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北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 强化训练（参考答案）
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
【答案】D
【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∴∠DAH＝∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA＝∠BAH，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴AD＝DH，
∴BC＝DH，故选D.
【强化训练1】在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB=3 cm,AD=10 cm,则EF的长为（　　）
A.3 cm B.3.5 cm C.4 cm D.4.5 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB =3 cm,AD∥BC，
由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，
∴AE=AB=3 cm, DF = CD =3 cm,
∴EF=AD-AE-DF=10-3-3=4(cm)，
故选：C．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
又∵∠CEG=∠G-∠GCE=30°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝＝＝.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵F是AD的中点，
∴FD＝AD.∵CE＝BC，
∴FD＝CE.
又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴DE＝CF.
(2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6.
∴∠DCE＝∠B＝60°.
在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2.
由勾股定理得DG＝＝2.
∵CE＝BC＝3，
∴GE＝1.
在Rt△DEG中，∠DGE＝90°，
∴DE＝＝.
∴AF∥CE.
【强化训练4】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∴BF=12，
∴AB===13，
∴AE=AB=13，
∴BC=AD=AE+DE=13+5=18.
【题型2】求周长或面积
【典例】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A.4 B.12 C.24 D.28
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2(AB＋BC)＝32，
∴AB＋BC=16，
又∵AB=4，
∴BC＝12.
故选B.
【强化训练1】如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】连接AF，EC．
∵BC=4CF，S△ABC=12，
∴S△ACF=×12=3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB=S△DEC，
∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC=S△ACF=3，
∴S阴=3．
故选：B．
【强化训练2】平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________．
【答案】6 cm,12 cm
【解析】∵平行四边形的周长为36 cm，
∴AB＋BC＝36÷2＝18(cm)，
∵AB∶BC＝1∶2，
∴AB＝6（cm），BC＝12(cm).
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴CD= AB=3，BC=AD=2BE=2EC=4，AB∥CD，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠BFE=∠CHE=90°，∠BEF=∠CEH，
∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴BF=CH，
∵AB=3，AD=4，∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=CH=BE=1，根据勾股定理，得EF==，DH=DC+CH=4，
∴△DEF的面积是EF DH=×4×=2，
故选：A．
【强化训练4】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【答案】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2，
∵S△AED=S△AEF，
∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2，
∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2).
【题型3】平行四边形的对角相等
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C等于(　　)
A.40° B.50° C.130° D.150°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝50°.
故选B.
【强化训练1】如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)
A.45° B.55° C.65° D.75°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝135°，
∴∠MCD＝180°－∠BCD＝180°－135°＝45°.
故选A.
【强化训练2】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是3∶1∶3∶1，
故选D.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．
【答案】36°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得∠D′＝∠D＝52°，
∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，
∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°－72°＝36°.
【强化训练4】如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【答案】70°
【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
【强化训练5】如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．
【答案】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°.
∴在平行四边形ABCD中，
∠C＝∠BAD＝50°，
∠B＝180°－∠C＝130°.
【题型4】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(　　)
A.13 B.17 C.20 D.26
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，
∴△OBC的周长＝OB＋OC＋AD＝3＋6＋8＝17.
故选B.
【强化训练1】以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分三种情况考虑：
①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【强化训练2】如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则 ABCD的周长为(　　)
A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝AC＝3(cm)，OB＝BD＝5 (cm)，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝4(cm)，
∴BC＝＝2(cm)，
∴ ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝(4＋8) cm，
故选A.
【强化训练3】如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则 ABCD的两条对角线长度之和为________．
【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，AC＝2CO，BD＝2DO，
∵△OCD的周长为13，
∴CO＋DO＝13－5＝8，
∴AC＋BD＝2×8＝16.
【强化训练4】在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8 cm，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝＝6(cm)，
∴OC＝AC＝3(cm)，
∴OB＝＝＝(cm).
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，BD的垂直平分线交BD于O，交BA的延长线交于点E，交DC的延长线于点F，证明：AE＝CF.
【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠EBO＝∠FDO，
又∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE＝DF，
∴AE＝BE－AB＝DF－CD＝CF.
【题型5】平行四边形的判定
【典例】如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC
【答案】B
【解析】∵∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
【强化训练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【答案】A
【解析】A．错误，当AB∥DC，AD＝BC时，四边形ABCD可能是等腰梯形可能是平行四边形；
B．正确，因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
C．正确，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形；
D．正确，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
故选A.
【强化训练2】如图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】如图1，∵AD=CB，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图2，∵∠A=∠C，∠B=∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=×360°=180°，
∴AD∥CB，
同理AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图3，∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
如图4，∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形.
故选：C．
【强化训练3】已知：A(－2,1)，B(－3，－1)，C(0，－1)．点D在坐标平面内，且以A，B，C，D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________个．
【答案】3
【解析】如图，D点共有3个.
【强化训练4】如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.
求证：(1)BE＝CF；
(2)四边形BECF是平行四边形．
【答案】证明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AEB与△DFC中，∠AEB＝∠DFC，AE＝DF，∠A＝∠D，
∴△AEB≌△DFC(ASA)，
∴BE＝CF.
(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∵BE＝CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
【题型6】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为(　　)
A.16 B.20 C.18 D.22
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10，∵E是BC的中点，∴AE＝BE＝5，∴∠BAE＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠BAE，∴DF∥AE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝3，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长＝2×(3＋5)＝16.
故选A.
【强化训练1】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】由已知可得四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形，故(1)，(2)正确；
又因为四边形ABDC和四边形BDFE同底同高，所以面积相等，故(3)正确；
BD＝AC＝EF与CE不一定相等，故(4)错误．
故选B.
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】由平行四边形的判定方法可知，若是四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
故选B.
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使EF＝DE，若AB＝10，BC＝8，则四边形BCFD的周长＝__________.
【答案】26
【解析】∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE＝BC，∵BC＝8，∴DE＝4，∵在△ADE和△CFE中，AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CFE，∴CF＝BD＝AB＝5，∵DE＝FE＝4，∴DF＝8，∴四边形BCFD的周长为BD＋BC＋CF＋DF＝5＋8＋5＋8＝26.
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm.
【答案】6
【解析】∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，AD＝EC，又∵△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝25 cm，四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝37 cm，∴AD＝(四边形ABCD的周长－△ABE的周长)＝6(cm).
【强化训练5】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF (ASA)，
∴AE＝CF.
(2)解：是平行四边形；连接BD交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF.即EO＝FO.
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
【强化训练6】如图，已知在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点，连接AF，CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如果E，F点分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵点E，F分别为BO，DO的中点，
∴EO＝OF，
∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解：结论仍然成立，
理由：∵BE＝DF，BO＝DO，
∴EO＝FO，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【题型7】平行线之间的距离
【典例】已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是(　　)
A.3 cm B.7 cm C.3 cm或7 cm D.以上都不对
【答案】C
【解析】如图，
①直线c在a，b外时，
∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，
∴a与c的距离为5＋2＝7 (cm)，
②直线c在直线a,b之间时，
∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，
∴a与c的距离为5－2＝3 (cm)，
综上所述，a与c的距离为3 cm或7 cm.
故选C.
【强化训练1】直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积(　　)
A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定
【答案】C
【解析】如题图，∵a∥b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
∴△ABC的高、底边都是固定的，
∴△ABC的面积不变．
故选C.
【强化训练2】如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD=a,S△BQC=b,S ABCD=c,则阴影部分的面积为（　　）
A.a+b B.c a b C.c-2a-b D.2a+b
【答案】B
【解析】如图，连接E，F两点，过点E作EM⊥DC于点M，
∵S△DEC=DC EM，S ABCD=DC EM=c,
∴S△DEC=c,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=a,S△BQC=b,
∴S四边形EPFQ=a+b,
S阴影=S△DEC-S四边形EPFQ=c-a-b.
故选：B．
【强化训练3】如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________．
【答案】12
【解析】如图，过C作CM⊥AB于点M，过B作BN⊥CD于点N，
∵a∥b，
∴CM＝BN，
∴S△ABC＝BA·CM，S△CDB＝CD·BN，
∴S△ABC∶S△CDB＝AB∶CD＝1∶2，
∵△ABC的面积为6，∴△BCD的面积为12.
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD，
∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD，
∵点E为AB边中点，
∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵FB=2DF，
∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵AB∥CD，
∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD，
∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6．
【题型8】梯形的定义与识别
【典例】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项A.
故选A.
【强化训练1】下图中，属于梯形的是（ ）
A.四边形ADEB B.四边形ADCB C.四边形AECB D.都不对
【答案】B
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，四边形ADCB符合梯形的定义，所以正确的选项是B.
故选B.
【强化训练2】观察下图，梯形的上底是 ，下底是 .
【答案】
CB；AD
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.其中平行的一组对边称为梯形的底，较短的边为上底，较长的边为下底.
故答案为CB；AD.
【强化训练3】已知梯形ABCD，请你画出梯形的高.
【答案】
解：梯形的高是指从它的上底或下底上的一点向对边所作的垂线段.如图，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F.则线段AE或DF即为所求.
【题型9】梯形的计算及相关证明
【典例】如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】A
【解析】
解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝4，
∴FC＝AF＝4，FD＝AD﹣AF＝1．
在△FDC中，∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+12＝42，
解得CD．
故选：A．
【强化训练1】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.3cm
【答案】B
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，过M作MF⊥BC，
∵BM＝CM，
∴CF＝BF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB∥FM，
∵AB∥CD，
∴AB∥MF∥CD，
∴AM＝DM，
∴MF（DC+AB）＝8cm
∴MF＝DE＝8，又MN⊥AD，
∴∠NMF+∠DMF＝90°，又∠DMF+∠ADE＝90°，MF∥AB，
∴∠ADE＝∠NMF
∴Rt△ADE≌Rt△NMF（AAS），
∴FN＝AE＝AB﹣CD＝2cm，
又FBBC＝4cm，
∴BN＝FB﹣FN＝2cm，
故选：B．
【强化训练2】已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角
为 　 和　 ．
【答案】
30°和150°．
【解析】
解：过D作DM⊥BC．
∴四边形ABMD为矩形，
∴DM＝AB＝9，
∵DC＝18，
∴DMDC，
∵∠DMC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠DCN＝150°，
故答案为：30°和150°．
【强化训练3】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积．
【答案】
解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，过D作DF⊥BC于F．
∵AD∥CB，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE＝AC，AD＝CE＝2，
∵等腰梯形ABCD中，AB＝CD，
∴DE＝AC＝BD，
∵AC⊥BD，CE∥AD，
∴DE⊥BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵AD＝2，BC＝8，
∴DFBE（AD+BC）（2+8）＝5cm，
∴梯形的面积为：（2+8）×5＝25cm2．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°，
则∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
由（1）可知，△ABD≌△ECB，
∴BD＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°．北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 强化训练
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
【强化训练1】在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB=3 cm,AD=10 cm,则EF的长为（　　）
A.3 cm B.3.5 cm C.4 cm D.4.5 cm
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
【题型2】求周长或面积
【典例】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A.4 B.12 C.24 D.28
【强化训练1】如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【强化训练2】平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________．
【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【强化训练4】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【题型3】平行四边形的对角相等
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝50°，则∠C等于(　　)
A.40° B.50° C.130° D.150°
【强化训练1】如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(　　)
A.45° B.55° C.65° D.75°
【强化训练2】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.3∶1∶3∶1
【强化训练3】如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．
【强化训练4】如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【强化训练5】如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C，∠B的度数．
【题型4】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(　　)
A.13 B.17 C.20 D.26
【强化训练1】以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【强化训练2】如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则 ABCD的周长为(　　)
A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm
【强化训练3】如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为13，则 ABCD的两条对角线长度之和为________．
【强化训练4】在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm.
【强化训练5】如图，平行四边形ABCD中，BD是对角线，BD的垂直平分线交BD于O，交BA的延长线交于点E，交DC的延长线于点F，证明：AE＝CF.
【题型5】平行四边形的判定
【典例】如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC
【强化训练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【强化训练2】如图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】已知：A(－2,1)，B(－3，－1)，C(0，－1)．点D在坐标平面内，且以A，B，C，D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有________个．
【强化训练4】如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.
求证：(1)BE＝CF；
(2)四边形BECF是平行四边形．
【题型6】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为(　　)
A.16 B.20 C.18 D.22
【强化训练1】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【强化训练3】如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使EF＝DE，若AB＝10，BC＝8，则四边形BCFD的周长＝__________.
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm.
【强化训练5】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．
【强化训练6】如图，已知在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点，连接AF，CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如果E，F点分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
【题型7】平行线之间的距离
【典例】已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是(　　)
A.3 cm B.7 cm C.3 cm或7 cm D.以上都不对
【强化训练1】直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积(　　)
A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定
【强化训练2】如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD=a,S△BQC=b,S ABCD=c,则阴影部分的面积为（　　）
A.a+b B.c a b C.c-2a-b D.2a+b
【强化训练3】如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________．
【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【题型8】梯形的定义与识别
【典例】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】下图中，属于梯形的是（ ）
A.四边形ADEB B.四边形ADCB C.四边形AECB D.都不对
【强化训练2】观察下图，梯形的上底是 ，下底是 .
【强化训练3】已知梯形ABCD，请你画出梯形的高.
【题型9】梯形的计算及相关证明
【典例】如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【强化训练1】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.3cm
【强化训练2】已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角
为 　 和　 ．
【强化训练3】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．

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