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(共15张PPT)
第10章10.5第3课时 用二元一次方程组解决问题（3）
1. 线形示意图是梳理、分析问题中等量关系的常用策略.
2. 行程问题中几种常见的等量关系如下：
相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙两人的路程和.
追及问题：追者走的路程＝前者走的路程＋一开始时两人相距的路程.
顺、逆行问题：顺行速度＝静水（风）速度＋水（风）速，逆行速度＝静水
（风）速度－水（风）速.
＋
－
1. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用了20
分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他家
离学校的距离是3 350米.设他骑自行车和步行的时间分别为x分钟、y分钟，
则列出的二元一次方程组是（D）
A. B.
C. D.
D
2. 餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起（如图），根据图中的信息计算20个同
样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是80cm.
80
3. 在长为10 m、宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割
出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图所示.则小长方形花圃的长为
4m，宽为2m.
4
2
4. 甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练.两人从相距80千米的两
地同时出发，相向而行，经过2小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙
出发1.6小时后两人相遇.求甲、乙两人的速度.
设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时.
根据题意，得解得
答：甲的速度为16千米/时，乙的速度为24千米/时.
根据题意，得解得
5. 七（1）班学生为了参加学校文化评比，买了22张彩色的卡纸制作如图所
示的图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以
剪5个三角形或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸
x张，剪圆形的卡纸y张，可列方程组为（ A）
A. B.
C. D.
A
6. （2025·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如图，
将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a＋b＝99.
解析：根据题意，得解得所以a＋b＝99
99
7. A，B两地相距80千米，一艘船往返两地，顺水航行需要4小时，逆水航
行需要5小时.
（1）求船在静水中的速度与水流速度.
设这艘船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时.
由题意，得解得
答：这艘船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为 2千米/时.
由题意，得解得
（2）若船早上8点出发从A地顺水航行，到达B地后得知A，B两地之间的
C地遇突发情况需要支援，船立刻逆流返回，已知C地距离A地44千米，则
14：30之前能否赶到C地？
因为从A地顺水航行到达B地需要4小时，
从B地逆流航行到达C地需要（80－44）÷（18－2）＝2.25（小时），2.25
小时＝2小时15分钟，
所以船早上8点出发，12：00到达B地，14：15到达C地，所以14：30之前
能赶到C地.
8. 甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡.一汽车下午1点从甲
地出发到达乙地时是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返
回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下
坡路每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡路分
别是多少千米.
从下午1点到下午3点30分共2.5小时，到达乙地停留30分钟后是4点，从
下午4点到下午6点48分共2.8小时.
设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74
－x－y）千米.
根据题意，得解得
所以74－x－y＝74－30－16＝28.
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是
28千米.
根据题意，得解得
9. 几何直观·应用意识甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，
甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑
完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长.
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米.
由题意，得解得
则2.5x＝2.5×150＝375.
答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米.
由题意，得解得(共21张PPT)
第10章10.5第2课时 用二元一次方程组解决问题（2）
列表是梳理、分析问题中等量关系的常用策略.
1. 某校团支部组织优秀团员进行垃圾清理，在分发垃圾袋时，若每人发2个
垃圾袋，则多6个，若每人发3个垃圾袋，则少6个.设有x个优秀团员，y个
垃圾袋.则下列所列方程组不正确的是（A）
A. B.
C. D.
A
2. 某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部
分按每千米另收费.甲、乙两位同学乘出租车的总路程与所付费用如表所示.设
这种出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，则根据题
意列出的方程组为.（不需要化简）
总路程/千米 所付费用/元
甲同学 7 19
乙同学 21 54
3. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，
不知所失几何.但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹.问
人、绢各几何？求绢被盗多少匹.（注释：绢：纺织品的统称；人得：每人分
得；匹：量词，用于纺织品等；盈：剩下）
设贼有x人，绢被盗y匹.
根据题意，得解得
答：绢被盗84匹.
根据题意，得解得
4. 某公园的门票价格如下表：
购票人数/人 1～50 51～100 100人以上
每人门票价/元 13 11 9
某校七年级（1），（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中七（1）班
不到50人，七（2）班有50多人.经估算，如果两个班都以班为单位分别购
票，则一共应付1 240元，如果两个班联合起来作为一个团体购票，则可节省
不少钱.两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？
设七（1）班有x人，七（2）班有y人.
根据题意，得解得
节省钱数为1 240－104×9＝304（元）.
答：七（1）班有48人，七（2）班有56人，联合起来购票能省304元.
根据题意，得解得
5. 为准备母亲节礼物，同学们委托小明团购鲜花或礼盒.每束鲜花的售价相
同，每份礼盒的售价也相同，若团购14束鲜花和17份礼盒，差70元；若团
购17束鲜花和14份礼盒，剩50元.若团购18束鲜花和13份礼盒，则剩90
元.
90
解析：设团购鲜花的单价为x元/束，团购礼盒的单价为y元/份，原有a元.根
据题意，得（①－②）÷3，得y－x＝40，所以
18x＋13y＝14x＋17y－4（y－x）＝a＋70－160＝a－90，所以若团购18束鲜
花和13份礼盒，剩90元.
6
. 邮购每册6元的某种杂志，邮寄费和优惠率如表：
邮购册数 1～99 100以上（含100）
邮寄费用 书价的10％ 免费邮寄
书价优惠 不优惠 优惠10％
两次邮购这种杂志共200册，总计金额1 140元，则第一次邮购杂志50册，
第二次邮购杂志150（或150 50）册.
50
150（或150 50）
解析：设两次邮购杂志分别为x册、y册（x≤y）.因为6×200×（1－10％）
＝1 080（元），1 080＜1 140，所以x＜100，y＞100.根据题意，得
解得
解得
7. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三
公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思
是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么
就空出一间房（其余房间住满）.
（1）该店有客房多少间？房客多少人？
设该店有客房x间，房客y人.
根据题意，得解得
答：该店有客房8间，房客63人.
根据题意，得解得
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20
钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按
八折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
若每间客房最多入住4人，则63名房客至少需客房16间，需付费20×16＝
320（钱）；若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288（钱）.因为
288＜320，所以一次性订客房18间更合算.
8
. （徐州中考）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计
费；寄件超过1千克的部分按千克数计费.小丽分别寄快递到上海和北京，收
费标准及实际收费如表：
收费标准
目的地 起步价/元 超过1千克的部分/（元/千克）
上海 a b
北京 a＋3 b＋4
实际收费
目的地 质量/千克 费用/元
上海 2 9
北京 3 22
求a，b的值.
根据题意，得
解得
所以a的值为7，b的值为2.
根据题意，得
解得
9. 应用意识·运算能力 某班级打算在教室里添置一些洗手液，王老师想请班里
的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理地为班里采购一些
洗手液.
问题分析：设第一次购买洗手液a袋，第二次购买洗手液b袋.由题意可知a
＜b.
当0＜a＜10时，根据题意，得解得（不合题意，舍去），
当10≤a≤20时，根据题意，得解得
当10≤a≤20时，根据题意，得解得
当20＜a＜25时，根据题意，得方程组无解.
所以第二次还可以购买洗手液36袋.
问题应用：设分装300 mL的洗手液m瓶，500 mL的洗手液n瓶.
根据题意，得300m＋500n＋20（m＋n）＝9 600，
所以m＝30－n.
因为m，n均为正整数，所以或
因为要使分装时总损耗20（m＋n）最小，又17＋8＞4＋16，所以分装时需要
300 mL的空瓶4瓶，500 mL的空瓶16瓶，才能使总损耗最小.
因为m，n均为正整数，所以或(共8张PPT)
第10章综合与实践 膳食结构与热量平衡
每年5月20日是中国学生营养日.某营养餐公司为学生提供的350 g早餐
食品中，蛋白质总含量为10％，早餐包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡
蛋（一个鸡蛋的质量约为50 g，蛋白质含量占12％；谷物食品和牛奶的部分
营养成分如表所示）.
1. 设该份早餐中谷物食品为x g，牛奶为y g，请写出谷物食品中所含的蛋白
质为13％xg，牛奶中所含的蛋白质为3％yg.（用含有x，y的代数式表示）
13％x
3％y
2. 求出x，y的值.
根据题意，得
解得
答：x的值为200，y的值为100.
根据题意，得
解得
3
. 该公司为学校提供的营养午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）.
套餐 主食/g 肉类/g 蔬果/g 其他/g
A 150 70 200 30
B 130 75 220 25
为了膳食平衡，建议学生适当地多摄入蔬果量.如果在一周里，学生午餐蔬果
摄入总量不少于1 060 g，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出
所有的方案.（说明：一周按5天计算）
①若该学校一周里有5天选择B套餐，则学生午餐蔬果摄入总量为5×220＝1
100（g），1 100＞1 060；
②若该学校一周里有1天选择A套餐，有4天选择B套餐，则学生午餐蔬果
摄入总量为200＋4×220＝1 080（g），1 080＞1 060；
③若该学校一周里有2天选择A套餐，有3天选择B套餐，则学生午餐蔬果
摄入总量为2×200＋3×220＝1 060（g）；
1 060＝1 060；
④若该学校一周里有3天选择A套餐，有2天选择B套餐，则学生午餐蔬果
摄入总量为3×200＋2×220＝1 040（g），1 040＜1 060；
⑤若该学校一周里有4天选择A套餐，有1天选择B套餐，则学生午餐蔬果
摄入总量为4×200＋220＝1 020（g），1 020＜1 060；
⑥若该学校一周里有5天选择A套餐，则学生午餐蔬果摄入总量为5×200＝1
000（g），1 000＜1 060.
因为要求在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1 060 g，所以符合要求的
方案共有三种：方案一：B套餐5天；方案二：A套餐1天，B套餐4天；方
案三：A套餐2天，B套餐3天.(共24张PPT)
第10章10.1 二元一次方程
1. 含有 两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次
方程.一般形式是ax＋by＝c，其中a，b，c都是常数，且a≠0，b≠0.
两
1
≠
≠
2. 满足二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的一个解.一个
二元一次方程通常有很多个解.
一对未知数
很多
1. 下列方程：①xy＝5；②＋y＝3；③2x＋3y＝6；④x2＋2y＝0；⑤2x－y－z
＝0；⑥y＝z.其中二元一次方程的个数是（B）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
2. （无锡中考）下列4组数中，不是二元一次方程2x＋y＝4的解的是（ D）
A. B.
C. D.
D
3. 若关于x，y的方程mx＋y2－n＝6是二元一次方程，则m≠0，n＝1.
≠0
1
4. 将方程5x＋y＝2写成用含x的代数式表示y的形式，则y＝2－5x（或－5x
＋2）.
2－5x（或－5x
＋2）
5. （1）已知二元一次方程x＋2y＝8，当y＝5时，x＝－2；
（2）方程x＋y＝6有无数个解，有5个正整数解.
－2
无数
5
6. （1）若 是二元一次方程2x＋3y＝k的一个解，则k的值是11；
（2）（金华中考）已知是方程3x＋2y＝10的一个解，则m的值是2.
11
2
7. 根据下列语句，列出二元一次方程（不求解）.
（1）x比y的3倍少7；
x＝3y－7
（2）已知长方形的长为x cm，宽为y cm，周长为20 cm；
2x＋2y＝20（或x＋y＝10）
（3）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，
需舍几何？”大意为有50头鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以
容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈
舍y间.
4x＋6y＝50
8. 若ax＋y｜a－1｜＝2x是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（B）
A. －2 B. 0 C. 2 D. 0或2
B
9. （温州中考）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5
倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为
x（g），y（g），可列出方程为（A）
A. x＋y＝30 B. x＋y＝30
C. x＋y＝30 D. x＋y＝30
解析：因为碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为x g，所以
碳水化合物含量是1.5x g.根据题意，得1.5x＋x＋y＝30，即x＋y＝30.故选
A.
A
10. 写出两个以 为解的二元一次方程：x＋y＝－2，x－y＝－4（答
案不唯一）.
x＋y＝－2，x－y＝－4（答
案不唯一）
11. （雅安中考）已知 是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5
的值为 1
解析：由题意得a＋2b＝3，则原式＝2（a＋2b）－5＝2×3－5＝6－5＝1.
1
12. 若 是方程4x－3y＝8的一个解，则m的值为 －.
解析：把代入方程4x－3y＝8，可得12m＋4－6m＋6＝8，解得
m＝－.
－
13. 甲种物品每个4 kg，乙种物品每个7 kg.现有甲种物品x个，乙种物品y
个，共76 kg.
（1）列出关于x，y的二元一次方程为4x＋7y＝76；
（2）若x＝12，则y的值为4；
（3）请将关于x，y的二元一次方程写成用含y的代数式表示x的形式：x＝；
4x＋7y＝76
4
x＝
（4）用列表的方式列出甲、乙两种物品个数的所有可能情况.
列表如下：
x 5 12 19
y 8 4 0
14. 创新意识·运算能力 对于二元一次方程2x－y＝3的任意一个解 给
出如下定义：若｜a｜＞｜b｜，则称｜b｜为方程2x－y＝3的“和谐值”；
若｜a｜＝｜b｜，则称｜a｜或｜b｜为方程2x－y＝3的“和谐值”，此时的
“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若｜a｜＜｜b｜，则称｜a｜为方程2x－
y＝3的“和谐值”.
（1）当a＝2时，此方程的“和谐值”是1；二元一次方程2x－y＝3的“和
谐平衡值”是1或3.
1
1或3
解析：由题意，当a＝2，即x＝2时，y＝1.所以b＝1.因为｜a｜＞｜b｜，所
以当a＝2时，此方程的“和谐值”是1.由题意，当二元一次方程2x－y＝3
存在“和谐平衡值”时，｜a｜＝｜b｜，所以｜x｜＝｜y｜，所以y＝±x.①
当y＝x时，2x－x＝3，所以x＝y＝3，所以｜a｜＝｜b｜＝3，所以此时二元
一次方程2x－y＝3的“和谐平衡值”是3.②当y＝－x时，2x＋x＝3，所以x
＝1，y＝－1，所以｜a｜＝｜b｜＝1，所以此时二元一次方程2x－y＝3的
“和谐平衡值”是1.综上，二元一次方程2x－y＝3的“和谐平衡值”是1或3.
（2）若二元一次方程2x－y＝3的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程
的解.
由题意，①当x＝5时，即2×5－y＝3，解得y＝7，
又｜7｜＝7＞｜5｜＝5，所以5是方程2x－y＝3的“和谐值”，符合题意，
此时方程的解为
②当x＝－5时，即2×（－5）－y＝3，解得y＝－13，
又｜－13｜＝13＞｜－5｜＝5，
所以5是方程2x－y＝3的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为
③当y＝5时，即2x－5＝3，解得x＝4，又｜5｜＝5＞｜4｜＝4，
所以4是方程2x－y＝3的“和谐值”，不符合题意.
④当y＝－5时，即2x＋5＝3，解得x＝－1，
又｜－5｜＝5＞｜－1｜＝1，
所以1是方程2x－y＝3的“和谐值”，不符合题意.
所以5是方程2x－y＝3的“和谐值”，符合题意，此时方程的解为
综上所述，所有满足条件的方程的解为
综上所述，所有满足条件的方程的解为(共21张PPT)
第10章10.4 三元一次方程组
1. 把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方
程组.
三
三
2. 解三元一次方程组的基本思路是消元，即化“三元”为“二元”，从而转
化为二元一次方程组求解，常用的方法有代入消元法和加减消元法.
二元
代入
加减
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（B）
A. B.
C. D.
B
2. 利用加减消元法解方程组 下列解法正确的是（A）
A. 要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③ B. 要消去z，先将①＋②，再
将①－③×3
C. 要消去y，先将①×3－②，再将①＋② D. 要消去y，先将①×3＋
②，再将①－②
A
3. 已知则x＋y＋z的值是40.
40
4. 解下列方程组：
（1）
（2）
5. 方程组的解x，y的和为12，则z的值为 （A）
A. 14 B. 10 C. 0 D. －14
解析：解方程组得 又因为x，y的和为12，即
2z－6＋4－z＝12，解得z＝14.故选A.
A
6. 若＝＝，且a－b＋c＝12，则2a－3b＋c等于（C）
A. B. 2 C. 4 D. 12
解析：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝7k，又因为a－b＋c＝12，所以
2k－3k＋7k＝12，解得k＝2，所以a＝4，b＝6，c＝14，所以2a－3b＋c＝
2×4－3×6＋14＝4.故选C.
C
7. 若（2x－4）2＋（x＋y）2＋｜4z－y｜＝0，则x＝ 2，y＝－2，z＝－.
解析：由题意得解得
2
－2
－
解析：由题意得解得
8. 已知xyz≠0，从方程组中求出x∶y∶z＝9∶5∶3..
解析：因为所以 所以x∶y∶z＝3z∶z∶z＝
3∶∶1＝9∶5∶3.
9∶5∶3
9. 甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元，购
买甲1件、乙2件、丙3件，共需210元，则购买甲、乙、丙三种商品各一件
共需85元.
解析：设购买甲、乙、丙三种商品各一件分别需要 x元、y元、z元.
根据题意，得
把这两个方程相加得4x＋4y＋4z＝340，即4（x＋y＋z）＝340，所以x＋y＋z
＝85，即购买甲、乙、丙三种商品各一件共需85元.
85
根据题意，得
10. 解下列方程组：
（1）
（2）
11. 已知y＝ax2＋bx＋c.当x＝－2和x＝1时，y的值都是－3，当x＝3时，y
＝7，求a，b，c的值.
根据题意，得
①－②，得3a－3b＝0，即a＝b.③－②，得8a＋2b＝10 ④.
把a＝b代入④，得a＝1，所以a＝b＝1.
把a＝b＝1代入②，得c＝－5，则a＝1，b＝1，c＝－5.
根据题意，得
1
2. 应用意识·运算能力 某物流公司要将120吨货物由A地运往B地.现有甲、
乙、丙三种车型可供选择，每种车的运载量和运费如表所示.（假设每辆车均
满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/（吨/辆） 5 8 10
汽车运费/（元/辆） 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问：分别需
甲、乙两种车型各几辆？
设需甲种车型x辆，乙种车型y辆.
由题意得解得
答：需甲种车型8辆，乙种车型10辆
（2）为了节约运费，要调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆
数为16，你能通过列方程组的方法求出有哪几种不同的调用方案吗？
设调用甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆.由题意得消去z得5x＋2y＝40，x＝8－y.因为x，y都是正整
数，且不大于16，所以y＝5或y＝10或y＝15，由z是正整数，解得
或
即有两种调用方案：①调用甲种车型6辆，乙种车型5辆，丙种车型5辆；②
调用甲种车型4辆，乙种车型10辆，丙种车型2辆.
或
（3）在（2）中哪种方案的运费最少？最少是多少元？
两种方案的运费分别是：
①400×6＋500×5＋600×5＝7 900（元）；
②400×4＋500×10＋600×2＝7 800（元）.
7 900＞7 800，方案②的运费最少.
答：调用甲种车型4辆，乙种车型10辆，丙种车型2辆的运费最少，最少是
7 800元.(共16张PPT)
第10章10.5第1课时 用二元一次方程组解决问题（1）
用二元一次方程组解决问题，通常要先设两个合适的未知数，然后根据实
际问题中的两个等量关系列出方程组，解这个方程组，并写出问题的答案.其
中，列表是梳理、分析问题中等量关系的常用策略.
两
两个等量关系
1. 某校决定购买A和B两种书.已知购买1本A种书和2本B种书需80元；
购买5本A种书与购买6本B种书的价格相同.如果设A种书每本x元，B种
书每本y元.根据题意列方程组正确的是（A）
A. B.
C. D.
A
2. 七年级选修击剑课的学生共有25人，某天一女生因事请假，当天的女生人
数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为x，男生人数为y，则下列方程
组中，能正确计算出x，y的是（ D）
A. B.
C. D.
D
3. （嘉兴中考）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡
值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡
有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为.
4. 小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加和为31，则小
强同学的生日是11月9日.
11
9
5. （2025·浙江中考改编）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用
到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表.
材料类别 彩色纸/张 细木条/捆
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多
少个？
设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，
根据题意，得解得
答：手工艺品A有3个，手工艺品B有1个.
根据题意，得解得
6. （营口中考）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6
公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大
收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小
收割机每小时分别收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（C）
A. B.
C. D.
C
7. 有一个两位数，它的两个数位上的数字之和为11，把这个两位数的个位数
字与十位数字对调，所得的新数比原数大63.设原两位数的个位数字为x，十
位数字为y，根据题意可列方程组为 .（不需要化简）
8. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定买一只
茶壶赠送一只茶杯，某人共付171元得茶壶、茶杯共36只（含赠品在内），
其中有茶壶7只，茶杯29只.
7
29
9. （安徽中考）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行
了如下调整：甲地上涨10％，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地
少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元.
根据题意，得解得
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元.
根据题意，得解得
10. 应用意识·运算能力 某校九年级开展了主题为“科技改变生活”的科技知
识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖
品，购买奖品的收据如表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的
信息，解决下列问题：
（1）购买D种奖品的金额为96元；
96
（2）求购买的B，C两种奖品的数量；
设购买的B，C两种奖品的数量分别为x件、y件，
根据题意，得解得
答：购买的B，C两种奖品的数量分别为8件、4件.
根据题意，得解得
（3）为在该校八年级同步推广此项活动，决定以上面的价格再购进B，C，D三
种奖品各若干件，共计20件，总花费400元，请确定购买方案.
设购进B种奖品m件、C种奖品n件、则D种奖品（20－n－m）件，
25m＋18n＋8（20－m－n）＝400，
整理得17m＋10n＝240.
因为m，n为正整数，
所以当m＝10时，n＝7，20－10－7＝3（件）.
答：购进B种奖品10件、C种奖品7件、D种奖品3件.(共19张PPT)
第10章10.2 二元一次方程组的概念
1. 把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二
元一次方程组.
相同
2. 二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解.
公共
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（B）
A. B.
C. D.
B
2. 若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则“ ”可以
表示为（C）
A. x B. y2－7x C. y－x D. x－y
C
3. 写出一个以 为解的二元一次方程组： （答案不唯一）.
（答案不唯一）
4. 若是二元一次方程组的解，则m＋n的值为 9.
9
5. 根据题意列出方程组（不求解）：
（1）某年级学生共有300人，其中男生人数y比女生人数x的2倍多6人；
（2）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，…，A10等标记来表示纸张的幅面
规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸，现计划将10张A2纸裁成
A3纸和A4纸共32张，设用x张A2纸裁成A3纸，用y张A2纸裁成A4
纸；
（3）（2025·宁夏中考）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买
羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价
各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱.
6. 已知关于x，y的方程组是二元一次方程组，则m＝（B）
A. ±1 B. 1 C. －1 D. 0
B
7. 手工课上，同学们用图①中的彩色和白色正方形纸片拼成如图②中的甲、
乙两种图案.现有50张彩色正方形纸片和130张白色正方形纸片，若拼成两种
图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了x个
甲图案，y个乙图案，则所列方程组为（B）
B
A. B.
C. D.
解析：拼成了x个甲图案，y个乙图案，则拼成x个甲图案要4x张彩色正方形
纸片、5x张白色正方形纸片；拼成y个乙图案要y张彩色正方形纸片、8y张
白色正方形纸片，所以一共要（4x＋y）张彩色正方形纸片、（5x＋8y）张白
色正方形纸片，所以可列方程故选B.
8. 已知x，y满足方程组则4x2－36y2的值为－20.
－20
9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，其中“方程”记载：“今有五
雀、六燕，集称之衡，雀俱重、燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀
重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文：“五只雀，六只燕共重一斤，雀重
燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的质量各为多少？”设一只雀
的质量为x斤，一只燕的质量为y斤，则可列方程组为 .
10. 小明解方程组得到的解为由于不小心滴上了两滴墨
水，刚好遮住了●和★这两个数，请你帮他求出这两个数.
将x＝4代入3x－y＝15，得y＝－3，所以3x＋y＝3×4－3＝9，所以●表示的
数为9，★表示的数为－3.
11. 若方程组的解中x与y相等，求m的值.
依题意得x＝y，所以2x＋3y＝5x＝1，所以x＝y＝.因为（m－1）x＋（m＋
1）y＝4，所以（m－1）＋（m＋1）＝4，所以m＝10.
12. 推理能力·运算能力 已知方程组 的解为
（1）方程组 的解为，方程组 的解为；
（2）求方程组 的解.
令x＋y＝m，y＋1＝n，所以原方程组可化为解得所以x＋y＝3，y＋1＝2，解得y＝1，x＝2，即原方程组的解为(共17张PPT)
第10章10.3第2课时 加减消元法
1. 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，
消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种
解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
相减
一元一次方程
2. 运用加减消元法解二元一次方程组的目的是将“二元”转化为“一元”.
一元
1. （2024·苏州中考改编）解方程组时，若将①－②可得（C）
A. －2y＝－4 B. －2y＝4
C. 4y＝4 D. 4y＝－4
C
2. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元
的是（B）
A. ①×2＋② B. ①×2－②
C. ①×3＋② D. ①×（－3）－②
B
3. 若m－n＝1，m＋n＝3，则m＋2n的值是4.
4
4. （1）（2025·徐州中考）若二元一次方程组的解为则a＋b的值为1.
（2）（彬州中考改编）已知二元一次方程组则x－y的值为2.
1
2
5. 用加减法解下列方程组：
（1）（连云港中考）
（2）
（3）（2024·浙江中考）
（4）
6. 若3a5b2x＋3y与－4a2x＋yb3是同类项，则x＋y的值是（B）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
7. （眉山中考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满
足x－y＝4，则m的值为（B）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：因为关于x，y的二元一次方程组为 ①－
②，得2x－2y＝2m＋6，所以x－y＝m＋3.因为x－y＝4，所以m＋3＝4，所
以m＝1.故选B
B
8. 已知是方程组的解，则（a＋b）（a－b）的值是－8.
－8
9. 用加减法解下列方程组：
（1）
（2）（眉山中考）
（3）
（4）
10. 已知关于x，y的二元一次方程组和的解
相同，求代数式3a＋7b的值.
因为两个方程组的解相同，所以方程组 的解即是它们的公共
解，解得 把它们分别代入剩余两个方程，得 解得 则3a＋7b＝3－21＝－18.
11. 推理能力·运算能力 甲、乙两人解关于x，y的方程组甲正
确解得乙因抄错c，解得试求a，b，c的值.
把 代入cx－3y＝－2，解得c＝－5.
再把和 分别代入ax＋by＝2，
得 解得 所以a＝，b＝，c＝－5.(共35张PPT)
第10章 章 末 复 习
代入
加减
代入
加减
1. 下列方程组中不是二元一次方程组的是（D）
A. B.
C. D.
D
2. 已知方程ax－5y＝2x＋1是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是
（D）
A. a≠0 B. a≠5 C. a≠－1 D. a≠2
D
3. 下列二元一次方程：①x－y＝－1；②2x＋y＝0；③x＋2y＝－3；④3x＋2y
＝1，选择其中两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则
选择的两个方程是（B）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
B
4. （2024·宜宾中考）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个
大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝.该果农现采摘了32 kg荔枝，根据市
场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（C）
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
C
5. （湘潭中考）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和
团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准
备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40
条，则每个比赛场地有几张桌子和几个凳子？设有x张桌子，有y个凳子，根
据题意可列方程组为 .
6. （绍兴中考）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是 x－y（答案不唯一）.
x－y（答案不唯一）
7. 已知与是二元一次方程mx＋ny＝5的两个解，则m＋n＝2.
2
8. 方程3x－y＝4有一个解 且m与n互为相反数，则3m＋n＝2.
2
9. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
10. （2024·北京中考）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1
日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型
号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排
放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原
为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B
类物质排放量降低了75％，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次
技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车的A类物质排放量原为x mg/km，B类物质排放量原为y mg/km，
根据题意，得 解得
所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为（1－50％）x＝34 mg/km.
因为“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，
所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
11. 若5x3m－2n－2yn－m＋11＝0是二元一次方程，则2m－n的值为（D）
A. －2 B. 3 C. 4 D. 2
D
12. 已知方程组的解是正整数，则m的值为（ C）
A. 6 B. 4 C. －4 D. 2
C
13. （2025·兰州中考）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之
一.“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半
匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问
一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，
则可列方程组为（ A）
A
A. B.
C. D.
14. 已知｜x＋2y－9｜＋（3x－y＋1）2＝0，则x＝ 1，y＝4.
1
4
15. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，
B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且2a－3b＝－2，那么数轴的原点是
点 D.
D
16. 已知关于x，y的方程组的解是则关于m，n的
方程组的解为 .
17. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定＝ad－bc.如：＝（－2）×5－（－4）×3＝2，根据这一规定，解答下列问题.
若x，y同时满足＝5，＝8，求x＋y的值.
根据题意，得 两式相加，得x＋y＝13.
19. 根据以下信息，探索完成任务：
如何选择招聘方案？
素材1 某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工
作日计算）内生产2 024件限量工艺品.由于抽调不出足够的熟练工
来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工
人，经过培训上岗可以独立进行生产.
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件工艺品；3
名熟练工和2名新工人每天共加工32件工艺品.
素
材3 工厂给每名熟练工每天发300元工资，给每名新工人每天发160元工
资.
问题解决
任务
一： 分析数 量关系 每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？
任
务二： 确定可 行方案 如果工厂招聘新工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工
厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好
能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务？
任务
三： 选取最 优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？
任务一：设每名熟练工每天可以生产x件工艺品，每名新工人每天可以生产y
件工艺品，
根据题意，得解得
答：每名熟练工每天可以生产8件工艺品，每名新工人每天可以生产4件工艺
品.
任务二：设抽调熟练工a人，招聘新工人b人，
（8a＋4b）×22＝2 024，
即2a＋b＝23.
因为2≤b≤a，且a，b为正整数，
所以b＝3，5，7，a＝10，9，8.
答：共有三种方案：①抽调熟练工10人，招聘新工人3人；②抽调熟练工9
人，招聘新工人5人；③抽调熟练工8人，招聘新工人7人.
任务三：方案①10×300＋3×160＝3 000＋480＝3 480（元），
方案②9×300＋5×160＝2 700＋800＝3 500（元），
方案③8×300＋7×160＝2 400＋1 120＝3 520（元）.
因为3 480＜3 500＜3 520，所以为了节省成本，应该招聘新工人3名.
答：应该招聘新工人3名。(共17张PPT)
第10章10.3第1课时 代入消元法
1. 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，
并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元
一次方程，这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
含有另一个未知数
一元
一次方程
2. 运用代入消元法解二元一次方程组的目的是将“二元”转化为“一元”.
一元
1. 已知二元一次方程2x－3y＝5，用含y的代数式表示x，下列各式正确的是
（A）
A. x＝ B. y＝ C. y＝ D. x＝
A
2. 用代入法解方程组较为简便的方法是（B）
A. 直接把①代入②，消去y B. 直接把①代入②，消去x
C. 直接把②代入①，消去y D. 直接把②代入①，消去x
B
3. 已知方程组用代入法消去y后所得到的方程为5－x＝3x－8.
（不需要化简）
5－x＝3x－8
4. 已知y＝kx＋b，当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0，则k等于－1.
－1
5. 用代入法解下列方程组：
（1）（丽水中考）
（2）（广州中考）
（3）（2024·乐山中考）
（4）（乐山中考）
6. 由方程组可得出x与y之间的关系是（B）
A. x＋y＝1 B. x＋y＝－1 C. x＋y＝7 D. x＋y＝－7
B
7. （1）当a＝3时，方程组的解是.
（2）已知方程组 的解也是方程x－2y＋k＝0的解，则k的值是1.
1
8. （1）已知方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是关于x，y的二元一次方程，则m＝
1，n＝－1.
解析：根据题意，得解得
（2）已知｜m＋5n＋9｜＋（m－2n－5）2＝0，则m＝1，n＝－2.
解析：因为｜m＋5n＋9｜≥0，（m－2n－5）2≥0，｜m＋5n＋9｜＋（m－2n
－5）2＝0，则｜m＋5n＋9｜＝0，（m－2n－5）2＝0，所以 所以m＝1，n＝－2.
1
－1
解析：根据题意，得解得
1
－2
9. 用代入法解下列方程组：
（1）（苏州中考）
（2）
（3）
（4）
10. 运算能力 小聪在解方程组时，采用了“整体换元”的解法.
解：将方程②变形为2x－3y－2y＝5 ③，把方程①代入方程③，得3－2y＝
5，解得y＝－1.
把y＝－1代入方程①，得x＝0，所以原方程组的解为
请模仿小聪的方法解下列方程组：
（1）
将方程②变形为2x＋2x＋5y＝5 ③，把方程①代入方程
③，得2x＋3＝5，解得x＝1.把x＝1代入方程①，得y＝，所以原方程组的
解为
（2）
将方程②变形为2（3x－2y）＋x＝14 ③，把方程①代入方程③，得10＋x＝
14，解得x＝4.把x＝4代入方程①，得y＝，所以原方程组的解为(共17张PPT)
第10章10.3强化训练（一） 解二元一次方程组
解法1 代入消元法
1. 用代入消元法解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
解法2 加减消元法
2. 用加减消元法解下列方程组：
（1）（2024·广西中考）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解法3 整体代入消元法
3. 解下列方程组：
（1）
（2）
解法4 整体加减消元法
4. 解下列方程组：
（1）
将②代入①，得5x－3×（－2）＝1，解得x＝－1.
把x＝－1代入②，得y＝1，
所以方程组的解为
（2）
将①代入②，得2（5x＋2）＝2x＋8，解得x＝.
把x＝代入①，得y＝，
所以方程组的解为
所以方程组的解为
解法5 换元法
5. 解下列方程组：
（1）
①＋②，得5x＋5y＝25，整理，得x＋y＝5 ③.
①－②，得x－y＝－1 ④.
③＋④，得2x＝4，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝3，
所以方程组的解为
所以方程组的解为
（2）
②－①，得2x－2y＝2，整理，得x－y＝1 ③.
③×111，得111x－111y＝111 ④.
④－①，得y＝110.
将y＝110代入③得x＝111，
所以方程组的解为
所以方程组的解为
解法6 设参法
6. 解下列方程组：
（1）
设x＋y＝A，x－y＝B，则原方程组可化为解得即解得所以原方程组的解为
（2）
设x＋y＝A，x－y＝B，则原方程组可化为解得即解得所以原方程组的解为

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