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北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 强化训练（参考答案）
【题型1】分式的概念
【典例】在式子，，，，，中，分式的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】根据分式的概念可知，，是分式，其余的都不是分式.
故选：A.
【强化训练1】如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】甲卡片中，是分式；乙卡片中，中，π是一个数，故不是分式；丙卡片中，是分式；丁卡片中，，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、丙，共2个.
故选：B．
【强化训练2】下列两种说法：甲：是分式；乙：是分式，其中正确的是（　　）
A.甲对 B.乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
【答案】D
【解析】甲：分母中的字母表示圆周率，是一个确定的数，所以不是分式，故甲不对；
乙：是分母是7，没有字母，分子是2xy，原式是一个单项式，不是分式，所以乙也不对.
故选：D．
【强化训练3】请你写出一个含有字母x，y的分式： ．
【答案】（答案不唯一）
【强化训练4】一组按规律排列的式子： ，， ，，…，（ab≠0，n为正整数）分别写出第5个、第8个、第n个式子？
【答案】解：分子的变化规律是（-1）1b2，（-1）2b2+3，…，（-1）nb3n-1；
分母的变化规律是a1，a2，a3…an．
∴分式的变化规律是…；
∴第5个分式是( 1)5=；
第8个分式是=( 1)8=；
第n个分式是．
【强化训练5】已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a.
（1）因式分解A，B，C；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来.
【答案】解：（1）A=2(a2-4)=2(a+2)(a-2)；B=3a(a+2)；C=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
（2）根据分式的定义，能写出6个分式，分别是：
，，，，，.
【题型2】分式有意义的条件
【典例】分式的值不存在，则x的取值是（　　）
A.x=﹣2 B.x=2 C.x=﹣3 D.x=3
【答案】D
【解析】∵分式的值不存在，∴2x﹣6=0，解得x=3，则x的取值是3．
故选：D．
【强化训练1】x，y满足什么条件，分式有意义（　　）
A.x，y不都为0 B.x，y都不为0 C.x，y都为0 D.x=-y
【答案】A
【解析】分式有意义，则x2+y2≠0，而x2≥0，y2≥0，所以当x，y不都为0时，分母x2+y2≠0.
故选：A.
【强化训练2】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
【答案】B
【解析】∵分式有意义，∴x-1≠0，解得：x≠1．
故选：B．
【强化训练3】使式子有意义的x的取值范围是　　　　　.
【答案】x≠
【解析】有意义的条件是2x-1≠0，即x≠.
【强化训练4】x为何值时，分式有意义？
【答案】解：由题意得1-≠0，即≠1，则有3x-4≠0，3x-4≠4，解得x≠或．
【题型3】分式值为0的条件
【典例】当x=2时，下列各式的值为0的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵当x=2时，2+2≠0，∴分式的值不为0，故A选项错误；
∵当x=2时，2-2=0，∴分式无意义，故B选项错误；
∵当x=2时，2x-4=0且2-9=-7≠0，∴分式的值为0，故C选项正确；
∵当x=2时，x2-3x-2=0，∴分式无意义，故D选项错误．
故选：C．
【强化训练1】对于分式，当x=﹣1时其值为0，当x=1时此分式没有意义，那么（　　）
A.a=b=﹣1 B.a=b=1 C.a=1，b=﹣1 D.a=﹣1，b=1
【答案】A
【解析】当x=-1时，原式==0，∴解得b=-1；
当x=1时，原式==0，∴a+1=0，解得a=-1.
故选：A．
【强化训练2】分式中，当x=﹣a时，下列结论正确的是（　　）
A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣，分式的值为零 D.若a≠，分式的值为零
【答案】C
【解析】∵3x﹣1≠0，解得x≠，
故把x=﹣a代入分式中，当x=﹣a且﹣a≠时，即a≠﹣时，分式的值为零．
故选：C．
【强化训练3】当x=　 　时，分式的值为零．
【答案】3
【解析】依题意得解得x=3．
【强化训练4】已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
【答案】解：（1）由题意得m2﹣3m+2≠0，解得m≠1且m≠2.
（2）由题意得解得m=3，
则当m=3时，此分式的值为零．
【强化训练5】已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？
【答案】解：由题意得当x＝0时，y的值是零；
当3－5x＝0，即x＝时，分式无意义；
当>0，即x＜且x≠0时，y的值是正数．
【题型4】已知某些字母的值求分式的值
【典例】当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】∵x=6，y=﹣2，∴===．
故选：D．
【强化训练1】已知x﹕y=3，则分式的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵x﹕y=3，∴x=3y，∴===．
故选：C．
【强化训练2】当x=，y=1时，分式的值为 .
【答案】1
【解析】将x=，y=1代入得：原式==1．
【强化训练3】已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
（1）探究a，b的值；
（2）求分式的值．
【答案】解：（1）∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
∴a=10，b=102-1=99．
（2）原式==，将a=10，b=99代入得原式=20.8．
【题型5】整体代入法求分式的值
【典例】已知＝，则的值为(　　)
A. B. C.3 D.
【答案】B
【解析】∵＝，∴a＝2b，∴＝＝.
故选：B.
【强化训练1】式子的值一定不能是（　　）
A.6 B.0 C.8 D.24
【答案】B
【解析】A.当a=10时，=6，故选项错误；
B.分式的值等于0的条件是分子等于0而分母不等于0，这个式子的分母不等于0，则式子的值一定不等于0，故选项正确；
C.当a=4时，=8，故选项错误；
D.当a=12时，=24，故选项错误．
故选：B．
【强化训练2】若分式的值是整数，则整数x的值是　 　．
【答案】0或2
【解析】当x=0时，原式=0，符合题意；
当x=2时，原式=2，符合题意；
则整数x的值是0或2．
【强化训练3】已知a=2b，c=5a，求代数式的值．
【答案】解：由a=2b，c=5a，可得c=10b，∴==．
【强化训练4】已知=，求的值．
【答案】解：∵=，
∴=9，
x﹣+1=9，
x﹣=8，
∴==(x+2+1=82+3=67，
∴=．
【题型6】由分式值正负确定字母的取值范围
【典例】使分式的值为非负数的m的取值范围是（　　）
A.m≤ B.m C.m D.m＞
【答案】A
【解析】∵≥0，m2+1≥1，∴1﹣3m≥0，解得m≤．
故选：A．
【强化训练1】若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　）
A.x＜ B.x＞0 C.0＜x＜ D.x＜且x≠0
【答案】D
【解析】∵﹣2x2≤0，且分式的值为正数，∴x≠0，
3x﹣1＜0，解得x＜，且x≠0．
故选：D．
【强化训练2】已知的值为负数，则a　 ．
【答案】a＞
【解析】由题意得当1﹣3a＜0时，分式的值是负数，解得a＞．
【强化训练3】当a　 时，分式的值不小于0．
【答案】a≤
【解析】≥0，又∵a2+1＞0，∴5﹣2a≥0，∴a≤．
【强化训练4】解不等式(x－2)(x＋3)>0.
解：由实数的运算法则“两数相乘，同号得正”
得①或②
解不等式组①得x>2，
解不等式组②得x＜－3，
所以原不等式的解集为x>2或x＜－3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2－9>0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【答案】解：（1）解不等式x2－9>0，即为解(x＋3)(x－3)>0，
根据“两数相乘，同号得正”，得①或②
解不等式组①得x>3，
不等式组②得x＜－3，
所以原不等式的解集为x>3或x＜－3.
（2）由题意得不等式<0，
根据“两数相除，同号得正，异号得负”，得①或②
解不等式组①得，－1解不等式组②，无解，
所以原不等式的解集为－1【题型7】分式的应用
【典例】一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　）
A.- B.+ C. D.
【答案】C
【解析】这位作家平均每天的写作量（万字）为.
故选：C．
【强化训练1】已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　）
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
【答案】C
【解析】依题意得小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，两人所行驶的路程之和为（500+m）米，
又∵两人的速度之和为（x+y）米/秒，∴行驶的时间为秒．
故选：C．
【强化训练2】小王每小时做x个零件，则他4小时做零件 个，做40个零件需 小时．
【答案】4x
【强化训练3】学校用一笔钱买奖品，买一支钢笔用x元，买一本笔记本y元.若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买多少份奖品？
【答案】解：根据题意得这笔钱为60(x+2y)元，第二种情况一份奖品的钱为(x+3y)元，
所以可买奖品的份数为.
【题型8】用分式基本性质将分式变形
【典例】等式中的未知的分母是（　　）
A.a2+1 B.a2+a+1 C.a2+2a+1 D.a﹣1
【答案】D
【解析】原式=.
故选：D.
【强化训练1】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　)
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【答案】C
【解析】根据题意，得＝，所以分式的值不变．
故选：C.
【强化训练2】＝，括号中应填 ．
【答案】a-2
【解析】(a2-4)÷(a+2)=a-2.
【强化训练3】若，则括号内填 .
【答案】2a+2b
【解析】根据分式的基本性质，分子、分母都乘(a+b)，则括号内填2a+2b．
【题型9】把分子与分母的系数变为整数
【典例】将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分式中分子与分母的各项系数都化成整数，同乘2，正确的是.
故选：A．
【强化训练1】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分式的分子和分母乘6，原式=．
故选：D．
【强化训练2】不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　 ．
【答案】
【解析】分子分母都乘以10，分式的值不变，得.
【强化训练3】不改变分式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是　 　．
【答案】
【解析】根据分式的基本性质，把分式的分子分母分别乘以100，分式中各项系数化为整数，结果是.
【强化训练4】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
【答案】解：
【强化训练5】不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
①；②
【答案】解：①分式的分子与分母同时乘6得：原式=.
②分式的分子与分母同时乘10得：原式=．
【题型10】把分子与分母的最高次项系数变为正数
【典例】下列变形正确的是(　　)
A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝
【答案】D
【解析】A选项，原式＝－，故不符合题意；
B选项，原式＝，故不符合题意；
C选项，原式＝，故不符合题意；
D选项，原式＝，故符合题意．
故选：D.
【强化训练1】下列运算正确的是(　　)
A.＝－ B.＝ C.＝－ D.＝a＋b
【答案】C
【解析】A选项中，＝＝－，因此选项A不符合题意；
B选项中，＝＝，因此选项B不符合题意；
C选项中，＝＝＝－，因此选项C符合题意；
D选项中，a＋b＝＝，因此选项D不符合题意．
故选：C.
【强化训练2】下列式子：①＝；②＝；③＝；④＝，正确的有________(填序号)．
【答案】③④
【强化训练3】下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号)
【答案】③④
【解析】③原式＝，故③错误；
④原式＝，故④错误．
【强化训练4】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
（1）；（2）；（3）；（4）－.
【答案】解：（1）＝－.
（2）＝－＝－.
（3）＝＝.
（4）－＝－＝－.
【题型11】公因式为单项式的约分
【典例】对分式约分的结果是（　　）
A.-1 B.-2x C. D.
【答案】C
【解析】原式==.
故选：C．
【强化训练1】计算的结果为（　　）
A.y2 B.x2 C.1 D.y
【答案】B
【解析】原式==x2.
故选：B．
【强化训练2】化简的结果　 　.
【答案】
【解析】原式==．
【强化训练3】约分：= .
【答案】
【解析】原式==.
【题型12】公因式为多项式的约分
【典例】下列约分正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.不能约分，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.不能约分，故本选项错误；
D.，故本选项正确.
故选：D．
【强化训练1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】==.
故选：B．
【强化训练2】化简：= ．
【答案】
【解析】原式=．
【强化训练3】分式可化简为　 　．
【答案】
【题型13】最简分式
【典例】下列分式中，是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.=，错误； B.=，错误； C.=，错误； D.是最简分式，正确． 故选：D．
【强化训练1】下列分式中，是最简分式的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A项，是最简分式，故符合题意；
B项，＝，不是最简分式，故不符合题意；
C项，＝，不是最简分式，故不符合题意；
D项，＝＝a－b，不是最简分式，故不符合题意．
故选：A.
【强化训练2】在下列几个均不为零的式子，x2-4，x2-2x，x2-4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： .
【答案】
【解析】 ==.
【强化训练3】将下列分式分别化成最简分式： （1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】解：（1）原式=2mn2. （2）原式=-. （3）原式=. （4）原式=2x+2y．
【强化训练4】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．
【答案】解：分式不是最简分式． 原式==， 当x=2时，原式==．北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 强化训练
【题型1】分式的概念
【典例】在式子，，，，，中，分式的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练1】如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】下列两种说法：甲：是分式；乙：是分式，其中正确的是（　　）
A.甲对 B.乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
【强化训练3】请你写出一个含有字母x，y的分式： ．
【强化训练4】一组按规律排列的式子： ，， ，，…，（ab≠0，n为正整数）分别写出第5个、第8个、第n个式子？
【强化训练5】已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a.
（1）因式分解A，B，C；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来.
【题型2】分式有意义的条件
【典例】分式的值不存在，则x的取值是（　　）
A.x=﹣2 B.x=2 C.x=﹣3 D.x=3
【强化训练1】x，y满足什么条件，分式有意义（　　）
A.x，y不都为0 B.x，y都不为0 C.x，y都为0 D.x=-y
【强化训练2】如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
【强化训练3】使式子有意义的x的取值范围是　　　　　.
【强化训练4】x为何值时，分式有意义？
【题型3】分式值为0的条件
【典例】当x=2时，下列各式的值为0的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】对于分式，当x=﹣1时其值为0，当x=1时此分式没有意义，那么（　　）
A.a=b=﹣1 B.a=b=1 C.a=1，b=﹣1 D.a=﹣1，b=1
【强化训练2】分式中，当x=﹣a时，下列结论正确的是（　　）
A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣，分式的值为零 D.若a≠，分式的值为零
【强化训练3】当x=　 　时，分式的值为零．
【强化训练4】已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
【强化训练5】已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？
【题型4】已知某些字母的值求分式的值
【典例】当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
【强化训练1】已知x﹕y=3，则分式的值是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】当x=，y=1时，分式的值为 .
【强化训练3】已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
（1）探究a，b的值；
（2）求分式的值．
【题型5】整体代入法求分式的值
【典例】已知＝，则的值为(　　)
A. B. C.3 D.
【强化训练1】式子的值一定不能是（　　）
A.6 B.0 C.8 D.24
【强化训练2】若分式的值是整数，则整数x的值是　 　．
【强化训练3】已知a=2b，c=5a，求代数式的值．
【强化训练4】已知=，求的值．
【题型6】由分式值正负确定字母的取值范围
【典例】使分式的值为非负数的m的取值范围是（　　）
A.m≤ B.m C.m D.m＞
【强化训练1】若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　）
A.x＜ B.x＞0 C.0＜x＜ D.x＜且x≠0
【强化训练2】已知的值为负数，则a　 ．
【强化训练3】当a　 时，分式的值不小于0．
【强化训练4】解不等式(x－2)(x＋3)>0.
解：由实数的运算法则“两数相乘，同号得正”
得①或②
解不等式组①得x>2，
解不等式组②得x＜－3，
所以原不等式的解集为x>2或x＜－3.
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2－9>0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【题型7】分式的应用
【典例】一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　）
A.- B.+ C. D.
【强化训练1】已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　）
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
【强化训练2】小王每小时做x个零件，则他4小时做零件 个，做40个零件需 小时．
【强化训练3】学校用一笔钱买奖品，买一支钢笔用x元，买一本笔记本y元.若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买多少份奖品？
【题型8】用分式基本性质将分式变形
【典例】等式中的未知的分母是（　　）
A.a2+1 B.a2+a+1 C.a2+2a+1 D.a﹣1
【强化训练1】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　　)
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【强化训练2】＝，括号中应填 ．
【强化训练3】若，则括号内填 .
【题型9】把分子与分母的系数变为整数
【典例】将分式中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　 ．
【强化训练3】不改变分式的值，把分子分母中各项系数化为整数，结果是　 　．
【强化训练4】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
【强化训练5】不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
①；②
【题型10】把分子与分母的最高次项系数变为正数
【典例】下列变形正确的是(　　)
A.＝－ B.＝ C.＝ D.＝
【强化训练1】下列运算正确的是(　　)
A.＝－ B.＝ C.＝－ D.＝a＋b
【强化训练2】下列式子：①＝；②＝；③＝；④＝，正确的有________(填序号)．
【强化训练3】下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号)
【强化训练4】不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
（1）；（2）；（3）；（4）－.
【题型11】公因式为单项式的约分
【典例】对分式约分的结果是（　　）
A.-1 B.-2x C. D.
【强化训练1】计算的结果为（　　）
A.y2 B.x2 C.1 D.y
【强化训练2】化简的结果　 　.
【强化训练3】约分：= .
【题型12】公因式为多项式的约分
【典例】下列约分正确的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】化简：= ．
【强化训练3】分式可化简为　 　．
【题型13】最简分式
【典例】下列分式中，是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列分式中，是最简分式的是(　　)
A. B. C. D.
【强化训练2】在下列几个均不为零的式子，x2-4，x2-2x，x2-4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： .
【强化训练3】将下列分式分别化成最简分式： （1）；（2）；（3）；（4）．
【强化训练4】分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．

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