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(共16张PPT)
第十章　二元一次方程组
第9课时　*三元一次方程组的解法（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.知道解三元一次方程组的基本思想是消元，即“三元”为“二元”.
2.（2022新课标）*能解简单的三元一次方程组（选学）.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
（1）一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
（2）注意：满足三元一次方程组的条件：
①方程组中含有三个未知数；
②每个方程等号的左右两边是整式；
③所含未知数的项的次数是1.
知识点 1
三元一次方程组的概念
1.下列方程组不是三元一次方程组的是（　　）
A.　 B.
C. D.
D
（1）解三元一次方程组的基本思路：

（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①通过“代入”或“加减”，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
知识点 2
三元一次方程组的解法
②解①中得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程，求出另外一个未知数的值；
④用“｛“将所求的三个未知数的值联立起来.

（3）温馨提示：在消元时，注意首先确定要消去哪个未知数，再根据情况选择进行代入消元还是加减消元，解题时要根据各方程的特点寻求较简单的解法.
2.（人教7下P109，教材新增）三元一次方程组的解是
（　　）
A.　 B.　C.　 D.
B
3.解三元一次方程组时，消去未知数z，整理后可得
到的二元一次方程组为　　　　　　　.
4.解三元一次方程组：
5.【例1】（人教7下P108）解三元一次方程组：
解：把③代入①②并简得，解得，
把z=3代入③得x=4×3+2=14，所以方程组的解为.
8.（人教7下P109）解三元一次方程组：
解：把①为x=2y-9，把x=2y-9代入③简得y+z=28，④
②+④，得2y=31，解得y=，把y=分别代入①②，解得x=22，z=，
所以方程组的解为.
6.【例2】（人教7下P108）解三元一次方程组
解：②×3+③，得11x+10z=35，④
①与④组成方程组，解得，
把x=5，z=-2代入②得2×5+3y-2=9，解得y=，
所以方程组的解为.
9.（人教7下P109，教材新增）解三元一次方程组
解：②×2-③，得5x+27z=34，④
①与④组成方程组，解得，
把x=5，z=代入③得5+2y+1=2，解得y=-2，
所以方程组的解为.
7.【例3】（人教7下P109）解三元一次方程组：
解：②+①，得5x+2y=16，④
②+③，得3x+4y=18，⑤
解④⑤组成的方程组，得x=2，y=3，
把x=2，y=3代入③，得2+3+z=6，解得z=1，
所以方程组的解为.
★10. （人教7下P111，教材新增）（运算能力）
解三元一次方程组：
0.40
解：由①得x=y，③ 由①得z=y，④
把③④代入②，得y-y+y=27，解得y=9，
把y=9分别代入③④，解得x=6，z=12，所以方程组的解为.(共17张PPT)
第十章　二元一次方程组
第8课时　实际问题与二元一次方程组（3）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程.
2.通过实践与探索，掌握列表的方式，并运用二元一次方程组解决实际问题.
运算能力　推理能力
模型观念　应用意识
知识点 1
建立二元一次方程组模型（回顾）
（1）行程问题的几个关系式：
①速度×时间=路程；
②速度=；
③时间=.
知识点 2
常用的几种基本等量关系
（2）工程问题的几个关系式：
①工作效率×工作时间=工作总量；
②工作效率=；
③工作时间=.
当工作总量未知时，通常设为整体“1”.
（3）销售问题的几个关系式：
①标价=进价+进价×利润率=进价×（1+利润率）；
②售价=标价×（当打x折销售时）；
③利润率=×100%；
④利润=售价-进价.
1.（人教7下P103）如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运输费5 200元，铁路运输费16 640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买x t长绒棉，制成y t纺织面料.根据题中数量关系填写下表.
x t长绒棉 y t纺织面料 合计
公路运费/元 10×0.5x 5 200
铁路运费/元 120×0.2x 16 640
价值/元 30 800x
20×0.5y
110×0.2y
　42 500y
列方程组，得
解这个方程组，得
故　　　　-30 800x-5 200-16 640=　　　　　（元）.
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多　 　　　元.
10×0.5x+20×0.5y=5 200
120×0.2x+110×0.2y=16 640
　1 258 160　
400　
320
　42 500y
1 258 160
2.【例1】（人教7下P104）某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大货车一次可以运货x t，1辆小货车一次可以运货y t，
由题意得，解得，
∴3x+5y=24.5.
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5 t.
5.（人教7下P105，教材新增）某港口码头使用A，B两种型号的机器人搬运货物.在24 h内，3台A型机器人和2台B型机器人共搬运货物450 t，且每台A型机器人比B型机器人多搬运货物25 t，每台A型机器人和每台B型机器人24 h的搬运量分别是多少？
解：设每台A型机器人24 h的搬运量是x t，每台B型机器人24 h的搬运量是y t，
由题意得，解得.
答：每台A型机器人24 h的搬运量是100 t，每台B型机器人24 h的搬运量是75 t.
3.【例2】（人教7下P104，教材新增）七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1 180元.缆车票价如下表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？
票种 票价/元
往返 80
单程 45
解：设他们购买了往返票x张，单程票y张，
由题意得，解得.
答：他们购买了往返票8张，单程票12张.
6.（2024安徽）某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表.已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
农作物 品种 每公顷所 需人数 每公顷所需投
入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，
根据题意得，解得.
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.
4.【例3】（人教7下P105，教材新增）一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动.两天的徒步时间分别为8 h和10 h，共走了98 km，且第一天比第二天少走2 km，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？
解：设第一天徒步的平均速度是x km/h，第二天徒步的平均速度是y km/h，
由题意得，解得.
答：这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度是6 km/h，第二天徒步的平均速度是5 km/h.
★7. （人教7下P104）（运算能力）甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需54 min，从乙地骑到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少千米？
0.40
解：设坡路长x km，平路长y km，
由题意得，解得，则x+y=31.
答：甲地到乙地全程是31 km.(共14张PPT)
第十章　二元一次方程组
第6课时　实际问题与二元一次方程组（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程.
2.正确找出简单实际问题中的两个等量关系，并能列出二元一次方程组解决问题.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
（1）二元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，用它解决实际问题时，通过分析问题中的各个量，从而找到等量关系，设适当的未知数，根据相等关系构建方程组.
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；
③方程两边的数值要相等.
知识点 1
构建方程组解应用题的基本思想
1.（2024赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，那么可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
C
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的　　　关系；
（2）设：用字母表示题目中的　　　　数（可以直接设，也可以间接设）；
（3）列：根据两个等量关系列出相应的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个所列出的方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否有意义和是否符合实际；
（6）答：写出答案.
知识点 2
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
相等
未知
2.（人教7下P101）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
分析：设每头大牛1天约需饲料x kg，每头小牛1天约需饲料y kg，
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，
列二元一次方程组，得
30x+15y=675
42x+20y=940
解这个方程组，得
这就是说，每头大牛1天约需饲料　　　kg，每头小牛1天约需饲料
　　　　kg.
因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计　　　　，对小牛的食量估计
　　　　.
　20
　5
　20
　5
正确　
不正确
3.【例1】某市举办青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？
解：设每个比赛场地有x张桌子和y条凳子，
根据题意得，解得.
答：每个比赛场地有4张桌子和8条凳子.
6.（数学文）（人教7下P90、北师8上P115）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.试找出问题的解.
解：设鸡有x只，兔有y只，由鸡有一个头，两条腿，兔有一个头，四条腿，结合上有三十五头，下有九十四足可得
解得
答：鸡有23只，兔有12只.
4.【例2】（人教7下P101，教材新增）为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
由题意得，解得.
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
7.（人教7下P102，教材新增）学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅.第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元.每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
解：设每套《西游记》的价格是x元，每套《水浒传》的价格是y元，
由题意得，解得.
答：每套《西游记》的价格是29元，每套《水浒传》的价格是31元.
5.【例3】（运算能力）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中小麦超产5%，玉米超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
解：设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，
根据题意得解得
则50×（1+5%）=52.5（吨），
150×（1+15%）=172.5（吨）.
答：农场去年实际生产玉米172.5吨，小麦52.5吨.
★8. （人教7下P102，教材新增）某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t，建筑垃圾清运费的收费标准由150元/t上调为180元/t.这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
0.45
解：设这家公司去年的餐厨垃圾有x吨，建筑垃圾有y吨，
由题意得，解得.
答：这家公司去年的餐厨垃圾有8吨，建筑垃圾有34吨.(共13张PPT)
第十章　二元一次方程组
《消元——解二元一次方程组》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.二元一次方程x+2y=3的解的个数是（　　）
A.1　 B.2
C.3　 D.无数
D
2.二元一次方程组的解是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
C
3.二元一次方程组的解是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
B
4.（2024甘肃二模）用代入消元法解方程组将①代入②可得（　　）
A.5x-4x-2=7 B.5x-2x-1=7
C.5x-4x+1=7 D.5x-4x+2=7
A
5.如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A.10，4　 B.4，10
C.3，10　 D.10，3
6.已知（x-y+3）2+=0，则x+y的值为（　　）
A.0　 B.-1 C.1　 D.5
A
C
二、填空题（每小题6分，共24分）
7.（2024揭阳二模）已知方程2x+5y=6，用含x的代数式表示y得
　　　　　　.
8.已知3x+y=5，当x=-2时，y的值是　　　　.
9.若是二元一次方程3x+ay=5的一组解，则a=　　　　.
10.在关于x，y的方程组中，x+y=　　　　.
y=
11
2
9
三、解答题（每小题10分，共40分）
11.（1）（2024广州二模）解方程组：　
解：①+②，得3x=-3，解得x=-1，
把x=-1代入①，得-1+y=3，解得y=4，
所以方程组的解是
（2）解方程组：
解：①×3+②×2，得13x=39，解得x=3.
把x=3代入①，得3×3+2y=7，解得y=-1，
所以方程组的解为
12.若是二元一次方程ax-by=8和ax+2by=-4的公共解，求2a-b的值.
解：∵已知是二元一次方程ax-by=8和ax+2by=-4的公共解，
∴将代入得解得
∴2a-b=2×1-（-2）=4.
13.（人教7下P99，教材新增）七年级（1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元；第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元.每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元？
解：设每张“九天揽月”活动的票价为x元，每张“深海探幽”活动的票价为y元，由题意得，解得.
答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元.
14.（运算能力）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到的解为乙看错了方程组中的b，而得到的解为
（1）求正确的a，b的值；
解：根据题意得解得
（2）求原方程组的解.
解：原方程组是解得(共17张PPT)
第十章　二元一次方程组
第4课时　加减消元法（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）掌握加减消元法，能解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的消元思想，“未知为已知”的归思想.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或
　　　　时，把这两个方程的两边分别相加或　　　　，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的叫作加减消元法，简称加减法.
知识点 1
加减消元法
相等　
相减
1.解二元一次方程组
方程①和方程②中x的系数　　　　，y的系数　　　　，则：
②-①，得　　　　　　；
①+②，得　　　　　　.
2y=2　
相等
　相反　
2x=4
（1）加减：
根据其系数特点将（变形后的）两个方程相加或相减，得到一个一元一次方程；
（2）求解：解（1）中得到的一元一次方程，求出x（或y）的值；
（3）回代：将x（或y）的值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；
（4）联立：将求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，就是原方程组的解.
知识点 2
加减法的解题步骤
2.解方程组：
　
3.（2024广州一模）解方程组：
　
4.（2024苏州）解方程组：
5.【例1】用加减法解方程组：
（1） （2）
　
9.用加减法解方程组：
（1） （2）
　
6.【例2】（人教7下P96，教材新增）用加减法解方程组：
解：①-②，得6y=6，解得y=1.
把y=1代入①，得5x+2=27，解得x=5.
故方程组的解为.
10.（人教7下P96，教材新增）用加减法解方程组：
解：②-①，得5a=15，解得a=3.
把a=3代入②，得7×3-3b=6，解得b=5.
故方程组的解为.
7.【例3】（人教7下P96，教材新增）用加减法解方程组：
解：①+②，得5x=15，解得x=3.
把x=3代入①，得3×3+=0 ，解得y=-18，
故方程组的解为.
11.（人教7下P96，教材新增）用加减法解方程组：
解：①+②，得x=-28，解得x=-21.
把x=-21代入②，得-21+5y=-41，解得y=-4，
故方程组的解为.
8.【例4】（人教7下P99、北师8上P133）一条船顺流航行，每小时行20 km，逆流航行，每小时行16 km.船在静水中的平均速度与水流速度分别是多少？
解：设船在静水中的平均速度是x千米/时，水流速度是y千米/时，
根据题意，得，解得.
答：船在静水中的平均速度是18千米/时，水流速度是2千米/时.
★12. （人教7下P100，教材新增、北师8上P115）（2024荆门模拟）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何.意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺.
0.40
解：设木头长x尺，绳子长y尺，
由题意得，解得.
答：木头长6.5尺.(共6张PPT)
第十章　二元一次方程组
微专题14　二元一次方程组的应用与数学
文（回归教材、运算能力）
1.【例1】（北师8上P116）（2022广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
解：设学生有x人，该书单价是y元，
由题意得，解得.
答：学生有7人，该书单价是53元.
3.（人教7下P105，教材新增）（2024深圳）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
解：设李三公家的店有x间客房，来了y名房客，
由题意得，解得.
答：李三公家的店有8间客房，来了63名房客.
2.【例2】（人教7下P119）《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛.大、小容器的容量分别是多少斛？
解：设1个大容器的容量是x斛，1个小容器的容量是y斛，
由题意得，解得.
答：1个大容器的容量是斛，1个小容器的容量是斛.
4.（人教7下P114，教材新增）（2024安徽模拟）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是：公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只.
解：设公鸡买x只，母鸡买y只，
由题意得，解得.
答：公鸡买4只，母鸡买18只.(共15张PPT)
第十章　二元一次方程组
《实际问题与二元一次方程组》自测
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵.设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
D
2.（数学文）（人教7下P100，教材新增）（2024兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
A
3.（2024襄阳模拟）如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD和∠BCD的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
B
4.某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
C
5.根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（　　）
A.7元　
B.35元
C.45元　
D.50元
C
6.依依买了7本数学书和2本语文书共花了100元；菲菲买了4本语文书和2本数学书共花了80元.那么买3本数学书要花（　　）
A.30元　 B.20元
C.15元　 D.45元
A
二、填空题（每小题6分，共24分）
7.车队有每辆装4吨货物的车x辆，每辆装5吨货物的车y辆，一次装运100吨货物，列出二元一次方程为　　　　　 　　.
8.一艘轮船顺水航行的速度是22海里/时，逆水航行的速度是14海里/时，则水流的速度是　　　　海里/时.
9.一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍等于36，则这个两位数是　　　　.
4x+5y=100
4
36
10.（2024广州二模）如图为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形.已知AB=5，CD=3，则此图形的面积为　　　　.
　8
三、解答题（每小题10分，共40分）
11.几个朋友去旅游，在一个风景区购物，如果购买2顶太阳帽和3瓶矿泉水，那么需要52元；如果购买1顶太阳帽和2瓶矿泉水，那么需要28元，每顶太阳帽和每瓶矿泉水的价格分别是多少元？
解：设每顶太阳帽的价格是x元，每瓶矿泉水的价格是y元，由题意得解得
答：每顶太阳帽的价格是20元，每瓶矿泉水的价格是4元.
12.从A地到B地全程290 km，前一路段为国道，其余路段为高速公路.已知汽车在国道上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5 h.A，B两地间国道和高速公路各多少千米？
解：设A，B两地间国道和高速公路分别是x千米，y千米，依题意得
解得
答：A，B两地间国道和高速公路分别是90千米，200千米.
13.一套茶具由1把茶壶和6只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做4把茶壶或12只茶杯，现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？
解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，
由题意得解得
则2×4=8（套）.
答：应用2千克紫砂泥做茶壶，4千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具8套.
14.（运算能力）（2024济南二模改编）某学校捐资购买了一批防寒物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，由题意得
解得
答：需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
解：设甲车型有a辆，乙车型有b辆，则丙车型有（14-a-b）辆，
由题意得5a+8b+10（14-a-b）=120，
简得5a+2b=20，即a=4-b.
∵a，b，14-a-b均为正整数，
∴b只能等于5，从而a=2，14-a-b=7.
答：需甲车型2辆，乙车型5辆，丙车型7辆.(共11张PPT)
第十章　二元一次方程组
母题变式　《二元一次方程组》
教材难题生长题（人教版）
1.【例】（人教7下P106拓广探索、北师8上P125数学理解）（运算能力、模型观念、应用意识）一家超市的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元.这个记录是否有误？如果有误，请说明理由.
解题思路：通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即39支牙刷的钱数+21盒牙膏的钱数=396元，52支牙刷的钱数+28盒牙膏的钱数=518元，然后列出方程组，若方程组有解，则记录无误；若方程组无解，则记录有误.
教材难题
解：设1支牙刷x元，1盒牙膏y元，
由题意得，简得，
∵13∶13=7∶7≠132∶129.5，
∴方程组无解，∴这个记录有误.
2. 某家商店为了了解某品牌牙刷和牙膏销售情况，对每天销售情况进行记录，星期一卖出该品牌牙刷24支，牙膏18支，收入210元，经核实记录正确.
（1）星期二以同样的价格卖出同样的牙刷28支，牙膏21支，销售额显示为235元，销售员小张认为这个销售额有误，请问小张的判断是否正确？如果正确，请说明理由，并求出是多收入了多少元，还是少收入了多少元；
难题生长
0.35
解：设一支牙刷x元，一支牙膏y元，由题意得
24x+18y=210，简得4x+3y=35，
则28x+21y=7×（4x+3y）=7×35=245（元），
245-235=10（元）.
答：小张的判断是正确的，少收入了10元.
（2）已知一支牙刷和牙膏的售价均为整数元，且一支牙膏的售价比牙刷的售价的4倍还要多，求一支牙刷和牙膏的售价.
解：∵由（1）得4x+3y=35，∴y=，
∵x，y都是整数，且y比x的4倍还多，∴x=2，y=9.
答：一支牙刷2元，一支牙膏9元.
3.【例】（人教7下P119拓广探索）（抽象能力、运算能力、应用意识）某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6 000元，B型电脑每台4 000元，C型电脑每台2 500元.某中学现有资金100 500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由.
解题思路：设购买A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，分三种情况讨论：当购买A型、B型时；当购买A型、C型时；当购买B型、C型时.分别建立方程组求出其解即可.
教材难题
解：设购买A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，
当购买A型、B型时，由题意得，没有整数解，不符合题意，舍去；
当购买A型、C型时，由题意得，解得；
当购买B型、C型时，由题意得，解得.
故共有两种购买方案：①购买A型电脑3台，C型电脑33台；②购买B型电脑7台，C型电脑29台.
4. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万
元，请你研究一下商场的进货方案；
难题生长
0.30
解：（1）解分三种情况讨论：
①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台.
则，解得.
②设购进甲种电视机x台，丙种电视机z台.
则，解得.
③设购进乙种电视机y台，丙种电视机z台.
则，解得（舍去）.
综上，有两种进货方案：①购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；②购进甲种电视机35台，丙种电视机15台.
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？
解：（2）方案一的销售利润：25×150+25×200=8 750（元）；
方案二的销售利润：35×150+15×250=9 000（元）.
∵9 000>8 750，∴选择方案二可使销售利润最多.
答：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台可使销售利润最多.(共17张PPT)
第十章　二元一次方程组
第5课时　加减消元法（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）掌握消元法，能解二元一次方程组.
2.能解同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数的二元一次方程组.
3.会灵活使用合适的解二元一次方程组.
抽象能力　运算能力
推理能力　应用意识
（复习同一个未知数的系数相等或互为相反数）
（1）加减：根据其系数特点将（变形后的）两个方程相加或相减，得到一个一元一次方程；
（2）求解：解（1）中得到的一元一次方程，求出x（或y）的值；
（3）回代：将x（或y）的值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；
（4）联立：将求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，就是原方程组的解.
知识点 1
用加减法解二元一次方程组的步骤
1.（2024广西）解方程组：
　
（同一个未知数的系数不相等或不互为相反数）
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数的绝对值不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；
（2）当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或　　　　时，把这两个方程的两边分别相加或　　　　，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.
知识点 2
用加减法解二元一次方程组
相等　
相减
2.（2024江门模拟）解方程组：
　
（1）解二元一次方程组的基本思路：
二元 　　　

（2）解二元一次方程组时要根据方程组系数的特点灵活选择较为简单的消元.当所给方程较为复杂时，应先变形，再选择最佳消元.
知识点 3
选用适当的解二元一次方程组
一元　
3.解方程组：
4.【例1】（人教7下P98）解方程组：
解：
①+②，得4x=8，解得x=2.
把x=2代入①，得2+2y=3，解得y=.
故方程组的解为
8.（人教7下P99）解方程组：
解：
①×2+②，得11s=25，解得s=.
把s=代入①，得3×-t=5，解得t=.
故方程组的解为
5.【例2】（人教7下P96，教材新增）用加减法解方程组：
解：①×2，得6x-4y=8，③
②+③，得13x=26，解得x=2，
把x=2代入①，得3×2-2y=4，解得y=1，
故方程组的解为.
9.（人教7下P98，教材新增）用加减法解方程组：
解：①×3，得9x+12y=48，③
②×2，得10x-12y=66，④
③+④，得19x=114，解得x=6，
将x=6代入①，得3×6+4y=16，解得y=-，
故方程组的解为.
6.【例3】（人教7下P99）解方程组：
解：方程组变形得
①-②，得4y=28，解得y=7.
把y=7代入①中，得3x-7=8，解得x=5.
故方程组的解为
10.（人教7下P118）解方程组：
解：原方程组可为
①×2+②，得11x=22，解得x=2.
把x=2代入①，得4×2-y=5，解得y=3.
故方程组的解为
7.【例4】（人教7下P97，教材新增）《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？意思
是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
由题意得，解得.
答：每头牛值金两，每只羊值金两.
★11. （人教7下P98，教材新增）（运算能力）周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子.已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，王芳买的茄子比鲈鱼多0.5 kg，共花费44元.她买了鲈鱼和茄子各多少千克？
0.45
解：设她买了鲈鱼x千克，茄子y千克，
由题意得，解得.
答：她买了鲈鱼1千克，茄子1.5千克.(共11张PPT)
第十章　二元一次方程组
微专题11　二元一次方程组中的整体
思想、换元思想（运算能力、思维能力）
1.【例1】（2024珠海二模）已知x，y满足方程组则3x+2y=　　　　.
类型一 二元一次方程组中的整体思想
8
6.（2024广州模拟）已知二元一次方程组则2x-y的值为
　　　　.
4
2.【例2】（2024茂名二模）已知二元一次方程组则x+y=　　　　.
2
7.（2024宿迁模拟）如果实数x，y满足方程组那么x+y=
　　　　.
1
3.【例3】（2024金华模拟）解方程组：
解：把①代入②，得2×6y-y=11，解得y=1，
把y=1代入①，得x+1=6，解得x=5，
所以方程组的解为.
8.解方程组：
解：把②代入①，得5x-2×8=-1，解得x=3，
将x=3代入②，得3+y=8，解得y=5，
所以方程组的解是 .
4.【例4】用换元法解方程组：
类型二 二元一次方程组中的换元思想
解：设m+5=x，n+3=y，
原方程组可为，解得，
则，解得.
9.用换元法解方程组：
解：设x+y=m，x-y=n，
原方程组可为，解得，
则，解得.
5.【例5】（北师8上P114改编）已知二元一次方程组的解为则方程组的解为　　　　.
10.（2024宿迁）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是　　　　. (共25张PPT)
第十章　二元一次方程组
第11课时　《二元一次方程组》单元复习
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
（1）二元一次方程：
一个方程含有　　　　个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是　　　　.
（2）二元一次方程组：
一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是　　　　，一共有　　　　个方程.
知识点 1
二元一次方程（组）
两　
1　
1　
两　
1.下列方程是二元一次方程的是（　　）
A.3x-2y=z　 B.3xy-5=0 C.x2-2x=0　 D.5a-2=b
2.下列方程组是二元一次方程组的是（　　）
A. B.
C. D.
D
C
（1）二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值　　　　的两个未知数的值.

（2）二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的　　　　解.
知识点 2
二元一次方程（组）的解
相等　
公共
3.（2024武威三模）若是方程x+ay=3的一个解，则a的值为
　　　　.
4.同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x，y的值为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
-1
A
（1）基本思路：二元→　　　　（消元思想）.
（2）基本：代入法、加减法.
①代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现　　　　，进而求得这个二元一次方程组的解.
②加减法：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或　　　　时，把这两个方程的两边分别相加或　　　　，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
知识点 3
二元一次方程组的解法
一元　
消元　
相等
相减
5.（2024乐山）解方程组：
解：①+②，得3x=9，解得x=3，
把x=3代入②，得y=1，
所以方程组的解是.
6.（2024浙江）解方程组：
解：①×3+②，得10x=5，解得x=，
把x=代入①，得2×-y=5，解得y=-4，
所以方程组的解是.
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的　　　　关系；
（2）设：用字母表示题目中的　　　　数（可以直接设，也可以间接设）；
（3）列：根据两个等量关系列出相应的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个所列出的方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否有意义和是否符合实际；
（6）答：写出答案.
知识点 4
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
相等
未知
7.（跨学科融合）（2024吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解：设白色琴键有x个，黑色琴键有y个，
由题意得，解得.
答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个.
8.（人教7下P100改编）一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）.小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如下表，求x，y的值.
时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元）
小明 8 8 12
小刚 12 10 16
解：根据题意得解得
解三元一次方程组的基本思路：
三元一次方程组
9.解方程组：
10.【例1】下列是二元一次方程组的是（　　）
A. B.
C. D.
A　
15.若是方程ax+by=3的解，则代数式2（a+2b）-5的值为
　　　　.
1　
11.【例2】在3x+4y=9中，若2y=6，则x= 　.
-1
16.如果x-3y=5，那么1-x+3y=　　　　.
-4
12.【例3】解方程组：
解：
①×2+②，得5x=25，解得x=5，
将x=5代入①，得5-2y=1，解得y=2，
∴原方程组的解为.
17.解方程组：
解：
①×2+②×3，得13x=143，解得x=11.
将x=11代入①，得2×11+3y=49，解得y=9.
∴该方程组的解为
13.【例4】（数学文）（2024西安模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢、
布各有多少？设绢有x疋，布有y疋，则可列方程组为　　　　　　.
18.（数学文）（2024淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？意思为：现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？设有x个客人，y个盘子，则可列方程
组为　　　　　　　　.
14.【例5】（跨学科融合）我国是一个淡水资源缺乏的国家，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3，中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
解：设中国人均淡水资源占有量为x m3，美国人均淡水资源占有量为y m3.
根据题意得解得
答：中、美两国人均淡水资源占有量分别为2 300 m3和11 500 m3.
★19. （人教7下P119，教材新增）（运算能力）为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12 m3时，按一级单价收费；超过12 m3时，超过部分按二级单价收费.五月份张华家用水14 m3，缴费37.6元；李明家用水17 m3，缴费47.2元.那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
0.40
解：设这个市一级水费的单价是x元，二级水费的单价是y元，
由题意得，解得.
答：这个市一级水费的单价是2.6元，二级水费的单价是3.2元.(共17张PPT)
第十章　二元一次方程组
第3课时　代入消元法（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）掌握代入消元法，能解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的消元思想，“未知为已知”的归思想.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
示例：已知2x-3y=1，
（1）用含x的代数式表示y，则y=　　　　；
（2）用含y的代数式表示x，则x=　　　　.
知识点 1
用一个未知数表示另一个未知数
　
1.已知3x+4y=3，
（1）用含y的代数式表示x，则x=　　　　；
（2）用含x的代数式表示y，则y=　　　　.
　
（1）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转为我们熟悉的　　　一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.
（2）消元时，通常选择系数的绝对值较　　　的未知数作为目标，用含另一个未知数的式子表示它.
知识点 2
消元思想（二元→一元）
一元　
小
2.解二元一次方程组时，第一个方程2x+3y=7可以写成x=　　　　，再把第二个方程3x+2y=8中的x换成　　　　，这个方程就为一元一次方程3×　　　　+2y=8，解得y=　　　　.从而可以求出x的值，得到这个方程组的解.
　
　
　
1
（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现　　　　，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的叫作代入消元法，简称代入法.
（2）代入法的解题步骤：
①变：选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
②代：将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
知识点 3
代入消元法
消元
③解：解②中得到的一元一次方程，求出x（或y）的值；
④回代：将x（或y）的值代入方程组中的任意一个方程（y=ax+b或x=ay+b），求出另一个未知数；
⑤联：将求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，就是原方程组的解.
3.（人教7下P93，教材新增）用代入法解方程组：
解：由①得x=-，③
把③代入②，得9+7y=39，解得y=3，
把y=3代入③，得x=2，
所以这个方程组的解是
4.（人教7下P95，教材新增）用代入法解方程组：
解：由①得y=+，③
把③代入②，得5x+4=13，解得x=1，
把x=1代入③，得y=2，
所以这个方程组的解是
5.【例1】（人教7下P99，教材新增）用代入法解方程组：
解：由①得x=+，③
把③代入②，得4-3y=7，解得y=-1，
把y=-1代入③，得x=1，
所以这个方程组的解是
8.（人教7下P99）用代入法解方程组：
解：由①得t=-， ③
把③代入②，得6u-2=11，解得u=2，
把u=2代入③，得t=，
所以这个方程组的解是
6.【例2】（人教7下P95，教材新增）用代入法解方程组：
解：由②得m=-3，③
把③代入①，得3+2n=17，解得n=4，
把n=4代入③，得m=3，
所以这个方程组的解是
9.（人教7下P99，教材新增）用代入法解方程组：
解：由①得x=-，③
把③代入②，得3-4y=18，解得y=51，
把y=51代入③，得x=74，
所以这个方程组的解是
7.【例3】（人教7下P94，教材新增）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，
根据题意得，解得.
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
★10. （人教7下P100，教材新增）（运算能力）为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级（1）班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级（2）班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元.如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？
0.50
解：设每套男生演出服的租用费是x元，每套女生演出服的租用费是y元，
根据题意得，解得.
答：每套男生演出服的租用费是20元，每套女生演出服的租用费是30元.(共11张PPT)
第十章　二元一次方程组
新课标新题型　综合实践与探究
教材拓展
1.（素材来源：人教7下P115数学活动、北师8上P123做一做）综合与实践.
【课本再现】教材中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.
规定：以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象.
结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线.
示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A（-1，-1）和B（2，2），作出直线AB.
【初步判断】（1）已知C（1，2），D（-2，0），E（-1，2），则点　　　　（填“C”“D”或“E”）在方程2x+y=4的图象上；
C
【动手操作】（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）
解：如图：
【深入探究】（3）观察图象，两条直线的交点坐标为　　　　，由
此你得出这个二元一次方程组的解是　　　　；
【拓展延伸】（4）已知二元一次方程ax+by=6的图象经过点M（-1，3）和N（2，0），试求a，b的值；
（1，2）　
解：把点M（-1，3）和N（2，0）代入方程ax+by=6得
由②得a=3，把a=3代入①得b=3，∴a的值为3，b的值为3.
（5）在同一平面直角坐标系中，二元一次方程y=x+3的图象l1和y=x-1的图象l2如图3所示.请根据图象，直接判断方程组的解的情况：　　　　.
无解
2.（素材来源：人教7下P116数学活动，教材新增）项目式学习.
【项目主题】轮胎换位问题.
【问题情境】
目前，户外骑自行车进行锻炼已经成为我们日常生活中常见的一种锻炼方式.而在骑行的过程中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，所以行驶一定的里程轮胎就要报废.
【问题解决】
（1）如果前、后轮没有压力差，前轮可以行驶4 000 km，后轮也可以行驶4 000 km，那么这对轮胎行驶的里程数的最大值是　　 km；
4 000
【问题探究】
由于后轮受到的压力大，所以损耗也大一些，如果行驶到某里程数，将前、后轮交换一次，再使用到前后轮同时报废，可以使行驶的里程数最大.
（2）设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，若前轮可以行驶5 000 km，后轮可以行驶3 000 km，则行驶的里程数为多少时交换前、后轮胎？这对轮胎行驶的里程数的最大值是多少？
解：由于每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为，
安装在后轮的轮胎每行驶1 km的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前行驶了x km，交换位置后行驶了y km，
根据题意得，
两式相加得+=2k，则x+y=3 750.
设行驶的里程数为a km时互换前、后轮胎，对一只轮胎而言，装在前轮上行驶了a km，装在后轮上就行驶了（3 750-a）km，
根据题意得+=1，解得a=1 875.
答：行驶的里程数为1 875 km时交换前后轮胎，这对轮胎行驶的里程数的最大值是3 750 km.(共14张PPT)
第十章　二元一次方程组
第7课时　实际问题与二元一次方程组（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程.
2.正确找出简单实际问题中的两个等量关系，并能列出二元一次方程组解决问题.
运算能力　推理能力
模型观念　应用意识
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的　　　关系；
（2）设：用字母表示题目中的　　　　数；
（3）列：根据两个等量关系列出相应的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个列出的方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否有意义和是否符合实际；
（6）答：写出答案.
知识点 1
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤（回顾）
相等
未知
1.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班和（5）班的竞技实力相当.关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6∶5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分.若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（　　）
A.　 B.
C.　 D.
D
知识点 2
建立二元一次方程组模型
2.（人教7下P102）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
分析：如图，一种划分方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和长方形BCFE.此时设AE=x m，BE=y m，根据问题中涉及长度、产量的相等关系，
列方程组，得
x+y=200　
100x∶（2×100y）=3∶4　
解这个方程组，得
过长方形土地的长边上离一端　　　　处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种植　　　　种作物，较小一块土地种植　　　　种作物.
　甲　
120
80
120 m
乙
3.【例1】（北师8上P133）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别为多少？
解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得解得
答：每块小长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
6.（人教7下P105，教材新增）如图，学校规划在一块长18 m、宽13 m的长方形场地ABCD上，分别设计与AD，AB平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮.如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边AM∶AN=8∶9，那么通道的宽是多少？
解：设通道的宽是x m，AM=8y m，
∵AM∶AN=8∶9，∴AN=9y m，
由题意得，解得.
答：通道的宽是1 m.
4.【例2】（人教7下P103，教材新增）如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式.为了使格子的各行、各列及对角线上三个数之和均相等，x，y各应取什么值？
2x 3 2
x+2y -3
4y
解：由题意得，
简得，解得.
答：x应取-1，y应取1.
7.（数学文）（2024南京模拟改编）我国古代夏禹时期的“洛书”，就是一个三阶“幻方”（各行、各列及对角线上三个数字之和相等）.如图，在显示部分数据的新“幻方”中，根据寻找出的关系，求y|x|的值.
解：根据题意得，
解得，
∴y|x|=（-6）|-2|=36.
5.【例3】（人教7下P103，教材新增）某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为180 m的河道的清理任务.已知A工程队每天清理12 m，B工程队每天清理8 m，两个工程队工作天数之和为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？
解：设A工程队清理了x m长的河道，B工程队清理了y m长的河道，
由题意得，解得.
答：A工程队清理了60 m长的河道，B工程队清理了120 m长的河道.
★8. （运算能力）某超市的甲品牌汤圆打八折，乙品牌汤圆打七五折.已知打折前，买6箱甲品牌汤圆和3箱乙品牌汤圆需600元；打折后，买50箱甲品牌汤圆和40箱乙品牌汤圆需5 200元.打折前甲、乙两种品牌的汤圆每箱分别多少元？
0.45
解：设打折前甲品牌汤圆每箱x元，乙品牌汤圆每箱y元，
依题意，得，解得.
答：打折前甲品牌汤圆每箱40元，乙品牌汤圆每箱120元.(共9张PPT)
第十章　二元一次方程组
母题探源　《二元一次方程组》
教材母题精选（北师大版）
1.（北师8上P132知识技能）二元一次方程组的解是
（　　）
A.　 B. C.　 D.
C
2.（北师8上P132知识技能）和都是方程ax-y=b的解，求a与b的值.
解：∵和都是方程ax-y=b的解，
∴解得
3.（跨学科融合）（北师8上P134问题解决）某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15 t，实际生产了17 t，其中水稻超产15%，小麦超产10%，该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
解：设该专业户去年计划生产水稻x t，小麦y t，
则解得
所以（1+15%）×10=11.5（t），（1+10%）×5=5.5（t）.
答：该专业户去年实际生产水稻11.5 t，小麦5.5 t.
4.（北师8上P134问题解决）某景点的门票价格规定如下：
某校七年级（1）（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人.如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1 118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少钱.问两班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？
购票人数（人） 1~50 51~100 100以上
每人门票价（元） 12 10 8
解：设（1）班、（2）班人数分别为x，y，
根据题意，得解得
所以（1）班、（2）班分别有49人、53人.
联合起来购票能省1 118-102×8=302（元）.
5.（北师8上P134问题解决）如图是由6块颜色不同的正方形拼成的长方形.已知中间小正方形的边长为1，求这个长方形的面积.
解：设右下角的小正方形的边长为x，右上角的最大正方形的边长为y，
由题意得，解得，
∴长方形的长为x+2+y=13，宽为x+y=11，
∴这个长方形的面积为13×11=143.
6.（北师8上P134联系拓广改编）将方程组整理得故原方程组的解有无数个.不解方程组，直接探索下列二元一次方程组解的情况：
（1）
有唯一解　
（2） （3）
有无数个解　
无解(共19张PPT)
第十章　二元一次方程组
第2课时　代入消元法（1）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.（2022新课标）掌握代入消元法，能解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的消元思想，“未知为已知”的归思想.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
示例：已知x+y=1，
（1）用含x的代数式表示y，则y=　　　　；
（2）用含y的代数式表示x，则x=　　　　.
知识点 1
用一个未知数表示另一个未知数
1-x　
1-y
1.（人教7下P93）已知2x-y=3，
（1）用含y的代数式表示x，则x=　　　　；
（2）用含x的代数式表示y，则y=　　　　.
　
2x-3
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转为我们熟悉的　　　　一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
知识点 2
消元思想（二元→一元）
一元
2.解二元一次方程组时，第一个方程x+y=1可以写成x=
　　　　，再把第二个方程x+2y=3中的x换成　　　　，这个方程就为一元一次方程1-y+2y=3，解得y=　　　　.从而可以求出x的值，得到这个方程组的解.
2
1-y
1-y
（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现　　　　，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的叫作代入消元法，简称代入法.
（2）代入法的解题步骤：
①变：选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
②代：将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
知识点 3
代入消元法
消元
③解：解②中得到的一元一次方程，求出x（或y）的值；
④回代：将x（或y）的值代入方程组中的任意一个方程（y=ax+b或x=ay+b），求出另一个未知数；
⑤联：将求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，就是原方程组的解.
3.（2024乐山）用代入法解方程组：
4.用代入法解方程组：
5.【例1】对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
B
9.（2024武威二模）方程组用代入法消去y后所得的方程是（　　）
A.3x-4x-10=8 B.3x-4x+5=8
C.3x-4x-5=8 D.3x-4x+10=8
D
6.【例2】用代入法解方程组：
解：
把①代入②，得3x+2x-4=1，解得x=1.
把x=1代入①，得y=-2.
所以方程组的解为
10.用代入法解方程组：
解：
由①得x=2y，③
把③代入②，得3×2y+2y=8，解得y=1.
把y=1代入③，得x=2，
所以方程组的解为
　　　　　 　　　　　 　　　　　
7.【例3】（人教7下P92、北师8上P108改编）用代入法解方程组：
解：
由①得y=x-3，③
把③代入②，得3x-8（x-3）=14，解得x=2.
把x=2代入③，得y=-1.
所以方程组的解为
11.（人教7下P92，教材新增）用代入法解方程组：
解：由②得y=2x-16，③
把③代入①，得3x-5（2x-16）=3，解得x=11，
把x=11代入③，得y=6，
所以方程组的解是
8.【例4】已知钢笔每支5元，圆珠笔每支2元，小明用16元钱买了这两种笔共5支，小明买钢笔和圆珠笔各多少支？
解：设小明买钢笔x支，买圆珠笔y支.
根据题意列出方程组得解得
答：小明买钢笔2支，买圆珠笔3支.
★12. （运算能力）某治污公司决定购买污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多2万元，购买2台A型号设备比购买3台B型号设备少6万元.求A，B两种型号设备的单价.
0.45
解：设A型号设备每台x万元，B型号设备每台y万元，
根据题意得解得
答：A，B两种型号设备的单价分别为12万元，10万元.(共7张PPT)
第十章　二元一次方程组
微专题12　二元一次方程组的同解问题
（运算能力）
1.【例1】已知方程组的解满足x+y=6，求k的值.
解：由题意得，解得.
把x，y的值代入2x+y=k，得k=17.
4.已知方程组的解满足2x+3y=5，求a的值.
解：由题意得，
由①得x=y-5，③
把③代入②，得y=3，
把y=3代入③，得x=-2，
把x=-2，y=3代入x+ay=4，解得a=2.
2.【例2】（2024长沙一模）已知方程组和有相同的解，求a，b的值.
解：由题意得方程组，解得，
代入x+y=a，得a=2，
代入x-y=b，得b=4，
故a=2，b=4.
5.已知方程组与有相同的解，求a，b的值.
解：由题意得方程组，解得，
代入其他两个方程得，解得.
3.【例3】（2024漳州模拟）已知关于x，y的方程组的解满足x-y=2，求k的值.
解：，
①-②，得y=-，
把y=-代入x-y=2，得x=，
把x=，y=-代入①，得k=1.
6.已知关于x，y的方程组的解满足x+y=5，求m的值.
解：由题意得，
①+②，得3x+3y=4m+1，
由x+y=5，得3（x+y）=15，即3x+3y=15，
∴4m+1=15，解得m=3.5.(共8张PPT)
第十章　二元一次方程组
微专题13　二元一次方程组的跨学科应用
（情境命题、运算能力）
1.【例1】（2024绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀；每只蝉有6条腿，1对翅膀.现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，求蜻蜓和蝉的只数.
解：设蜻蜓有x只，蝉有y只，
根据题意得，解得.
答：蜻蜓有3只，蝉有4只.
3.（2024东莞模拟）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如下表.如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物 每克乙种食物
所含蛋白质 0.5单位 0.7单位
所含铁质 1单位 0.4单位
解：设甲、乙两种食物各需 x 克、y 克，
根据题意得，解得.
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物各需28克，30克.
2.【例2】（2024山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意得，解得.
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克.
4.（2024清远二模）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池.”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，求米乐和琪琪各收集了多少节废电池.
解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，
根据题意得，解得.
答：米乐收集了17节废电池，琪琪收集了10节废电池.(共15张PPT)
第十章　二元一次方程组
第10课时　*三元一次方程组的解法（2）
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.知道解三元一次方程组的基本思想是消元，即“三元”为“二元”.
2.（2022新课标）*能解简单的三元一次方程组（选学）.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
（1）解三元一次方程组的基本思路：
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①通过“代入”或“加减”，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
知识点 1
三元一次方程组的解法（回顾）
②解①中得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程，求出另外一个未知数的值；
④用“｛“将所求的三个未知数的值联立起来.
（3）温馨提示：在消元时，注意首先确定要消去哪个未知数，再根据情况选择进行代入消元还是加减消元，解题时要根据各方程的特点寻求较简单的解法.
1.已知
②-①，得　　　　　　，
若x+y=3，则z的值为　　　　.
x+y=z+6　
-3
2.解三元一次方程组：
解：①+②，得4a+5c=13，④
④-③，得6c=6，解得c=1，
将c=1代入③，得4a-1=7，解得a=2，
将a=2，c=1代入②，得6+2b+1=1，解得b=-3，
所以方程组的解为.
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案.
知识点 2
三元一次方程组的应用
3.（人教7下P111、北师8上P129）已知甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的.求这三个数.
解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z，
由题意得，解得.
答：甲、乙、丙这三个数分别是10，15，10.
4.【例1】（人教7下P109）在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.
解：根据题意列方程组，
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10，⑤
④与⑤组成方程组，解得，
把a=3，b=-2代入①，得c=-5，因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
7.（人教7下P111，教材新增）在等式z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4.求a，b，c的值.
解：根据题意列方程组，
②-①，得a-b=-3，④
①-③，得2a+3b=4，⑤
④与⑤组成方程组，解得，
把a=-1，b=2代入②，得c=5，因此a，b，c的值分别为-1，2，5.
5.【例2】（人教7下P110，教材新增、北师8上P131改编）一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，由题意得 ，解得，
因此这个三位数为473.
8.（人教7下P111，教材新增）一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11.求这个三位数.
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，由题意得，解得，
因此这个三位数为245.
6.【例3】（北师8上P131改编）在第24届冬季奥林匹克运动会上，中国队共获得15枚奖牌，其中金牌比银牌多125%，银牌比铜牌多100%.中国队获得的金、银、铜牌各有多少枚？
解：设中国队获得的金牌有x枚、银牌有y枚、铜牌有z枚，
由题意得，解得.
答：中国队获得的金牌有9枚、银牌有4枚、铜牌有2枚.
★9. （运算能力）已知某个三角形的周长为18，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形三边的长度.
0.45
解：设这个三角形三边的长度分别为a，b，c，
由题意得，解得.
答：这个三角形三边的长度分别为7，5，6.(共25张PPT)
第十章　二元一次方程组
第1课时　二元一次方程组的概念
03
对点训练
02
知识要点
01
学习目标
04
精典范例
05
变式练习
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程的解和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的解.
抽象能力　运算能力
模型观念　应用意识
（1）概念：一个方程含有　　　个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是　　　，像这样的方程叫作二元一次方程.
（2）要点：①含有两个未知数，即未知数的系数不能为0；②含有未知数的式子必须是整式；③含有未知数的项的次数都是1.
知识点 1
二元一次方程
两　
1
1.下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A.x-5=3
B.x+=3
C.x+y=1
D.xy=3
C
（1）概念：一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是　　　，一共有　　　个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
（2）要点：①一共有两个方程；②方程组中共含有两个未知数；③含有未知数的式子必须是整式；④所含未知数的项的次数都是1.
知识点 2
二元一次方程组
1　
两
2.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
D
（1）一般地，使二元一次方程两边的值　　　　的两个未知数的 ，叫作二元一次方程的解.
（2）注意：一个二元一次方程有　　　　个解.
知识点 3
二元一次方程的解
相等　　
值
无数
3.（2024滨州一模）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是（　　）
A. B. C. D.
D
（1）一般地，二元一次方程组的两个方程的　　　　解，叫作二元一次方程组的解.
（2）注意：①书写方程组的解时，用“｛”把各个未知数的值连接在一起，写成的形式；②一般地，二元一次方程组的解是唯一的，但也有方程组有无数个解（未知数的对应系数成比例时）.
知识点 4
二元一次方程组的解
公共
4.下列各组数中，是方程组的解的是（　　）
A.　 B.C.　 D.
B
5.【例1】下列是二元一次方程的是（　　）
A.8x2+1=y　 B.y=8x+1
C.y=　 D.xy=1
B　
12.下列是二元一次方程组的是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
A　
6.【例2】（人教7下P90改编、北师8上P105改编）下列各组数中，是二元一次方程4x-3y=5的解的是（　　）
A.　 B.
C.　 D.
C
13.（人教7下P90改编、北师8上P105改编）方程组的解为（　　）
A. B.
C. D.
D
7.【例3】（2024玉树三模）已知是方程2x-5y=m的解，则m的值为　　　　.
11
14.（2024南宁一模）已知是方程ax+y=2的解，则a的值为
　　　　.
1　
8.【例4】已知是方程组的解，则a+b=
　　　　.
0
15.（2024北京二模）写出一个以为解的二元一次方程组是
　　　　　　 　　.
（答案不唯一）　
9.【例5】如果方程xm+1+yn-1=0是二元一次方程，那么m=　　　　，n=　　　　.
0　
2
16.已知3x+4y=9，如果有2y=6，那么x=　　　　.
-1
10.【例6】（人教7下P90）如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，求：
（1）x，y满足的关系式；
（2）当x=90时，y的值；
（3）当y=60时，x的值.
解：由三角形内角和定理，可得x+2y=180.
解：当x=90时，90+2y=180，解得y=45.
解：当y=60时，x+120=180，解得x=60.
17.（北师8上P106）甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
（1）列出关于x，y的二元一次方程：
　　　　　　　　　　　　；
（2）若x=12，则y=　　　　；
（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有　　　　个.
4x+7y=76　
4　
5　
11.【例7】（人教7下P89，教材新增）某村乡村振兴项目计划把28 t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t，后在技术顾问的指导下改进加工，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务.若设这个项目改进加工前用了x天，改进加工后用了y天，则列出二元一次
方程组为　　　　　　　　，问题的解为　　　　　　.
　
★18. （北师8上P106）（运算能力）有一摞笔记本，每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本，共有多少本笔记本，多少个同学？请用二元一次方程组表示题中的数量关系并找出问题的解.
0.45
解：设有x本笔记本，y个同学，由题意得，
找出方程组的解为.
答：共有33本笔记本，5个同学.

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