教7下P9改编）如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠B，∠D，∠ACE中，与∠D是同位角的是　　　　　　　　；∠2和∠4是直线　　　　和　　　　被直线　　　　所截成的　　　　角.
　内错
∠5，∠ACE
　AD
　BC
　AC
6.【例4】如图：
（1）∠4的内错角有　　　　　　；
（2）DE，AC被BC截得的同位角是 ；
（3）∠5和∠7是直线　　　　和　　　　被直线　　　　所截而成的　　　　角.
∠2，∠6
∠5和∠C
　内错
AB　
BC
　DE
★10. 如图，指出各组角各是什么位置关系的角：∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7.
0.55
解：∠1和∠2是同位角；
∠2和∠6是内错角；
∠6和∠A是同位角；
∠3和∠5是同旁内角；
∠3和∠4是内错角；
∠4和∠7是同旁内角.(共18张PPT)
第七章　相交线与平行线
第2课时　两条直线垂直（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）理解垂线的概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线.
2.（2022新课标）掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
几何直观　空间观念
推理能力　应用意识
（1）垂直的定义：
一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b　 　　　，记作“a　　　b”.
（2）垂线的定义：
两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的　　　　，它们的交点叫作　　　　.如图，AB⊥CD，垂足为点O.
知识点 1
垂线
互相垂直　
⊥
垂线　
垂足
（3）几何语言：
∵∠AOD=90°，∴AB　　　　CD.
（4）垂直是相交的一种特殊情形.
（5）画垂线.
⊥
1.（人教7下P5、北师7下P37）如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
（1） （2） （3）
结论：在同一平面内，过一点　　　　　一条直线与已知直线垂直.
如图　
有且只有
（1）垂线的性质：
两直线垂直，则它们的夹角为　　　　°.
（2）图示：
（3）几何语言：
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠AOD=∠BOD=∠BOC= °.
知识点 2
垂线的性质
90
90
2.（1）（2024广州模拟）如图，OA⊥OC，∠AOB=40°，求∠BOC的度数；
解：（1）∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-40°=50°.
（2）如图，OA⊥OB，∠BOC=130°，求∠1的度数.
解：（2）∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOC=130°，
∴∠1=∠BOC-∠AOB=130°-90°=40°.
3.【例1】（人教7下P8）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数.
解：∵EO⊥AB，∴∠BOE=90°，
∵∠EOC=35°，
∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=125°.
∴∠AOD=∠BOC=125°.
7.（2024北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，求∠EOB的大小.
解：∵OE⊥OC，∴∠COE=90°，
∵∠AOC=58°，
∴∠EOB=180°-∠COE-∠AOC
=180°-90°-58°=32°.
4.【例2】（2024中山期中）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，求∠CON的度数.
解：∵OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠COM=∠AOM=35°，
∵ON⊥OM，∴∠MON=90°.
∴∠CON=∠MON-∠COM=90°-35°=55°.
8.（2024洛阳三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC=40°，求∠DOF的度数.
解：∵∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°，
∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOD=20°，
∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-20°=70°.
5.【例3】如图，分别过点A，B画OB，OA的垂线.

如图
9.如图，已知∠AOB和OA上一点P.
（1）过点P画PC⊥OA，交OB于点C；
（2）过点P画PD⊥OB，垂足是点D.
（1）如图
（2）如图
C
D
6.【例4】（运算能力）如图，O为直线AB上一点，
且∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD.
（1）求∠AOC的度数；
（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
解：（1）∵∠BOC=3∠AOC，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+3∠AOC=180°，解得∠AOC=45°.
（2）OD⊥AB.理由如下：
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOC=2×45°=90°，∴OD⊥AB.
★10. （运算能力）如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的平分线.
（1）判断射线OD，OE的位置关系，说明理由；
0.45
解：（1）OD⊥OE，理由如下：
∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COD=∠COA，∠COE=∠COB，
∴∠EOD=∠COA+∠COB=∠AOB=90°，
∴OD⊥OE.
（2）若∠AOD=30°，试说明OC为∠AOE的平分线；
（3）若∠AOD∶∠AOE=2∶11，则∠BOE的度数为　　　　.
解：（2）∵∠AOD=30°，
∴∠COA=60°，∠COD=30°，
∴∠COE=90°-30°=60°，
∴∠COE=∠COA，
∴OC为∠AOE的平分线.
70°(共17张PPT)
第七章　相交线与平行线
微专题4　与相交线、平行线有关的计算
（运算能力、推理能力）
1.【例1】如图，直线AB，CD，OE相交于点O，∠3-∠2=63°.
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠1=∠2，求∠2的度数.
类型一 对顶角、邻补角中的计算
解：（1）∵∠3=∠BOC，∠BOC=∠COE+∠2，
∴∠3=∠COE+∠2，
∵∠3-∠2=63°，∴∠COE=∠3-∠2=63°.
（2）由（1）知∠COE=63°，
∵∠1=∠2，∴∠2=（180°-∠COE）÷2=58.5°.
7.如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM=88°，射线ON在∠BOM的内部.
（1）求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC=4∠NOB，求∠NOB的度数.
解：（1）∵OC平分∠AOM，且∠AOM=88°，
∴∠AOC=∠COM=∠AOM=44°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-44°=136°.
（2）∵∠AOD=136°，∴∠BOC=136°，
∵∠BOC=4∠NOB，∴∠NOB=136°÷4=34°.
2.【例2】（2024天水三模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM=40°，求∠NOD的度数.
类型二 垂线中的计算
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=40°，
∴∠AOM=∠MOC=40°，
∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-40°=50°，
∴∠NOD=180°-∠CON=180°-50°=130°.
8.（2024福建模拟）如图，直线AB，EF相交于点D，CD⊥AB.若∠ADE∶∠BDE=1∶5，求∠CDF的度数.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ADE∶∠BDE=1∶5，
∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=×180°=30°，
∴∠BDF=∠ADE=30°，
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=90°+30°=120°.
3.【例3】如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
类型三 平行线的性质中的计算
解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ABC，
∵∠1=54°，∴∠ABC=54°，
∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=108°，
∵AB∥CD，∴∠BDC=180°-∠ABD=72°，
∴∠2=∠BDC=72°.
9.（2024恩施模拟）如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE=10°，∠ADC=120°，求∠AFE的度数.
解：∵AB∥CD，∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°-∠ADC=60°，
∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠DAB-∠DAE=50°，
∵AF平分∠BAE，∴∠FAB=∠BAE=25°，
∵AB∥EF，∴∠AFE=∠FAB=25°.
4.【例4】（跨学科融合）为了保护眼睛，小明将台灯更换为护眼台灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB.经使用发现，当∠DCB=140°时，台灯光线最佳，此时∠EDC的度数为　　 .
类型四 平行线的拐点问题中的计算
130°
10.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠EAB=98°，∠ABC=162°，则∠BCD的度数是
　　　　.
116°
5.【例5】（2024唐山二模）如图，桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°.将△ECD沿直线l向左平移到如图的位置，使E点落在AB上，即点E'，点P为AC与E'D'的交点.
类型五 平移图形中的计算
（1）求∠CPD'的度数；
（2）求∠BE'D'的度数.
解：（1）由平移的性质知DE∥D'E'，
∴∠CPD'=∠CED=60°.
解：（2）由平移的性质知CE∥C'E'，∠CED=∠C'E'D'=60°，
∴∠BE'C'=∠BAC=30°，
∴∠BE'D'=∠BE'C'+∠C'E'D'=90°.
11.（2024龙岩模拟）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F.
（1）若∠DAC=62°，求∠F的度数；
解：（1）∵△DEF是由△ABC沿射线BC方向平移得到的，
∴AC∥DF，AD∥BF，
∴∠ACB=∠F，∠DAC=∠ACB.
∵∠DAC=62°，∴∠F=∠DAC=62°.
（2）若BC=9 cm，当AD=2EC时，求EC的长.
解：（2）由平移可知AD=BE，
又∵AD=2EC，
∴BE=2EC，∴BC=3EC.
∵BC=9 cm，
∴3EC=9 cm，∴EC=3 cm.
6.【例6】（北师7下P55改编）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯.已知楼梯的竖直高度BC为3.6 m，水平跨度为AB，且BC∶AB=3∶4.
（1）至少需要多长的地毯？
类型六 平移应用中的计算
解：（1）∵BC=3.6 m，BC∶AB=3∶4，
∴AB=4.8 m，
由平移的性质得3.6+4.8=8.4（m）.
答：至少需要8.4 m长的地毯.
（2）若所铺设的地毯每平方米售价为30元，楼梯的宽度为2 m，则至少需要多少元钱去购买地毯？
解：（2）由（1）得8.4×2×30=504（元）.
答：至少需要504元钱去购买地毯.
12.已知小正方形的边长为3 cm，大正方形的边长为6 cm，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1 cm/s的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t s，两个正方形重叠部分的面积为S cm2.
（1）当t=1.5时，S的值为　　　　；
（2）当S=6时，求小正方形平移的时间t.
4.5
解：（2）S=6时，重叠部分图形的宽为6÷3=2（cm），
①如图1，小正方形平移的距离为2 cm；
②如图2，小正方形平移的距离为6-2+3=7（cm）.
∴小正方形平移的距离为2 cm或7 cm，∴t=2或7.
综上所述，小正方形平移的时间为2 s或7 s.(共14张PPT)
第七章　相交线与平行线
微专题3　相交线、平行线的
跨学科情境应用（回归教材）
【概述】2022版新课标中加大了数学学科的跨学科融合，强调“要探索命制问题解决及多学科融合类试题”.2023年广东省考的第13题、第18题，2024年广东省考的第6题、第21题就是跨学科融合，我们要关注这种新动向.
1.【例1】（人教7下P15、北师7下P39）如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，可以通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论的是　　 　（填序号）.
①∠2=90°；　　②∠3=90°；
③∠4=90°；　　④∠5=90°.
①②③④
7.（人教7下P15）如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，下列添加的条件中，正确的是（　　）
A.∠2=90°
B.∠3=90°
C.∠4=90°
D.∠5=90°
C
2.【例2】（人教7下P19、北师7下P57）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠A=135°，第二次拐的角∠B是多少度？
解：第二次拐的角∠B是135°.
8.（人教7下P36、北师7下P47改编）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，右拐15°行驶，若行驶到C处仍按正东方向行驶，则他在C处应该（　　）
A.左拐15° B.右拐15°
C.左拐165° D.右拐165°
A
3.【例3】（人教7下P19）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC.如果∠ABC=31°，∠ADE应为多少度？为什么？
解：∠ADE应为31°，理由如下：
∵∠ADE=31°，∠ABC=31°，
∴∠ABC=∠ADE，∴DE∥BC.
9.（人教7下P15改编、北师7下P48）如图，一块玻璃不小心被打碎了，只有AB一条边是直的，为了废物利用，工人师傅要把它裁成一块长方形，先用一把直尺作EF⊥AB，MN⊥AB，这样裁剪以后，EF和MN是否平行？并说明理由.
解：EF和MN平行，理由如下：
∵EF⊥AB，MN⊥AB，
∴∠EFB=∠MNF=90°，
∴EF∥MN.
4.【例4】（北师7下P50）（2024深圳改编）如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？为什么？
解：（1）∵AB∥DE，∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠4.
解：（2）BC与EF平行，理由如下：
∵∠2=∠4，∴BC∥EF.
10.（人教7下P38改编、北师7下P58）如图，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑球撞入袋中，此时∠1=∠2，并且∠2+∠3=90°.如果∠3=30°，那么∠1应等于多少度，才能保证黑球直接入袋？
解：∵∠3=30°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=60°.
∵∠1=∠2，∴∠1=60°.
答：∠1应等于60°，才能保证黑球直接入袋.
5.【例5】（北师7下P40）如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象.
（1）图中∠1与∠2是对顶角吗？
（2）若∠1=43°，∠2=30°，求光的传播方向改变的度数.
解：（1）∠1与∠2不是对顶角.
解：（2）∵∠1=43°，∴∠1的对顶角为43°，
∵∠2=30°，∴43°-30°=13°，
故光的传播方向改变的度数为13°.
11.（人教7下P20）光线在不同的介质中传播的速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=122°，求图中其他角的度数.
解：由题意得AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF，
根据平行线的性质可得
∠1+∠7=180°,∠3+∠8=180°,∠1=∠3，
∠2+∠5=180°,∠4+∠6=180°,∠2=∠4.
∵∠1=45°,∠2=122°，
∴∠3=45°,∠7=135°,∠8=135°,∠4=122°,∠5=58°,∠6=58°.
6.【例6】（人教7下P21）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（∠1=∠2，∠3=∠4），请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.
解：∵两面镜子是互相平行的，∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4，即∠5=∠6，
∴进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.
12.（人教7下P25改编）如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1=∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3=∠4，且AB∥CD.求证：MN∥EF.
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，
∵∠1+∠ABC+∠2=∠3+∠BCD+∠4=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠3，∴MN∥EF.(共20张PPT)
第七章　相交线与平行线
第11课时　平移
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.
2.（2022新课标）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
3.（2022新课标）运用图形的平移进行图案设计.
几何直观　空间观念
推理能力　应用意识
（1）平移的定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向
　　　　一定的距离，这样的图形运动叫作平移.
（2）平移的方向：图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移.
（3）示例：
①平移的方向：如图，平移的方向为射线AA'的方向；
②平移的距离：如图，平移的距离为平移前后对应点的连线的长度，即线段AA'的长度.
知识点 1
平移的定义及要素
移动
1.（2024东莞一模）把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（　　）
C
（1）新图形与原图形的形状和大小完全 .
延伸：
①平移前后对应的线段　　　　（或在同一直线上）且　　　　；
②平移前后对应的角　　　　 .
知识点 2
平移的性质
相同
平行　
相等
相等
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段　　　　（或在同一直线上）且　　　　.
平行　
相等
2.（人教7下P27，教材新增、北师8下P66）如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH.
（1）CD=　　　　；（2）HE=　　　　；
（3）∠F=　　　　；（4）∠D=　　　　；
（5）DA∥　　　　；（6）AB∥　　　　；
（7）DH=　　　　=　　　　=　　　　，这四条线段的位置关系是
　　　　.
GH　
DA
∠B　
∠H　
HE
平行
EF　
CG　
AE
BF
平面内平移作图的关键步骤如下：
（1）找：找出平移的方向和距离；
（2）定：对照具体图形，确定关键点；
（3）移：按照既定方向和距离平移图形中的关键点；
（4）连：按原图形顺序连接对应关键点.
知识点 3
平面内平移作图
3.（人教7下P27、北师8下P66）如图，平移三角形ABC，使点A移动到A'，画出平移后的三角形A'B'C'，并写出平移的方向和平移的距离.
解：如图，三角形A'B'C'即为所求.平移的方向是射线AA'的方向，平移的距离是线段AA'的长度.（平移方向和距离答案不唯一）
4.【例1】在下列图案中，不能用平移得到的图案是（　　）
A
9.下面四个花窗图案中，运用了“平移”制作的是（　　）
C
5.【例2】如图，在方格纸中，有一个△ABC.
（1）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF（A，B，C的对应点依次为D，E，F）；
（2）连接AD，BE，则AD与BE的位置关系是　　　　　；
（3）AD与BE的大小关系是　　　　　.
图略
AD∥BE
AD=BE
10.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的格点重合.
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△A1B1C1，请在方格纸中画出△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积为　　　　.
图略
3
6.【例3】（人教7下P29，教材新增）如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A'，画出平移后的四边形A'B'C'D'.
解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求.
11.（人教7下P29，教材新增）如图，将四边形ABCD沿箭头方向平移1 cm，画出平移后的四边形A'B'C'D'.
图略
7.【例4】如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为（　　）
A.50°　 B.100°　
C.45°　 D.30°
D
12.（人教7下P29改编，教材新增）（2024广州二模）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE=3，则BF等于（　　）
A.6
B.7
C.8
D.9
B
8.【例5】（2024东营）如图，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为　　 cm.
30
★13. （运算能力）（2024甘肃三模）如图，在Rt△ABC中，BC=7，把△ABC沿射线AB方向平移4个单位长度至△EFG处，EG与BC交于点M.若CM=3，则图中阴影部分的面积为
　　　　.
0.45
22(共17张PPT)
第七章　相交线与平行线
《定义、命题、定理，平移》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列句子不是命题的是（　　）
A.两直线平行，同位角相等
B.直线AB垂直于CD吗
C.若|a|=|b|，则a2=b2　
D.同角的补角相等
B
2.（2024珠海模拟）下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是（　　）
A.32 B.16
C.8 D.4
D
3.如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是（　　）
A.BC∥EF　 B.AD=BE　
C.BE∥CF　 D.AC=EF
D
4.如图，△FDE经过怎样的平移可得到△ABC（　　）
A.沿射线EC的方向移动DB长
B.沿射线EC的方向移动CD长
C.沿射线BD的方向移动BD长
D.沿射线BD的方向移动DC长
A
5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，下列结论错误的是（　　）
A.AC∥DF B.∠DEF=90°
C.AC=DF D.EC=CF
D
6.下列图形中，周长最长的是（　　）
B
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.如图，一只小金鱼从右边游到左边，需向左游　　　格.
8　
8.如图，在△ABC中，BC=5 cm，将△ABC沿BC方向平移至△A'B'C'的位置时，B'恰好经过BC的中点，则△ABC平移的距离为　 　cm.
2.5　
9.如图，△ABC经过平移得到△DEF，那么图中平行且相等的线段有
　　　对；若∠BAC=50°，则∠EDF=　　　　.
6
　50°
10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=10.将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为　　　　.
　30
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.判断下列语句是不是命题；是命题的，指出是真命题还是假命题（是假命题的，举一个反例）.
（1）如果一个数能被5整除，那么这个数也能被10整除；
解：（1）是命题，是假命题，反例：15.
（2）两个锐角的和是直角；
（3）如果∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ相等.
解：（2）是命题，是假命题，反例：50°和60°.
解：（3）是命题，是真命题.
12.（人教7下P24改编）如图，∠A=∠CEF，∠1=∠B，求证：DE∥BC.
证明：∵∠A=∠CEF，
∴EF∥AB，∴∠EFC=∠B，
∵∠1=∠B，
∴∠EFC=∠1，∴DE∥BC.
13.如图，△ABC的顶点都在每个方格边长为1个单位长度的方格纸的格点上，将△ABC向右平移3格，再向上平移2格.
（1）请在图中画出平移后的△A'B'C'；
解：（1）如图.　
（2）△ABC的面积为　　　　；
（3）若AB的长约为5.4，求AB边上的高的长（结果保留整数）.
3
解：（3）设AB边上的高为h，
则AB·h=3，
即×5.4h=3，解得h≈1.
14.如图，某小区有一块长方形的草地，长18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的小路，求草地的实际面积.
解：由平移，得草地的实际面积为
（18-2）×（10-2）=16×8=128（平方米）.(共18张PPT)
第七章　相交线与平行线
第1课时　两条直线相交
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）理解对顶角、补角等概念.
2.（2022新课标）探索并掌握对顶角相等的性质.
3.通过在图形中辨认对顶角、邻补角，培养学生的识图能力.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
（1）定义：
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为 .
（2）性质：邻补角　　　　.
几何语言：∵如图，∠1与∠2是邻补角，
∴　　　　　　　　　　.
（3）温馨提示：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.
知识点 1
邻补角及其性质
邻补角
互补
∠1+∠2=180°
1.（1）下图中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
D
（2）（2024重庆三模）如图，O是直线AB上一点.若∠BOC=26°，则∠AOC=（　　）
A.154° B.144° C.116° D.64°
A
（1）定义：
有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为　 　　　.
（2）性质：对顶角　　　　.
几何语言：
∵如图，∠1与∠2是对顶角，
∴　　　　　　　　.
（3）温馨提示：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角.
知识点 2
对顶角及其性质
对顶角
相等　
∠1=∠2
2.（1）（人教7下P3改编）下图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
B
（2）（北师7下P36）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角度数.若测量时OA指向40°，则所量角是　　　度，你的依据是 ；
40　
对顶角相等
（3）（2024日照）如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1=40°，∠2=120°，则∠COM的度数为（　　）
A.70° B.80° C.90° D.100°
B
3.【例1】（核心教材母题：人教7下P3、北师7下P39）如图，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
核心教材母题：教材是新中考命题的依据，近年来广东省中考数学卷中都有较多题的素材来源于人教版和北师大版.本书将两个版本重合的教材母题进行汇总，并作为课堂例习题呈现.
7.如图，AB与CD相交于一点，若∠2+∠4=140°，则∠1=　　　　°，∠4=　　　　°.
110　
70
4.【例2】（人教7下P9）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC=70°，求∠BOD的度数.
解：∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=∠EOC，
∵∠EOC=70°，∴∠AOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°.
8.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=50°.
（1）求∠AOD的度数；
（2）求∠DOE的度数.
解：（1）∵∠AOC=50°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=130°.
（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠DOE=∠AOD=65°.
5.【例3】如图，AB，CD相交于点O，∠2=2∠1，求∠3的度数.
解：∵∠1+∠2=180°，∠2=2∠1，
∴∠1+∠2=∠1+2∠1=180°，
∴∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°.
9.（人教7下P3，教材新增）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC∶∠BOC=2∶7，求∠BOC，∠AOD的度数.
解：∵∠AOC∶∠BOC=2∶7，
∴∠BOC=180°×=140°，
∴∠AOD=∠BOC=140°.
6.【例4】（运算能力）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOE=15°，∠BOC=2∠AOC，求∠DOF的度数.
解：∵∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC=2∠AOC，
∴2∠AOC+∠AOC=180°，
∴3∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-15°=45°，
∴∠DOF=∠EOC=45°.
★10. 0.45（人教7下P9改编）（运算能力）如图，AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOC∶∠AOD=2∶3，求∠BOE的度数.
备注：每课时带★的题目为提高题.（难度系数越小，题目越难）
解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC∶∠AOD=2∶3，
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠AOD=∠AOD=180°，
∴∠AOD=108°，∴∠BOC=108°，
∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE=∠BOC=54°.(共7张PPT)
第七章　相交线与平行线
母题探源　《相交线与平行线》
教材母题精选（北师大版）
1.（北师7下P53知识技能）如图，AB∥CD，CD∥EF，
∠1=∠2=60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？
解：∵AB∥CD，∠1=60°，
∴∠A=180°-∠1=120°，
∵CD∥EF，∠2=60°，
∴∠E=180°-∠2=120°，
∴∠A=∠E.
2.（北师7下P53知识技能）如图，AC平分∠BAD，∠1=∠2，哪两条线段平行？说明理由.
解：AB∥CD.理由如下：
∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠1，
∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠2，∴AB∥CD.
3.（北师7下P53知识技能、人教7下P37综合运用）如图，AC∥ED，AB∥FD，∠A=64°，求∠EDF的度数.
解：∵AC∥ED，∠A=64°，∴∠BED=∠A=64°，
∵AB∥FD，∴∠EDF=∠BED=64°.
4.（北师7下P42尝试·思考、人教7下P6思考）如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，图略，在D处开沟，才能使沟最短.理由：垂线段最短.
5.（北师7下P57数学理解）如图.（说明理由）
（1）如果a∥b，那么图中各角之间有哪些相等关系；
（2）如果要使c∥d，那么需要哪两个角相等？
解：（1）∠1=∠2=∠3，理由如下：
∵a∥b，∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3.
（2）需要∠4=∠6或∠3=∠5或∠1=∠5，理由如下：
∵∠4=∠6，∴c∥d；
或∵∠3=∠5，∴c∥d；
或∵∠1=∠5，∠1=∠3，∴∠3=∠5，∴c∥d.
6.（北师7下P54问题解决）林湾乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，水渠从C村沿什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？
解：如图：
由题意得∠1=65°，
当CE保持与AB的方向一致，
则CE∥BD，可得∠NCE=∠CBD=25°+65°=90°，
又由题意得∠NCF=25°，则∠FCE=65°，
故水渠从C村沿北偏东65°方向修建，可以保持与AB的方向一致.(共22张PPT)
第七章　相交线与平行线
第10课时　定义、命题、定理
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义.
2.（2022新课标）结合具体实例，会区分命题的条件和结论.
3.（2022新课标）知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑.
4.（2022新课标）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
（1）定义：对数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义.
（2）命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.
（3）命题的形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式.
（4）命题由　　　　和　　　　两部分组成.
题设是已知事项.
结论是由已知事项推出的事项.
知识点 1
定义、命题
题设　
结论
（5）提示：
①命题是陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题；
②命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断.
1.下列语句是命题的是（　　）
A.延长线段AB B.正方形是圆的
C.作直线l D.平行线和垂线
B
2.（人教7下P23，教材新增）指出下列命题的题设和结论：
（1）若a=b，则5a=5b；
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
解：（1）题设：a=b；结论：5a=5b.
解：（2）题设：AB⊥CD，垂足为O；结论：∠AOC=90°.
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；
（4）两直线平行，同位角相等.
解：（3）题设：∠1=∠2，∠2=∠3；结论：∠1=∠3.
解：（4）题设：两直线平行；结论：同位角相等.
（1）真命题：被判断为　　　　（或真）的命题叫作真命题；（题设成立，结论一定成立）
（2）假命题：被判断为　　　　（或假）的命题叫作假命题.（题设成立，不能保证结论一定成立）
知识点 2
真命题、假命题
正确
错误
3.（2024东莞一模）下列命题中，真命题是（　　）
A.一个角的补角一定大于这个角
B.两点之间，直线最短
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.相等的角是对顶角
C
（1）定理：正确性经过推理证实的　　　　命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.
提示：定理都是真命题，而真命题不一定是定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
（3）反例：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
知识点 3
定理、证明、反例
真
4.（人教7下P37、北师7下P53）填推理依据.
如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B，
求证：∠C=∠D.
证明：∵∠A=∠B，
∴AC∥BD（　 　　　　　　　　　　），
∴∠C=∠D（　 　　　　　　　　　　）.
内错角相等，两直线平行　
两直线平行，内错角相等
5.（人教7下P24）命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：命题“同位角相等”不正确.
反例：如图，∠DAC与∠B是同位角，但∠DAC>∠B.
6.【例1】把命题写成“如果……那么……”的形式.
（1）等角的补角相等；

（2）两条直线相交只有一个交点.
解：（1）如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.
解：（2）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
10.写出下列命题的题设和结论.
（1）两点确定一条直线；

（2）负数之和仍为负数.
解：（1）题设：平面内有两个点；结论：这两点确定一条直线.
解：（2）题设：几个负数相加；结论：它们的和为负数.
7.【例2】（人教7下P24，教材新增）下列语句哪些是命题？哪些是真命题？
（1）如果a=b，b=c，那么a=c；
（2）等角的补角相等；
（3）过一点作直线l的垂线；
（4）两个锐角的和是钝角.
解：（1）（2）（4）是命题；
（1）（2）是真命题.
11.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举出一个反例.
（1）（2024宿迁三模）若a2>b2，则a>b；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）一个角的余角小于这个角.
解：（1）假命题，反例如：a=-3，b=0，则9>0，即a2>b2，但是-3<0，即a解：（2）真命题.
解：（3）假命题，反例如：∠α=20°，则∠α的余角为70°，显然70°>20°，即∠α的余角大于∠α.
8.【例3】（北师8上P196改编）如图，AB∥CD，AM平分∠EAB，CN平分∠ECD.求证：AM∥CN.
证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=　　　 （　　　　　　　　　　　　　），
∵AM平分∠EAB，CN平分∠ECD，
∴∠EAM=∠EAB，∠ECN=　　 　　，
∴∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN（ ）.
　同位角相等，两直线平行
∠ECD
　两直线平行，同位角相等
　∠ECD
12.（人教7下P25，教材新增）如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG∥FH.
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD（ ），
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴　　　　=∠AEF，　　　　=∠EFD，
∴　　　　=　　　　，
∴EG∥FH（　　　　　　　　　　　　）.
　内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
　∠GEF
　∠HFE
　∠GEF
∠HFE
9.【例4】如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题.
①CE∥AB；②∠A=∠B；③CE平分∠ACD.
（1）由上述条件可得哪几种真命题？请按“ ”的形式一一书写出来；
解：（1）有3种真命题，分别是：
命题1：①② ③；
命题2：①③ ②；
命题3：②③ ①.
（2）根据（1）中的真命题，选择一个进行证明.
解：（2）选择命题2：①③ ②.
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE,
∴∠A=∠B.
★13. 如图，已知点A，B，C在一条直线上.
（1）请从三个条件：①AD∥BE，②∠1=∠2，③∠A=∠E中，选两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：　　　　，结论：　　　　；（填序号）
（2）证明你所构建的是真命题.
0.40
①②　
③
证明：（2）∵AD∥BE，∴∠A=∠EBC，
∵∠1=∠2，∴DE∥BC，
∴∠E=∠EBC，∴∠A=∠E.
（答案不唯一）(共17张PPT)
第七章　相交线与平行线
第6课时　平行线的判定（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件.会运用条件判定两直线平行.
2.（2022新课标）掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
3.（2022新课标）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
（1）平行线的判定1：
　　　　　　相等，两直线平行.
（2）图示：（“F”字形）
（3）几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
知识点 1
平行线的判定1
同位角
∠1=∠2　
a∥b
1.（人教7下P13、北师7下P42）如图，我们已经学过用直尺和三角尺画平行线，在这一过程中，a∥b的根据是 .
同位角相等，两直线平行
（1）①平行线的判定2：
　　　　　　相等，两直线平行.
②图示：（“Z”字形）
③几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
知识点 2
平行线的判定2，3
内错角
∠1=∠2　
a∥b
（2）①平行线的判定3：
　　　　　　互补，两直线平行.
②图示：（“C”字形）
③几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
同旁内角
∠1+∠2=180°　
a∥b
2.（1）（2024武威三模）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（　　）
B
（2）（2024福建模拟）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB.下列条件中，能得到a∥b的是（　　）
A.∠1=∠2
B.∠1=∠3
C.∠1+∠4=180°
D.∠1+∠3=180°
D
3.【例1】如图，已知∠1=50°，∠2=50°.试说明a∥b.
解：∵∠1=50°，∠2=50°（已知），
∴　　　　　　　 （　　　　　　　 ）.
∴　　　　　　　
（　　　　　　　　　　　　　　 　）.
　a∥b
∠1=∠2
　等量代换
同位角相等，两直线平行
7.如图，已知∠1=65°，∠2=65°，试说明a∥b.
解：∵∠1=65°，∠2=65°（已知），
∴　　　　　　　 （　　　　　　　 ）.
∴　　　　　　　
（　　　　　　　　　　　　　　 　）.
内错角相等，两直线平行
∠1=∠2　
等量代换
　a∥b
4.【例2】（跨学科融合）（人教7下P35）如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？
解：说管道AB∥CD是对的.理由如下：
∵∠ABC=120°，∠BCD=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD.
8.（人教7下P14、北师7下P50）如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC的延长线上一点.
（1）如果∠B=∠DCG，那么　　　∥　　　，
理由是　　　　　　　　　　　　；
（2）如果∠DCG=∠D，那么　　　∥　　　，
理由是　　　　　　　　　　　　；
（3）如果∠DFE+∠D=180°，那么　　　∥　　　，
理由是　 　　　　　　　　　　　.
　同旁内角互补，两直线平行
AB
　CD
同位角相等，两直线平行
AD
　BC
内错角相等，两直线平行
AD
EF
5.【例3】如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=∠2，图中有哪几组平行线？并说明理由.
解：AC∥BD，AE∥BF，理由如下：
∵∠1=∠2，∴AC∥BD.
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC=∠FBD=90°，
又∠1=∠2，∴∠EAB=∠FBQ，
∴AE∥BF.
9.如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=55°，∠2=55°，∠3=125°，找出图中的平行线，并说明理由.
解：AB∥CD，AC∥BD，理由如下：
∵∠1=55°，∠2=55°，
∴∠1=∠2，∴AB∥CD.
∵∠1=55°，∠3=125°，
∴∠1+∠3=180°，∴AC∥BD.
6.【例4】（人教7下P24改编）如图，完成下列推理：
（1）∵∠1=∠C，
∴　　　　∥　　　　
（ ）；
（2）∵∠2=∠BED，
∴　　　　∥　　　　
（ ）；
（3）∵∠A+∠　　　　=180°，
∴AF∥DE（ ）.
　同位角相等，两直线平行
ED
　AC
　内错角相等，两直线平行
AB　
FD
同旁内角互补，两直线平行
AED　
★10. （北师7下P53改编）如图，已知∠1=∠3，∠2+∠3=180°，请说明AB与DE平行.
解：将∠2的邻补角记作∠4，
则∠2+∠4=　　　　° （ ）.
∵∠2+∠3=180°（　　　 　），
∴ （　　　　　　　　　　　　）.
∵∠1=∠3（已知），∴　　　　　（ ），
∴AB∥DE（ ）.
0.50
　　同位角相等，两直线平行
180
邻补角的定义
已知　
同角的补角相等
∠1=∠4
　等量代换
∠3=∠4　(共15张PPT)
第七章　相交线与平行线
《平行线的性质》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，若∠FEB=110°，则∠EFD等于（　　）
A.50° B.60° C.70° D.110°
C
2.如图，直线c截两平行直线a，b，则下列式子一定成立的是
（　　）
A.∠1=∠5 B.∠1=∠4
C.∠2=∠3 D.∠1=∠2
A
3.如图，下列说法正确的是（　　）
A.若AD∥BC，则∠1=∠2
B.若AD∥BC，则∠1=∠4
C.若AD∥BC，则∠3=∠4
D.若AB∥CD，则∠1=∠2
A
4.（2024东莞三模）如图是某品牌躺椅的侧面示意图，其中a∥b，当∠BAC=62°，∠1=50°时，人躺着最舒服，则此时∠2的度数为
（　　）
A.52° B.58°
C.62° D.68°
D
5.（2024江门一模）如图，已知∠1=∠2，∠3=140°，则∠4的度数为（　　）
A.40° B.50°
C.60° D.140°
A
6.如图，在△ABC中，∠C=90°.若BD∥AE，∠DBC=30°，则∠CAE的度数为（　　）
A.40° B.60°
C.70° D.80°
B
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.如图是斜体的“土”字，横线AB∥CD，已知∠1=75°，则∠2=
　　　　.
105°　
8.（跨学科融合）（2024自贡模拟）如图是凸透镜成像原理图，已知物AB和像DC都与主光轴BC垂直，∠BAO=63°，则∠ODC的度数为
　　　　.
63°
9.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM=　　　　°.
30
10.如图，AD平分∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=82°，则∠B=
　　　　°.
49
三、解答题（每小题9分，共36分）
11.（人教7下P20，教材新增）图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
解：原理是使用对顶角量角器时，由于直尺有一定的宽度，测量的角与被测零件的角不是对顶角，还需要通过“两直线平行，同位角相等”“对顶角相等”进行角的等量代换，进而得出被测零件的角的度数.
12.（2024广州一模改编）完成下面的证明（在括号中注明理由）.
如图，已知∠A+∠D=180°，∠B=∠D，试说明AD∥BE.
解：∵∠A+∠D=180°（已知），
∴AB∥　　　　（　　　　　　　　　　　　　），
∴∠B=　　　　（　　　　　　　　　　　　　）.
∵∠B=∠D（已知），
∴∠D=　　　　（等量代换），
∴AD∥BE（　　　　　　　　　　　　　）.
　内错角相等，两直线平行
CD
同旁内角互补，两直线平行
∠DCE
两直线平行，同位角相等
∠DCE
13.如图，∠1=40°，∠2=40°，∠B=75°，求∠BAD的度数.
解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=75°，
∴∠BAD=180°-∠B=105°.
14.（北师8上P186改编）如图，AB∥CD，∠BAE=30°，∠ECD=60°，求∠AEC的度数.
解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1=∠BAE=30°，
∠2=∠ECD=60°，
∴∠1+∠2=30°+60°=90°，
即∠AEC的度数为90°.(共19张PPT)
第七章　相交线与平行线
第5课时　平行线的概念
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）理解平行线的概念.
2.（2022新课标）掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
3.（2022新课标）能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
4.（2022新课标）了解平行于同一条直线的两条直线平行.
几何直观　空间观念
推理能力　应用意识
（1）如图，在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：
　　　　与　　　　.
注意：①垂直是相交的一种特殊情况；
②重合的直线只视为一条直线.
知识点 1
平行线
相交　　
平行
（2）平行的定义：
在同一平面内，与直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行，记作a　　　　b.
∥
1.下列图形中，是平行线的画“√”.
√
√
√
（1）平行线的画法：（如图）
（2）画平行线的步骤：
借助直尺和三角尺画平行线，具体步骤是一　　　、二　　　、
三　　　、四　　　.
知识点 2
平行线的画法
　　推　
放
靠
画
2.（1）如图1，过点P画直线b∥a；
（2）如图2，过点P画直线m∥l.
解：（1）如图1，即为所画.
解：（2）如图2，即为所画.
（1）平行线的基本事实：过直线外一点有且只有　　　　条直线与
这条直线平行.
（2）平行线的基本事实的推论（传递性）：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相　 　　.
简称：平行于同一条直线的两条直线　　　　.
几何语言：∵如图，b∥a，c∥a，∴　　　　.
知识点 3
平行线的基本事实及推论
一　
平行　
平行
b∥c
3.（1）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O，M，N三点共线，理由是 　 ；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
（2）（人教7下P12、北师7下P43）如图，过点B画直线a的平行线，能画出几条？再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？
解：如图，过点B画直线a的平行线b，能画出1条.
如图，过点C画直线a的平行线c，它和前面过点B画出的直线b平行.
4.【例1】如图，AB∥CD，F是DB上一点，过F作EF∥AB.EF与CD的位置关系是什么？为什么？
解：EF∥CD，理由如下：
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD.
8.如图，AB∥CD，过点E作EF∥CD，EF与AB平行吗？为什么？
解：EF与AB平行，
理由：∵AB∥CD，EF∥CD，
∴EF∥AB.
5.【例2】如图，在方格纸中，按要求画图：
（1）过点A作BC的平行线；
（2）过点C作AB的平行线，与（1）中所画的平行线交于点D.
如图
D
9.如图，在方格纸中，按要求画图：
（1）过点A作BC的平行线；
（2）过点B作AC的平行线交（1）中所画的平行线于点D.
如图　
D
6.【例3】（人教7下P12，教材新增）用直尺和三角尺画平行线：
（1）如图1，过点A画MN∥BC；
（2）如图2，过点C画CE∥DA，
与AB交于点E；过点C画CF∥DB，
与AB的延长线交于点F.
解：（1）如图1，即为所画.
解：（2）如图2，即为所画.
10.读下列语句，按要求画图：
（1）如图1，过点A作AF∥CE交BC于点F；
（2）如图2，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.
解：（1）如图.
解：（2）如图.
F
E
7.【例4】（跨学科融合）如图是“探究光的反射规律”的装置.将一张可以沿ON折叠的长方形硬纸板ABCD垂直放置在平面镜上（折叠成2个小长方形），让一束光紧贴硬纸板射向镜面上的O点，可在ABCD平面内看到反射光线.实验中无论怎样折叠长方形硬纸板，AD和BC的位置关系如何？为什么？
解：总有AD∥BC，理由如下：
∵四边形ADON是长方形，
∴AD∥NO.
∵四边形BCON是长方形，
∴BC∥NO，∴AD∥BC.
★11. 如图.
（1）过点C画CE∥AD交AB于点E；
（2）过点B画BF∥AD交DC的延长线于点F；
（3）试判断CE和BF的位置关系，并说明为什么.
0.50
解：（1）如图.
（2）如图.
（3）CE和BF平行，
理由：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(共17张PPT)
第七章　相交线与平行线
第9课时　平行线的判定和
性质的综合运用
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
能熟练地运用平行线的判定与性质进行推理和计算.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
知识点 1
平行线的判定回顾
文字语言 符号语言 图示
（1）同位角　　　　，两直线平行 ∵∠1=∠2， ∴a∥b
（2）内错角　　　　，两直线平行 ∵∠1=∠2， ∴　　　　　
（3）同旁内角　　　，两直线平行 ∵ ， ∴ 　
相等
相等
a∥b
互补　
∠1+∠2=180°　
a∥b
1.（人教7下P36改编）如图，∠ACB=90°，∠A=35°，∠BCD=55°.试说明AB∥CD.
解：∵∠ACB=90°，∠BCD=55°，
∴∠ACD=145°，
∵∠A=35°，∴∠A+∠ACD=180°，
∴AB∥CD.
知识点 2
平行线的性质回顾
文字语言 符号语言 图示
（1）两直线平行，同位角　　　 ∵a∥b， ∴∠1=∠2
（2）两直线平行，内错角　　　 ∵a∥b， ∴　　　　　
（3）两直线平行，同旁内角　　　 ∵　　　　　　， ∴　　 　　　
相等
相等
∠1=∠2
互补　
a∥b　
∠1+∠2=180°
2.（北师7下P53改编）如图显示了某品牌汽车的图标中直线间的关系，其中AC∥BD，AE∥BF，那么∠A与∠B相等吗？为什么？
解：∠A与∠B相等.理由如下：
∵AC∥BD，AE∥BF，
∴∠A=∠DOE，∠DOE=∠B，
∴∠A=∠B.
知识点 3
平行线的判定和性质的区别与联系
平行线的判定 平行线的性质
是以角的相等或互补为前提，推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系” 描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”
3.（人教7下P17，教材新增）如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？
解：直线c与d平行.理由如下：
∵a∥b，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴c∥d（同位角相等，两直线平行）.
4.【例1】（人教7下P17、北师8上P179）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（1）试说明DE∥BC；
（2）求∠C的度数.
解：（1）∵∠ADE=60°，∠B=60°，
∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.
（2）∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，
∵∠AED=40°，∴∠C=40°.
8.（人教7下P18，教材新增）如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？
解：∵∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∴∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠3=50°，∴∠ABC=50°.
5.【例2】（人教7下P18，教材新增）如图，如果直线a∥b，∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？为什么？
解：平行.理由如下：
∵∠1+∠2=180°，
∴a∥c（同旁内角互补，两直线平行）.
又∵a∥b，
∴b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）.
9.（人教7下P18，教材新增）如图，AB∥CD，且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？
解：平行.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠1=∠2，
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠EBC=∠BCF，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）.
6.【例3】如图，已知AD∥FE，∠1=∠2.试说明DG∥AC.
解：∵AD∥FE，∴∠1=∠DAC，
∵∠1=∠2，∴∠2=∠DAC，
∴DG∥AC.
10.（2024北京模拟）如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A=∠1.试说明EF平分∠BED.
解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB=∠EFD=90°，
∴∠ACB+∠EFD=180°，∴EF∥AC，
∴∠A=∠2，∠3=∠1.
∵∠A=∠1，∴∠2=∠3，
∴EF平分∠BED.
7.【例4】（北师8上P177改编）如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A.
（1）试说明FE∥OC；
（2）若∠BFE=110°，∠A=60°，则∠B的度数为　　　　.
解：（1）∵AB∥CD，∴∠A=∠C，
∵∠1=∠A，∴∠C=∠1，
∴FE∥OC.
50°
★11. （1）如图1，a∥b，则∠1+∠2=　 　　；
（2）如图2，a∥b，
则∠1+∠2+∠3= ；
（3）如图3，a∥b，
则∠1+∠2+∠3+∠4=　　 　；
（4）如图4，a∥b，
根据以上结论，试探究
∠1+∠2+∠3+…+∠n=　　　　　　.
0.35
180°　
360°　
540°　
（n-1）·180°(共9张PPT)
第七章　相交线与平行线
微专题1　平行线的四大模型拓展（模型思维）
模型一 铅笔型
模型
结论 结论1：若AB∥CD，则∠B+∠BED+∠D=360°；
结论2：若∠B+∠BED+∠D=360°，则AB∥CD
1.如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB=120°，则∠ECD的度数是（　　）
A.120°　 B.100°
C.150°　 D.160°
C　
（模型来源——人教8上P17、北师8上P186）
模型二 燕尾型
模型
结论 结论1：若AB∥CD，则∠BED=∠B+∠D；
结论2：若∠BED=∠B+∠D，则AB∥CD
2.如图，直线AB∥CD，∠1=136°，∠E为直角，则∠C等于
（　　）
A.42°　 B.44°　
C.46° D.48°
C　
（模型来源——人教8上P17、北师8上P186）
模型三 锄头型
模型
结论 结论1：若AB∥CD，则∠E=∠B-∠D；
结论2：若∠E=∠B-∠D，则AB∥CD
3.如图，已知AB∥CD，∠A=54°，∠E=18°，则∠C的度数是
（　　）
A.36°　 B.34°　
C.32°　 D.30°
A　
（模型来源——北师8上P180）
模型四 犀牛角型
模型
结论 结论1：若AB∥CD，则∠E=∠ABE-∠D；
结论2：若∠E=∠ABE-∠D，则AB∥CD
4.如图，AB∥EF，∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD=　 　.
【总结】平行线中辅助线总结：过拐点作已知直线的平行线，简单说成：逢“拐点”作平行.一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线.
30°(共12张PPT)
第七章　相交线与平行线
母题变式　《相交线与平行线》
教材难题生长题（人教版）
近两年广东中考省卷中，压轴大题大多由教材的课后难题整合演变而来，因此，我们在平时的练习中除了要加强对教材母题的训练，还要关注母题的变式，特别是难题的变式拓展.本书特在章末精选人教版教材中的难题进行解析，并拓展生长出新题，帮助学生更好地掌握难题和提升思维.
1.【例】（人教7下P30拓广探索）（抽象能力、推理能力、应用意识）如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线.求这块草地青草覆盖的面积.
解题思路：根据平移，可把左右草地合并，得到草地的实际长度.
教材难题
解：∵小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，
∴路的宽度是1米，
∴左右草地合并后草地的长是（a-1）m，
∴这块草地青草覆盖的面积为b（a-1）m2.
2. 图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段AB向上平移1米到线段A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）.
难题生长
0.40
（1）问题解决：设图1、图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，则S1=　　平方米，并比较大小：S1　　S2（填“>”“=”或<”）；
（2）动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分；
40　
=
解：（2）如图，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求（答案不唯一）.
（3）联想探索：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是　　　　 平方米（用含a，b的式子表示）；
（4）实际运用：如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，求剩余的耕地面积.
a（b-1）或（ab-a）
解：（4）（32-4）×（20-4）
=448（平方米）.
答：剩余的耕地面积是448平方米.
3.【例】（人教7下P38拓广探索、北师7下P58问题解决改编）（几何直观、推理能力、应用意识）一张台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D.如果PQ∥SR，AB，BC，CD都是直
线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于SR，那么，球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？
教材难题
解题思路：先判定BN∥CM，再根据平行线的性质、角平分线的定义得出∠ABC=∠BCD，从而判定结果.
解：CD∥AB，理由如下：
∵CM⊥SR，∴∠MCR=90°，
∵PQ∥SR，∴CM交PQ所成的角为90°，
∵BN⊥PQ，∴∠QBN=90°，
∴BN∥CM，∴∠CBN=∠BCM，
又∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCD，
∴∠ABC=2∠CBN，∠BCD=2∠BCM，
∴∠ABC=∠BCD，∴CD∥AB.
4. 学行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2=90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.”试着“玩”起数学来.
【基础巩固】（1）小组将条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°.”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由；
难题生长
0.25
解：（1）认同，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∴2∠1+2∠2=180°，∴∠1+∠2=90°.
【尝试探究】（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若∠2=22°，求∠1的度数；
解：（2）∵CP⊥AC，∴∠2+∠ACD=90°，
∵∠2=22°，∴∠ACD=90°-∠2=68°，
∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAC=180°-∠ACD=112°，
∵AP平分∠BAC，∴∠1=∠BAC，∴∠1=56°.
【拓展提高】（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，试说明∠1+2∠2=90°.
证明：（3）∵CP平分∠ACD，∴∠ACD=2∠2，
∵AP⊥AC，∴∠CAP=90°，
∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，
又∵∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2=180°，∴∠1+2∠2=90°.(共34张PPT)
第七章　相交线与平行线
第12课时　《相交线与平行线》单元复习
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）邻补角的性质：邻补角　　　　.
（2）对顶角的性质：对顶角　　　　.
（3）垂线的性质：①在同一平面内，过一点　　　　　一条直线与已知直线垂直；
②两直线垂直，则它们的夹角为　 　°.
（4）垂线段的性质：垂线段　　　　.
（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
知识点 1
相交线
互补　
相等
有且只有
90　
最短
1.（2024广州三模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC=42°，则∠AOM=　　　　°.
159
2.如图，点O在直线AB上，点C，D在直线AB的异侧，且OC⊥OD.若∠BOC=20°，则∠AOD的度数为　　　　.
110°
知识点 2
同位角、内错角、同旁内角
三线八角 形状 图示
同位角 “F”字形
内错角 “Z”字形
同旁内角 “C”字形
3.（2024天水三模）如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（　 ）
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
D
（1）基本事实：过直线外一点有且只有 条直线与已知直线平行.
（2）推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相　　　　.
知识点 3
平行线的判定和性质
一
平行
（3）平行线的判定和性质
判定 性质 图示
同位角相等， 两直线平行 两直线平行， 同位角相等
内错角相等， 两直线平行 两直线平行， 内错角相等
同旁内角互补， 两直线平行 两直线平行， 同旁内角互补
4.若直线l1∥l，l2∥l，则（　　）
A.l1∥l2　 B.l1⊥l2
C.l1与l2相交　 D.以上都不对
A
5.（2024广东）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　）
A.120° B.90°
C.60° D.30°
C
6.（2024福建二模）如图，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠4的度数是
（　　）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
C
（1）平移前后对应的线段　　　　（或在同一直线上）且　　　　.
（2）平移前后对应的角　　　　.
（3）连接平移前后各组对应点的线段　　　　（或在同一直线上）且　　　　.
知识点 4
平移的性质
平行　
相等
相等
平行　
相等
7.下列图形可由平移得到的是（　　）
B
8.（2024武威二模）如图，△ABC沿BC方向平移后得到△DEF，已知BC=10，EC=3，则平移的距离为　　　　.
7
9.【例1】（2024江门一模）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（　　）
A.∠1和∠4
B.∠3和∠5
C.∠2和∠3
D.∠1和∠3
D
17.如图，∠2的同位角有　　 　　，∠4的内错角有　 　　　，∠5的同旁内角有　　　　 .
　∠1和∠3　
∠1和∠3
∠2和∠4
10.【例2】（2024阳江一模）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（　　）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
18.（2024广州一模）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B=90°，点C在直线n上.若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
D
11.【例3】“垂直于同一直线的两直线平行”的题设是
，
结论是　　　　　　　　　　.
两直线都垂直于同一条直线
　这两条直线平行
19.命题“等角的余角相等”的题设是　　　　　　　　　　　，
结论是　　　　　　　　.
两个角是等角的余角　
这两个角相等
12.【例4】如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.
证明：∵AC∥DE，∴∠2=∠ACD，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACD，
∴AB∥CD.
20.（2024常州一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.求证：∠E=∠ECD.
证明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，
∵∠B=∠D，∴∠EAD=∠D，
∴BE∥CD，∴∠E=∠ECD.
13.【例5】（2024广州期中）如图，AB∥CD，AE，DF分别是∠BAO，∠CDO的平分线，求证：AE∥DF.
证明：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠CDO，
∵AE，DF分别是∠BAO，∠CDO的平分线，
∴∠EAO=∠BAO=∠CDO=∠FDO，
∴AE∥DF.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=80°.
（1）求∠BAD的度数；
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=80°，∴∠BAD=100°.
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD=50°，求证：AE∥DC.
证明：（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAD=50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=50°，
∵∠BCD=50°，
∴∠AEB=∠BCD，∴AE∥DC.
14.【例6】如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）∠AOC与∠BOD的大小关系是 ，判断的依据是
　 　 　；
（2）若∠COF=32°，求∠BOD的度数.
对顶角相等
相等
解：（2）∵∠COE=90°，∠COF=32°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°.
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=58°，
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=58°-32°=26°，
∴∠BOD=∠AOC=26°.
22.如图，直线AB，CD交于点O，OE为∠BOD的平分线，OF⊥OE，CG∥OE，∠C=30°.
（1）∠AOE的度数为　　　　；
（2）求证：∠FOA=∠FOD.
150°
证明：（2）∵OE为∠BOD的平分线，CG∥OE，
∴∠BOE=∠DOE=∠C=30°，
∴∠AOD=180°-（∠BOE+∠DOE）=120°，
∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，
∴∠FOD=90°-∠DOE=60°，
∴∠FOA=∠AOD-∠FOD=60°，∴∠FOA=∠FOD.
15.【例7】如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将△ABC向下平移4个单位长度，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'向右平移5个单位长度，得到△A″B″C″.请你画出△A'B'C'和△A″B″C″（不要求写画法）.
图略
23.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度.
（1）将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，画出△A'B'C'；
（2）连接AC'，BC'，则△ABC'的面积为　　　　.
图略
7.5
16.【例8】（运算能力）（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC=58°，则∠BCE=　　　　；
②如图2，在①的条件下，若CM平分∠BCD，则∠DCM=　　　　；
③如图3，在①②的条件下，若CN⊥CM，则∠BCN=　　　　；
122°
29°　
61°
（2）如图4，AB∥CD，∠B=42°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数.
解：（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE=180°，
∵∠B=42°，∴∠BCE=180°-∠B=138°.
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN=138°÷2=69°.
∵CN⊥CM，
∴∠BCM=90°-∠BCN=21°.
★24. （北师8上P186改编）如图1，AB∥CD，E—O—F是直线AB，CD间的折线.
（1）求证：∠EOF=∠BEO+∠DFO；
0.35
证明：（1）如图1，作OM∥AB，
∴∠1=∠BEO，
∵AB∥CD，∴OM∥CD，
∴∠2=∠DFO，
∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
（2）如图2，若将折一次改为折两次，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足如下数量关系：∠EOP+∠PFC　 ∠BEO+∠OPF，
证明你的结论.
=
证明：（2）如图2，作OM∥AB，PN∥CD，
∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.(共11张PPT)
第七章　相交线与平行线
新课标新题型　综合实践与探究
2023年广东中考省卷首次考查“综合与实践”，第20题以教材中制作无盖正方体形纸盒为主题；2024年广东中考省卷再次考查“综合与实践”，第21题以教材中圆锥形漏斗为主题，难度逐年提升.
（2024广东，第21题，9分）综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图1所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
真题重现
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明；
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积（结果保留π）.
（该题所涉及知识将在今后学习到，此处不用解答）
1.（素材来源：人教7下P32数学活动、北师7下P48数学理解）综合与实践.
【主题】过直线外一点画该条直线的平行线.
【素材】一张正方形白纸、一把直尺.
【步骤】学行线以后，小陈同学想出了过直线外一点画该条直线的平行线的新，他是通过折纸做的，过程如图1.
教材拓展
【类比操作】（1）①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果，无需写画法；
②在图1的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的
　　　　线；
解：（1）①如图，直线b即为所画.
垂
【拓展应用】（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，求证：BE∥CF（写出每步的依据）.
证明：（2）∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴2∠2=2∠3（等量代换），
∴∠2=∠3（等式的性质），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）.
2.（素材来源：人教7下P33数学活动、北师7下P58问题解决）综合与实践.
【主题】设计非常美丽的窗格图案.
【素材】几张正方形白纸.
【操作】步骤1：如图1，窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格），是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.
步骤2：如图2，在设计美丽的窗格活动中，小辰仿照书上的例子设计了一个窗格图案.
【实践活动】（1）请用交错的线段在正方形纸片上设计类似于如图2所示的窗格图案；
【规律探究】（2）如图3的图案是晋商大院窗格的一部分，其中“ ”代表窗纸上所贴的剪纸，按此规律，第10个图中所贴剪纸“ ”的个数为　　　　；
略
32
【艺术鉴赏】（3）如图4是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.该图形是将一个菱形（四边相等、对边平行）截去一个边长为原来一半的菱形，再镶嵌、着色而成，求图中∠ABC的度数；
解：（3）∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，
∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°.
【学科拓展】（4）中国历史上有名的军师诸葛亮，曾率精兵与司马懿对阵.诸葛亮一挥扇子，军阵瞬时由图5中甲变为乙，其实他只平移了其中的3颗棋子（3个三角形），请你指出其中的奥秘.
解：（4）如图，平移3个三角形即可.(共20张PPT)
第七章　　相交线与平行线
第7课时　平行线的判定（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.进一步掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题.
2.初步了解推理论证的，会正确地书写简单的推理过程.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
（1）同位角　　　　，两直线平行.
（2）内错角　　　　，两直线平行.
（3）同旁内角　　　　，两直线平行.
知识点 1
平行线的判定回顾
相等
相等
互补
（4）（人教7下P20、北师7下P43）如图，当∠1=∠2时，直线a，b平行吗？为什么？
解：当∠1=∠2时，a∥b，理由如下：
如图，∵∠1=∠2，且∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴a∥b.
1.（1）（2024汕头模拟）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是
（　　）
A.∠1=∠2
B.∠3=∠4
C.∠5=∠6
D.∠5+∠BCD=180°
A
（2）如图，如果∠D=∠EFC，那么（　　）
A.AD∥BC　
B.EF∥BC
C.AB∥DC　
D.AD∥EF
D
（3）（2024甘肃模拟）将一副三角板如图摆放，则　 　∥　　 ，理由是　　　　　　　　　　　　.
　内错角相等，两直线平行
BC　
ED
平行线的基本事实的推论（传递性）：　 的两条直线互相平行.
知识点 2
平行线的基本事实的推论（传递性）回顾
平行于同一条直线
2.（人教7下P18改编、北师7下P46改编）如图，直线a，b，c被直线l所截，量得∠1=∠2=∠3.
（1）从∠1=∠2可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
解：（1）∵∠1=∠2，∴a∥b，
根据是同位角相等，两直线平行.
（2）从∠2=∠3可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
（3）直线a，b，c互相平行吗？根据是什么？
解：（2）∵∠2=∠3，∴b∥c，
根据是内错角相等，两直线平行.
解：（3）∵a∥b，b∥c，∴a∥c，∴a∥b∥c.
根据是平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.【例1】（人教7下P20、北师7下P52）如图，当∠1+∠2=180°时，直线a，b平行吗？为什么？（可尝试用多种解答）
解：当∠1+∠2=180°时，a∥b，理由如下：
如图，∵∠1+∠2=180°，且∠3+∠2=180°，
∴∠1=∠3，∴a∥b.（其他略）
7.如图，CE⊥DG，垂足为C，∠BAF=60°，∠ACE=150°.试说明CD∥AB.
解：∵CE⊥DG，∴∠ECG=90°，
∵∠ACE=150°，
∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=60°，
∵∠BAF=60°，∴∠BAF=∠ACG，
∴AB∥DG，即CD∥AB.
4.【例2】如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°.试说明EF∥BC.
解：∵∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，
∵∠D+∠DFE=180°，∴AD∥EF，∴EF∥BC.
8.如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°.试说明AC∥FG.
解：∵∠1=∠2，∴AC∥DE.
∵∠3+∠4=180°，∴DE∥FG，
∴AC∥FG.
5.【例3】如图，点A，B，E在同一直线上，已知AD平分∠CAE，∠C=∠2.试说明AD∥BC.
解：∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2.
∵∠C=∠2，∴∠1=∠C，∴AD∥BC.
9.（2024贵港二模）将一副三角尺按如图拼接，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
（1）试说明CF∥AB；
解：（1）∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE.
∵∠DCE=90°，∴∠1=45°.
∵∠3=45°，∴∠1=∠3，
∴CF∥AB.
（2）求∠DFC的度数.
解：（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°-30°-45°=105°.
6.【例4】如图，当∠B+∠D=∠BED时，AB∥CD吗？请说明理由.
解：AB∥CD，理由如下：
如图，过点E作∠BEF=∠1，∴EF∥AB.
∵∠1+∠2=∠BED，∠BED=∠BEF+∠DEF，
∴∠2=∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD.
★10. 如图，若∠B+∠BCD+∠D=360°，则AB∥ED，为什么？
0.40
解：如图，过点C作FC使∠1=∠B，∴FC∥AB.
∵∠1+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF=180°，
∵∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠FCD+∠D=180°，
∴FC∥ED，∴AB∥ED.(共19张PPT)
第七章　相交线与平行线
第8课时　平行线的性质
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
2.（2022新课标）探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.
3.能用平行线的性质进行简单的推理和计算.
几何直观　推理能力
模型观念　应用意识
平行线的性质1
文字语言：两直线平行，同位角　　　　.
图示：（“F”字形）
几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
知识点 1
平行线的性质1
　∠1=∠2
相等
　a∥b
1.（2024揭阳模拟）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A.40°　 B.50°
C.60°　 D.70°
B
（1）平行线的性质2
文字语言：两直线平行，内错角　　　　.
图示：（“Z”字形）
几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
知识点 2
平行线的性质2，3
∠1=∠2
相等
　a∥b　
（2）平行线的性质3
文字语言：两直线平行，同旁内角　　　　.
图示：（“C”字形）
几何语言：
∵　　　　　　　　，
∴　　　　　　　　.
　∠1+∠2=180°
互补
　a∥b
2.如图，a∥b，若∠1=110°，则∠2的度数是　　　　.
3.（2024广州）如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1=71°，则∠2的度数为　　　　.

70°
109°
4.（人教7下P17，教材新增）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是　　　　　（填序号）.
①∠1=∠2；
②∠4+∠5=180°；
③∠1+∠4=90°；
④∠4+90°=∠3.
①②③④
5.【例1】（人教7下P17、北师7下P56）如图，直线a∥b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？
解：∵∠1=54°，∴∠2=∠1=54°，
∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠2=180°-54°=126°，
∵a∥b，∴∠4=∠2=54°.
9.（人教7下P17改编）如图，已知DE∥BC，∠B=65°，∠C=56°，求∠ADE和∠DEC的度数.
解：∵DE∥BC，∠B=65°，∠C=56°，
∴∠ADE=∠B=65°，∠AED=∠C=56°，
∴∠DEC=180°-∠AED=180°-56°=124°.
6.【例2】（人教7下P20改编，教材新增）如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1=60°，求∠2的度数.
解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CEF，
∵CE∥GF，∴∠2=∠CEF，
∴∠2=∠1，
∵∠1=60°，∴∠2=60°.
10.（人教7下P25改编）（2024陕西）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，求∠D的度数.
解：∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，
∵BC∥DE，∴∠C=∠D，
∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=145°，∴∠D=35°.
7.【例3】（北师8上P177改编）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠C=40°，求∠D的度数.
解：∵AB∥CD，∠C=40°，
∴∠ABC=∠C=40°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=80°，
∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D=180°，∴∠D=100°.
11.如图，已知OE是∠AOB的平分线，CD∥OB，∠ACD=40°，求∠CDE的度数.
解：∵CD∥OB，
∴∠AOB=∠ACD=40°.
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠BOD=∠AOB=20°.
∵CD∥OB，∴∠CDO=∠BOD=20°.
∴∠CDE=180°-20°=160°.
8.【例4】（北师8上P186改编）如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，直线EO，FO相交于直线AB，CD之间的一点O.
（1）过点O画直线MN，使MN∥CD；
解：（1）如图，MN为所作.
（2）直线MN与AB平行吗？为什么？
（3）判断∠BEO，∠DFO，∠EOF之间的关系.
解：（2）∵AB∥CD，MN∥CD，
∴MN∥AB.
解：（3）∠BEO+∠DFO=∠EOF.理由如下：
∵AB∥MN，∴∠BEO=∠MOE，
∵MN∥CD，∴∠DFO=∠FOM，
∴∠BEO+∠DFO=∠MOE+∠FOM，
即∠BEO+∠DFO=∠EOF.
★12. （运算能力）如图，已知AB∥CD.
（1）若∠B=130°，∠D=152°，求∠BED的度数；
0.40
解：（1）如图，作FE∥AB，
∵AB∥CD，∴CD∥EF，
∴∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
又∵∠B=130°，∠D=152°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF
=180°-130°+180°-152°
=78°.
（2）猜想∠B+∠BED+∠D的度数，并说明理由.
解：（2）∠B+∠BED+∠D=360°，理由如下：
由（1）可知AB∥CD∥EF，
∴∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
∴∠B+∠BED+∠D
=∠B+∠BEF+∠DEF+∠D
=180°+180°
=360°.(共5张PPT)
第七章　相交线与平行线
微专题2　过直线外一点作这条直线的平行线
（课标新增）
【核心教材母题】人教7下P32数学活动、北师7下P45
学行线后，李明同学想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新的，他是这样做的（如图），请说明其中的道理.
解：∵∠2=∠1，∴利用同位角相等，两直线平行，可判定c∥a.
【教材母题变式】
1.（人教7下P32）刘伟同学想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新的，他是这样做的（如图），请说明其中的道理.
解：∵PQ⊥a，l⊥a，RS=PQ，
∴利用平行线间的距离处处相等，可判定b∥a.
2.（人教7下P32、北师7下P48）王芳同学想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新的，她是这样做的（如图）.
（1）在步骤（2）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的
　　　　线；
（2）在步骤（4）中，请说明b∥a的道理.
垂
解：（2）如图，由折叠可知∠1=∠2.
∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠2=90°.
同理∠3=∠4=90°，∴∠3=∠2=90°，
∴b∥a.
3
P
4
1
2
a(共21张PPT)
第七章　相交线与平行线
第3课时　两条直线垂直（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）理解垂线段的概念.
2.了解垂线段最短的性质.
3.（2022新课标）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
几何直观　空间观念　推理能力
模型观念　应用意识
（1）定义：
连接直线外一点与垂足的线段叫作垂线段.
（2）如图，线段PA为垂线段.
（3）垂线段的性质：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：　　　　　　最短.
知识点 1
垂线段
垂线段
1.（1）（2024惠州模拟改编）如图，若要在河堤两岸搭建一座桥，则搭建方式中最短的是线段　　　　.
PN
（2）如图，PB⊥m，垂足为B，A为直线m上异于B的点，则PB垂线段最短
（1）定义：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，即垂线段的长度.
（2）如图，点P到直线l的距离就是线段 的长度.
注意：距离是一个数量概念.
知识点 2
点到直线的距离
PA
（3）区别垂线、垂线段、点到直线的距离
垂线 垂线段 点到直线的距离
是直线， 不可以度量长度 是线段， 可以度量 是线段的长度，
是一个数量，有单位
2.（1）如图，已知△ABC是直角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（　　）
A.线段AB的长
B.线段AD的长
C.线段CD的长
D.线段AC的长
C　
（2）（2024黔南州一模）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=5 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，则点P到直线l的距离是　　　　.
4 cm
3.（人教7下P6，教材新增）如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离.
解：如图，即为所作，量距离略.
4.【例1】（人教7下P6、北师7下P40）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是 .
垂线段最短
8.（跨学科融合）（人教7下P9、北师7下P39）如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，怎样测量他的成绩呢？请你画一画，其依据是　　　　　　　.
垂线段最短
图略（画靠后的脚印后跟到起跳线的垂线段）　
5.【例2】如图，一辆汽车在平直的公路上由M向N行驶，A，B分别是位于公路MN两侧的村庄.设汽车行驶到公路MN上点P的位置时，距离村庄A最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄B最近，请在图中的直线MN上分别画出点P，Q的位置.
解：如图.
9.如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，问抽水站D应建在何处，才能使铺设的水管最短？在图中画出来.
解：如图，D即为所求作.
6.【例3】（人教7下P6改编）如图，BC⊥AB，CB=6 cm，AB=8 cm，AC=10 cm，则A，C两点间的距离是　　　　，点A到BC的距离是
　　　　，点C到AB的距离是　　　　.
　8 cm　
10 cm
6 cm
10.如图，AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC=6，则点C到AB的距离是 ，点A到BC的距离是　　 ，点B到CD的距离是　 　，A，B两点间的距离是 .
　6.4　
4.8
　6
10
7.【例4】（跨学科融合）如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB同侧的两所学校.
（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？在图中标出来；
解：（1）如图，当汽车行驶到点P处时，对M学校影响最大；
当汽车行驶到点Q处时，对N学校影响最大.
（2）汽车在哪一段上对两所学校影响逐渐增大？哪一段影响逐渐减小？哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？
解：（2）由A向P行驶时，对两所学校影响逐渐增大；
由Q向B行驶时，对两所学校影响逐渐减小；
由P向Q行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大.
★11. 如图，D为△ABC的边BC的中点，试说明2S△ABC≤BC·AD.
0.40
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.
∵S△ABC=BC·AE，∴2S△ABC=BC·AE，
∵垂线段最短，∴AE为点A到BC的最短距离，
∵D为△ABC的边BC的中点，∴AE≤AD，
∴BC·AE≤BC·AD，即2S△ABC≤BC·AD.

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