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(共9张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
《一元一次不等式》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知a>b，下列关系式一定正确的是（　　）
A.a22.（2024河北）下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.不等式3x+2<2x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
D
A
D
4.某商品进价为900元，出售时标价为1 100元，要保持利润率不低于10%，则至多可打（　　）
A.6折　 B.7折 C.8折　 D.9折
5.三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是
（　　）
A.39　 B.36 C.35　 D.34
6.不等式>-1的正整数解有（　　）
A.1个　 B.2个 C.3个　 D.4个
D
B
D
二、填空题（每小题6分，共24分）
7.如果a8.用适当的不等式表示下列关系：
（1）a是非负数：　　　　　　　　；
（2）x与2的差不足15：　　　　　　　　.
9.（跨学科融合）某药品说明书上标明药品保存的温度是（10±4）℃，设该药品合适的保存温度为t，则温度t的范围是　　　　　　　.
10.当x　　　　时，代数式+1的值小于的值.
>
a≥0
x-2<15
6 ℃≤t≤14 ℃　
<23
三、解答题（每小题8分，共40分）
11.解不等式：≤-1，并把解集表示在数轴上.
解：去分母，得4（2x-1）≤3（3x+2）-12，
去括号，得8x-4≤9x+6-12，
移项，得8x-9x≤6-12+4，
合并同类项，得-x≤-2，
系数为1，得x≥2.
在数轴上表示为：
12.（人教7下P144，教材新增）若a是一个实数，比较a与2a的大小.
解：分三种情况讨论：
①若a<0，则a>2a；
②若a>0，则a<2a；
③若a=0，则a=2a.
13.（北师8下P63改编）已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数，求k的取值范围.
解：3k-5x=-9，-5x=-9-3k，x=，
∵关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数，
∴≥0，解得k≥-3，
∴k的取值范围是k≥-3.
14.当x取何值时，代数式-的值不小于1？
解：根据题意得-≥1，
去分母，得3（3x-5）-7（x+4）≥21，
去括号，得9x-15-7x-28≥21，
移项，得9x-7x≥21+28+15，
合并同类项，得2x≥64，
系数为1，得x≥32.
故当x≥32时，代数式-的值不小于1.
15.（北师8下P49）学校准备用2 000元购买名著和辞典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元.现已购买名著20套，最多还能买多少本辞典？
解：设还能买x本辞典，根据题意得
20×65+40x≤2 000，解得x≤17.
答：最多还能买17本辞典.(共20张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第3课时　不等式的性质（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.理解解不等式的概念.
2.熟练运用不等式的性质解不等式.
3.感受不等式在实际生活中的应用.
运算能力　几何直观　
模型观念　应用意识
解不等式就是借助不等式的性质1，2，3对不等式两边进行变形，使其逐步为x>m或　　　　（m为常数）的形式，据此我们可以在数轴上表示出不等式的解集.
知识点 1
解不等式
x1.（北师8下P41）用不等式的性质解不等式：
（1）x-5>-1； （2）-2x>3.
x>4　
x<-1.5
（1）符号“>”读作　　　　；
符号“≥”读作　　　　　　　　，
也可以说是　　　　　　.

（2）符号“<”读作　　　　；
符号“≤”读作　　　　　　　　，
也可以说是　　　　　　.
知识点 2
表示大小关系的符号
　大于或等于　
大于
不小于
小于或等于　
小于　
不大于
2.（人教7下P128，教材新增）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集.
x≥-2　
x<3
-13.（2024深圳期末）小明一家驾驶一辆小轿车经过某段高速公路时看到该段路的限速规定如图所示，则小明家的车辆经过该路段的速度v（千米/小时）应满足的条件是（　　）
A.v≤120
B.v≤100
C.60≤v≤120
D.v≥60
C
示例：下面列出的不等式中，正确的是（　　）
A.“m不是正数”表示为m<0
B.“m不大于3”表示为m<3
C.“n与4的差是负数”表示为n-4<0
D.“n不等于6”表示为n>6
知识点 3
不等式的应用
C
4.某校开通“云课堂”授课模式，网课学习的要求是每周听课时长至少达到480分钟算合格.小飞前3天平均每天听课时长为90分钟，问小飞后2天平均每天听课时长不得少于多少分钟才能合格？
解：设小飞后2天平均每天听课时长为x分钟，
根据题意，得3×90+2x≥480，解得x≥105.
答：小飞后2天平均每天听课时长不得少于105分钟才能合格.
5.【例1】（人教7下P126、北师8下P41改编）用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示.
（1）x-7>26；　 （2）3x<2x+1；
x>33　
x<1
（3）x>50；　 （4）-4x>3.
小结：不等式成“x>m”或“xx<-
x>75
数轴略.
8.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示.
（1）x-2<3； （2）6x<5x-1；
x<5　
x<-1　
（3）3x-2≥x+4； （4）1-x≥x-2.
x≥3　
x≤　
数轴略.
6.【例2】（人教7下P129）用不等式表示下列不等关系，并写出解集.
（1）x的3倍大于1；
（2）x与3的和不小于7；
3x>1，即x>.
x+3≥7，即x≥4.
（3）y的小于或等于-2；
（4）y的2倍小于y与1的差.
小结：理解题意，列不等式并求解.
y≤-2，即y≤-8.　
2y9.用不等式表示下列不等关系，并写出解集.
（1）y的一半大于-8；
（2）7减去x的2倍的差不大于-1；
y>-8，即y>-16.
7-2x≤-1，即x≥4.
（3）y的八分之一与y的和不超过5；
（4）一个数x与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和.
y+y≤5，即y≤.
x-（-4）≥2x+5，即x≤-1.
7.【例3】（人教7下P127）如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.
小结：根据题意列不等式，注意结合实际.
解：因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，
所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7，解得V≤210.
又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
★10. （人教7下P130改编）（运算能力）根据等式和不等式的基本性质，可以得到比较两数大小的：
若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；
若a-b<0，则a这种比较大小的称为“求差法比较大小”.
请运用这种尝试解决下面的问题：
比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小.
0.50
解：∵4+3a2-2b+b2-（3a2-2b+1）=b2+3>0，
∴4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1.(共18张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第2课时　不等式的性质（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）探索不等式的基本性质.
2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用.
抽象能力　运算能力　推理能力
模型观念　应用意识
（1）交换不等式两边，不等号的方向改变.
符号语言：如果a>b，那么b例如：由3>x，可得x<3.
（2）不等关系可以传递.
符号语言：如果a>b，b>c，那么a>c.
例如：由x>y，y>-5，可得x>-5.
知识点 1
与不等式有关的基本事实
1.已知甲同学的身高为x cm，乙同学的身高为y cm，且甲同学比乙同学高.若用不等式表示他们的身高关系，则这个式子可以表示为
　　 　.
2.（2024山东模拟改编）已知a”或“<”填空：
（1）a　　　　0；
（2）ab　　　　0；
（3）a+b　　　　0.
x>y（或y<
>
<
（1）不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向　　　　.
符号语言：如果a>b，那么a±c　　　　b±c.
（2）不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个　　　　，不等号的方向　　　　.
符号语言：如果a>b，c>0，那么ac　　　　bc（或　　　　　　）.
（3）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个　　　　，不等号的方向　　　　.
符号语言：如果a>b，c<0，那么ac　　　　bc（或　　　　　　）.　
知识点 2
不等式的性质
不变　
>　
　>
正数
不变　
>　
　　<
负数　
改变
<
3.（人教7下P125，教材新增、北师8下P42改编）已知a>b，比较下列式子的大小，并在括号里填写依据：
（1）a+3　　　　b+3（ ）；
（2）a-3　　　　b-3（ ）；
（3）　　　 （ ）；
（4）-2a　　　　-2b（ ）.
　不等式的性质1
>
>
　不等式的性质1
>
　不等式的性质2
不等式的性质3
<　
4.（2024广州）若aA.a+3>b+3
B.a-2>b-2
C.-a<-b
D.2a<2b
D
5.（人教7下P125，教材新增）已知p>q，用“>”或“<”填空，并说明依据：
（1）p+2m　　　　q+2m；
（2）4p+1　　　　4q+1.
依据是不等式的性质1.
>　
依据是不等式的性质2和不等式的性质1.
>　
6.【例1】利用不等式的性质，填“>”或“<”.
（1）若x>y，则x-10　　　　y-10；
（2）若y<4，则-2y　　　　-8；
（3）若a0，则k+a　　　　k+b；
（4）若-m>-n，则m　　　　n；
（5）若a>b，则2a+1　　　　2b+1；
（6）若a0，则ac+c　　　　bc+c.
小结：熟练应用不等式的性质，注意什么时候要变号.
>
>
<
<
>
<
9.如果xA.2x<2y　 B.-2x<-2y
C.x-1>y-1　 D.x+1>y+1
A
10.判断以下各题的结论是否正确（填“ ”或“×”）：
（1）若b-3a>0，则b<3a；（　　）
（2）若a>b，则2a>2b；（　　）
（3）若-4x>20，则x>-5；（　　）
（4）若a（5）若a>b，则ac2>bc2；（　　）
（6）若ac2 >bc2，则a>b.（　　）
×
√　
×
×
×
√　
7.【例2】（人教7下P125，教材新增）已知m>3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
（1）m+5；　
（2）；　
解：由不等式的性质1，得m+5>3+5，即m+5>8.
解：由不等式的性质2，得>，即>.
（3）-2m；　
（4）3m-4.
小结：先判断m的取值的变，再根据不等式的性质判断不等符号是否发生变，最后将不等号右边的3进行同样的运算即可得出答案.
解：由不等式的性质3，得-2m<-2×3，即-2m<-6.
解：由不等式的性质2，得3m>3×3，即3m>9，
再由不等式的性质1，得3m-4>9-4，即3m-4>5.
11.（1）由xay，则a的取值范围是（　　）
A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0
（2）（运算能力）已知2x+y=3，若x<1，求x+y的取值范围.
B
解：∵2x+y=3，∴x+y=3-x，
∵x<1，∴-x>-1，∴3-x>2，∴x+y>2.
8.【例3】（2024长春）不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A.若a>b，则a+c>b+c
B.若a>b，b>c，则a>c
C.若a>b，c>0，则ac>bc
D.若a>b，c>0，则>
小结：不等关系可以传递，关键是两两之间的大小关系要先表示或者判断出来.
A
★12. （跨学科融合）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）
A.P>R>S>Q　
B.Q>S>P>R
C.S>P>Q>R　
D.S>P>R>Q
0.50
D　
★13. 设“ ”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么下列式子成立的是（　　）
0.45
B　(共20张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第4课时　不等式的解法
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.了解一元一次不等式的概念.
2.理解什么是解一元一次方程及解一元一次不等式.掌握一元一次不等式的解法及步骤.
3.（2022新课标）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
抽象能力　运算能力
几何直观　应用意识
（1）只含有　　　　个未知数，且含有未知数的式子都是　 　，未知数的次数是　　　　的不等式叫作一元一次不等式.
（2）一元一次不等式要具备三个条件，缺一不可：
①不等式中只含有一个未知数；
②不等式的左右两边都是整式；
③未知数的次数是1.
知识点 1
一元一次不等式的概念
　整式　
一
1
1.下列各式中，是一元一次不等式的是（　　）
A.x+y>8　 B.4x≤5
C.2x-1　 D.x2-3x≥0
B
2.若不等式2xa<1是关于x的一元一次不等式，则a满足（　　）
A.a≠1　 B.a=0
C.a=1　 D.a=2　
C
（1）解一元一次方程，要根据　　　　　　　，将方程逐步为
　　　　　　　的形式；
（2）解一元一次不等式，要根据　　　　　　　，将不等式逐步为 　的形式.
知识点 2
什么是解一元一次方程？什么是解一元一次不等式？
等式的性质　
x=m
　xm（x≥m）
不等式的性质
3.解不等式：
（1）4x-63.
x<2
x<-
（1）解一元一次不等式与解一元一次方程的类似，只是在利用不等式的性质3对不等式进行变形时，若两边同乘（或同除以）负数时，要改变不等号的方向.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母（根据不等式的　　　　　　　）；
②去括号（根据　　　　　　　）；
③移项（根据不等式的　　　　　　　）；
④合并同类项；
⑤系数为1（根据不等式的 　 ）.
知识点 3
一元一次不等式的解法
性质1
性质2或3
乘法分配律
性质2或3
4.（人教7下P131，教材新增）解不等式：3（x-1）解：去括号，得3x-3移项，得3x-x<-2+3，
合并同类项，得2x<1，
系数为1，得x<.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
5.（人教7下P131，教材新增）解不等式：+2≥，并在数轴上表示解集.
解：去分母，得3（x-5）+24≥2（5x+1），
去括号，得3x-15+24≥10x+2，
移项，得3x-10x≥2+15-24，
合并同类项，得-7x≥-7，
系数为1，得x≤1.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
6.【例1】下列不等式中，一元一次不等式有（　　）
①x2+3>2x；②-3>0；③x-3>2y；
④≥5x；⑤3y>-3.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
小结：分母中含有未知数的不等式，不是一元一次不等式.
B
10.下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A.（x+2）>4x-1　 B.1-x2>5
C.-4≤x　 D.2>0
A
7.【例2】解不等式：5x-12≤2（4x-3），并在数轴上表示它的解集.
小结：注意去括号时不要漏乘某项.
解：5x-12≤2（4x-3），
去括号，得5x-12≤8x-6，
移项，得5x-8x≤-6+12，
合并同类项，得-3x≤6，
系数为1，得x≥-2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
11.解不等式：2（3x-2）>x+1，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去括号，得6x-4>x+1，
移项，得6x-x>1+4，
合并同类项，得5x>5，
系数为1，得x>1，
故此不等式的解集为x>1，
在数轴上表示如图所示.
8.【例3】（人教7下P136改编，教材新增）下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请改正.
解不等式：-1<.
解：去分母，得2（4-2x）-1<3（6-4x）.①
去括号，得8-4x-1<18-12x.②
移项、合并同类项，得8x<11.③
系数为1，得x<.④
小结：注意负号，注意去分母时不要漏乘某项.
解：不正确，①中-1去分母时漏乘了6.
改正：去分母，得2（4-2x）-6<3（6-4x）.
去括号，得8-4x-6<18-12x.
移项、合并同类项，得8x<16.
系数为1，得x<2.
12.（人教7下P133）当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
（1）2（x+1）大于或等于1；
（2）4x与7的和不小于6；
（3）y与1的差不大于2y与3的差；
（4）3y与7的和的小于-2.
2（x+1）≥1，解得x≥-.
4x+7≥6，解得x≥-.
y-1≤2y-3，解得y≥2.
<-2，解得y<-5.
9.【例4】（人教7下P137）求不等式5x-1>3（x+1）与x-1<7-x的解集的公共部分.
小结：分别求解，在同一数轴上分别表示出解集，再找公共部分.
解：解5x-1>3（x+1），得x>2.
解x-1<7-x，得x<4.
故解集的公共部分为2★13. （北师8下P63）（运算能力）已知关于x的方程3x+a=x-7的解是正数，求实数a的取值范围.
0.45
解：3x+a=x-7，3x-x=-a-7，
2x=-a-7，x=，
∵>0，∴a<-7.(共14张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
微专题17　一元一次不等式（组）的应用
（情境应用、思维能力）
1.【例1】如图1，一个容量为600 cm3的杯子中装有300 cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意列不等式为　　　　　　　　　.
300+4x<600
6.一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120 mg，分3~4次服用”，一次服用这种药品的剂量不可以为（　　）
A.36 mg B.24 mg
C.18 mg D.12 mg
D
2.【例2】（跨学科融合）运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用.最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6，则40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）
A.108≤p≤144 B.108C.108≤p≤190 D.108A
7.（跨学科融合）游泳池的水质要求三次检验的pH值的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，则第三次检验的pH值a应该满足 　 才能合格.
6.3≤a≤8.1
3.【例3】（人教7下P145，教材新增）在装修施工过程中，两位施工人员要用一辆手推车将一批瓷砖用电梯运送上楼.电梯额定载重量为1 050 kg，他俩的体重分别为70 kg和75 kg，手推车的质量为21 kg，一箱瓷砖的质量约为51 kg，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖运送上楼？
解：设用电梯一次将x箱瓷砖运送上楼，
根据题意可得70+75+21+51x≤1 050，解得x≤，
∵x为正整数，∴x最大可取17.
答：他俩用电梯一次最多能将17箱瓷砖运送上楼.
8.（人教7下P145，教材新增）某运动员5 000 m长跑的个人最好成绩为16 min 45 s.在一次5 000 m长跑比赛中，他跑完前3 000 m用时10 min 30 s.如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少？
解：设在剩下的路程中该运动员的平均速度为x m/s，
根据题意得16 min 45 s-10 min 30 s=6 min 15 s=375 s，
则375x≥5 000-3 000，解得x≥.
答：在剩下的路程中，他的平均速度至少要为 m/s.
4.【例4】广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”培训工程，工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
解：设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得9.6（1+m）≥12.48，解得m≥30%.
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%.
9.（人教7下P145，教材新增）某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆.这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示.为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么这个公司最多能购买A型汽车多少辆？
类型 进价 售价
A型 27 27.8
B型 24.4 25.8
单位：万元/辆
解：设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车（20-m）辆，
根据题意得（27.8-27）m+（25.8-24.4）（20-m）>20.5，
解得m<12.5.
∵m为正整数，∴m≤12.
答：这个公司最多能购买A型汽车12辆.
5.【例5】某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元.
（1）篮球单价为　　　　元，足球单价为　　　　元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5 500元.有几种购买方案？
120　
90
解：设采购篮球个，则采购足球（）个，
由题意得，解得，
∵为正整数，
∴的值可为，，，，
∴有4种购买方案.
10.（跨学科融合）（2024四川模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚.某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”.经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1 100元.
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格；
解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x-40）元，
由题意可得5x+10（x-40）=1 100，解得x=100，x-40=60.
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元.
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过
8 600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
解：设需购进乙型号“文房四宝”m套，则需购进甲型号“文房四宝”（120-m）套，由题意可得，
解得85≤m<90，又∵m为正整数，∴m可以取85，86，87，88，89，
∴共有5种购买方案，
∵甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴m=89时，总费用最低.∴最低费用是（120-89）×100+60×89=8 440（元）.(共5张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
母题变式　《不等式与不等式组》
教材难题生长题（人教版）
1.【例】（人教7下P145拓广探索，教材新增）（抽象能力、运算能力、推理能力）甲、乙两名同学各提了一个水桶在同一个水龙头前打水.如果甲打满一桶水需a min，乙打满一桶水需b min，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时间和（包含等待时间）较少？
解题思路：用时短的先打水，用时长的后打水可使两人都打满一桶水所用时间和（包含等待时间）较少，故需要分类讨论a，b的大小.
教材难题
解：根据题意得，若甲先打水，则所用时间和为（2a+b）min；
若乙先打水，则所用时间和为（2b+a）min，
故2a+b-（2b+a）=a-b.
①当a②当a=b时，a-b=0，故此时甲和乙谁先打水，都能使两人都打满一桶水所用时间和一样；
③当a>b时，a-b>0，故此时乙先打水，能使两人都打满一桶水所用时间和较少.
2. 【知识技能】（1）已知0”“<”或“=”）；
【数学理解】（2）已知a≠0，试比较和的大小；
难题生长
0.40
<
解：当a>0时，∵1<2，∴<；
当a<0时，∵1<2，∴>.
【拓展探索】（3）已知a<0，给出a=-，a=-0.25，a=-2，a=-1，a=-5，利用上述给出的a值，通过数的运算猜想a与的大小关系（不必说明理由）.
解：当a=-时，=-2，则a>；当a=-0.25=-时，=-4，则a>；
当a=-2时，=-，则>a；当a=-1时，=-1，则a=；
当a=-5时，=-，则>a.
故猜想a与的大小关系为：当-1；当a≤-1时，a≤.(共22张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第1课时　不等式及其解集
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）结合具体问题，了解不等式的意义.
2.学会推理不等式的解与理解解集的意义.
3.（2022新课标）能在数轴上表示出不等式的解集.
抽象能力　运算能力　几何直观
推理能力　模型观念　应用意识
（1）用符号“　　　　”或“　　　　”表示不等关系的式子，叫作不等式.
（2）用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
（3）用不等式表示不等关系常见的不等号：
知识点 1
不等式的概念
符号 > < ≥ ≤ ≠
读法 大于 小于 大于或等于 小于或等于 不等于
>　
<
1.下列式子是否为不等式？（填“是”或“不是”）
（1）3>2；（　　）
（2）a2+1≥0；（　　）
（3）3x2+2x；（　　）
（4）x<3x+1；（　　）
（5）x=2x+5；（　　）
（6）a+2≠a-2.（　　）
是
是
不是
是
不是
是
（1）使不等式成立的未知数的　　　　，叫作不等式的解.不等式的解是一个具体的值.
（2）温馨提示：一般地，不等式有　　　　个解；要判断某个数值是否为不等式的解，可直接将该值代入不等式的左右两边，不等式成立则是.
知识点 2
不等式的解
值
无数
2.（人教7下P123）下列数中哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
答： 是不等式
x+3>6的解，　　　　　　　　　　　　　不是不等式x+3>6的解.
3.2，4.8，8，12　
-4，-2.5，0，1，2.5，3
（1）一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的　　　　.不等式的解集是一个集合，包含不等式的每一个解.
（2）求不等式的解集的过程叫作　　　　　　.
（3）不等式的解集必须符合两个条件：①解集中的每个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在这个解集中.
知识点 3
不等式的解集与解不等式
解集　
解不等式
3.（人教7下P123）直接写出下列不等式的解集：
（1）x+3>6；　　　　　　　

（2）2x<8；　　　　　　　

（3）x-2>0.　　　　　　　
x>3　
x<4　
x>2
（1）问：用数轴表示解集时，实心与空心的区别？
答：实心表示　　　　；空心表示　　 　　.
（2）不等式的解集用数轴表示（设a<0）：
知识点 4
不等式的解集在数轴上的表示
x>a x包含
不包含
4.用不等式表示图中的解集：
x<2　
x≤2　
x≥-7.5　
x>-7.5
5.【例1】在下列式子中：
①x-1>3x；②x+1>y；③x-y；④4<7；⑤x≠2；⑥x=0；⑦2x-1≥y；
⑧x≠y.
是不等式的有　　　　　　　　　（填序号）.
小结：有些不等式含有未知数，有些不等式不含未知数.
①②④⑤⑦⑧
10.在下列数学式子中：①-2<0；②2x+3y>0；③x=2；④x2+2xy+y2；⑤x≠3；⑥x+1>y+2.是不等式的有（　　）
A.1个　　 B.2个　
C.3个　 D.4个
D
6.【例2】（人教7下P123改编，教材新增）用不等式表示下列不等关系：
（1）a是正数：　　　　　　；
（2）a是负数：　　　　　　；
（3）5与x的和小于7：　　　　　　；
（4）a与2的差大于-1：　　　　　　；
（5）-4与m的积大于8：　　　　　　；
（6）a的一半小于3：　　　　　　.
小结：列不等式时，对不等符号以及倍数、和、差、商、平方、绝对值等的表述要准确.
a>0　
a<0　
5+x<7
a-2>-1
-4m>8
<3
11.（人教7下P128改编、北师8下P38改编）用不等式表示下列不等关系：
（1）a与5的和是正数：　　　　　　；
（2）c的4倍大于或等于8：　　　　　　；
（3）y与2的差不大于0：　　　　；
（4）x2是非负数：　　　　　　；
（5）x与17的和比它的5倍小： 　；
（6）a，b的平方和不小于a，b的积的2倍：　　　　　　　.
a+5>0　
4c≥8　
y-2≤0
x2≥0　
x+17<5x　
a2+b2≥2ab
7.【例3】判断下列说法是否正确（填“ ”或“×”）：
（1）x=3是不等式x<1的一个解；（　　）
（2）不等式1-x<0的解有无数多个；（　　）
（3）不等式x-5<1的解是x=2；（　　）
（4）x=0是不等式x≥0的一个解；（　　）
（5）不等式x-5<1的解集是x=6.（　　）
小结：不等式的解有无数个，满足不等关系即可.
×
√　
×
√　
×
12.下列各数中，是不等式x+1<4的解的数有哪些？哪些不是该不等式的解？
8，7，5.5，4，2，1，0，2.5，-6.
解：2，1，0，2.5，-6是不等式的解；
8，7，5.5，4不是不等式的解.
8.【例4】（2024贵州）不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是
（　　）
小结：在数轴上表示不等式解集的步骤：画出数轴——找到对应点——判断实心或空心——判断方向——画出解集.
C
13.在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x<2； （2）x≥-3.
9.【例5】（人教7下P123，教材新增）列不等式：
（1）经检测，某公园的环境噪声在50 dB（分贝）以下；
解：设该公园的环境噪声为x dB，则x<50.
（2）某市有公交车12 000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%.
小结：先找出题目中的不等关系，然后根据不等关系列出不等式即可.
解：设该市有新能源公交车a辆，则a>12 000×66%.
★14. 工人张力6月份计划生产某医疗检测设备零件176个，前10天平均每天生产4个，后来改进技术，提前3天并且超额完成任务，若张力10天之后平均每天生产零件x个，请写出x所满足的关系式.
0.55
解：（30-10-3）x>176-4×10.(共18张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第6课时　不等式的应用（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
2.会利用一元一次不等式解决与方案设计有关的问题.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似.
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键词的含义；
（2）设：可以直接设，也可以间接设；
（3）列：根据题目中能表示全部含义的不等关系列出不等式；
知识点 1
列一元一次不等式解应用题
（4）解：解出所列的不等式的解集；
（5）验：检验所得结果是否正确，考虑所得的解是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案.
1.（人教7下P137，教材新增）一条食品包装生产线完成智能升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量是原来月均产量的1.7倍.升级后，这条生产线8个月生产的无菌纸盒包装饮料的数量比原来12个月的生产量至少多1 000万盒，这条生产线原来平均每月的产量至少是多少万盒？
解：设这条生产线原来平均每月的产量是x万盒，则智能升级后每个月的产量为1.7x万盒，
根据题意得8×1.7x-12x≥1 000，解得x≥625.
答：这条生产线原来平均每月的产量至少是625万盒.
（1）方案设计型问题：
是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和，进行设计和操作，然后通过分析、计算等，确定出最佳方案的一类数学问题.

（2）方案设计型问题涉及生产、生活的方方面面，不等式型方案设计是很常见的一种类型.
知识点 2
利用一元一次不等式设计方案
2.为响应“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元.若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17-x）棵，
根据题意得17-x8.
购进两种树苗所需费用为80x+60（17-x）=20x+1 020，
费用最省需x取最小整数9，此时17-x=8，
这时所需费用为20×9+1 020=1 200（元）.
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵.这时所需费用为1 200元.
3.【例1】（人教7下P134改编、北师8下P63改编）甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客累计购物超过100元，到哪家超市购物花费较少？
解：当累计购物超过100元时，设累计购物x（x>100）元.
①若到甲超市购物花费少，则
100+0.9（x-100）<50+0.95（x-50），解得x>150.
故累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.
②若到乙超市购物花费少，则
50+0.95（x-50）<100+0.9（x-100），解得x<150.
故累计购物超过100元而不到150元时，到乙超市购物花费较少.
③若到两超市购物花费相同，则
100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50），解得x=150.
故累计购物为150元时，到甲、乙两超市购物花费一样.
5.甲、乙两个厂家生产的办公桌椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买1张桌子送3张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠.现要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）.
（1）分别用含x的式子表示购买甲、乙两个厂家的办公桌椅所需的金额；
解：根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：
甲厂家所需金额为3×800+80（x-9）=（1 680+80x）元；
乙厂家所需金额为（3×800+80x）×0.8=（1 920+64x）元.
（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家更划算？
解：由题意，得1 680+80x>1 920+64x，解得x>15.
答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算.
4.【例2】（人教7下P137，教材新增）某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆.客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示.
学校计划租用11辆客车，那么
车型 A型 B型
载客量/人 40 56
租金/元 1 000 1 200
（1）最多可以租用多少辆A型客车？
解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车（11-x）辆，
根据题意得40x+56（11-x）≥560+11，解得x≤.
∵x是正整数，∴x的最大值为2，
∴最多可以租用2辆A型客车.
（2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
解：由（1）得x≤，且x是正整数，
∴x可取0，1，2，∴共有3种租车方案，
当x=0时，11-x=11，租车费用为11×1 200=13 200（元）；
当x=1时，11-x=10，租车费用为1×1 000+10×1 200=13 000（元）；
当x=2时，11-x=9，租车费用为2×1 000+9×1 200=12 800（元）.
∵12 800<13 000<13 200，
∴租A型客车2辆，B型客车9辆，可使租金最低，最低为12 800元.
★6. （运算能力）某商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个，付款总额不得超过11 815元.已知两种球的批发价和零售价如下表.
0.40
品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个）
篮球 130 160
排球 100 120
（1）该采购员最多可购进篮球多少个？
解：设采购员购进篮球x个，则购进排球（100-x）个，
依题意，得130x+100（100-x）≤11 815，解得x≤60.5.
∵x是正整数，∴x最大取60.
答：该采购员最多可购进篮球60个.
（2）若该商场把这100个球全部以零售价售出，若获得的利润不低于2 580元，则采购员至少要购进篮球多少个？
解：设购进篮球y个，则购进排球（100-y）个，则
（160-130）y+（120-100）（100-y）≥2 580，解得y≥58.
答：采购员至少要购进篮球58个.(共9张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
微专题16　求差法的应用
（运算能力、代数推理）
1.【例1】甲、乙两位同学分别从同一个文具店购买了A，B两种笔记本，且A种笔记本的售价为5元/本，B种笔记本的售价为8元/本.已知甲同学购买了m本A种笔记本和n本B种笔记本，乙同学购买了m本B种笔记本和n本A种笔记本.若m>n，问哪位同学购买笔记本的总费用较少？
类型一 求差法在代数中的应用
解：由题意可知，甲同学所用总费用W1=5m+8n，
乙同学所用总费用W2=8m+5n，
∵W1-W2=5m+8n-8m-5n=-3m+3n.
∵m>n，∴-3m+3n<0，∴W1∴甲同学购买笔记本的总费用较少.
3.【阅读理解】作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定两数的大小，即要比较A，B的大小，只要算A-B的值，若A-B>0，则A>B；若A-B=0，则A=B；若A-B<0，则A【知识运用】（1）若a-b>0，则4a+3b　　　　3a+4b；（填“>”“<”或“=”）
（2）比较2x2-x+1与x2-x-3的大小；
>
解：∵2x2-x+1-（x2-x-3）=x2+4，而x2≥0，
∴x2+4>0，
∴2x2-x+1>x2-x-3.
（3）A=m+2，B=3，若m-n2<0，用作差法比较A与B的大小.
解：∵A-B=m+2-3
=m+2m-n2-m-n2=m-n2<0，
∴A2.【例2】请你用求差法比较大小：
（1）如图1，若两个长方形的周长分别为M和N，请比较M和N的大小（b-c>0）；
类型二 求差法在几何中的应用
解：由题意可得，
M=（a+b+b）×2=2a+4b，
N=（a-c+b+2c）×2=2a+2b+2c，
∴M-N=2a+4b-（2a+2b+2c）=2b-2c>0，
∴M>N.
（2）如图2是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2a（a>0）得到如图3所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图4所示的大正方形，此时正方形的面积为S2=16+8a+a2.请判断S1与S2的大小关系，并说明理由.
解：S1∵S1=4（4+2a）=16+8a，
S2=16+8a+a2，
∴S1-S2=16+8a-（16+8a+a2）=-a2<0，
∴S14.（1）如图，若两个长方形的周长分别为P和Q，请比较P和Q的大小（b>1）；
解：由题意可得，
P=2（a+b+b+2）=2a+4b+4，
Q=2（a+b+）=2a+2b+2，
P-Q=2a+4b+4-（2a+2b+2）=2b+4-2，
∵b>1，∴2b+4>6，
∵2<<3，∴4<2<6，∴2b+4-2>0，∴P>Q.
（2）制作某产品有两种用料方案：
方案一：用3块A型钢板、7块B型钢板；
方案二：用2块A型钢板、8块B型钢板.
已知A型钢板的面积比B型钢板的面积大，若设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由.
解：由题意可得，
方案一的面积：3x+7y，
方案二的面积：2x+8y，
∵3x+7y-（2x+8y）=x-y，
又A型钢板的面积比B型钢板的面积大，
∴x-y>0，∴3x+7y>2x+8y，
∴从省料角度考虑，应选择方案二.(共22张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第9课时　《不等式与不等式组》单元复习
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
（2）不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
（3）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
知识点 1
不等式的性质
1.（2024上海）如果x>y，那么下列正确的是（　　）
A.x+5≤y+5 B.x-5C.5x>5y D.-5x>-5y
C
求不等式解集的过程称为解不等式.
知识点 2
解不等式
2.（2024福建）解不等式3x-2<1，得 　.
x<1
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数为1.在（1）~（5）的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改变.
知识点 3
解一元一次不等式
3.（2024安徽一模）不等式≥的解集为　　　　.
x≥-3　
（1）先求出各个不等式的解，再确定其公共部分，即为原不等式组的解集.
（2）借助数轴，熟练掌握四种基本不等式组的解集.
知识点 4
解一元一次不等式组
不等式组（bx>a 同大取大
xb无解 大大小小无处找
4.（2024广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　　.
x≥3　
5.（2024包头）若2m-1，m，4-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（　　）
A.m<2 B.m<1
C.1B
列不等式（组）解应用题的基本步骤：
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字；
（2）设：可以直接设，也可以间接设；
（3）列：根据题目中能表示全部含义的不等关系列出不等式（组）；
（4）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（5）验：检验所得结果是否正确，考虑所得的解是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案.
列一元一次不等式（组）解应用题
6.（2024浙江一模）小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，则可列不等式为（　　）
A.52+15n>70+12n B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n
7.（2023广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打　　　　折.
A
8.8
8.【例1】（2024湖南二模）已知a（　　）
A.a-1-2b
C.a+1D
12.（2024苏州）若a>b-1，则下列结论一定正确的是（　　）
A.a+1C.a>b D.a+1>b
D
9.【例2】不等式4x+1>x+7的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A
13.关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示，则a的值是　　　　.
-
10.【例3】（广东中考）解不等式组：
解：解3x-2>1得x>1，解x+1<3得x<2，
∴不等式组的解集为114.（2024凉山州）求不等式组-3<4x-7≤9的整数解.
解：-3<4x-7≤9，
即，
解不等式①，得x>1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1所以不等式组-3<4x-7≤9的整数解是2，3，4.
11.【例4】（2023深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
（1）求A，B玩具的单价；
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为（x+25）元，
根据题意得2（x+25）+x=200，
解得x=50，可得x+25=50+25=75.
答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元.
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20 000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
解：设商场可以购置y个A玩具，则购置2y个B玩具，
根据题意得50y+75×2y≤20 000，解得y≤100.
答：该商场最多可以购置100个A玩具.
★15. （跨学科融合）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动.如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵.请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
0.45
解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，
依题意，得，解得44∵x为正整数，∴x=45，∴3x+86=221.
答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树.(共11张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
《一元一次不等式组》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
C
2.不等式组的最小整数解是（　　）
A.0　 B.-1 C.-2　 D.3
3.若不等式x-b<0和x+a>0的公共解集为2（　　）
A.-3，2　 B.2，-3 C.3，-2　 D.-2，3
4.（2024滨州）若点P（1-2a，a）在第二象限，则a的取值范围是
（　　）
A.a> B.a< C.0B
D
A
5.已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A.06.若干学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人有一间不空也不满，则宿舍有（　　）
A.5间　 B.6间 C.7间　 D.8间
B
B
二、填空题（每小题7分，共28分）
7.不等式组的解集是　　　　.
8.满足不等式组的整数解是　　　　.
9.若不等式组无解，则m的取值范围是　　　　.
10.已知2x+y=5，当x满足条件　　　　时，-1≤y<3.
x>2　
0
m≥8　
1三、解答题（每小题9分，共36分）
11.解不等式组：
解：解不等式①，得x≥-1.
解不等式②，得x<3.
∴原不等式组的解集为-1≤x<3.
12.已知方程组当m为何值时，x>y？
解：
②×2-①，得x=m-3，③
将③代入②，得y=-m+5.
∵x>y，∴m-3>-m+5，解得m>4，
∴当m>4时，x>y.
13.（人教7下P145，教材新增）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作.
（1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是多少？
解：由题意可得4x+1>85，解得x>21，
∴输入的x的取值范围是x>21.
（2）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是多少？
解：由题意可得，
解得5∴输入的x的取值范围是514.（运算能力）由于流感频发，市场上防护口罩出现热销.某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元.
（1）一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
解：设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有解得
答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元.
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩的数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案？
解：设购买A型口罩x个，则购买B型口罩（50-x）个，
依题意有解得35≤x≤37.5.
∵x为正整数，∴x=35，36，37.
∴有3种购买方案，方案如下：
方案 A型口罩 B型口罩
一 35 15
二 36 14
三 37 13(共15张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第8课时　一元一次不等式组（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.能熟练求一元一次不等式组的解集.
2.会求一元一次不等式组的特殊解.
运算能力　几何直观
模型观念　应用意识
（1）解一元一次不等式组的步骤：
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.利用数轴可以直观地表示不等式的解集.

（2）求解集就是找公共部分——每个不等式都有的部分.
知识点 1
解一元一次不等式组
1.解不等式组：并在数轴上表示其解集.
解：解不等式3x<6，得x<2，
解不等式5x+4>3x+2，得x>-1，
∴不等式组的解集为-1∴在数轴上表示不等式组的解集如图所示.
求一元一次不等式组的整数解的步骤：
（1）分别求出各个不等式的解集；

（2）找出它们解集的公共部分，得到不等式组的解集；

（3）解集中的整数就是可取的整数值.
知识点 2
一元一次不等式组的整数解
2.解不等式组：并写出它的所有整数解.
解：解①得x≤1，解②得x>-1，
∴不等式组的解集为-1∴不等式组的所有整数解为0，1.
列一元一次不等式组解应用题的步骤：
审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→作答.
知识点 3
一元一次不等式组和实际问题
3.（人教7下P138）某工程队用每小时可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1 200吨而不足1 500吨，求将污水抽完所用时间的范围.
解：设大约需x小时才能将污水抽完，
由题意得，解得40答：将污水抽完所用时间多于40小时而少于50小时.
4.【例1】（人教7下P139）解不等式组：
（1） （2）
解：，
由①得x>2，由②得x>3，
∴不等式组的解集为x>3.
解：，
由①得x≥8，由②得x<，
∴不等式组无解.
7.（人教7下P140-141）解不等式组：
（1） （2）
解：，
解不等式①，得x<-6，
解不等式②，得x≥2，
故不等式组无解.
解：解不等式x-3（x-2）≥4，得x≤1，
解不等式>x-1，得x<4，
∴不等式组的解集为x≤1.
5.【例2】（人教7下P140）x取哪些整数值时，不等式5x+2>3（x-1）与x-1≤7-x都成立？
解：分别解两个不等式得x>-和x≤4，
∴两个不等式的公共解集为-故x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4.
8.（人教7下P141）x取哪些整数值时，不等式4（x-0.3）<0.5x+5.8与3+x>x+1都成立？
解：分别解两个不等式得x<2和x>-4，
∴两个不等式的公共解集为-4故x可取的整数值是-3，-2，-1，0，1.
6.【例3】（人教7下P141）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但不到3本.这些书有多少本？共有多少名同学？
解：设共有x名同学，则这些书有（3x+8）本，
根据题意，得，解得5∵x为正整数，∴x=6，∴3×6+8=26.
答：这些书有26本，共有6名同学.
★9. （北师8下P59改编）（运算能力）某校学生春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人.该校共有多少人参加春游？
0.50
解：设租36座的客车x辆，根据题意得
解得
∴7则该校参加春游的共有36×8=288（人）.(共16张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第5课时　不等式的应用（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
2.积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，感知方程与不等式的内在联系.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
有些实际问题存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案.
知识点 1
一元一次不等式的简单应用
1.（北师8下P49）小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？
解：设他还能买x根火腿肠，
根据题意，得2x+3×5≤26，解得x≤5.
答：他最多还能买5根火腿肠.
列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似.
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键词的含义；
（2）设：可以直接设，也可以间接设；
（3）列：根据题目中能表示全部含义的不等关系列出不等式；
（4）解：解出所列的不等式的解集；
知识点 2
列一元一次不等式解应用题
（5）验：检验所得结果是否正确，考虑所得的解是否符合问题的实际意义；
（6）答：写出答案.
注意：（1）审题是解决问题的基础，根据不等关系列出不等式是解题关键；
（2）在设未知数时，不可出现“至少”“至多”“不超过”等字眼.
2.（跨学科融合）（人教7下P133，教材新增）某市去年万元地区生产总值能耗为0.32t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，转为不等式，即
×100%≥5%.
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤.
根据题意，列得不等式×100%≥5%，
去分母，得0.320-x≥0.320×5%，
移项，合并同类项，得-x≥-0.304，
系数为1，得 x≤0.304.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤.
3.【例1】（人教7下P137改编、北师8下P49）某种商品的进价为800元，出售时标价为1 200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，至多可打几折？
解：设可打x折，则有1 200×-800≥800×5%，
解得x≥7.
答：至多可打7折.
6.某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最低是多少元？
解：设这种商品的标价是x元，由题意得
x×80%-320≥25%×320，解得x≥500.
答：这种商品的标价最低是500元.
4.【例2】（人教7下P137改编、北师8下P43）爆破施工时，导火索燃烧的速度为0.8 cm/s，人跑开的速度是5 m/s，为了让点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100 m的安全地区，导火索至少要多长？
解：设导火索要x cm长，由题意得
·5≥100，解得x≥16.
答：导火索至少要16 cm长.
7.（人教7下P133、北师8下P48）七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设答对x道题，则答错或不答（20-x）道题，
依题意，得10x-5（20-x）>90，解得x>12.
∵x为正整数，∴x≥13.
答：至少要答对13道题才能成功晋级.
5.【例3】（人教7下P136，教材新增）（运算能力）一家水果店花费10 000元购进了大樱桃和小樱桃各200 kg，计划分别以39元/kg和29元/kg的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了20%.若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的90%，大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
解：根据题意得，预期利润为39×200+29×200-10 000=3 600（元），
设大樱桃的售价为x元/千克，依题意得
（1-20%）×200x+29×200-10 000≥3 600×90%，
解得x≥46.5，∴x的最小值为46.5.
答：大樱桃的售价至少要定为46.5元/千克.
★8. （运算能力）某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为100元，足球的单价为80元.
（1）原计划募捐5 600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
0.45
解：设原计划篮球买x个，足球买y个，
根据题意得，解得.
答：原计划篮球买40个，足球买20个.
（2）在捐款活动中，实际收到捐款共6 890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6 890元，那么篮球最多能买多少个？
解：设篮球能买a个，则足球买（80-a）个，
根据题意得100a+80（80-a）≤6 890，解得a≤24.5.
答：篮球最多能买24个.(共11张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
微专题15　一元一次不等式（组）的
含参问题（运算能力、代数推理）
1.【例1】（2024北京一模）已知关于x的不等式3x+m≥-4的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　　）
A.- B.2
C.-2 D.
类型一 解含参数的一元一次不等式
B
6.（2024呼和浩特）关于x的不等式-1>的解集是　　　　，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x-1≤x+m的解大，则m的取值范围是　　　　.
x>8　
m≤7　
2.【例2】（2024南充）若关于x的不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是（　　）
A.m>2 B.m≥2
C.m<2 D.m≤2
类型二 已知解集求参数（取值范围）
B
7.（2024黑龙江二模）已知一元一次不等式组要使它的解集中的任意x的值都能使不等式2x≥m+3成立，则m的取值范围是　 　.
m≤-7
3.【例3】（2024江苏一模）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 　.
类型三 已知解的情况求参数的取值范围
a<2　
8.（2024武威三模）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A.a<5 B.a≤5
C.a>5 D.a≥5
B
4.【例4】（2024宁夏三模）不等式2x-3a≤-2a的正整数解为1和2，则a的取值范围是（　　）
A.4≤a≤6 B.4C.4类型四 已知特殊解的个数求参数的取值范围
D
9.（2024南通一模）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A.-1≤a<0 B.-1C.-4A
5.【例5】（2024山西三模）若关于x的不等式组的解集为-1A.1，-2 B.-2，1
C.3，2 D.-5，4
类型五 结合方程（组）求参数的取值范围
C
10.（2024河北模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y<0，则k的取值范围为（　　）
A.k<1 B.k>1
C.k<3 D.k>3
C(共13张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
新课标新题型　综合实践与探究
1.（素材来源：人教7下P130阅读与思考）综合与实践.
【阅读】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转，其中“作差法”就是常用的之一.其依据是不等式（或等式）的性质：若x-y>0，则x>y；若x-y=0，则x=y；若x-y<0，则x【理解】（1）比较大小：x-3　　　　2+x；（填“>”“=”或“<”）
教材拓展
<
【应用】（2）如图，图1长方形的周长M=　　　　　　 ，图2长方形的周长N=　　　　　　 ，用求差法比较M，N的大小；
2a+4b　
2a+2b+2c
解：∵M-N=2a+4b-2a-2b-2c=2b-2c，
∴当b>c时，M>N；当b=c时，M=N；
当b【拓展】（3）某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折.请问游泳的学生选择哪种方案更合算？
解：设原价为m（m>0）元，游泳n（n>5）次，
则A方案的费用=mn·90%=0.9mn，
B方案的费用=5m+m（n-5）·80%=0.8mn+m.
∵0.9mn-（0.8mn+m）=0.1mn-m，
∴当0.1mn-m>0时，即n>10时，0.9mn>0.8mn+m；
当0.1mn-m=0时，即n=10时，0.9mn=0.8mn+m；
当0.1mn-m<0时，即n<10时，0.9mn<0.8mn+m.
∴当游泳次数多于10次时，选择B方案合算；
当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以；
当游泳次数少于10次时，选择A方案合算.
2.（素材来源：人教7下P142数学活动，教材新增）综合与实践.
主题：猜猜哪个数最大.
素材：50张相同的卡片.
步骤1：在50张相同的卡片上，分别写上数字1，2，3，…，49，50，然后将卡片数字面向下，打乱顺序；
步骤2：从中随机抽取5张卡片，如图，分别记录为A，B，C，D，E，并依次将相邻两张卡片上的数的和记录如右下表：
实践探索：（1）哪张卡片上的数最大？
解：设这5张卡片上的数字依次记为a，b，c，d，e，
根据题意可得a+b∴a又∵b+c>c+d，∴b>d，
∴B卡片上的数最大.
（2）请按卡片上的数从小到大的顺序来排列这5张卡片.
卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E
两数的和 52 64 57 69 46
解：由题意得a+b=52①，b+c=64②，c+d=57③，d+e=69④，a+e=46⑤，
∴②-①，得c-a=12⑥，④-③，得e-c=12⑦，
∴⑥+⑦，得e-a=24⑧，
∴⑤+⑧，得2e=70，∴e=35，∴把e=35代入⑤得a=11，
∴同理回代得b=41，c=23，d=34，∴a∴这5张卡片按卡片上的数从小到大的顺序排列是A，C，D，E，B.
3.（素材来源：人教7下P142数学活动）项目式学习.
【背景】习近平总书记指出：“要把生态文明理念和原则全面融入城镇全过程，走集约、智能、绿色、低碳的新型城镇道路.”党的十八大以来，我国坚持以人民为中心的发展思想，科学开展城乡绿，持续推进国家园林城市、国家森林城市建设.目前城市绿体系不断健全，绿地面积显著增加.
项目主题 中国城市建成区绿地率调研
自主学习 城市绿地率是城市绿地面积的总和与城市建成区总用地面积之比，是反映城市环境质量的一项重要指标.
数据收集 根据国家统计局发布的中国城市建成区绿地面积及绿地率的相关数据，整理成统计图如下.
阅读材料一
阅读材料二 2019年中国城市建成区面积约为60 312.45平方公里，2022年中国城市建成区面积约为63 676.40平方公里，比2019年增长约5.58%.《“十四五”全国城市基础设施建设规划》（下面简称《规划》）在城市基础设施主要发展指标中提到，到2025年我国城市绿地率要≥40%.
【分析】（1）2014至2022年中，绿地率增长最快的是　　　　年；
【应用】（2）如果中国城市建成区面积的增长率与2019年到2022年保持一致，那么2025年要完成《规划》中的目标，城市建成区绿地面积比2022年至少要增加多少平方公里？（结果保留2位小数）
2017
解：63 676.40×（1+5.58%）≈67 229.54（平方公里），
63 676.40×39.30%≈25 024.83（平方公里），
设2025年城市建成区绿地面积比2022年要增加x平方公里，
由题意，得25 024.83+x≥67 229.54×40%，解得x≥1 866.99.
答：2025年城市建成区绿地面积比2022年至少要增加1 866.99平方公里.
【拓展】（3）某校为响应国家的政策，准备在操场上铺设一块草坪地作为学生活动的场地.如图，用一根长为18米的篱笆靠墙围成一个长方形的空地用于绿，且平行墙的一边为长，墙的长为12米.若每块长方形草皮长1米、宽0.5米，每块草皮30元，铺满整块绿地所购买的草皮不超过2 400元，请试探究符合条件的长方形的长和宽的长度（长>宽且长、宽取整数）.
解：设长方形的宽为m米，则长为（18-2m）米，
依题意得解得3≤m<6，
∵长方形的长、宽为整数，∴m=3或4或5，
当m=3时，长方形面积=3×（18-2×3）=36（平方米）；
当m=4时，长方形面积=4×（18-2×4）=40（平方米）；
当m=5时，长方形面积=5×（18-2×5）=40（平方米）.
而1×0.5=0.5（平方米），2 400÷（30÷0.5）=40（平方米），
即草皮面积最多为40平方米，所花的钱不超过2 400元.
∴m=3，4，5符合题意.
即长方形的长和宽为12米，3米或10米，4米或8米，5米.(共10张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
母题探源　《不等式与不等式组》
教材母题精选（北师大版）
1.（北师8下P47随堂练习、人教7下P137复习巩固）根据下列条件求正整数x：
（1）4（x+1）≤24； （2）≥-2.
解：去括号，得4x+4≤24，
移项、合并同类项，得4x≤20，
系数为1，得x≤5，
∴正整数x为1，2，3，4，5.
解：去分母，得6+3x≥4x-2-12，
解不等式，得x≤20，
∴正整数x为1，2，3，…，20.
2.（北师8下P57例题）解下列不等式组：
（1）
解：，
解不等式①得x<，解不等式②得x<，
∴不等式组的解集为x<.
（2）
解：，
解不等式①得x>，解不等式②得x≥4，
∴不等式组的解集为x≥4.
3.（北师8下P48知识技能）三个连续的正偶数的和小于19.这样的正偶数组共有多少组？把它们都写出来.
解：设第一个正偶数是x，则另外两个是x+2，x+4，
根据题意可知x+x+2+x+4<19，解得x<，
因为x为正偶数，所以x=2或4.
答：这样的正偶数组共有2组，它们是2，4，6和4，6，8.
4.（北师8下P62数学理解）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示，用“<”或“>”填空：
（1）a　　　　b； （2）|a|　　　　|b|；
（3）a+b　　　　0； （4）a-b　　　　0；
（5）a+b　　　　a-b；（6）ab　　　　a.
>　
<
<
>　
<
<
5.（北师8下P62数学理解）如果不等式组 的解集是x>3，那么m的取值范围是（　　）
A.m≥3　 B.m≤3　
C.m=3　 D.m<3
B
6.（北师8下P63问题解决）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
解：甲旅行社的收费为（350x+1 000）元，
乙旅行社的收费为（400x+800）元，
若350x+1 000>400x+800，解得x<4；
若350x+1 000=400x+800，解得x=4；
若350x+1 000<400x+800，解得x>4.
答：①当这两位家长带领的学生数少于4人时，他们应该选择乙旅行社；②当这两位家长带领的学生数为4人时，他们选择甲、乙两家旅行社一样；③当这两位家长带领的学生数多于4人时，他们应该选择甲旅行社.
7.（北师8下P60联系拓广）不等式组的解集为-1解：由得，
∵-1解得a=1，b=-2，
∴（a+1）（b-1）=（1+1）（-2-1）=-6.(共18张PPT)
第十一章　不等式与不等式组
第7课时　一元一次不等式组（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.了解一元一次不等式组的概念.
2.理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的.
3.（2022新课标）会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
抽象能力　运算能力
几何直观　应用意识
（1）类似于方程组，把两个含有同一个未知数的一元一次　 　　合起来，就组成一个一元一次不等式组.
（2）判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要考虑以下两个方面：①组成不等式组的每个不等式必须是一元一次不等式；②整个不等式组中只含　　　　个未知数.
知识点 1
一元一次不等式组
不等式
一
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
B
（1）类似于方程组的解，一般地，几个不等式的解集的　　　　部分，叫作由它们所组成的不等式组的　　　　.

（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种基本类型如右表所示.
知识点 2
一元一次不等式组的解集
公共　
解集
2.根据数轴写出下列各组不等式组的解集.
不等式组 （b　　　　　 同大取大
　　　　　 同小取小
　　　　　 大小小大
中间找
　　　　　 大大小小
无处找
　bx>a
　x无解
（1）解不等式组就是求它的　　　　.
（2）解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②将各个不等式的解集在数轴上表示出来；
③在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（3）画数轴表示解集时，要牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.
知识点 3
解一元一次不等式组
解集
3.（2024天津改编）解不等式组
（1）解不等式①，得　　　　　；
（2）解不等式②，得　　　　　；
（3）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　　　　　　.
x>-1　
x≤2　
数轴略　
-14.【例1】不是一元一次不等式组的是（　　）
A. 　 B.
C. 　 D.
小结：理解一元一次不等式组成立的条件.
C
8.有下列不等式组：①②
③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（　　）
A.2个　 B.3个
C.4个　 D.5个
B
5.【例2】写出下列各不等式组的解集：
（1）　　　　；　（2） 　　　　；
x>2　
无解
（3）　　　　；　（4） 　　　　.
小结：利用数轴确定不等式组的解集.
3x<-4
9.根据下列数轴写出各不等式组的解集：
（1）　　　　
　　　　
（2）　　　　
　　 （3）　　　　 　
　　　　　
（4）　　　　
x≤-2
无解　
-2≤x≤1　
x≥1
6.【例3】（人教7下P139改编）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
小结：先求出各不等式的解集，再确定公共部分.
解：
解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x>2，
所以不等式组的解集为x≥3.数轴略.
10.（人教7下P140改编）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
解：，
解不等式①，得x≤5，解不等式②，得x>2，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示.
∴原不等式组的解集为27.【例4】（运算能力）若不等式组无解，求m的取值范围.
小结：结合数轴解题.
解：，由①得x>8，
∵不等式组无解，∴8≥4m，解得m≤2，
∴m的取值范围是m≤2.
★11. （运算能力）已知关于x的不等式组
（1）当a=3时，解这个不等式组；
0.50
解：当a=3时，
由①得2x+8>3x+6，解得x<2，
由②得x<3，∴原不等式组的解集是x<2.
（2）若不等式组的解集是x<1，求a的值.
解：由①得x<2，由②得x∵不等式组的解集是x<1，∴a=1.

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