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(共9张PPT)
小专题（十）　因式分解的常见应用
第四章　因式分解
类型一　用于简便计算
1. 利用因式分解进行简便计算：
（1） 0.84×12＋12×0.6－0.44×12；
解：原式＝12×（0.84＋0.6－0.44）＝12×1＝12
（2） 6212－1482－769×373；
解：原式＝（621＋148）×（621－148）－769×373＝769×473－769×373＝769×（473－373）＝769×100＝76 900
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（3） 2 0242－4 048×2 025＋2 0252；
解：原式＝2 0242－2×2 024×2 025＋2 0252＝（2 024－2 025）2＝1
（4） .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝
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类型二　用于化简求值
2. 利用因式分解求值：
（1） 已知2a－3b＝－1，求代数式4a2－6ab＋3b的值；
解：∵ 2a－3b＝－1，∴ 4a2－6ab＋3b＝2a（2a－3b）＋3b＝2a×（－1）＋3b＝－2a＋3b＝－（2a－3b）＝－（－1）＝1
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（2） 已知a＋b＝2，求多项式a2－b2＋4b＋2 030的值；
解：∵ a＋b＝2，∴ a2－b2＋4b＋2 030＝（a＋b）（a－b）＋4b＋2 030＝2（a－b）＋4b＋2 030＝2（a＋b）＋2 030＝2×2＋2 030＝2 034
（3） 已知x2－2x－1＝0，求代数式3x3－10x2＋5x＋2 031的值.
解：∵ x2－2x－1＝0，∴ x2＝1＋2x.∴ 3x3－10x2＋5x＋2 031＝3x（1＋2x）－10（1＋2x）＋5x＋2 031＝6x2－12x＋2 021＝6（1＋2x）－12x＋2 021＝6＋12x－12x＋2 021＝2 027
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类型三　用于判断整除关系
3. 若k为任意整数，求证：（2k＋3）2－4k2的值总能被3整除.
解：（2k＋3）2－4k2＝（2k＋3＋2k）（2k＋3－2k）＝3（4k＋3）.∵ k为任意整数，∴ （2k＋3）2－4k2的值总能被3整除
4. ★817－279－913必能被45整除吗？试说明理由.
解：817－279－913必能被45整除　理由：∵ 817－279－913＝（34）7－（33）9－（32）13＝328－327－326＝324（34－33－32）＝324×45，∴ 817－279－913必能被45整除.
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类型四　通过配方求值或最值
5. ★★阅读下面的材料，并利用材料中使用的方法解决问题.
　　在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能求出代数式a2－2a＋2的最小值吗？并说明a取何值时这个代数式的值最小.小明作出了如下回答：在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：a2－2a＋2＝a2－2 a 1＋12＋1＝（a－1）2＋1.因为完全平方式是非负的，即它一定大于或等于0，余下的1为常数，所以有a2－2a＋2＝（a－1）2＋1≥1.所以a2－2a＋2的最小值是1，当且仅当a－1＝0，即a＝1时取得最小值.其中，我们将代数式a2－2a＋2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方法.
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（1） 记S＝（x＋3）2＋4，求S的最小值，并说明x取何值时S最小；
解：（1） ∵ （x＋3）2≥0，∴ （x＋3）2＋4≥4.∴ 当x＋3＝0时，S取得最小值4，即x＝－3时，S最小为4
（2） 已知a2＋b2＋6a－8b＋25＝0，求a，b的值；
解：（2） ∵ a2＋b2＋6a－8b＋25＝0，∴ （a＋3）2＋（b－4）2＝0.∴ a＋3＝0，b－4＝0.∴ a＝－3，b＝4
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（3） 记T＝a2＋2ab＋3b2＋4b＋5，求T的最小值，并说明a，b取何值时T最小.
解：（3） T＝a2＋2ab＋3b2＋4b＋5＝（a＋b）2＋2（b＋1）2＋3，∴ 当a＋b＝0，b＋1＝0时，T取得最小值3，即当a＝1，b＝－1时，T最小为3
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5(共14张PPT)
小专题（九）　因式分解的方法
第四章　因式分解
类型一　提公因式法
1. 把下列各式因式分解：
（1） －2x2＋4x－8；
解：原式＝－2（x2－2x＋4）
（2） x（m＋n）－y（n＋m）＋（m＋n）；
解：原式＝x（m＋n）－y（m＋n）＋（m＋n）＝（m＋n）（x－y＋1）
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（3） 6x（x－y）2＋3（y－x）3；
解：原式＝6x（x－y）2－3（x－y）3＝3（x－y）2（2x－x＋y）＝3（x－y）2（x＋y）
（4） 5x（x－2y）3－20y（2y－x）3.
解：原式＝5x（x－2y）3＋20y（x－2y）3＝5（x－2y）3（x＋4y）
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类型二　公式法
2. 把下列各式因式分解：
（1） （东营中考）2m3－12m2＋18m；
解：原式＝2m（m2－6m＋9）＝2m（m－3）2
（2） m2（m－n）＋n2（n－m）；
解：原式＝m2（m－n）－n2（m－n）＝（m－n）（m2－n2）＝（m－n）（m－n）（m＋n）＝（m－n）2（m＋n）
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（3） （m2－5）2＋8（m2－5）＋16；
解：原式＝（m2－5＋4）2＝（m2－1）2＝（m－1）2（m＋1）2　　　
（4） m2n2－ （m2＋n2）2.
解：原式＝ ［4m2n2－（m2＋n2）2］＝ （2mn＋m2＋n2）（2mn－m2－n2）＝－ （m＋n）2 （m－n）2
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类型三　分组分解法
3. ★老师提出了如下问题：将2a－3ab－4＋6b因式分解.
【观察】 经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a－3ab）－（4－6b）＝a（2－3b）－2（2－3b）＝（2－3b）（a－2）.
解法二：原式＝（2a－4）－（3ab－6b）＝2（a－2）－3b（a－2）＝（a－2）（2－3b）.
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【感悟】 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.（提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
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【类比】 （1） 请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；
解：（1） x2－a2＋x＋a＝（x2－a2）＋（x＋a）＝（x＋a）（x－a）＋（x＋a）＝（x＋a）（x－a＋1）
【挑战】 （2） 请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
解：（2） ax＋a2－2ab－bx＋b2＝（a2－2ab＋b2）＋（ax－bx）＝（a－b）2＋（a－b）x＝（a－b）（a－b＋x）
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（3） 若a2＋b2＝9，a－b＝2，请用分组分解法先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值.
解：（3） a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4＝（a4＋2a2b2＋b4）－（2a3b＋2ab3）＝（a2＋b2）2－2ab（a2＋b2）＝（a2＋b2）（a2－2ab＋b2）＝（a2＋b2）（a－b）2.当a2＋b2＝9，a－b＝2时，原式＝9×4＝36
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类型四　十字相乘法
4. ★因式分解x2＋3x＋2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）.这样，我们可以得到x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）.
第4题
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请用十字相乘法把下列各式因式分解：
（1） a2－3a－4；
解：原式＝（a＋1）（a－4）
（2） 2x2－3x－2；
解：原式＝（2x＋1）（x－2）
（3） 12x2－11x－15；
解：原式＝（4x＋3）（3x－5）
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（4） －6x2＋12－x；
解：原式＝－（6x2＋x－12）＝－（2x＋3）（3x－4）＝（2x＋3）（4－3x）
（5） （x2－5x）2－16.
解：原式＝（x2－5x）2－42＝［（x2－5x）＋4］［（x2－5x）－4］＝（x2－5x＋4）（x2－5x－4）＝（x－1）（x－4）（x2－5x－4）
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类型五　换元法
5. ★★数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式（a2＋4a＋2）（a2＋4a＋6）＋4进行因式分解.某同学解答过程如下：
解：设a2＋4a＝b.
原式＝（b＋2）（b＋6）＋4 第一步
＝b2＋8b＋16 第二步
＝（b＋4）2 第三步
＝（a2＋4a＋4）2 第四步
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根据以上解答过程回答下列问题.
（1） 该同学第二步到第三步运用了因式分解中的（　C　）
A. 提公因式法 B. 平方差公式法
C. 两数和的完全平方公式法 D. 两数差的完全平方公式法
（2） 对第四步的结果继续因式分解为 　（a＋2）4　.
（3） 请你仿照以上方法对多项式（x2－6x）（x2－6x＋18）＋81进行因式分解.
解：设x2－6x＝y，原式＝y（y＋18）＋81＝y2＋18y＋81＝（y＋9）2＝（x2－6x＋9）2＝（x－3）4
C
（a＋2）4
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5(共12张PPT)
2　提公因式法
第1课时　公因式为单项式的因式分解
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 将6xy＋12x2因式分解，其正确结果是（　A　）
A. 6x（y＋2x） B. 6xy（1＋2x）
C. 12x（y＋x） D. 3x（2y＋4x）
2. 多项式5mx3＋25mx2－10mxy中各项的公因式为（　D　）
A. 5mx2 B. 5mxy C. mx D. 5mx
A
D
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3. 如图所示为甲、乙两名同学因式分解－x2＋x的结果，下列判断正确的是（　A　）
A. 甲、乙的结果都正确 B. 甲、乙的结果都不正确
C. 只有甲的结果正确 D. 只有乙的结果正确
第3题
A
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4. 某天数学课上，老师讲了提公因式法.放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy（4y－ ）.其中，“ ”处被墨水弄污了，你认为“ ”处应是（　C　）
A. 2x B. －2x C. 2x－1 D. －2x－1
C
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5. ★如图，某养鸡场老板准备用20 m长的篱笆围成一个长为a m、宽为b m的长方形场地，已知a2b＋ab2＝240，则这个长方形场地的面积
为（　B　）
A. 32 m2 B. 24 m2 C. 16 m2 D. 12 m2
第5题
B
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 因式分解：mx－2my＝ 　m（x－2y）　.
7. 将多项式8a3b2＋12a3bc－4a2b因式分解时，应提取的公因式为
　4a2b，该多项式进行因式分解的最后结果为 　 4a2b（2ab＋3a　.
m（x－2y）
4a2b
4a2b（2ab＋3ac
－1）
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8. 当a，b互为相反数时，多项式a2＋ab－4的值为 　－4　.
9. 新考法 开放题 课堂上，老师给出了一个只含字母x的多项式，并让同学们描述这个多项式的特征，如图所示为两名同学的描述，根据这些描述，请写出一个符合条件的多项式： 　3x3－3x2　.（答案不唯一）
第9题
－4
3x3－3x2
（答案不唯一）
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）把下列各式因式分解：
（1） 2x2－8x；
解：2x（x－4）
（2） 2x2＋4xy＋2x2；
解：4x（x＋y）
（3） 9abc －6a2b2＋12abc2；
解：3ab（3c－2ab＋4c2）
（4） －3x2＋6x2y－3xy2.
解：－3x（x－2xy＋y2）
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11. （16分）（教材变式）利用因式分解计算：
（1） 234×265－234×65；
解：原式＝234×（265－65）＝234×200＝46 800
（2） 1.992＋1.99×0.01；
解：原式＝1.99×（1.99＋0.01）＝1.99×2＝3.98
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（3） 121×0.13＋12.1×0.9－12×1.21；
解：原式＝1.21×13＋1.21×9－1.21×12＝1.21×（13＋9－12）＝1.21×10＝12.1
（4） 2 0252＋2 025－2 0262.
解：原式＝2 025×（2 025＋1）－2 0262＝2 025×2 026－2 0262＝2 026×（2 025－2 026）＝－2 026
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12. （8分）已知x＋2y＝5，xy＝1，求2x2y＋4xy2的值.
解：2x2y＋4xy2＝2xy（x＋2y）.当x＋2y＝5，xy＝1时，原式＝2×1×5＝10
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13. ★（10分）设5个连续整数的中间数为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数.
解：∵ 5个连续整数的中间数为n，∴ 其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2.∴ 它们的平方和为（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5（n2＋2）.∵ n是整数，∴ n2＋2是整数.∴ 5（n2＋2）是5的倍数.∴ 5个连续整数的平方和是5的倍数
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13(共13张PPT)
第四章小测
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 下列代数式的变形中，属于因式分解且因式分解正确的是（　B　）
A. 2x－6＝2（x－6）
B. －4＋y2＝（y－2）（y＋2）
C. x2－2x＋2＝（x－1）2＋1
D. x2－6x－9＝（x－3）2
B
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2. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（　C　）
A. a2－1 B. a2＋a
C. a2－2a＋1 D. （a＋2）2－2（a＋2）＋1
C
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3. 有下列多项式：① x2－y2；② x3＋2；③ x2＋4x；④ x2－10x＋25.其中，能直接运用公式法因式分解的有（　B　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 若x－2y＝－3，则代数式4y2－12y＋9－x2的值为（　B　）
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
B
B
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5. 如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图②.根据图形的面积，甲同学写出了一个等式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）；乙同学也写出了一个等式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2.下列说法正确的是（　C　）
C
第5题
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 因式分解：3ab2＋6a2b＋3a3＝ 　3a（b＋a）2　.
7. （广州中考）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝20.3 Ω，R2＝31.9 Ω，R3＝47.8 Ω，I＝2.2 A时，U为 　220　V.
第7题
3a（b＋a）2
220
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8. 定义新运算 ：a b＝3a－2b，则把（x2＋2xy） （3xy＋6y2）因式分解的结果是 　3（x＋2y）（x－2y）　.
9. ★若多项式4x2＋（m－1）x＋ 是完全平方式，则m＝ 　 .
3（x＋2y）（x－2y）
或－
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三、 解答题（共46分）
10. （16分）已知A＝3x2－12，B＝5x2y3＋10xy3，C＝（x＋1）（x＋3）＋1，多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由.
解：多项式A，B，C有公因式　∵ A＝3x2－12＝3（x2－4）＝3（x＋2）（x－2），B＝5x2y3＋10xy3＝5xy3（x＋2），C＝（x＋1）（x＋3）＋1＝x2＋4x＋3＋1＝x2＋4x＋4＝（x＋2）2，∴ 多项式A，B，C的公因式为x＋2
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11. ★（14分）阅读下面的材料，并解决问题.
　　在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码.有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x2＋y2）（x＋y）（x－y）.当x＝9，y＝9时，x2＋y2＝162，x＋y＝18，x－y＝0.将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码.
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（1） 按照上述方法，当x＝8，y＝6时，求生成的密码.
解：（1） 当x＝8，y＝6时，x2＋y2＝82＋62＝100，x＋y＝8＋6＝14，x－y＝8－6＝2.∴ 生成的密码是100142
（2） 根据上述方法，若将多项式x2（x－2y）＋xy（2x－y）因式分解，则当x＝23，y＝6时，生成的密码是多少？
解：（2） x2（x－2y）＋xy（2x－y）＝x3－2x2y＋2x2y－xy2＝x（x2－y2）＝x（x＋y）（x－y）.当x＝23，y＝6时，x＋y＝23＋6＝29，x－y＝23－6＝17.∴ 生成的密码是292317
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（3） 根据上述方法，若将多项式x2－2xy＋y2－16因式分解，则当x＝126，y＝－7时，生成的密码是多少？
解：（3） x2－2xy＋y2－16＝（x－y）2－42＝（x－y＋4）（x－y－4）.当x＝126，y＝－7时，x－y＋4＝126＋7＋4＝137，x－y－4＝126＋7－4＝129.∴ 生成的密码是137129
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12. ★★（16分）配方法是初中数学中经常用到的一种重要方法，所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的.例如：解方程x2－4x＋4＝0，则（x－2）2＝0，∴ x＝2. 已知x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求x，y的值，则有（x2－2x＋1）＋（y2＋4y＋4）＝0，∴ （x－1）2＋（y＋2）2＝0，解得x＝1，y＝－2.解方程x2－2x－3＝0，则有x2－2x＋1－1－3＝0，∴ （x－1）2＝4.∴ x－1＝±2.∴ x＝3或x＝－1.
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根据以上材料，解答下列各题：
（1） 若a2＋4a＋4＝0，则a＝ 　－2　；
（2） 若x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，则（x＋y）－2 030＝ 　1　；
（3） 若a2－2a－8＝0，求a的值.
解：∵ a2－2a－8＝0，∴ （a－1）2＝9.∴ a－1＝±3.∴ a＝4或a＝－2
－2
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12(共13张PPT)
1　因式分解
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. （教材变式）下列变形中，属于因式分解的是（　B　）
A. 2a－1＝a B. ax＋x＝（a＋1）x
C. 4x2y＝2x 2xy D. 4x2－8x－1＝4x（x－2）－1
B
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2. 下列多项式中，能因式分解为（3a－y）（3a＋y）的是（　C　）
A. 9a2＋y2 B. －9a2＋y2
C. 9a2－y2 D. －9a2－y2
C
3. （教材变式）根据因式分解与整式乘法的关系，下列因式分解不正确的是（　C　）
A. a2－ab＝a（a－b） B. b2－1＝（b＋1）（b－1）
C. b2－4b＋4＝（b－4）2 D. a2＋10a＋25＝（a＋5）2
C
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4. 利用因式分解简便计算69×99＋32×99－99正确的是（　B　）
A. 99×（69＋32）＝99×101＝9 999
B. 99×（69＋32－1）＝99×100＝9 900
C. 99×（69＋32＋1）＝99×102＝10 098
D. 99×（69＋32－99）＝99×2＝198
B
5. ★如果259＋517能被n整除，那么n的值可能是（　B　）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
B
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 对于① 3m2－6m＝3m（m－2），② （x－2y）（x＋2y）＝x2－4y2，式子①从左到右的变形是 　因式分解　，式子②从左到右的变形是 　整式乘法　.（填“因式分解”或“整式乘法”）
因式分解
整式乘法
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7. （教材变式）如图，整个大长方形的面积用式子表示为a2＋3ab＋2b2，观察图形，可将这个式子因式分解为 　（a＋b）（a＋2b）　.
第7题
（a＋b）（a＋2b）
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8. 甲、乙两名同学对同一个二次三项式进行因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成（x＋1）（x＋5）；乙因看错了常数项而分解成（x－2）（x－4）.原多项式为 　x2－6x＋5　.
9. ★若将多项式x2－ax＋b因式分解为（x－2）（x＋5），则（－3a＋b）2 035的值为 　－1　.
x2－6x＋5
－1
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三、 解答题（共46分）
10. （8分）如图，根据因式分解与整式乘法的关系，连一连.
第10题答案
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11. （12分）（教材变式）请利用a2＋ab＝a（a＋b）解决下面的问题.
（1） 简便运算：7.62＋7.6×2.4；
解：（1） 7.62＋7.6×2.4＝7.6×（7.6＋2.4）＝7.6×10＝76
（2） 判断n2＋n（n为整数）是奇数还是偶数.
解：（2） n2＋n＝n（n＋1）.若n为奇数，则n＋1为偶数；若n为偶数，则n＋1为奇数.∴ n与n＋1始终一奇一偶.∴ n（n＋1）为偶数，即n2＋n是偶数
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12. （13分）如图，△ABC是某小区的一块空地，现要加以绿化，点O是空地内安装喷泉的位置，它到△ABC三边的距离相等，即OD＝OE＝OF＝m，现测得m＝8.48米，三边长BC＝a＝41米，AC＝b＝34米，AB＝c＝25米.利用因式分解求这块空地的面积.
第12题
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（1） 这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为 　 ma＋ mb＋ mc　；
（2） 利用因式分解求这块空地的面积.
解： ma＋ mb＋ mc＝ ×8.48×41＋ ×8.48×34＋ ×8.48×25＝ ×8.48×（41＋34＋25）＝ ×8.48×100＝424（平方米），∴ 这块空地的面积为424平方米
ma＋
mb＋ mc
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13. ★★（13分）新考法 过程性学习 仔细阅读下面的例题.
已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝（x＋3）（x＋n），则x2－4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n.∴ 解得 ∴ 另一个因式为x－7，m的值为－21.
仿照以上方法解决下面的问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式为2x－5，求另一个因式及k的值.
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13
解：设另一个因式为x＋a，得2x2＋3x－k＝（2x－5）（x＋a），则2x2＋3x－k＝2x2＋（2a－5）x－5a.∴ 解得 ∴ 另一个因式为x＋4，k的值为20
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13(共10张PPT)
3　公 式 法
第2课时　利用完全平方公式因式分解
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. （教材变式）有下列多项式：① x2－2x＋1；② 9x2－3x＋1；③ 4x2＋4x－1；④ 25x2－20xy＋16y2；⑤ x2＋1－x.其中，能用完全平方公式分解的个数是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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2. 把多项式4xy2－24xy＋36x因式分解，结果正确的是（　D　）
A. x（2y＋6）2 B. 2x（y－3）2
C. 4x（y－6）2 D. 4x（y－3）2
D
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3. 已知一个正方形的面积是9a2＋12ab＋4b2（a＞0，b＞0），则该正方形的周长是（　D　）
A. 3a＋2b B. 6a＋4b
C. 9a＋6b D. 12a＋8b
4. ★若4x2－（k－1）x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值
是（　B　）
A. 13 B. 13或－11 C. －11 D. 无法确定
D
B
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
5. （烟台中考）因式分解：2x2－12xy＋18y2＝ 　2（x－3y）2　.
6. 新考法 开放题 （成都中考）多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　4x　（填一个即可）.（答案不唯一）
7. （威海中考）因式分解：（x＋2）（x＋4）＋1＝ 　（x＋3）2　.
8. 利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝ 　16　.
2（x－3y）2
4x
（答案不唯一）
（x＋3）2
16
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）（教材变式）把下列各式因式分解：
（1） 25a2b2＋20ab＋4；
解：（5ab＋2）2
（2） （绥化中考）2mx2－4mxy＋2my2；
解：2m（x－y）2
（3） （x2＋2x）2＋2（x2＋2x）＋1；
解：（x＋1）4
（4） － ax2＋4ax－6a.
解：－ a（x－3）2
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10. （12分）先因式分解，再计算求值：
（1） a4－2a3b＋a2b2，其中a＝4，b＝－1；
解：原式＝a2（a2－2ab＋b2）＝a2（a－b）2.当a＝4，b＝－1时，原式＝42×［4－（－1）］2＝400
（2） －x3y＋2x2y2－xy3，其中x－y＝1，xy＝2.
解：原式＝－xy（x2－2xy＋y2）＝－xy（x－y）2.当x－y＝1，xy＝2时，原式＝－2×12＝－2
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11. （12分）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－2ab＋b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC为等腰三角形　理由：∵ a2－2ab＋b2＝ac－bc，∴ （a－b）2＝c（a－b）.∴ （a－b）2－c（a－b）＝0.∴ （a－b）（a－b－c）＝0.∵ a，b，c是△ABC的三边长，∴ a－b－c≠0.
∴ a－b＝0，即a＝b.∴ △ABC为等腰三角形.
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12. （12分）在数学课上，李老师带领同学们解答问题“① 因式分解a2－6a＋5；② 求a2－6a＋5的最小值.”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程：
小明的解答： a2－6a＋5 ＝a2－6a＋9－9＋5 ＝（a－3）2－4 ＝（a－5）（a－1） 小丽的解答：
a2－6a＋5＝a2－6a＋9－9＋5＝（a－3）2－4.
∵ 无论a取何值，（a－3）2≥0，
∴ （a－3）2－4≥－4，即a2－6a＋5≥－4.
∴ a2－6a＋5的最小值为－4.
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（1） 根据小明的解答，将a2－12a＋20因式分解；
解：（1） a2－12a＋20＝a2－12a＋36－36＋20＝a2－12a＋36－16＝（a－6）2－42＝（a－6＋4）（a－6－4）＝（a－2）（a－10）
（2） 根据小丽的解答，求代数式a2－8a－9的最小值.
解：（2） a2－8a－9＝a2－8a＋16－16－9＝（a－4）2－25.∵ 无论a取何值，（a－4）2≥0，∴ （a－4）2－25≥－25，即a2－8a－9≥－25.∴ a2－8a－9的最小值为－25
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12(共10张PPT)
2　提公因式法
第2课时　公因式为多项式的因式分解
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（　A　）
A. x3－x＋1 B. （a－b）－4（b－a）2
C. 11a2b－7b2 D. 5a（m＋n）－3b2（m＋n）
A
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2. （教材变式）把多项式m2（a－3）＋m（3－a）因式分解，结果
是（　C　）
A. （a－3）（m2＋m） B. （a－3）（m2－m）
C. m（a－3）（m－1） D. m（a－3）（m＋1）
C
3. 将多项式（a－1）2－a＋1因式分解，结果正确的是（　B　）
A. a－1 B. （a－1）（a－2）
C. （a－1）2 D. （a＋1）（a－1）
B
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4. 多项式x2y（a－b）－xy（b－a）＋y（a－b）提公因式后，另一个因式为（　B　）
A. x2－x＋1 B. x2＋x＋1
C. x2－x－1 D. x2＋x－1
5. ★把多项式（m－n）3－m（m－n）2－n（n－m）2因式分解，结果为（　C　）
A. 2（m－n）3 B. 2m（m－n）2
C. －2n（m－n）2 D. 2（n－m）3
B
C
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 分解因式3a（x－y）－9b（x－y）时，应提取的公因式为 　3（x－y）　，分解的结果为 　3（x－y）（a－3b）　.
7. （黄石中考）因式分解：x（y－1）＋4（1－y）＝ 　（y－1）（x－4）　.
3（x
－y）
3（x－y）（a－3b）
（y－1）（x
－4）
8. 因式分解：（2a＋b）（2a－b）＋b（4a＋2b）＝ 　（2a＋b　.
9. ★已知（2x－21）（3x－7）－（3x－7）（x－13）可因式分解为（3x＋a）（x＋b），其中a，b均为整数，则a＋3b＝ 　－31　.
（2a＋b）
2
－31
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三、 解答题（共46分）
10. （16分）（教材变式）把下列各式因式分解：
（1） m2（n－2）－m（2－n）；
解：m（n－2）（m＋1）
（2） 18b（a－b）2－12（a－b）3；
解：6（a－b）2（5b－2a）
（3） m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）；
解：（m－n）（p－q）（m＋n）
（4） （x＋y）2＋mx＋my.
解：（x＋y）（x＋y＋m）
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11. （14分）（教材变式）先因式分解，再计算求值：
（1） a2（－b－c）－4a（b＋c），其中a＝－5，a＋b＋c＝－7；
解：原式＝a（b＋c）（－a－4）＝－a（b＋c）（a＋4）.∵ a＝－5，a＋b＋c＝－7，∴ b＋c＝－7－（－5）＝－2.∴ 原式＝－（－5）×（－2）×（－5＋4）＝10
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（2） a2（x－2a）2－ a（2a－x）3，其中a＝6，x＝－8.
解：原式＝ a2（2a－x）2－ a（2a－x）3＝ a（2a－x）2［2a－（2a－x）］＝ ax（2a－x）2.当a＝6，x＝－8时，原式＝ ×6×（－8）×［2×6－（－8）］2＝－4 800
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12. ★（16分）新考法 过程性学习 先阅读下面因式分解的过程，再回答问题：
　1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2
＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）］
＝（1＋x）2（1＋x）
＝（1＋x）3
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（1） 上面因式分解的方法是 　提公因式　法，共运用了 　2　次；
（2） 若因式分解1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2 033，则需要运用上述方法 　2 033　次，因式分解的结果是 　（1＋x）2 034　；
（3） 请用以上方法因式分解：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）.
解：原式＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）＋…＋x（1＋x）n－1］＝（1＋x）2［1＋x＋x（1＋x）＋…＋x（1＋x）n－2］＝（1＋x）n＋1
提公因式
2
2 033
（1＋x）
2 034
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12(共12张PPT)
3　公 式 法
第1课时　利用平方差公式因式分解
第四章　因式分解
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（　D　）
A. x2－x B. x2＋x＋1 C. x2＋y2 D. x2－1
D
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13
2. 将多项式－4m2＋n2用公式法进行因式分解，正确的是（　D　）
A. （2m＋n）（2m－n） B. （n－2m）2
C. （－2m－n）（2m＋n） D. （n＋2m）（n－2m）
D
3. 因式分解a2b－b3，结果正确的是（　D　）
A. b（a2－b2） B. b（a－b）2
C. （ab＋b）（a－b） D. b（a＋b）（a－b）
D
4. 若k为任意整数，则（2k＋3）2－（2k－2）2的值总能（　C　）
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
C
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13
5. ★新考法 探究题 如果x＋y，x－y，x2－y2，4，m＋n，mm分别对应6个字：数，学，语，我，爱，文，现将4m（x2－y2）＋4n（x2－y2）因式分解，结果呈现的可能是（　D　）
A. 我爱语文 B. 爱语文
C. 语文数学 D. 我爱数学
D
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13
二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. （北京中考）因式分解：7m2－28＝ 　7（m＋2）（m－2）　.
7. 新考法 开放题 如果多项式a2＋b2＋□ 可以运用平方差公式因式分解，那么 □ 可以是 　－2b2　.（答案不唯一）
7（m＋2）（m－2）
－2b2
（答案不唯一）
1
2
3
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5
6
7
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9
10
11
12
13
8. 如图，从边长为6.75 cm的正方形纸片中剪去一个边长为3.25 cm的小正方形，则剩余部分（图中涂色部分）的面积为 　35　cm2.
第8题
9. 已知a，b，c是△ABC的三边长，则代数式（a－c）2－b2 　＜　0（填“＞”“＜”或“＝”）.
35
＜
1
2
3
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5
6
7
8
9
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13
三、 解答题（共46分）
10. （8分）利用因式分解进行简便计算：
（1） 2 1042－1042；
解：4 416 000
（2） 1.42×9－2.32×36.
解：－172.8
1
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3
4
5
6
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8
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11. （16分）（教材变式）把下列各式因式分解：
（1） （x－1）2＋2（x－5）；
解：（x＋3）（x－3）
（2） 0.36x2－49y2；
解：（0.6x＋7y）（0.6x－7y）
（3） 3m4－48；
解：3（m2＋4）（m＋2）（m－2）
（4） （y＋2x）2－（x＋2y）2.
解：3（x＋y）（x－y）
1
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12. ★（10分）新考法 新定义题 已知n是正整数，则所有大于1的奇数都可以用代数式2n＋1来表示.
（1） 因式分解：（2n＋1）2－1.
解：（1） 原式＝（2n＋1＋1）（2n＋1－1）＝2n（2n＋2）＝4n（n＋1）
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（2） 我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数称为“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请说明理由.
解：（2） 所有“白银数”的最大公约数是8　理由：∵ （2n＋1）2－1＝4n（n＋1），n为正整数，n和n＋1中必有一个是偶数，∴ 4n（n＋1）是8的倍数.∴ 所有“白银数”的最大公约数是8.
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13. ★★（12分）类比思想 我们知道，运用平方差公式可以将x2－1分解为（x＋1）（x－1），那么x3－1，x4－1，…，xn－1呢？首先探究x4－1：
x4－1＝（x2－1）（x2＋1）＝（x－1）（x＋1）（x2＋1）＝（x－1）（x3＋x2＋x＋1）.
（1） 观察上式，发现：含有x－1这个因式，另一个因式为 　x3＋x2＋x＋1　；
x3＋x2
＋x＋1
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（2） 类比：x3－1＝（x－1）（　 　x2＋x＋1　　），并用整式乘法验证你的结论；
解：（2） （x－1）（x2＋x＋1）＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1
（3） 猜想：xn－1＝（x－1）（　 　xn－1＋xn－2＋…＋x2＋x＋1　　）（n为正整数）；
（4） 试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值.
解：（4） 根据上述规律，可得27－1＝（2－1）（26＋25＋24＋23＋22＋2＋1），∴ 26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1
x2＋x＋1
xn－1＋xn－2＋…＋x2＋x＋
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