资源简介

(共15张PPT)
1　三角形内角和定理
第4课时　多边形的外角和
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. （遂宁中考）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　A　）
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
A
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2. 如图，六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的图案，则图中∠ABC的度数为（　C　）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
第2题
C
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3. 如图，线段AB，BC，CD是一个正多边形的三条边，延长AB，DC交于点M，若∠M＝90°，则这个正多边形是（　D　）
A. 正五边形 B. 正六边形
C. 正七边形 D. 正八边形
第3题
D
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4. 如图，奇奇先从点A出发前进4 m，向右转15°，再前进4 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走
了（　D　）
A. 24 m B. 48 m
C. 64 m D. 96 m
第4题
D
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二、 填空题（每小题8分，共32分）
5. 八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角的度数为 　45°　.
45°
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6. （教材变式）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则从这个多边形的一个顶点处可以引 　6　条对角线.
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7. 将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式摆放，E为公共顶点，且顶点A，B，C，D在同一条直线上，则∠BEC的度数是 　63°　.
第7题
63°
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8. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O. 若∠1，∠2，∠3，∠4的度数和为220°，则∠BOD的度数为 　40°　.
第8题
40°
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三、 解答题（共44分）
9. （14分）已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的5倍.求：
（1） 这个多边形的边数；
解：（1） ∵ 一个多边形的每一个内角都相等，∴ 这个多边形是正多边形.设这个多边形的一个外角度数为x，则与外角相邻的内角的度数为5x.根据题意，得x＋5x＝180°，解得x＝30°.∴ 这个多边形的边数为360°÷30°＝12
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（2） 这个多边形的内角和.
解：（2） 这个多边形的内角和为（12－2）×180°＝10×180°＝1 800°
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10. （14分）如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°.求∠α＋∠β的度数.
第10题
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解：∵ AB⊥AF，BC⊥DC，∴ ∠A＝∠C＝90°.∴ ∠A＋∠C＝180°.∵ ∠E＋∠F＝260°，∴ ∠ABC＋∠EDC＝（6－2）×180°－180°－260°＝280°.∴ ∠α＋∠β＝（180°－∠ABC）＋（180°－∠EDC）＝360°－（∠ABC＋∠EDC）＝80°
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11. ★（16分）转化思想 如图，∠G＝40°，求∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R的度数.
第11题
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解：由题意，得∠GAF＝∠G＋∠H，∠ABI＝∠I＋∠J，∠BCK＝∠K＋∠L，∠CDM＝∠M＋∠N，∠DEO＝∠O＋∠P，∠EFQ＝∠Q＋∠R. ∵ ∠GAF＋∠ABI＋∠BCK＋∠CDM＋∠DEO＋∠EFQ＝360°，∴ ∠G＋∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＝∠GAF＋∠ABI＋∠BCK＋∠CDM＋∠DEO＋∠EFQ＝360°.又∵ ∠G＝40°，∴ ∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＋∠M＋∠N＋∠O＋∠P＋∠Q＋∠R＝360°－40°＝320°
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11(共13张PPT)
阶段检测（1～3）
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（　C　）
A. 540° B. 900°
C. 1 080° D. 1 440°
C
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2. 一个多边形展览厅的平面示意图如图所示，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于（　D　）
A. 360° B. 300° C. 240° D. 180°
第2题
D
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3. 如图，M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
第3题
B
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4. ★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在∠C内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE＝60°.若BC＝5，BE＝3，则△ABD的面积为（　C　）
A. B. 3 C. 4 D. 5
C
第4题
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 我们学习了很多定理，如① 全等三角形的对应角相等；② 两直线平行，同位角相等；③ 三边分别相等的两个三角形全等；④ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.上述定理中，存在逆定理的是 　②③④　（填序号）.
②
③④
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6. 如图，等边三角形ABF在正五边形ABCDE的内部，连接EF，则∠AEF的度数是 　66°　.
第6题
66°
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7. ★如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE. 有以下5个结论：① BD＝CE；② BD⊥CE；③ ∠ACE＋∠DBC＝45°；④ ∠ACE＝∠DBC；⑤ BE2＜2（AD2＋AB2）.其中，正确的是 　①②③⑤　（填序号）.
第7题
①②③⑤
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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN＝CM. 求证：∠B＝∠C.
第8题
解：∵ AM⊥BC于点M，DN∥AM，∴ ∠AMB＝∠DNC＝90°.
∵ BN＝CM，∴ BN＋MN＝CM＋MN，即BM＝CN. 在Rt△ABM和Rt△DCN中， ∴ Rt△ABM≌Rt△DCN. ∴ ∠B＝∠C
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9. （14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E.
（1） 求证：△BEC是等腰三角形；
解：（1） ∵ BD⊥AC，∴ ∠CDB＝90°.
又∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠A＋∠C＝90°，∠DBC＋∠C＝90°.∴ ∠A＝∠DBC. ∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE＝∠DBE. ∵ ∠CBE＝∠DBC＋∠DBE，∠CEB＝∠A＋∠ABE，∴ ∠CBE＝∠CEB. ∴ CB＝CE. ∴ △BEC是等腰三角形
第9题
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（2） 若∠CEB＝75°，BC＝4，求DE的长.
解：（2） ∵ ∠CEB＝∠CBE＝75°，∴ ∠C＝180°－2×75°＝30°.∵ ∠CDB＝90°，BC＝4，
∴ BD＝ BC＝2.∴ CD＝ ＝2 .∵ CE＝BC＝4，∴ DE＝CE－CD＝4－2
第9题
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10. ★（16分）数学兴趣小组在解答一道数学题：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD＝BC. 求证：BD＝AC.
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC. ”
小军说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD＝AC. ”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等证明
BD＝AC. ”
你认为他们的证明方法可行吗？请选择一种方法证明.
第10题
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解：都可行　选择证明方法不唯一，如选择小丽的证明方法：
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠D＝∠C＝90°.在△AOD和△BOC中，∵ ∠D＝∠C，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，
∴ △AOD≌△BOC（AAS）.∴ AO＝BO，DO＝CO.
∴ BO＋DO＝AO＋CO，即BD＝AC
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10(共13张PPT)
2　等腰三角形
第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 下列三角形中，不一定属于等边三角形的是（　D　）
A. 有两个角等于60°的三角形
B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形
D. 边上的高也是这条边上中线的三角形
D
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2. （安徽中考）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的长
是（　B　）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
第2题
B
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3. 如图，E是等边三角形ABC的边AC上的一点，若∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（　B　）
A. 等腰但非等边三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形
第3题
B
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4. （教材变式）如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F. 若AF＝DF，EF＝1，则BE的长为（　C　）
A. 5 B. 4 C. 5 D. 4
第4题
C
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 新考法 条件开放题 （资阳中考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA. 若使△BCE成为等边三角形，则可增加的一个条件是 　∠BCE＝∠B　.（答案不唯一）
第5题
∠BCE＝∠B
（答案不唯一）
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6. 分类讨论思想 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD＝30°，则AD的长为 　6或12　.
第6题
6或12
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7. ★新考法 操作实践题 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N，再以点A为圆心，BM长为半径作弧，交AC于点T；以点T为圆心，MN长为半径作弧，交前弧于点S，作射线AS；在射线AS上取点D，连接DC. 若AD＝3，则DC＝ 　 　.
第7题

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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC是等边三角形.
第8题
解：∵ HB＝HC，∴ ∠HBC＝∠HCB. ∵ CF⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BFC＝∠BEC＝90°.∴ ∠ABC＋∠HCB＝90°，∠ACB＋∠HBC＝90°.∴ ∠ABC＝∠ACB. ∴ AB＝AC. ∵ ∠A＝60°，
∴ △ABC是等边三角形
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9. ★（14分）如图①，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC.
第9题
（1） 求证：AD＝DC.
解：（1） ∵ DC∥AB，∴ ∠CDB＝∠ABD. 又∵ BD平分∠ABC，∴ ∠CBD＝∠ABD. ∴ ∠CDB＝∠CBD. ∴ BC＝DC. 又∵ AD＝BC，∴ AD＝DC
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（2） 如图②，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF. 判断△DEF的形状并证明你的结论.
第9题
解：（2） △DEF为等边三角形　由（1），得BC＝DC，又∵ CF⊥BD，∴ F是BD的中点.∴ FD＝ BD. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠DBE＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.∵ DE⊥AB，∴ ∠DEB＝90°.∴ ∠BDE＝60°，DE＝ DB＝DF. ∴ △DEF为等边三角形
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10. ★★（16分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，连接AD，DE，BE，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8.
（1） 求∠ADE的度数；
解：（1） 如图，延长ED交边BC于点F，延长AD交边BC于点H. ∵ ∠EBC＝∠E＝60°，∴ ∠EFB＝180°－∠EBC－∠E＝60°.∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AH⊥BC，即∠AHC＝90°.∴ ∠HDF＝180°－∠AHC－∠EFB＝30°.∴ ∠ADE＝∠HDF＝30°
第10题答案
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（2） 若BC＝10，求DE的长.
解：（2） 由（1），得∠EBC＝∠E＝∠EFB＝60°，∴ △BEF是等边三角形.∴ BF＝EF＝BE＝8.∵ BC＝10，∴ FC＝BC－BF＝2.∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BH＝CH＝ BC＝5.∴ HF＝CH－FC＝3.由（1），得∠AHC＝90°，∠HDF＝30°，∴ DF＝2HF＝6.∴ DE＝EF－DF＝2
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10(共12张PPT)
小专题（三）　构造等腰三角形的方法
第一章　三角形的证明及其应用
类型一　利用垂直平分线构造等腰三角形
1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N. 求证：CD＝ AN.
第1题
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解：过点D作DH⊥AB于点H，连接DN. ∵ ∠C＝90°，
∴ DC⊥AC. ∵ ∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴ ∠BAD＝ ∠BAC＝15°，DC＝DH. ∵ MN是AD的垂直平分线，∴ NA＝ND. ∴ ∠NDA＝∠NAD＝15°.∴ ∠DNH＝∠NDA＋∠NAD＝30°.∴ 在Rt△DNH中，DH＝ DN. ∵ DN＝AN，DC＝DH，∴ CD＝ AN
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2. 如图，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，ED，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，求BE，EG和CG的长.
第2题
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解：连接AE，AG. ∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）÷2＝30°.∵ DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，∴ BE＝AE，AG＝CG. ∴ ∠BAE＝∠B＝30°，∠CAG＝∠C＝30°.∴ ∠EAG＝∠BAC－∠BAE－∠CAG＝120°－30°－30°＝60°.又∵ ∠AEG＝∠B＋∠BAE＝60°，∠AGE＝∠C＋∠CAG＝60°，∴ △AEG是等边三角形.∴ AE＝EG＝AG. ∴ BE＝EG＝CG. ∵ BC＝6 cm，∴ BE＝EG＝CG＝2 cm
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类型二　利用三线合一构造等腰三角形
3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E. 若CE＝2，则BD的长为（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第3题
B
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4. ★如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝4，BP＝3，AC＝10，∠C＝18°，则∠ABC＝ 　54°　.
第4题
54°
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类型三　作腰或底的平行线构造等腰三角形
5. ★如图，在等边三角形ABC中，M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，过点M作MH⊥AC于点H.
（1） 求证：MP＝NP；
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解：（1） 如图，过点M作MQ∥BC，交AC于点Q. 在等边三角形ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
∵ MQ∥BC，∴ ∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N.
∴ △AMQ是等边三角形.∴ AM＝QM. ∵ AM＝CN，∴ QM＝CN. 在△QMP和△CNP中，∵ ∠QPM＝∠CPN，∠QMP＝∠CNP，QM＝CN，
∴ △QMP≌△CNP. ∴ MP＝NP
第5题答案
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（2） 若AB＝a，求线段PH的长（用含a的代数式表示）.
解：（2） 由（1），得△AMQ是等边三角形，
又∵ MH⊥AC，∴ AH＝HQ. 由（1），得△QMP≌△CNP，∴ QP＝CP. ∴ PH＝HQ＋QP＝ （AQ＋QC）＝ AC. ∵ AC＝AB＝a，∴ PH＝ a
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类型四　利用特殊角构造等边三角形
6. ★如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长.
第6题
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解：延长AD，BC交于点E. ∵ ∠A＝30°，∠B＝90°，∴ ∠E＝60°.∵ ∠ADC＝120°，∴ ∠EDC＝180°－∠ADC＝60°.
∴ ∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝60°.∴ △EDC是等边三角形.∴ CD＝CE＝DE. 在Rt△ABE中，∵ ∠A＝30°，∴ AE＝2BE. 设CD＝CE＝DE＝x.∵ AD＝4，BC＝1，∴ BE＝1＋x，AE＝x＋4.∴ x＋4＝2（1＋x），解得x＝2.∴ CD＝2
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6(共13张PPT)
4　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. （教材变式）如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水.若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　B　）
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
第1题
B
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2. （教材变式）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，分别与边AB，BC相交于点D，E. 若AD＝3，△AEC的周长为18，则△ABC的周长为（　B　）
A. 20 B. 24 C. 25 D. 30
第2题
B
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3. 如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD. 若∠B＝30°，AD＝AC，则∠BAC的度数为（　C　）
A. 80° B. 85° C. 90° D. 105°
第3题
C
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4. ★如图，AB＝AC＝4，BD＝DC，AD与BC相交于点E. 若∠ABC＝60°，且AD＝5，则四边形ABDC的面积为（　B　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
第4题
B
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E. 如果∠B＝30°，BC＝10，那么CE＝ 　 　.
第5题

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6. （教材变式）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC. 若∠CDA＝34°，则∠CAB＝ 　56°　.
第6题
56°
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7. ★新考法 操作实践题 （成都中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，AB长为半径作弧；再以点C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为 　 　.
第7题

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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC且BD＝DE，连接AE.
（1） 求证：AB＝EC；
解：（1） ∵ EF垂直平分AC，∴ AE＝EC.
∵ AD⊥BC，BD＝DE，∴ AB＝AE. ∴ AB＝EC
第8题
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（2） 若△ABC的周长为28 cm，AC＝12 cm，求DC的长.
解：（2） ∵ △ABC的周长为28 cm，∴ AB＋BC＋AC＝28 cm.∵ AC＝12 cm，∴ AB＋BC＝16 cm.∵ AB＝EC，BD＝DE，∴ DC＝DE＋EC＝ BE＋ EC＋ AB＝ （BC＋AB）＝ ×16＝8（cm）
第8题
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9. （14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线EH交AB于点E，交BD于点H，连接DE交AC于点F. 求证：点E在AF的垂直平分线上.
第9题
解：∵ E是BD的垂直平分线EH上一点，∴ EB＝ED. ∴ ∠B＝∠D. ∵ ∠ACB＝∠ACD＝90°，∴ ∠A＝90°－∠B，∠CFD＝∠ACD－∠D＝90°－∠D. ∴ ∠CFD＝∠A. 又∵ ∠AFE＝∠CFD，
∴ ∠AFE＝∠A. ∴ EF＝EA.
∴ 点E在AF的垂直平分线上
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10. ★（16分）新考法 探究题 已知△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD，交AC于点O.
第10题
（1） 如图①，求证：直线AC垂直平分线段BD.
解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°.∵ CD＝AB，∴ CD＝BC. ∵ CD∥AB，∴ ∠ACD＝∠BAC＝60°.∴ ∠ACD＝∠ACB. ∵ CD＝BC，∴ BO＝DO，CO⊥BD，即直线AC垂直平分线段BD
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（2） 如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，连接BN，MN，DN，DM，且DN＝MN. 求证：BN＝MN.
解：（2） 由（1），得直线AC垂直平分线段BD. ∵ 点N在线段CO上，∴ BN＝DN. ∵ DN＝MN，∴ BN＝MN
第10题
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10(共9张PPT)
小专题（二）　线段的垂直平分线与角平分线的综合
第一章　三角形的证明及其应用
类型一　综合应用进行“选址”
1. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图所示的△ABC的空地上建立一个集中充电点P，设计要求如下：集中充电点P到公路AB，AC的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等.请在图中确定点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
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解：如图，点P即为所求
第1题答案
类型二　综合应用进行计算与证明
2. （辽宁中考）如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D. 在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE，则△DAE的周长为（　B　）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
B
第2题
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3. （泰安中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN，分别与BC，AC交于点E和点F，连接BF；以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，G为圆心，大于 HG的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP. 若射线AP恰好经过点E，则有下列四个结论：① ∠C＝30°；② AP垂直平分线段BF；③ CE＝2BE；④ S△BEF＝ S△ABC. 其中，正确的有（　D　）
D
第3题
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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4. 如图，在∠MAN中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；再分别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP. 分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q. 若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则点F到AN的距离为 　 .

第4题
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6
5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
（1） 通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 　垂直平分线　，射线AE是∠DAC的 　平分线　；
（2） 在（1）所作的图中，求∠DAE的度数.
第5题
垂直
平分线
平分线
解：∵ DF垂直平分线段AB，∴ DA＝DB.
∴ ∠BAD＝∠B＝40°.
∵ ∠B＝40°，∠C＝50°，∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°.
∴ ∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝50°.∵ AE平分∠CAD，∴ ∠DAE＝ ∠CAD＝25°
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6. ★如图①，P是∠AOB的平分线OC上的一点，过点P分别作OA，OB的垂线段，垂足分别为D，H，E是线段OD上一点，F是线段OH上一点，且DE＝FH. 连接PE，PF，EF.
第6题
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5
6
（1） 求证：点P在线段EF的垂直平分线上.
解：（1） ∵ OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，∴ PD＝PH，∠PDE＝∠PHF＝90°.在△PDE和△PHF中， ∴ △PDE≌△PHF. ∴ PE＝PF. ∴ 点P在线段EF的垂直平分线上
第6题
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6
（2） 如图②，如果点E在射线DA上，其余的条件都不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
解：（2） （1）中的结论依然成立　理由：∵ OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，∴ PD＝PH，∠PDE＝∠PHF＝90°.在△PED和△PFH中， ∴ △PED≌△PFH. ∴ PE＝PF. ∴ 点P在线段EF的垂直平分线上.
第6题
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6(共15张PPT)
4　线段的垂直平分线
第2课时　三角形三边的垂直平分线
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 新情境 游戏活动 三人分别站在△ABC的三个顶点处，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁就获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（　C　）
A. 三条边的中线的交点处
B. 三个角的平分线的交点处
C. 三条边的垂直平分线的交点处
D. 三条边的高的交点处
C
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2. 如图，△ABC是等边三角形，直线MN∥BC，点P在直线MN上运动，当点P与△ABC的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线MN上会让警报器发出警报的点有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第2题
C
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3. （教材变式）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB，AC交于D，E两点，BC边的垂直平分线FG分别与BC，AC交于F，G两点，连接BE，BG. 若△BEG的周长为11，GE＝1，则AC的长为（　B　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第3题
B
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10
4. 如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，则∠PAB的度数为（　B　）
A. 33° B. 35° C. 37° D. 39°
第4题
B
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10
二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 数学活动课上，三名同学围绕作图问题“已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”分别作出了如图①②③所示的三个图形，其中，作法正确的是 　②③　（填序号）.
第5题
②③
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10
6. 如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交直线BC于点D，E，连接AD，AE. 若∠DAE＝82°，则∠BAC＝ 　49°　.
第6题
49°
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7. ★如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，边AB，AC的垂直平分线交于点O，连接OA，则OA＝ 　 　.
第7题

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10
三、 解答题（共44分）
8. （12分）（教材变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线.
（1） 作△ABD的高DE（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1） DE如图所示
第8题答案
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（2） 在（1）的条件下，连接CE，求证：AD垂直平分CE.
解：（2） 由（1），得DE是△ABD的高，∴ DE⊥AB. ∴ ∠AED＝90°.在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠AED＝∠ACD，∠CAD＝∠BAD.
在△ACD和△AED中，
∴ △ACD≌△AED. ∴ AC＝AE，DC＝DE. ∴ 点A在CE的垂直平分线上，点D在CE的垂直平分线上.∴ AD垂直平分CE
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9. （14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，边AB的垂直平分线EF分别交AB，AD，AC于点E，P，F，连接PB，PC. 请观察图形并解决下面的问题：
第9题
（1） 线段PA，PB，PC之间的数量关系是 　PA＝PB＝PC　；
PA＝PB＝PC
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（2） 若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数.
解： ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB＝70°.∴ ∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝40°.又∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAP＝∠CAP＝ ∠BAC＝20°.∵ EF是边AB的垂直平分线，∴ PA＝PB. ∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC，BD＝CD. ∴ AD是边BC的垂直平分线.∴ PB＝PC. ∴ PA＝PB＝PC. ∴ ∠ABP＝∠BAP＝∠CAP＝∠ACP＝20°.∴ ∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝∠ABP＋∠BAP＋∠CAP＋∠ACP＝80°
第9题
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10. ★（18分）如图，在△ABC中，DF，EF分别垂直平分AC，BC，分别交AB于M，N两点.
（1） 若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；
解：（1） ∵ DF，EF分别垂直平分AC，BC，
∴ AM＝CM，CN＝BN. ∴ ∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN. ∴ ∠CMN＝∠A＋∠ACM＝2∠A，∠CNM＝∠B＋∠BCN＝2∠B. ∵ ∠ACB＝120°，∴ ∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝60°.∴ ∠MCN＝180°－（∠CMN＋∠CNM）＝180°－（2∠A＋2∠B）＝180°－2（∠A＋∠B）＝60°
第10题
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（2） 若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
解：（2） 由（1），得AM＝CM，BN＝CN，
∴ △CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB. ∵ △CMN的周长为15 cm，∴ AB＝15 cm
第10题
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（3） 若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数.
解：（3） ∵ ∠MFN＝70°，∴ ∠NMF＋∠MNF＝180°－∠MFN＝110°.∵ ∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴ ∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∵ DF，EF分别垂直平分AC，BC，∴ ∠ADM＝∠BEN＝90°.∴ ∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－（∠AMD＋∠BNE）＝70°.由（1），得∠MCN＝180°－2（∠A＋∠B）＝40°
第10题
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10(共13张PPT)
3　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. （教材变式）下列说法正确的是（　C　）
A. 真命题的逆命题一定是真命题
B. 假命题的逆命题一定是假命题
C. 所有的定理一定有逆命题
D. 所有的定理一定有逆定理
C
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2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，有下列条件：① a2＝（b－c）（b＋c）；② a∶b∶c＝5∶12∶13；③ ∠C＝∠A＋∠B；④ ∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶5.其中，能判定△ABC是直角三角形的为（　D　）
A. ①③ B. ①③④
C. ①②③ D. ①②③④
D
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10
3. 新考向 数学文化 如图所示为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3题
A
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4. ★ 新考法 操作实践题 （教材变式）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合.若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　A　）
A. B. C. D.
第4题
A
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 命题“等角的余角相等”的逆命题是 　如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等　，这是一个 　真　命题（填“真”或“假”）.
如果两个角的余角相等，那
么这两个角也相等
真
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6. 新考法 新定义题 定义：对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，若AD＝5，BC＝8，则AB2＋CD2的值为 　89　.
第6题
89
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7. ★如图，现有一个△ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角形沿边BC翻折得到△A′BC，再将△A′BC沿边A′C翻折得到△A′B′C，则A，B′两点之间的距离为 　8 　.
第7题
8
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三、 解答题（共44分）
8. （12分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，记t＝ k＋ k，其中k为整数.
（1） 若△ABC为等边三角形，则t＝ 　2　；
（2） 若k＝2，t＝1，判断△ABC的形状.
解：当k＝2，t＝1时，1＝2＋2＝ ，即a2＋b2＝c2，
∴ △ABC为直角三角形
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10
9. （16分）新情境 现实生活 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，AC＝20，BC＝15，CD＝12.求证：△ABC是直角三角形.
第9题
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解：∵ CD⊥AB，∴ ∠CDB＝∠CDA＝90°.在Rt△CDB中，∵ BC＝15，CD＝12，∴ BD＝ ＝9.在Rt△ACD中，∵ AC＝20，CD＝12，∴ AD＝ ＝16.∴ AB＝AD＋DB＝16＋9＝25.在△ABC中，∵ AB2＝252＝625，AC2＋BC2＝202＋152＝625，
∴ AB2＝AC2＋BC2.∴ △ABC 是直角三角形
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10. ★（16分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，边BC上的中线AD＝2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE.
（1） 求证：CE⊥AE；
解：（1） ∵ AD是边BC上的中线，∴ BD＝CD. 在△ABD和△ECD中，∵ BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝ED，∴ △ABD≌△ECD. ∴ AB＝EC＝3.∵ AD＝ED＝2，∴ AE＝AD＋DE＝4.
∵ EC2＋AE2＝32＋42＝25，AC2＝52＝25，∴ EC2＋AE2＝AC2.∴ △AEC为直角三角形，且∠AEC＝90°.∴ CE⊥AE
第10题
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10
（2） 求BC的长.
解：（2） 由（1），得∠AEC＝90°.∴ 在Rt△CED中，由勾股定理，得 CD＝ ＝ ＝ .∵ BD＝CD，∴ BC＝2CD＝2
第10题
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10(共13张PPT)
小专题（四）　“三线合一”巧解题
第一章　三角形的证明及其应用
类型一　直接利用“三线合一”进行计算与证明
1. 如图，在△AEB中，AE＝BE，C是边BE上一点，连接AC. 作DE⊥AB于点D，DE交AC于点F，连接BF. 若BF＝10 cm，CF＝3 cm，则AC＝ 　13　cm.
第1题
13
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7
2. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高，若AB＝AC，∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为 　29°　.
第2题
29°
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3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.
（1） 求证：AD⊥BC；
解：（1） 连接AE. ∵ EF是AB的垂直平分线，∴ AE＝BE. ∵ BE＝AC，∴ AE＝AC. ∵ D为线段CE的中点，∴ AD⊥BC
第3题
1
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7
（2） 若∠B＝35°，求∠BAC的度数.
解：（2） ∵ AE＝BE，∠B＝35°，∴ ∠EAB＝∠B＝35°.∵ AD⊥BC，∠B＝35°，∴ ∠BAD＝90°－35°＝55°.∴ ∠EAD＝55°－35°＝20°.∵ AE＝AC，D为线段CE的中点，∴ ∠CAD＝∠EAD＝20°.∴ ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝55°＋20°＝75°
第3题
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7
4. ★如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB上一点，BE的垂直平分线FG交AD于点F，交AB于点G，连接EF，FC. 求∠EFC的度数.
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7
解：如图，连接BF并延长交AC于点H. ∵ FG是BE的垂直平分线，
∴ FE＝FB. ∴ ∠FEB＝∠FBE. ∴ ∠HFE＝∠FEB＋∠FBE＝2∠FBE. ∵ △ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ ∠ABC＝60°，FD是BC的垂直平分线.∴ FB＝FC. ∴ ∠FBC＝∠FCB. ∴ ∠HFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC. ∴ ∠EFC＝∠HFE＋∠HFC＝2（∠FBE＋∠FBC）＝2∠ABC＝120°
第4题答案
1
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7
类型二　构造“三线合一”的基本图形进行计算与证明
5. 如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN. 若MN＝5，求OM的长.
1
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6
7
解：如图，过点P作PH⊥MN于点H，则∠OHP＝90°.∵ ∠AOB＝60°，∴ ∠OPH＝30°.∴ OH＝ OP＝6.∵ PM＝PN，PH⊥MN，∴ MH＝ MN＝ ×5＝2.5.∴ OM＝OH－MH＝3.5
第5题答案
1
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5
6
7
6. 如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，且DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝45°.
（1） 求证：△BCD为等腰三角形；
解：（1） ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. 又∵ DE∥BC，∴ ∠CDE＝∠DCB，∠ADE＝∠B.
∴ ∠DCB＝∠B. ∴ DC＝DB. ∴ △BCD为等腰三角形
第6题
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（2） 若BC＝12，BF＝2，求DF的长.
解：（2） 过点D作DM⊥BC交BC于点M. ∵ △BCD为等腰三角形，∴ BM＝MC＝ BC＝6.∴ FM＝BM－BF＝4.∵ ∠DFM＝45°，∠DMF＝90°，∴ 易得DM＝FM＝4.∴ DF＝ ＝4
第6题
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7. ★将两个大小不同的等边三角形ABC和等边三角形ADE按如图所示的方式摆放，点B，C，D在同一条直线上，连接CE.
（1） 求证：BD＝CE；
解：（1） ∵ △ABC和△ADE均为等边三角形，
∴ ∠BAC＝60°，AB＝AC，∠DAE＝60°，AD＝AE. ∴ ∠BAC＝∠DAE. ∴ ∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中，∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴ △ABD≌△ACE. ∴ BD＝CE
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（2） 若CD＝2，CE＝6，求△ABC的面积.
解：（2） 如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H.
∵ CD＝2，BD＝CE＝6，∴ BC＝BD－CD＝4.
∵ △ABC是等边三角形，∴ BH＝CH＝ BC＝2，AC＝BC＝4.在Rt△AHC中，由勾股定理，得AH＝ ＝ ＝2 .∴ △ABC的面积为 BC AH＝ ×4×2 ＝4
第7题答案
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7(共16张PPT)
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质和等边三角形的性质
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. （扬州中考）在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　B　）
A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C
C. BD＝CD D. AD平分∠BAC
第1题
B
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2. 新情境 现实生活 如图所示为某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图.已知五边形ABCDE，F，E，A三点在同一条直线上，连接EC，EB. 若EB∥CD，ED＝CD，∠D＝110°，则∠CEB的度数为（　D　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第2题
D
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3. （教材变式）如图，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE. 若AD＝AE，则∠CDE的度数为（　D　）
A. 20° B. 25° C. 10° D. 15°
第3题
D
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4. ★如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于点D，DE交AB于点F. 有下列结论：① AD⊥BC；② EF＝DF；③ BE＝BD；④ BE∥AC. 其中，正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题
D
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E是AD上一点，DE＝BD，则∠ACE的度数为 　15°　.
第5题
15°
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6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点.若∠CAE＝16°，则∠B的度数为 　37°　.
第6题
37°
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7. ★如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E和F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为 　3 　.
第7题
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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD.
（1） 若AB＝10，求BE的长；
解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，AB＝10，∴ AC＝BC＝AB＝10，AD＝CD＝ AC＝5.∵ CE＝CD，∴ CE＝5.∴ BE＝BC＋CE＝15
第8题
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（2） 求∠E的度数.
解：（2） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝60°.∵ CE＝CD，∴ ∠CDE＝∠E. ∵ ∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴ 2∠E＝60°.∴ ∠E＝30°
第8题
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9. （14分）（河北中考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
（1） 求证：△ABC≌△AFD；
解：（1） ∵ ∠BAF＝∠EAD，∴ ∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，即∠BAC＝∠FAD. 在△ABC和△AFD中， ∴ △ABC≌△AFD
第9题
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（2） 若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
解：（2） 由（1），得△ABC≌△AFD，∴ AB＝AF. ∵ BE＝FE，∴ AE⊥BF，即AC⊥BD
第9题
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10. ★★（16分）（教材变式）
（1） 如图①，C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，AN与BM相等吗？请说明理由.
第10题
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10
解：（1） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，
∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ ∠MCN＋∠ACM＝∠MCN＋∠BCN，即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN和△MCB中， ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
第10题
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（2） 如图②，C为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形BCN在AB的异侧，AN与BM相等吗？请说明理由.
第10题
解：（2） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ 180°－∠ACM＝180°－∠BCN，即∠MCB＝∠ACN. 在△ACN和△MCB中， ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
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（3） 如图③，C为线段AB外一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，AN与BM相等吗？请说明理由.
第10题
解：（3） AN＝BM　理由：∵ △ACM和△BCN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ ∠MCN＋∠ACM＝∠MCN＋∠BCN，即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN和△MCB中， ∴ △ACN≌△MCB. ∴ AN＝BM.
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10(共14张PPT)
1　三角形内角和定理
第3课时　多边形的内角和
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. （教材变式）剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（　C　）
A. 540° B. 360°
C. 270° D. 180°
C
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2. 新情境 现实生活 如图，第四套人民币的1角硬币外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，则正九边形的内角和为（　B　）
A. 360° B. 1 260°
C. 1 440° D. 1 620°
第2题
B
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3. （眉山中考）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　C　）
A. 216° B. 180°
C. 144° D. 120°
第3题
C
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4. 新考向 数学文化 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②所示为六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接AC，CF，则∠ACF的度数（　B）
第4题
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
B
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5. ★新考法 探究题 综合实践课上，嘉嘉用八块大小相等的含45°角的直角三角尺拼成了一个环状图案（如图①），若淇淇尝试用含60°角的直角三角尺拼成类似的环状图案（如图②），除了图上3块还需要含60°角的直角三角尺的数量为（　C　）
A. 3块
B. 6块
C. 9块
D. 12块
第5题
C
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. （教材变式）一个多边形的内角和是1 440°，则过这个多边形的一个顶点可以作 　7　条对角线.
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7. （株洲中考）如图，∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO的度数为 　48°　.
第7题
48°
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8. 如图①所示为传统建筑中的一种窗格，图②为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB的度数为 　45°　.
第8题
45°
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9. （雅安中考）如图，六边形ABCDEF为正六边形，四边形ABGH为正方形，则∠BCG的度数为 　15°　.
第9题
15°
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H的度数.
解：如图，连接CH. 由三角形的内角和定理，得∠A＋∠B＝∠1＋∠2.由多边形的内角和公式，得∠1＋∠2＋∠BCD＋∠D＋∠E＋∠F＋∠AHF＝（5－2）×180°＝540°.∴ ∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＋∠E＋∠F＋∠AHF＝540°
第10题答案
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11. ★（16分）新考法 探究题 小虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小虎认真地检查了一遍.
（1） 若他检查发现其中一个内角多算了一次，则这个多边形的边数是多少？
解：（1） 设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则（n－2） 180°＝1 840°－x.∵ 1 840°＝10×180°＋40°，多边形的内角和为180°的整数倍，0°＜x＜180°，∴ x＝40°，n－2＝10.∴ n＝12.∴ 这个多边形的边数是12
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（2） 若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？
解：（2） 设这个多边形的边数是m，漏算的那个内角的度数是y，则（m－2） 180°＝1 840°＋y.∵ 1 840°＝11×180°－140°，多边形的内角和为180°的整数倍，0°＜y＜180°，∴ y＝140°，m－2＝11.∴ m＝13.∴ 漏算的那个内角的度数是140°，这个多边形是十三边形
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12. ★（16分）如果从一个五边形中切去一个三角形，得到一个新多边形，那么这个新多边形的内角和为多少度？请画图说明.
解：分三种情况：如图①，新多边形为四边形，则内角和为360°；如图②，新多边形为五边形，则内角和为（5－2）×180°＝540°；如图③，新多边形为六边形，则内角和为（6－2）×180°＝720°
第12题答案
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12(共15张PPT)
小专题（一）　分类讨论思想在等腰三角形中的应用
第一章　三角形的证明及其应用
类型一　因边不确定引起的分类讨论
1. 若等腰三角形的周长是23 cm，一边长为11 cm，则它的腰长
为（　C　）
A. 6 cm B. 11 cm
C. 11 cm或6 cm D. 无法确定
C
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2. ★如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第2题
B
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类型二　因角不确定引起的分类讨论
3. 若等腰三角形的一个角是40°，则它的底角的度数是（　B　）
A. 40° B. 40°或70°
C. 80°或70° D. 70°
B
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4. 新考法 新定义题 在一个等腰三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的两倍，那么称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是 　90°或36°　.
90°或36°
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5. 在等腰三角形ABC中，∠A＝70°，求∠C的度数.
解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°－∠A－∠B＝40°；当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝ ×（180°－∠A）＝55°.∴ ∠C的度数是70°或40°或55°
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类型三　因顶点不确定引起的分类讨论
6. ★已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多可以画（　B　）
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
B
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7. ★★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　D　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第7题
D
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8. ★★如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E. 若△A′DE是等腰三角形，求α.
第8题
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解：由翻折，得∠ACD＝∠A′CD＝α＝ ∠ACA′，∠A＝∠A′＝30°.当点A′位于AB下方时，分三种情况：如图①，当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠A′ED＝ （180°－∠A′）＝75°.
∵ ∠ACE＝∠A′ED－∠A＝45°，∴ ∠ACD＝∠A′CD＝α＝ ∠ACE＝22.5°.当DA′＝DE时，∠A′＝∠DEA′＝30°.
第8题答案
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∵ ∠DEA′＞30°，∴ 此种情况不成立.如图②，当ED＝EA′时，∠EDA′＝∠A′＝30°.∴ ∠DEA′＝180°－∠EDA′－∠A′＝120°.∵ ∠ACE＝∠A′ED－∠A＝90°，∴ ∠ACD＝∠A′CD＝α＝ ∠ACE＝45°.当点A′位于AB上方时，分三种情况：如图③，当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠A′ED＝ ∠CA′D＝15°.
第8题答案
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∴ ∠ACA′＝180°－∠A－∠A′EA＝135°.∴ ∠ACD＝∠A′CD＝α＝ ∠ACA′＝67.5°.当DA′＝DE时，以及当ED＝EA′时，由等腰三角形的底角不可能为钝角，可判断这两种情况都不成立.综上所述，若△A′DE是等腰三角形，则α为22.5°或45°或67.5°
第8题答案
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类型四　因高不确定引起的分类讨论
9. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边长为（　D　）
A. 6 B. 3 或3 C. 6 D. 6或6
D
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10. 新考法 过程性学习 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形顶角的度数.
解：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，由题意，知∠ABD＝50°，则∠A＝40°，即该等腰三角形顶角的度数为40°.以上解法错在哪里？请你写出正确的解答过程.
第10题
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10
解：未考虑等腰三角形为钝角三角形的情况　在△ABC中，AB＝AC. ① 当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，∵ ∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴ ∠A＝90°－50°＝40°.② 当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，∵ ∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴ ∠BAD＝90°－50°＝40°.∵ ∠BAD＋∠BAC＝180°，∴ ∠BAC＝140°.综上所述，该等腰三角形顶角的度数是40°或140°
第10题答案
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10(共14张PPT)
3　直角三角形
第2课时　直角三角形全等的判定
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 在Rt△ABC和 Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，有下列条件：① AC＝A′C′，∠A＝∠A′；② AC＝A′C′，BC＝B′C′；③ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；④ ∠B＝∠B′，AB＝A′B′；⑤ AC＝A′C′，AB＝A′B′.其中，能判定两个三角形全等的个数为（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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2. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定△ABD≌△CDB，则需要添加的条件是（　A　）
A. AD＝CB B. ∠A＝∠C
C. AB＝CD D. ∠ADB＝∠CBD
第2题
A
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3. 如图，在Rt△ACD和Rt△BCE中，AD＝BE，DC＝EC，下列结论中，不正确的是（　C　）
A. Rt△ACD≌Rt△BCE B. OA＝OB
C. E是AC的中点 D. AE＝BD
第3题
C
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4. 如图，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则有下列三个结论：① AS＝AR；② QP∥AR；③ △BRP≌△CSP. 其中，正确的是（　C　）
A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③
第4题
C
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10
二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 新考法 操作实践题 在课堂上，老师给每人发一张如图①所示的卡片，然后让同学们尝试画一个Rt△ABC，使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.小刘和小赵先画出了∠MBN＝90°，后续画图的主要过程分别如图②所示，小刘做法的依据是 　SAS　，小赵做法的依据是 　HL　.
第5题
SAS
HL
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10
6. 分类讨论思想 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，点P，Q分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，且PQ＝AB. 当AP＝ 　5或10　时，△ABC和以A，P，Q为顶点的三角形全等.
第6题
5或10
1
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10
7. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.给出下列结论：① AB＝DE；② ∠ABC＝∠DEF；③ ∠ACB＝∠DFE；④ ∠ABC＋∠DFE＝90°.其中，正确的有 　4　个.
第7题
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三、 解答题（共44分）
8. （14分）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD.
（1） 求证：△DCF≌△EBD；
解：（1） ∵ DF⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴ ∠FDC＝∠DEB＝90°.在Rt△DCF和Rt△EBD中， ∴ Rt△DCF≌Rt△EBD
第8题
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（2） 若∠AFD＝145°，求∠EDF的度数.
解：（2） ∵ ∠AFD＝145°，∴ ∠CFD＝180°－∠AFD＝35°.由（1），得Rt△DCF≌Rt△EBD，
∴ ∠CFD＝∠BDE＝35°.∵ ∠FDC＝90°，∴ ∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝180°－90°－35°＝55°
第8题
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9. （14分）（教材变式）如图，C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B. 此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
第9题
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解：∵ DA⊥AB，EB⊥AB，∴ ∠A＝∠B＝90°.∴ △ADC和△BEC为直角三角形.∵ C是路段AB的中点，∴ AC＝BC. ∵ 小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴ CD＝CE. 在Rt△ADC和Rt△BEC中，∵ CD＝CE，AC＝BC，∴ Rt△ADC≌Rt△BEC. ∴ AD＝BE＝50米.∴ 小红到路段AB的距离是50米
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10. ★（16分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P在BD上，且∠ACP＝45°，AP＝BC.
（1） 求证：AD＝BD；
解：（1） ∵ BD⊥AC，∴ ∠ADP＝∠BDC＝90°.
∵ ∠ACP＝45°，∴ ∠DPC＝90°－∠DCP＝45°.
∴ ∠DPC＝∠DCP. ∴ DP＝DC. 在Rt△ADP和Rt△BDC中，∵ AP＝BC，DP＝DC，
∴ Rt△ADP≌Rt△BDC. ∴ AD＝BD
第10题
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（2） 延长CP交AB于点M，若∠APM＝60°，BC＝2，求PB的长.
解：（2） 由（1），得AD＝BD. ∵ ∠ADB＝90°，∴ ∠DAB＝∠DBA＝ ×（180°－∠ADB）＝45°.又∵ ∠BPM＝∠DPC＝45°，∴ ∠PMB＝180°－∠DBA－∠BPM＝90°.∴ ∠AMP＝90°.∵ ∠APM＝60°，∴ ∠PAM＝30°.∵ AP＝BC，BC＝2，
∴ AP＝2.在Rt△PMA中，∵ ∠PAM＝30°，∴ PM＝ AP＝1.∵ ∠BPM＝∠PBM＝45°，∴ BM＝PM＝1.在Rt△PMB中，由勾股定理，得PB＝ ＝
第10题
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10(共13张PPT)
2　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定与反证法
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　B　）
A. a＝3，b＝3，c＝4 B. a∶b∶c＝2∶3∶4
C. ∠B＝50°，∠C＝80° D. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
B
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2. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC. 若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　B　）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
第2题
B
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3. 用反证法证明命题“已知E为直线l外一点，过点E只能有一条直线垂直于l”的过程可以归纳为以下四个步骤：① 在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋90°＋90°＞180°，这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾，∴ ∠2＝∠3＝90°不成立；② 如图，假设过点E有两条直线EF，EG分别垂直于直线l于点F，G；③ 则∠2＝∠3＝90°；④ ∴ 过点E只能有一条直线垂直于l.正确的顺序是（　C　）
A. ①②③④ B. ①③②④
C. ②③①④ D. ②③④①
第3题
C
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4. ★（教材变式）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D. 有以下结论：① AD∥BC；② ∠ACB＝2∠ADB；③ △ABD和△ACD都是等腰三角形.其中，正确的有（　D　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第4题
D
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC，则图中的等腰三角形有 　2　个.
第5题
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6. 如图，小明从A地出发，要到A地北偏东60°方向上的C地，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达C地.B，C两地相距 　200　m.
第6题
200
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7. ★分类讨论思想 如图，点P在射线ON上运动，且点P不与点O重合，∠AON＝45°，当∠A＝ 　45°或67.5°或90°　时，△AOP为等腰三角形.
第7题
45°或67.5°或90°
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三、 解答题（共44分）
8. （12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请利用反证法证明∠DAB是锐角.
第8题
解：假设∠DAB是钝角或直角.∵ AB＝AC，AD是底边BC上的高，
∴ ∠BAC＝2∠DAB. ∵ ∠DAB是钝角或直角，∴ ∠BAC≥180°，这与三角形内角和定理相矛盾.∴ 假设不成立.∴ ∠DAB是锐角
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9. （16分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE.
（1） 求证：△BCD为等腰三角形；
解：（1） ∵ ∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝80°，BD平分∠ABC，∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝40°.
∴ ∠DBC＝∠ACB＝40°.∴ DB＝DC. ∴ △BCD为等腰三角形
第9题
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（2） 求∠EDC的度数.
解：（2） ∵ ∠DBC＝∠ACB＝40°，∴ ∠BDC＝180°－40°－40°＝100°.∵ DB＝DC，E为BC的中点，∴ DE平分∠BDC. ∴ ∠EDC＝ ∠BDC＝50°
第9题
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10. （16分）在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE.
第10题
（1） 如图①，求证：AD＝AE；
解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. 在△ABD和△ACE中，∵ AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，∴ △ABD≌△ACE. ∴ AD＝AE
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（2） 如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中顶角度数为45°的四个等腰三角形.
解：（2） 满足条件的等腰三角形分别为△ABE，△ACD，△DAE，△DBF
第10题
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10(共15张PPT)
5　角平分线
第2课时　三角形三个内角的平分线
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 如图，有三条小路AB，BC，AC，现计划在三条小路中间修建一个仓库，使其到三条小路的距离相等，则应将仓库修建在（　A　）
A. △ABC三条角平分线的交点处
B. △ABC三边垂直平分线的交点处
C. △ABC三条高所在直线的交点处
D. △ABC三条中线的交点处
A
第1题
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2. （教材变式）如图，在△ABC中，若∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在边BC的高AD上，则△ABC一定是（　C　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
第2题
C
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3. 如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB，BC，CA的距离（即OF，OD，OE的长）相等.若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数
为（　D　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第3题
D
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4. ★如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　C　）
A. S1＞S2＋S3 B. S1＝S2＋S3
C. S1＜S2＋S3 D. 无法确定
第4题
C
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点P，PM⊥AC于点M. 若PM＝8 cm，则点P到边AB的距离为 　8　cm.
第5题
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于点M. 若OM＝4，S△ABC＝92，则△ABC的周长是 　46　.
第6题
46
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7. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，过点I作IG⊥AB于点G. 若BG＝6，则△ABI的面积为 　10　.
第7题
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三、 解答题（共44分）
8. （12分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. 若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为21，求△ABC的面积.
第8题
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解：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，连接AO. ∵ ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠ABC＝60°，∴ OE＝OF＝OD，∠OBD＝30°.∵ OB＝4，∴ 在Rt△BOD中，OD＝ OB＝2.∴ OE＝OF＝OD＝2.∵ △ABC的周长为21，即AB＋BC＋AC＝21，∴ S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝ ×2AB＋ ×2AC＋ ×2BC＝AB＋AC＋BC＝21
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9. （14分）如图，N是△ABC内的一点，且点N到△ABC三边的距离相等.连接AN，BN，CN，过点N作EF⊥BN，分别交AB，BC于点E，F. 若∠BAN＝20°，∠ENA＝30°，求∠FNC的度数.
第9题
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解：∵ 点N到△ABC三边的距离相等，∴ AN平分∠BAC，CN平分∠ACB，BN平分∠ABC. ∴ ∠BAC＝2∠BAN＝40°，∠BCN＝ ∠ACB. ∵ ∠BAN＝20°，∠ENA＝30°，∴ ∠BEF＝∠BAN＋∠ENA＝50°.∵ BN平分∠ABC，∴ ∠EBN＝∠FBN. ∵ BN⊥EF，∴ ∠BNE＝∠BNF＝90°.在△BEN和△BFN中，∵ ∠EBN＝∠FBN，BN＝BN，∠BNE＝∠BNF，∴ △BEN≌△BFN. ∴ BE＝BF. ∴ ∠BFE＝∠BEF＝50°.∴ ∠EBF＝180°－∠BEF－∠BFE＝80°，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝60°.∴ ∠BCN＝ ∠ACB＝30°.∴ ∠FNC＝∠BFE－∠BCN＝20°
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10. ★（18分）如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC的延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
（1） 求∠ACE的度数；
解：（1） 由题意，可得∠ACD＝180°－∠ACB＝80°.
∵ EH⊥BD，∠CEH＝50°，∴ ∠DCE＝90°－∠CEH＝40°.
∴ ∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝40°
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10
（2） 求证：AE平分∠CAF；
解：（2） 如图，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N. ∵ BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，∴ EM＝EH. 由（1）可知，
∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD，∴ 易得EN＝EH.
∴ EM＝EN. 又∵ 点E在∠CAF的内部，∴ AE平分∠CAF
第10题答案
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（3） 若AC＋CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，求△ABE的面积.
解：（3） 由（2），得EM＝EH＝EN，则设EM＝EH＝EN＝x.
∵ S△ACD＝24，∴ S△ACE＋S△DCE＝24.∴ AC EN＋ CD EH＝24，即 x（AC＋CD）＝24.∵ AC＋CD＝16，∴ x＝3.∴ EM＝3.∵ AB＝10，∴ S△ABE＝ AB EM＝ ×10×3＝15
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10(共16张PPT)
第一章小测
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题7分，共28分）
1. 如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF. 有下列说法：① 周长变大；② 周长变小；③ 外角和增加180°；④ 内角和增加180°.其中，正确的是（　D　）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第1题
D
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10
2. 如图，∠ABC＝60°，D为边BA上一点，BD＝10，O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB的长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（　A　）
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
第2题
A
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3. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接PC. 若△ABC的面积为1 cm2，则△PBC的面积为（　B　）
A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2
C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2
第3题
B
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10
4. ★如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC. 若AN＝2，则BC的长为（　D　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第4题
D
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 用反证法证明：一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M，N，不妨设点M在点N的左边，则AM＜AN. 这与 　线段中点的概念　矛盾，所以一条线段只有一个中点.
线段中点的概
念
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6. 如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN分别与AC，AB交于点M，N，连接BM. 已知∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为 　1　.
第6题
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7. ★★过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个小三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形底角的度数为 　36°　.
36°或45°
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三、 解答题（共48分）
8. （14分）如图，在六边形ABCDEF中，∠A＝∠D＝140°，其余四个内角都相等.
（1） 求∠ABC的度数；
解：（1） ∵ 六边形的内角和为（6－2）×180°＝720°，∠A＝∠D＝140°，其余四个内角都相等，
∴ ∠ABC＝（720°－2×140°）÷4＝110°
第8题
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（2） 连接BF，若∠ABF＝∠AFB，判断BC与BF的位置关系，并说明理由.
解：（2） BC⊥BF　理由：由（1），得∠ABC＝110°，∵ ∠ABF＝∠AFB＝ ＝20°，
∴ ∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝90°.∴BC⊥BF.
第8题
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9. （16分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为中线，延长DC至点E，使DE＝AD，连接AE，过点B作AC的垂线，垂足为G，交AE于点F.
（1） 若∠BAC＝40°，求∠FBC的度数；
解：（1） ∵ AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝40°，
∴ ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝20°，∠ABC＝∠ACB＝ ×（180°－40°）＝70°.∵ BF⊥AC，
∴ ∠BGC＝90°.∴ ∠FBC＝90°－70°＝20°
第9题
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（2） 求证：BF＝AC.
解：（2） ∵ AB＝AC，AD是中线，∴ AD⊥BC，即∠ADC＝90°.∴ ∠CBG＝∠CAD＝90°－∠ACD＝∠BAD. ∵ AD＝DE，∴ ∠DAE＝∠E＝45°.
∴ ∠BAF＝∠DAE＋∠BAD＝45°＋∠BAD，∠AFB＝∠E＋∠CBG＝45°＋∠CBG. ∵ ∠CBG＝∠BAD，
∴ ∠BAF＝∠AFB. ∴ AB＝BF. 又∵ AB＝AC，∴ BF＝AC
第9题
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10. ★★（18分）如图，△ABC的角平分线AE，BF交于点O.
（1） 若∠ACB＝70°，则∠BOA＝ 　125°　；
125°
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（2） 求证：点O在∠ACB的平分线上；
解：（2） 如图，过点O作OD⊥BC于点D，OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H. ∵ AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴ OG＝OH，OG＝OD. ∴ OD＝OH. ∴ 点O在∠ACB的平分线上
第10题答案
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（3） 若OE＝OF，求∠ACB的度数.
解：（3） 如图，连接OC. 在Rt△OED和Rt△OFH中，
∵ OE＝OF，OD＝OH，∴ Rt△OED≌Rt△OFH.
∴ ∠EOD＝∠FOH.
∴ ∠EOD＋∠DOF＝∠FOH＋∠DOF，即∠EOF＝∠DOH.
∴ ∠AOB＝∠EOF＝∠DOH＝360°－∠ODC－∠OHC－∠ACB＝180°－∠ACB. ∵ △ABC的角平分线AE，BF交于点O，∴ ∠BAO＝ ∠BAC，∠ABO＝ ∠ABC.
第10题答案
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∴ ∠ABO＋∠BAO＝ （∠ABC＋∠BAC）＝ （180°－∠ACB）.
∴ ∠AOB＝180°－（∠ABO＋∠BAO）＝90°＋ ∠ACB. ∴ 90°＋ ∠ACB＝180°－∠ACB. ∴ ∠ACB＝60°
第10题答案
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10(共16张PPT)
5　角平分线
第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题8分，共32分）
1. 如图，下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（　B　）
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
第1题
B
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2. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，E是AB上任意一点，若AD＝10，AC＝8，则DE长的最小值为（　A　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
第2题
A
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3. 新考法 操作实践题 如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：① BD＝DE；② ∠CDE＝∠CAB；③ AB＋EC＝AC. 下列判断正确的是（　D　）
A. 只有①对 B. 只有②对
C. 只有③对 D. 三种说法都对
第3题
D
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4. ★（教材变式）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D. 若△ACD的面积为6，则△ABD的面积
是（　C　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第4题
C
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N. 若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ 　6　.
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第5题
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6. 如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，E是BD上一点，EF⊥AB于点F，连接AE. 若ED＝EF，则∠AEC的度数为 　66°　.
第6题
66°
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7. 如图，AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F. 若EF＝4 cm，AB＝5 cm，则△APB的面积为 　5　cm2.
第7题
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三、 解答题（共44分）
8. （14分）（教材变式）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上.
（1） 在∠AOB内部作一点P，使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等，且PO＝PC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1） 如图，点P即为所求
第8题答案
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（2） 若（1）中所作点P到OA的距离是4 cm，求PC的长.
（2） 如图，设OC的垂直平分线交OC于点E，则PE⊥OC，PO＝PC. ∵ OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是4 cm，PE⊥OC，∴ PE＝4 cm，∠POE＝ ∠AOB＝30°.∴ 在Rt△POE中，PO＝2PE＝8 cm.∵ PO＝PC，∴ PC＝8 cm
第8题答案
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9. （14分）如图，D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E. AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14.
（1） 求证：AC是∠BAD的平分线；
解：（1） 过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H.
∵ △ADC的面积＝ AD CH＝14，AD＝7，∴ CH＝4.
∴ CH＝CE. 又∵ CE⊥AB，CH⊥AD，∴ AC是∠BAD的平分线
第9题
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（2） 若AB－AD＝2BE，求线段CD的长.
解：（2） 在AE上截取AF＝AD，连接CF. ∵ AB－AD＝2BE，∴ AB－AF＝2BE. ∴ BF＝2BE. ∴ EF＝BE. ∵ BF＝AB－AF＝AB－AD＝13－7＝6，∴ EF＝ BF＝3.∴ CF＝ ＝ ＝5.由（1），知AC平分∠BAD，∴ ∠DAC＝∠FAC. 又∵ AD＝AF，AC＝AC，∴ △ADC≌△AFC. ∴ CD＝CF＝5
第9题
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10. ★（16分）如图，AD∥BC，∠D＝90°.
（1） 若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于CD上的点P，则P是线段CD的中点吗？为什么？
第10题
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解：（1） P是线段CD的中点　过点P作PE⊥AB于点E.
∵ AD∥BC，∴ ∠D＋∠C＝180°.又∵ ∠D＝90°，∴ ∠C＝180°－∠D＝90°.∴ PC⊥BC. ∵ ∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，PE⊥AB，PD⊥AD，∴ PD＝PE，PC＝PE. ∴ PD＝PC. ∴ P是线段CD的中点
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（2） 如果P是CD的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数.
第10题
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（2） 过点P作PE⊥AB于点E，则∠PEB＝90°.由（1），得∠C＝90°.∴ ∠PEB＝∠C＝90°.∵ BP平分∠ABC，∴ ∠PBE＝∠PBC. 在△PBE和△PBC中，∵ ∠PEB＝∠PCB，∠PBE＝∠PBC，PB＝PB，∴ △PBE≌△PBC. ∴ ∠EPB＝∠CPB＝35°，PE＝PC.
∵ P是CD的中点，∴ PC＝PD. ∴ PD＝PE. ∵ PE⊥AB，∴ ∠D＝∠PEA＝90°.在Rt△PAD和Rt△PAE中，∵ PA＝PA，PD＝PE，
∴ Rt△PAD≌Rt△PAE. ∴ ∠APD＝∠APE. ∵ ∠APD＋∠APE＝180°－∠EPB－∠CPB＝110°，∴ ∠APD＝55°.∴ ∠PAD＝90°－∠APD＝35°
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10(共17张PPT)
1　三角形内角和定理
第2课时　三角形的外角
第一章　三角形的证明及其应用
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. （教材变式）（南充中考）如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　D　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
第1题
D
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2. （教材变式）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，F是AB边上一点，延长CA到点E，连接EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系
是（　C　）
A. ∠1＜∠2＜∠3 B. ∠2＜∠1＜∠3
C. ∠3＜∠2＜∠1 D. ∠3＜∠1＜∠2
第2题
C
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3. （教材变式）如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠1＋∠2＋∠3等于（　C　）
A. 300° B. 240° C. 180° D. 120°
第3题
C
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4. 新情境 现实生活 （烟台中考）如图所示为一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　A　）
A. 40° B. 35° C. 30° D. 20°
第4题
A
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5. ★如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是△ABC的外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E. 若∠A＝60°，则∠BEC的度数为（　B　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
第5题
B
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
6. 如图，∠A＝x°，∠B＝x°，∠ACD＝x°＋40°，则x＝ 　40　.
第6题
40
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7. 新考向 跨学科 如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为 　55°　.
第7题
55°
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8. ★新情境 现实生活 如图所示为可调躺椅的侧面示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠E＝40°，∠CDF＝20°.为了舒适，需调整∠CDF的大小，使∠EFD＝140°，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 　30°　.
第8题
30°
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三、 解答题（共46分）
9. （12分）（教材变式）某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A＝23°，∠D＝31°，∠AED＝143°，请你运用三角形的有关知识说明该零件是否合格.
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解：如图，延长AB，DC相交于点F，连接FE并延长至点G，则（∠A＋∠AFG）＋（∠D＋∠DFG）＝∠AEG＋∠DEG＝∠AED＝143°.∵ ∠A＝23°，∠D＝31°，∴ ∠AFD＝∠AFG＋∠DFG＝∠AED－∠A－∠D＝143°－23°－31°＝89°≠90°.∴ 该零件不合格
第9题答案
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10. ★（16分）新考法 探究题
（1） 如图①所示为五角星ABCDE，计算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：（1） 如图①，∵ ∠A＋∠C＝∠1，∠B＋∠E＝∠2，又∵ ∠1＋∠2＋∠D＝180°，∴ （∠A＋∠C）＋（∠B＋∠E）＋∠D＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
第10题答案
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（2） 如图②，当点B向右移动到AC上时，还能算出∠A＋∠EBD＋∠C＋∠D＋∠E的度数吗？
解：（2） 如图②，∵ ∠A＋∠C＝∠1，∠EBD＋∠E＝∠2，
又∵ ∠1＋∠2＋∠D＝180°，∴ ∠A＋∠EBD＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
第10题答案
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（3） 如图③，当点B向右移动到AC的另一侧时，（1）中的结论还成立吗？为什么？
解：（3） 成立　如图③，∵ ∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，又∵ ∠1＋∠2＋∠E＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
第10题答案
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（4） 如图④，当点B，E移动到∠CAD的内部时，（1）中的结论还成立吗？为什么？
解：（4） 成立　如图④，连接CD. ∵ ∠B＋∠E＝∠1，∠1＝∠2＋∠3，∴ ∠2＋∠3＝∠B＋∠E. 又∵ ∠A＋∠ACE＋∠2＋∠3＋∠ADB＝180°，∴ ∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝180°
第10题答案
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11. ★★（18分）在△ABC中，点E在边AC上，∠AEB＝∠ABC.
（1） 如图①，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于D，F两点.求证：∠EFD＝∠ADC.
第11题
解：（1） ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠DAC. ∵ ∠EFD＝∠DAC＋∠AEB，∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，∠AEB＝∠ABC，
∴ ∠EFD＝∠ADC
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（2） 如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，直线AD分别交CB，BE的延长线于D，F两点.试探究（1）中的结论是否仍成立.为什么？
第11题
解：（2） （1）中的结论仍成立　∵ AD平分∠BAG，∴ ∠BAD＝∠GAD. ∵ ∠FAE＝∠GAD，∴ ∠FAE＝∠BAD. ∵ ∠EFD＝∠AEB－∠FAE，∠ADC＝∠ABC－∠BAD，∠AEB＝∠ABC，
∴ ∠EFD＝∠ADC
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11(共15张PPT)
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理的证明和全等三角形
第一章　三角形的证明及其应用
注：题首标★的为稍难题，标★★的为较难题.
一、 选择题（每小题7分，共35分）
1. 一个三角形的三个内角可能（　A　）
A. 全是锐角 B. 全是直角
C. 全是钝角 D. 锐角、直角、钝角各有一个
A
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2. （教材变式）已知在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶7，则△ABC一定是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
B
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3. （教材变式）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE. 若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　B　）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
第3题
B
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4. 转化思想 如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D与∠E的度数和为（　B　）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 70°
第4题
B
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5. ★（教材变式）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线段BD，CE. 若BD＝6 cm，CE＝8 cm，则DE的长为（　C　）
A. 10 cm B. 12 cm C. 14 cm D. 16 cm
第5题
C
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二、 填空题（每小题6分，共18分）
6. 新情境 现实生活 如图，有两根平行的钢梁l1和l2，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构.工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架AB，CD，以确保钢梁的稳定性和安全性.经测量发现∠1＝40°，则∠2的度数为 　50°　.
第6题
50°
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7. 新考法 操作实践题 如图，D，E，F，G，H是△ABC边上的五个点，将△ABC的三个角分别沿DE，HG，EF翻折，三个顶点均落在△ABC内的点O处，则∠1＋∠2＝ 　180°　.
第7题
180°
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8. ★★如图所示为3×3的正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则∠BAC＋∠ACD的度数为 　90°　.
第8题
90°
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三、 解答题（共47分）
9. （12分）（教材变式）（福建中考）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD. 求证：AB＝AD.
第9题
解：∵ ∠CBE＝∠CDF，∴ 180°－∠CBE＝180°－∠CDF，即∠ABC＝∠ADC. 在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC≌△ADC. ∴ AB＝AD
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10. （17分）（教材变式）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝36°，∠BAC＝68°.
（1） 求∠DAC的度数；
解：（1） ∵ 在△ABC中，∠B＝36°，∠BAC＝68°，∴ ∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－36°－68°＝76°.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°.
∴ ∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－90°
－76°＝14°
第10题
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（2） 若CE是∠BCA的平分线，求∠AEC的度数.
解：（2） ∵ CE是∠BCA的平分线，∠ACB＝76°，∴ ∠ACE＝ ∠ACB＝ ×76°＝38°.∴ ∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－68°－38°＝74°
第10题
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11. ★★（18分）如图，BD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O，OF⊥BC于点F. 求证：∠BOF＝∠BEC－ ∠A.
第11题
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解：∵ OF⊥BC，∴ ∠OFB＝90°.∴ ∠BOF＝180°－∠OFB－∠OBF＝90°－∠OBF. ∵ BD，CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠OBF＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB. ∴ ∠BOF＝90°－ ∠ABC. ∵ ∠BEC＋∠AEC＝180°，∠A＋∠ACE＋∠AEC＝180°，
∴ ∠BEC＝∠A＋∠ACE. ∴ ∠BEC＝∠A＋ ∠ACB.
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∴ ∠BEC－ ∠A ＝ ∠A＋ ∠ACB＝ （∠A＋∠ACB）.∵ ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即∠A＋∠ACB＝180°－∠ABC，∴ ∠BEC－ ∠A＝ （180°－∠ABC）＝90°－ ∠ABC. ∴ ∠BOF＝∠BEC－ ∠A
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