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(共27张PPT)
第11章 章 末 复 习
①数量之间 ②成立 ③所有的解 ④不变 ⑤不变 ⑥改变 ⑦一 ⑧1
⑨0 ⑩将未知数的系数化为1 未知数 答案 未知数 公共
1. 语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（A）
A. ＋x≤5 B. ＋x≥5 C. ≤5 D. ＋x＝5
A
2. （2024·苏州中考）若a＞b－1，则下列结论一定正确的是（D）
A. a＋1＜b B. a－1＜b C. a＞b D. a＋1＞b
D
3. 下列用数轴表示不等式4（x－1）＜x＋2的解集正确的是（B）
B
4. （怀化中考改编）不等式组的解集是（D）
A. －2＜x＜2 B. x≤－2 C. －2≤x＜2 D. 无解
D
5. （烟台中考）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”
为一次程序操作.
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则 x的取值范围是x＜8.
x＜8
6. 已知x＝2是关于x的不等式x－3m＋1≥0的解，则m的取值范围是
m≤1.
m≤1
7. 不等式组的最大整数解是－4.
－4
8. 解不等式（组），并把它们的解集表示在数轴上.
（1）（淮安中考）2x－1＞；
x＞1
（2）＜－2；
x＜－17
（3）（连云港中考）
x＞2
（4）（宁夏中考）
－1＜x≤2
9. （2025·内蒙古中考）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.
某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可
以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平
均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用
600秒采摘苹果的个数多25个.
（1）求a的值；
根据题意，得25a＝800－600，解得a＝8.
答：a的值为8.
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成.每个
机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1
小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？
设需要x个这样的机器人，1小时＝3600秒，
根据题意，得×4x≥10 000，解得x≥，
又因为x为正整数，所以x的最小值为6.
答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少
于10 000个.
10. 关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（D）
A. －3＜b＜－2 B. －3＜b≤－2
C. －3≤b≤－2 D. －3≤b＜－2
D
11. 要使关于x的方程5x－2m＝3x－6m＋1的解在－3和2之间，则满足条件
的整数m的值为（D）
A. 0 B. 1 C. －1和0 D. 0和1
D
12. （邵阳中考）关于x的不等式组有且只有三个整数
解，则a的最大值是（C）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
13. 不等式3－m＜（x－m）的解集为x＞2，则m的值为.
14. （2024·南充中考）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则
m的取值范围是m≥2.
m≥2
15. （滨州中考）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围
是 a≥1.
a≥1
16. 已知关于x的不等式＞x－1.
（1）当m＝1时，求该不等式的解集；
当m＝1时，不等式为＞－1，去分母，得2－x＞x－2，解得x＜2.
（2）求当m取何值时，该不等式有解，并求出解集.
不等式去分母，得2m－mx＞x－2，移项、合并同类项，得（m＋1）x＜2（m
＋1），当m≠－1时，不等式有解.
当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，不等式的解集为x＞2.
17. （2025·遂宁中考）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定
购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶
共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共
700元.
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总
费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾
桶数量的.
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价.
设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元.
根据题意，得解得
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100
元.
根据题意，得解得
任务二：有哪几种购买方案？
设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200－m）个B型号的新型垃圾
桶.
根据题意，得
解得≤m≤120.
又因为m为正整数，所以m可以为118，119，120，
所以共有3种购买方案，
根据题意，得
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶.
任务三：哪种方案最省钱？最低购买费用是多少元？
选择方案1所需费用为60×118＋100×82＝15 280（元）；
选择方案2所需费用为60×119＋100×81＝15 240（元）；
选择方案3所需费用为60×120＋100×80＝15 200（元），
因为15 280＞15 240＞15 200，
所以方案3最省钱，最低购买费用是15 200元.(共18张PPT)
第11章11.3第1课时 一元一次不等式的解法
解一元一次不等式时要根据不等式的基本性质，将原不等式转化为最简的
x＞c或x＜c（c为常数）的形式.
不等式的基本性质
1. （2024·湖北中考）不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ A）
A B C D
A
2. （2024·内江中考）不等式3x≥x－4的解集是（A）
A. x≥－2 B. x≤－2 C. x＞－2 D. x＜－2
A
3. （1）（2025·江西中考）不等式－x＋1＞0的解集为x＜1；
（2）不等式－2x＋3＞x的解集是x＜1.
x＜1
x＜1
4. （1）当x≤7时，代数式14－2x的值是非负数；
（2）若｜5－2x｜＝2x－5，则x的取值范围是x≥；
（3）若式子5x＋3的值大于3x－5的值，则x的取值范围是x＞－4.
≤7
x≥
x＞－4
5. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）－x＋2＜0；
x＞6.解集在数轴上表示如图：
（2）4x≥7x－9；
）x≤3.解集在数轴上表示如图：
（3）2x－1＜9－3x；
x＜2.解集在数轴上表示如图：
（4）－4x＋2≤x－3.
x≥1.解集在数轴上表示如图：
6. 如图是关于x的不等式2x－a≤－1的解集，则a的取值是（C）
A. a≤－1 B. a≤－2 C. a＝－1 D. a＝－2
C
7. 若关于x的一元一次方程4x－2m＋1＝5x－7的解是负数，则m的取值范
围是（B）
A. m＜0 B. m＞4 C. m＜4 D. m＞0
B
8. 若（m－2）x2m＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
x＜－3.
x＜－3
9. （1）若关于x的不等式2x－m＜0仅有两个正整数解，则m的取值范围是
4＜m≤6；
（2）若不等式2x－m≥0的负整数解是－1，－2，则m的取值范围是－6＜
m≤－4.
4＜m≤6
－6＜
m≤－4
10. 定义运算a b：当a≥b时，a b＝a；当a＜b时，a b＝b.如果（－x
＋2） （2x－1）＝－x＋2，那么 x的取值范围是 x≤1.
x≤1
11. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）6x＋5＜－4＋3x；
x＜－3.解集在数轴上表示如图：
（2）5x－12≤8x－6；
x≥－2.解集在数轴上表示如图：
（3）－x＋2≤x－1；
x≥6.解集在数轴上表示如图：
（4）x＋＞－.
x＞－1.解集在数轴上表示如图：
12. （聊城中考改编）关于x，y的方程组的解中x与y的
和不小于5，求k的取值范围.
①－②得x＋y＝k－3，
根据题意，得k－3≥5，解得k≥8.
13. 运算能力 （1）已知关于x的方程5m＋2x＝－＋4x的解是x＝4，求关于
y的不等式（m－3）y＜－6的解集；
将x＝4代入方程5m＋2x＝－＋4x，得5m＋8＝－＋16，解得m＝，所以
（m－3）y＜－6可化为－y＜－6，解得y＞4.
（2）已知关于x的方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2x－10＞
8a，求a的取值范围.
由方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1可得2x＝5a－1.因为方程的解适合不等式2x
－10＞8a，代入得3a＜－11，所以a＜－.(共16张PPT)
第11章11.4第1课时 一元一次不等式组及其解集
1. 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一
次不等式组.
同一个未知数
2. 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集.求不等
式组解集的过程叫作解不等式组.利用数轴可以直观地求出不等式组的解集.
公共部分
解集
数轴
1. 下列不是一元一次不等式组的是（C）
A. B. C. D.
C
2. （2025·宜宾中考改编）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正
确的是（B）
A 1 B 1

C D
B
3. 若一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该
不等式组的解集为x≥2.
x≥2
4. 写出下列不等式组的解集：
（1）的解集为2＜x＜3；（2）的解集为x＜2；（3）的解集为x＞3.
2＜x＜3
x＜2
x＞3
5. 利用数轴确定下列不等式组的解集.
（1）
x≥3
（2）
无解
（3）
0≤x＜1
（4）
x≤－1
6. （2025·长春中考）下列不等式组无解的是（A）
A. B. C. D.
A
7. （常德中考）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，
小明让他们猜.甲说：“至少15元.”乙说：“至多12元.”丙说：“至多10
元.”小明说：“你们三个人都说错了.”则这本书的价格x（元）所在的范围
是（B）
A. 10＜x＜12 B. 12＜x＜15 C. 10＜x＜15 D. 11＜x＜14
B
8. （1）（鄂州中考改编）已知不等式组的解集是－1＜x＜1，则
a＝－3，b＝2；
（2）若一元一次不等式组 的解集为x＞3，则a的取值范围为
a≤3；
（3）若关于x的不等式组 的解集是x＜2，则a的取值范围为a≥－2.
－3
2
a≤3
a≥－2
9. （1）（2024·凉山州中考改编）不等式组4＜4x≤16的整数解为x＝2，3，
4.
（2）（2024·黑龙江中考）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a
的取值范围是－≤a＜0.
x＝2，3，
4
－≤a＜0
10. （1）如果不等式组 无解，求a的取值范围；
a≥2
（2）如果不等式组 有解，试求 的解集.
因为不等式组 有解，所以a＜b，
所以－a＞－b，所以1－a＞1－b，
所以不等式组的解集为x＜1－b.
11. 运算能力 求不等式＞0的解集.
不等式 ＞0转化为 或
所以不等式 ＞0的解集为x＞2或x＜－1.(共17张PPT)
第11章11.3第2课时 较复杂的一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括
号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1.和解一元一次方程不同，在
不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向；一元一次不
等式的解集通常是未知数的取值范围，而一元一次方程的解是未知数的具体数值.
去括
号
1
1. （晋江中考）下列解不等式＞的过程中出现错误的一步是（ D）
A. 去分母，得5（2＋x）＞3（2x－1） B. 去括号，得10＋5x＞6x－3
C. 移项、合并同类项，得－x＞－13 D. 系数化为1，得x＞13
D
2. 不等式－＞1去分母后得（ D）
A. 2（x－1）－x－2＞1 B. 2（x－1）－x＋2＞1 C. 2（x－1）－x
－2＞4 D. 2（x－1）－x＋2＞4
D
3. （1）不等式3（x－2）＋1＞－4的解集是x＞；
（2）（盘锦中考）不等式 ＜ 的解集是x＜3.
x＞
x＜3
4. （1）不等式3（x－1）≤5－x的最大整数解是x＝2；
（2）不等式＜2的最小整数解是x＝－2.
x＝2
x＝－2
5. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）3x－1≥2（x－1）；
x≥－1
（2）（南通中考）－x＞1；
x＞4
（3）（x－1）≤x＋1；
x≥－5
（4）＋＞.
x＜－1
6. 在数轴上正确表示不等式2（2－x）＞x－2的解集的是（ A）
A
7. 不等式＋1＜的负整数解有（ B）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
8. 不等式（x－m）＞2－m的解集为x＞2，则m的值为2.
2
9. 已知x＝3满足关于a的不等式3x－＞，则这个不等式的解集是a＜4.
a＜4
10. 已知x和y满足2x＋y＝2，x－y＜1，则x的取值范围是x＜1，y的取值
范围是y＞0.
x＜1
y＞0
11. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）3x－2＞；
解不等式得x＞1.解集在数轴上表示为
（2）3（x－1）≤；
解不等式得x≤2.解集在数轴上表示为
（3）－≤1；
解不等式得x≥－1.解集在数轴上表示为
（4）－1≤x－.
解不等式得x≤.解集在数轴上表示为
12. 已知方程组 且x＞2y，求m的取值范围.
①＋②得2x＝m＋1，所以x＝，②－①得2y＝m－1，
所以y＝.又x＞2y，所以 ＞2×，解得m＜3.
13. 运算能力 已知不等式＞＋k.
（1）若不等式的解集为x＞7，求k的值；
由＞＋k，化简得x＞13＋6k，
由题意，可得13＋6k＝7，解得k＝－1.
（2）若满足x＞7的每一个数都能使已知不等式成立，求k的取值范围.
由题意得13＋6k≤7，所以k≤－1.(共20张PPT)
第11章11.1第2课时 不等式的基本性质
1. （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整
式，不等号的方向不变.用符号表示为如果a＞b，那么a±c＞b±c.
（2）不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改
变.用符号表示为：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞ ）；如果a＞
b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）.
不变
不变
改
变
＞
＞
＜
＜
2. 根据不等式的基本性质，我们可以对不等式进行适当的变形，把它化为x＞
c或x＜c（c为常数）的形式.
不等式的基本性质
1. （2025·济南中考）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ D）
A. a－1＜b－1 B. ＜ C. －a＞－b D. 2a＞a＋b
D
2. 如果不等式（a－1）x＜a－1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（ B）
A. a＜－1 B. a＜1 C. a＞1 D. a＞－1
B
3. 若a＞b，且c＜0，用“＞”或“＜”填空：
（1）a－c＞b－c；（2）ac＜bc；（3）2a＞a＋b；（4）＞.
＞
＜
＞
＞
4. 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：
（1）如果x＋2＞5，那么x＞3，根据不等式的基本性质1；
（2）如果－2x＜－6，那么x＞3，根据不等式的基本性质2；
（3）如果x＜－3，那么x＜－，根据不等式的基本性质2；
（4）如果x＋2＜2x，那么x＞2，根据不等式的基本性质1.
＞
1
＞
2
＜
2
＞
1
5. 根据不等式的基本性质，将下列不等式化为x＞c或x＜c（c为常数）的形
式：
（1）x－1＞2；
x＞3
（2）－x＜3；
x＞－6
（3）5x＞4x；
x＞0
（4）x＜－1－x.
x＜－1
6. （桂林中考）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式一定成立的是（D）
A. a＋c＞b B. a＋c＞b－c
C. ac－1＞bc－1 D. a（c－1）＜b（c－1）
D
7. 若数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是
（B）
A. a－c＞b－c B. a＋c＜b＋c C. ac＞bc D. ＜
B
8. 如果3－2x＜3－2y，那么x与y的大小关系是x ＞y.（填“＞”或
“＜”）
＞
9. 已知x＜y＜0，那么x＋y ＜0；xy＞0；x－y＜0；2＋y＜2－y.（填“＞”
或“＜”）
＜
＞
＜
＜
10. 已知x≤1，含x的代数式A＝3－2x，那么A值的范围是A≥1.
A≥1
11. 根据不等式的基本性质，将下列不等式化为x＞c或x＜c（c为常数）的
形式：
（1）－x＜；
x＞－1
（2）x－2＞1；
x＞12
（3）－3x＜－4x＋1；
x＜1
（4）2x＋1＜x＋2.
x＜1
12. 小明说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除
以a，就会出现2＞3这样的错误结论.你同意他的说法吗？若同意，请说明其
依据；若不同意，请说出错误的原因.
我不同意他的说法.因为a的值不确定，若a＜0，则2a＞3a成立，两边同时
除以a后为2＜3，成立.
小明错误的原因是两边同时除以a（a＜0）时不等号的方向没有改变.（合理
即可）
13. 运算能力 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的
方法：
若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.反之也成
立.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下
面的问题：
（1）比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小；
（4＋3a2－2b＋b2）－（3a2－2b＋1）
＝4＋3a2－2b＋b2－3a2＋2b－1
＝b2＋3.
因为b2＋3＞0，所以4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
（2）若2a＋2b－1＞3a＋b，求出a，b的大小关系.
两边都减去（2a＋2b），得－1＞a－b，所以a－b＜0，所以a＜b.(共17张PPT)
第11章11.1第1课时 不等式的概念
1. 用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式.常用的不等号有＞，＜，
≥，≤，≠.
不等号
＞，＜，
≥，≤，≠
2. 数的大小关系的传递性：如果a＞b，b＞c，那么 a＞c.如果a＜b，b＜c，
那么a＜c.
a＞c
a＜c
1. 下列式子：①1－x；②2＞1；③x≠1；④x≥3；⑤x－y＝0；⑥x－2＜x－
1.其中是不等式的有（C）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
2. 下面列出的不等式中，正确的是（ C）
A. “m不是正数”表示为m＜0 B. “m不大于3”表示为m＜3
C. “n与4的差是负数”表示为n－4＜0 D. “n不等于6”表示为n＞6
C
3. 用“＞”或“＜”填空：
（1）π＞3.14； （2）（－1）2＞－22； （3）－＜－.
＞
＞
＜
4. 用不等式表示：
（1）m是非负数：m≥0；（2）x与2的差不足15：x－2＜15.
m≥0
x－2＜15
5. 对于有理数m，n，若m＜－2，n＜m，则n＜－2.（填“＜”“＞”或
“＝”）
＜
6. 用不等式表示下列数量之间的关系：
（1）去年某农场某种粮食作物亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为x
kg，较去年有所增加；
x＞480
（2）某天的最高气温为12 ℃，最低气温为－1 ℃，这天某一时刻的气温为
t ℃；
－1≤t且t≤12
（3）某座桥的限重标志如图，其中的“25”表示该桥梁限制载重后总质量超
过25 t的车辆通过.一辆自重10 t，载重x t的卡车能通过这座桥.
10＋x≤25
7. 下列不等关系一定正确的是（D）
A. ｜a｜＞0 B. －x2＜0
C. （x－1）2＞0 D. a2＋1＞0
D
8. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是（C）
A. a＜b B. ab＞0 C. －b＞a D. ｜a｜＞｜b｜
C
9. 设“1 ”“1 ”“1 ”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如
图所示，那么 1 ，1 ，1 这三种物体按质量从大到小排列应为（C）
A. 1 ，1 ，1 B. 1 ，1 ，1 C. 1 ，1 ，1 D. 1 ，1 ，1
C
10. 用不等式表示：
（1）x的绝对值不小于它本身：｜x｜≥x；
（2）y与1的差不大于y的 ：y－1≤y；
（3）m除以3的商加上2至少为7：＋2≥7；
（4）c与4的差的30％是负数：30％（c－4）＜0.
｜x｜≥x
y－1≤y
＋2≥7
30％（c－4）＜0
11. 用不等式表示下列数量之间的关系：
（1）某药品说明书上标明药品保存的温度是（10±4）℃，设该药品合适保
存的温度是t ℃；
6≤t且t≤14
（2）某校规定期中考试成绩的40％和期末考试成绩的60％的和作为学生总成
绩.该校小明同学期中数学考了85分，期末数学考了x分，他的数学总成绩不
低于90分.
40％×85＋60％x≥90
12. 应用意识 一般来说，在水中加入的糖越多，糖溶解后，糖水就越甜，这
是我们每个人都知道的生活常识.将a千克白糖加水配成b千克糖水（b＞a＞
0），此时糖水的含糖量为，若再加入m千克白糖（m＞0），则糖水的含糖
量变为.显然，加糖后糖水的含糖量增大，糖水更甜.
（1）请你根据这一生活常识提炼出一个不等式；
＞（b＞a＞0，m＞0）.
（2）利用上述结论比较 和 的大小.
因为＞，所以＜，即＜.(共22张PPT)
第11章11.5第1课时 用一元一次不等式解决问题（1）
用一元一次不等式解决问题的步骤与用一元一次方程解决问题类似，不同
的是，用一元一次不等式解决问题时需要找出实际问题中数量之间的不等关
系.
不等
1. （丽水中考）小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小
霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款
超过小明，可列不等式为（ A）
A. 52＋15n＞70＋12n B. 52＋15n＜70＋12n
C. 52＋12n＞70＋15n D. 52＋12n＜70＋15n
A
2. （重庆中考）小明准备用40元购买作业本和签字笔.已知每本作业本6
元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本本数
为（ B）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
B
3. 如图①所示，一个容量为600 cm3的杯子中装有300 cm3的水，将四颗相同
的玻璃球放入这个杯子中，结果杯子中的水没有满，如图②所示，设每颗玻璃
球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为300＋4x＜600.（不需要化简）
300＋4x＜600
4. （2024·青海中考改编）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，用30
根火柴棒最多可以摆14个三角形.
14
5. 用一根铁丝围成一个长方形，使长方形的一边长为6厘米且长方形的面积
不小于12平方厘米，则该铁丝至少长16厘米.
16
6. 一个工程队原定在10天内至少要挖土600 m3，在前两天一共完成了120
m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务.以后几天内，平均
每天至少要挖土多少立方米？
设以后几天内，平均每天挖土x m3，则（10－2－2）x≥600－120，解得
x≥80.答：以后几天内，平均每天至少要挖土80 m3.
7. 某居民楼安装天然气管道时，采用如下收费办法：收整体初装费10 000
元，再对每户收费500元.若每户平均支付不足1 000元，则该栋楼（C）
A. 至少有20户 B. 至多有20户
C. 至少有21户 D. 至多有21户
C
8. 三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（C）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
C
9. 去年某市空气质量良好的天数与全年天数（365天）之比达到60％，如果
明年（365天）这样的比值要超过80％，那么明年空气质量良好的天数比去年
至少要增加的天数为（D）
A. 70 B. 72 C. 73 D. 74
D
10. （山西中考）国内某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、
宽、高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱
的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为
55cm.
55
11. 一水果商店某次按每千克3.2元购进一批苹果，销售过程中有20％的苹
果正常损耗，为避免亏本，该水果商店应将这批苹果的售价至少定为每千克 4
元.
4
12. （广东中考）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其
利润率不能少于10％，则最多可打 八八折.
解析：设这种商品可以按x折销售，则售价为5×0.1x元，那么利润为
（5×0.1x－4）元，所以相应的关系式为5×0.1x－4≥4×10％，解得
x≥8.8，即最多可打八八折.
八八
1
3. （淄博中考节选）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助
力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如
下表：
购票人数m 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人门票价/元 60 50 40
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲
团队不足50人，乙团队多于50人.如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元，问甲团队最少多
少人？（注：题中的团队人数均不少于10人）
设甲团队有x人，乙团队有（102－x）人，
甲、乙团队一起购票费用：102×40＝4 080（元），
甲、乙团队分开购票费用：[60x＋50×（102－x）]元，
所以60x＋50×（102－x）－4 080≥1 200，
解得x≥18.
答：甲团队最少18人.
14. （资阳中考）为了参加西部博览会，资阳市计划印制一批宣传册.该宣传
册每本共10页，由A，B两种彩页构成.已知A种彩页制版费300元/张，B种
彩页制版费200元/张，共计2 400元.（注：彩页制版费与印数无关）
（1）每本宣传册A，B两种彩页各有多少张？
设每本宣传册A，B两种彩页各有x张，y张，
根据题意，得解得
答：每本宣传册A，B两种彩页各有4张，6张.
根据题意，得解得
（2）据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣
传册的制版费与印刷费的和不超过30 900元.如果按到资阳展台处的参观者人
手一册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？
设最多能发给a位参观者，
根据题意，得2.5×4a＋1.5×6a＋2 400≤30 900，
解得a≤1 500.
答：最多能发给1 500位参观者.
15. 应用意识 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.
下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋
污水处理费）
（1）如果小王家5月的用水量为28吨，求小王家5月应缴的水费为多少元；
17×（2.2＋0.8）＋（28－17）×（4.2＋0.8）＝106（元）
答：小王家5月应缴的水费为106元.
（2）随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划把7月的水费
控制在不超过家庭月花销的2％.若小王家7月共花了9 200元，则小王家7月
最多能用水多少吨？
当用水量为30吨时，水费为17×（2.2＋0.8）＋（30－17）×（4.2＋0.8）
＝116（元），因为9 200×2％＝184（元），且116＜184，所以小王家7月
的最多用水量超过30吨.
设小王家7月的用水量为x吨，
由题意得116＋（6.0＋0.8）×（x－30）≤184，
解得x≤40.
答：小王家7月最多能用水40吨.(共22张PPT)
第11章11.5第2课时 用一元一次不等式解决问题（2）
用一元一次不等式解决实际问题时，首先明确问题中隐含的不等关系，再
用含有未知数的代数式表示各量，建立一元一次不等式，然后再求得一元一次
不等式的解集，最后根据题意确定符合条件的特殊解.
不等
不等式
解集
1. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6
辆，而且现在15天的产量就超过了原来20天的产量.若设原来每天生产x
辆，则关于x的不等式为（D）
A. 15x＞20（x＋6） B. 15（x＋6）≥20x
C. 15x＞20（x－6） D. 15（x＋6）＞20x
D
2. 现有若干个蛋糕分给小朋友，若每人分7个，还余10个，若每人分8个，
则不够分，则小朋友的人数至少为11.
11
3. 某地区将1 200亩土地用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积
多600亩.
（1）求复耕土地面积和改造土地面积各为多少亩；
设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600＋x）亩，
根据题意，得x＋（600＋x）＝1 200，解得x＝300.
则600＋x＝900.
答：改造土地面积是300亩，复耕土地面积是900亩.
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲
小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面
积最多为多少亩.
设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300－y）亩，
根据题意，得y≤×（300－y），解得y≤75.
答：休闲小广场总面积最多为75亩
4. （2024·泸州中考改编）某商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B
商品的件数不少于A商品件数的2倍.已知A商品每件进价是100元，B商品
每件进价是60元，若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为
满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的
件数最多为多少？
设购进m件A商品，则购进（60－m）件B商品，
根据题意，得
解得19≤m≤20，所以m的最大值为20.
答：购进A商品的件数最多为20.
根据题意，得
5. 某人要行进2.1千米的路程，并要在18分钟内行完全程，已知他每分钟走
90米.若跑步每分钟可跑210米，则这人完成这段路程，至少要跑（B）
A. 3分钟 B. 4分钟 C. 4.5分钟 D. 5分钟
B
6. 某商店老板销售一种商品，他要有不低于进价20％的利润才能出售，但为
了获得更多的利润，他以高出进价80％的价格标价，若你想买下标价为360
元的这种商品，商店老板让价的最大限度为（C）
A. 82元 B. 100元 C. 120元 D. 160元
C
7. 某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大
客车的乘客座位数是35，每辆小客车的乘客座位数是18，这样租用6辆大客
车和5辆小客车恰好全部坐满.由于最后参加活动的人数增加了30，在保持租
用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动
的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为 3.
3
8
. 某乒乓球馆有两种计费方案，如下表.李强和同学们打算周末去此乒乓球馆
连续打球4小时，经服务员测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案
便宜，则他们参与包场的人数至少为 8.
包场计费：包场每场每小时50元，
每人需要另付入场费5元.
人数计费：每人打球2小时20元，
接着续打球每人每小时6元.
8
9. （郴州中考）为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走
进城市，让城市拥抱森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两
种树苗共1 000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元，据相关资
料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85％和90％.
（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了46 500元，则购买甲、乙两种树苗各多
少棵？
设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，根据题意，得
解得
答：购买甲种树苗350棵，乙种树苗650棵.
解得
（2）若要使这批树苗的成活率不低于88％，则至多可购买甲种树苗多少棵？
设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（1000－x）棵，根据题意，得≥88％，
解得x≤400.
答：至多可购买甲种树苗400棵.
10. 某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车共30辆调拨不超过190
吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场.已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品
5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨.
（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来.
设安排x辆大型车，则安排（30－x）辆中型车，
依题意，得解得18≤x≤20.
因为x为整数，所以x＝18或19或20.
所以符合题意的运输方案有3种：
方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；
方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；
方案3：安排20辆大型车，10辆中型车.
（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费是600元，试说明
（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
方案1所需费用为900×18＋600×12＝23 400（元），
方案2所需费用为900×19＋600×11＝23 700（元），
方案3所需费用为900×20＋600×10＝24 000（元）.
因为23 400＜23 700＜24 000，
所以方案1：安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23
400元.
11. 应用意识 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号
的电风扇，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价.
设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元.
依题意，得解得
答：A种型号电风扇的销售单价为200元，B种型号电风扇的销售单价为150
元.
依题意，得解得
（2）若超市准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50
台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台.
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50－a）台.依题意，
得160a＋120×（50－a）≤7 500，解得a≤37.5.
答：A种型号的电风扇最多能采购37台.
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1 850
元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
根据题意，得（200－160）a＋（150－120）（50－a）＞1 850，解得a＞35，
因为a≤37.5，且a为整数，所以在（2）的条件下超市能实现利润超过1 850
元的目标，a可以取36，37.相应的采购方案有两种：采购A种型号的电风扇
36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电
风扇13台.(共17张PPT)
第11章11.4第2课时 解一元一次不等式组
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解
集，再求出它们的公共部分.
解
集
公共部分
1. （2025·山西中考）不等式组的解集是（C）
A. x＜2 B. x≥3 C. 2＜x≤3 D. 无解
C
2. （2024·赤峰中考）解不等式组时，不等式①和不
等式②的解集在数轴上表示正确的是（C）
C
3. 已知代数式的值大于－1且不大于3，则x的取值范围是－≤x＜1.
－≤x＜1
4. （2024·淄博中考改编）不等式组 的所有整数解的和是－6.
－6
5. 解下列不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集.
（1）（常州中考）
－1＜x＜2
（2）（镇江中考）
－3＜x＜5
（3）
x＞3
（4）（威海中考）
2＜x≤5
6. （菏泽中考改编）不等式组的非负整数解有（B）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析：该不等式组的解集是x≤，所以非负整数解只有0，故有1个.故选B.
B
7. （1）已知关于x的不等式组的解集是x＜3，则m的取值
范围是m≥3.
（2）已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是m≤3.
m≥3
m≤3
8. 若方程组的解x，y满足0＜x＋y＜1，则k的取值范围是
－4＜k＜0.
解析：①＋②得4x＋4y＝k＋4，即x＋y＝，由题意
可得0＜＜1，即解得－4＜k＜0，所以k的取值范围是－4＜k＜0.
－4＜k＜0
9. 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）
－3＜x≤8
（2）
x≥20
10. （黄石中考）已知关于x的不等式组恰好有两个整数
解，求a的取值范围.
由5x＋1＞3（x－1），得x＞－2，由x≤8－x＋2a，得x≤4＋a.则不等式组
的解集是－2＜x≤4＋a.因为不等式组恰好有两个整数解，所以整数解是x＝
－1和x＝0，所以0≤4＋a＜1，解得－4≤a＜－3.
11. 创新意识·运算能力若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围
内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例如：2x＋4＝2的解为
x＝－1， 的解集为－3≤x＜4，不难发现x＝－1在－3≤x＜4
的范围内，所以2x＋4＝2是 的“子方程”.
问题解决：
（1）在方程①4x－5＝x＋7，②x－＝0，③2x＋3（x＋2）＝21中，不等式
组 的“子方程”是①②；（填序号）
①②
（2）若关于x的方程2x－k＝4是不等式组 的“子方程”，
求k的取值范围.
方程2x－k＝4，解得x＝.
不等式组 的解集为3＜x≤6.
因为关于x的方程2x－k＝4是不等式组 的“子方程”，所
以3＜≤6，所以2＜k≤8.(共13张PPT)
第11章综合与实践 生活中的不等式
1. 甲种蔬菜保鲜的适宜温度（单位：℃）是1≤t≤5，乙种蔬菜保鲜的适宜温
度是3≤t≤8，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单
位：℃）的范围是 3≤t≤5.
解析：根据题意，得解得3≤t≤5.
3≤t≤5
2. 某种药品的说明书上，贴有如表标签.
用法用量：每天不少于90 mg，不超过120 mg，分2～3次服用
药品规格：30 mg/粒
贮藏条件：－1 ℃～4 ℃
则一次服用这种药品的剂量x mg的取值范围是 30≤x≤60.
解析：由题意可得一次服用这种药品的剂量的最小值为90÷3＝30（mg），
最大值为120÷2＝60（mg），即一次服用这种药品的剂量x mg的取值范围是
30≤x≤60.
30≤x≤60
3. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.
温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流速为15
mL/s.整个接水的过程不计热量损失.
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的
热量，可转化为开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度.
阅读并结合以上信息解决下列问题：
（1）甲同学要接一杯700 mL的水，如果他先接开水8 s，则再接温水的时间
为29s.
解析：根据题意，得（700－15×8）÷20＝（700－120）÷20＝580÷20＝29
（s）
29
（2）乙同学先接温水，再接开水，得到一杯480 mL的水，如果接水的时间
是27 s，求乙同学分别接温水和开水所用的时间.
设乙同学接温水所用的时间为m s，接开水所用的时间为n s，
根据题意，得解得
答：乙同学接温水所用的时间为15 s，接开水所用的时间为12 s.
根据题意，得解得
（3）丙同学要接一杯600 mL的开水和温水混合的水，他先接x s的开水，再
接温水，智能杯盖显示此时杯中水的温度为t ℃；你能写出x与t的关系式
吗？请你帮助丙同学计算一下x至少为几，才能使杯中水的温度不低于
40 ℃？（x为正整数）
根据题意，得15x（100－t）＝（600－15x）（t－30），
1 500x－15xt＝600t－18 000－15xt＋450x，
600t＝1 050x＋18 000，
所以t＝.
因为要使杯中水的温度不低于40 ℃，即t≥40，所以≥40，解得x≥.
又因为x为正整数，所以x的最小值为6.
答：x与t的关系式为t＝，x至少为6，才能使杯中水的温度不低于
40 ℃.
4. 生活中的数学.
（1）解析：设参加此次活动的七年级老师有x人，根据题意，得40x＋10＝
41x，解得x＝10，x＋41x＝10＋41×10＝420，所以参加此次活动的七年级师
生共有420人.
（2）根据题意，得45n＋30＝60（n－2），解得n＝10，
所以60（n－2）＝60×（10－2）＝480.
答：参加此次活动的八年级师生共有480人.
（3）设租用y辆45座客车，则租用＝（ 15－y）辆60座客车.
根据题意，得解得≤y≤12，
又因为y，（ 15－y）均为自然数，所以y可以为4，8，12，
所以共有3种租车方案：
方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车；
方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车；
方案3：租用12辆45座客车，6辆60座客车.(共20张PPT)
第11章11.2 一元一次不等式的概念
1. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式.
1
2. 我们把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解.所有的解组成的
全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式.
解集
解不等式
3. 不等式的解集可以借助数轴直观地表示出来，可以概括为小于向左画，大
于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.
左
右
空心
实心
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（C）
A. 1＞－5 B. ≥3 C. x＋2＜4 D. 2x＋1＞1－y
C
2. （2024·河北中考）下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为（A）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
3. （2024·贵州中考）不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（C）
C
4. （1）不等式x≤7的最大解是x＝7；
（2）写出不等式－2x＋4＜0的任意三个解：x＝3，3.5，10（答案不唯一）
x＝7
x＝3，3.5，10（答案不唯一）
5. 写出下列各数轴上所表示的不等式的解集.
（1）1
x≤0
（2）1
x＞3
（3）1
x≥－5
（4）1
x＜－1
6. 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≥2；
（2）x＜；
（3）x≤－1；
（4）x＞－.
7. 若（m＋1）x｜m＋2｜＋4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（B）
A. －1 B. －3 C. －2 D. －3或－1
B
8. 下列说法中，错误的是（ C）
A. 不等式x＜5的整数解有无数个 B. 不等式x＞－5的负整数解为有限个
C. x＝1是不等式－2x＜1的解集 D. x＝－40是不等式2x＜－8的一个解
C
9. 请写出满足下列条件的一个不等式.
（1）－2，－1，0，1都是不等式的解：x＜3；
（2）0不是这个不等式的解：x＞0.
x＜3
x＞0
10. 写出下列各数轴上所表示的不等式的解集：
（1）如图①，此不等式的解集为x＜2，非负整数解为x＝0，1；
（2）如图②，此不等式的解集为x≥－2，负整数解为x＝－2，－1.
x＜2
x＝0，1
x≥－2
x＝－2，－1
11. 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）所有的非负数；
（2）所有不大于－2的数.
12. 写出不等式2x－1＞1的任意3个解，并比较它们与方程2x－1＝1的解的
大小.
不等式2x－1＞1的任意3个解可以是x＝1.5，2，3（答案不唯一）.方程2x
－1＝1的解为x＝1，显然不等式2x－1＞1的任意3个解都大于方程2x－1＝1
的解.
13. 根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3＞2成立”，能不能说“不
等式x＋3＞2的解集是x＞0”？为什么？
不能，因为不等式x＋3＞2的解集中，除了所有正数，还有－1至0之间（包
括0）的无数个解，所以不等式x＋3＞2的解集是x＞0这种说法是错误的.
14. 几何直观已知关于x的不等式x≤a的正整数解只有x＝1，请借助数轴求
出a的取值范围.
1≤a＜2. 数轴略

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