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北师大版（2024）七年级下册 第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系 强化训练（参考答案）
【题型1】相交线的概念
【典例】如图，直线AB.CD相交于点O，在这两条直线上，与点O的距离为3cm的点有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】以点O为圆心，以4为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点．
解：如图，以点O为圆心，以4为半径作圆，该圆与两直线有4个交点，则满足条件的点有4个．
故选：C．
【强化训练1】如图，下列表述：①直线a与直线b.c分别相交于点A和点B；②点C在直线a外；③直线b.c相交于点C；④三条直线a.b.c两两相交，交点分别是点A.点B.点C．其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：由题意，得
①直线a与直线b.c分别相交于点A和点B；
②点C在直线a外；
③直线b.c相交于点C；
④三条直线a.b.c两两相交，交点分别是点A.点B.点C，
故选：D．
【强化训练2】两条直线相交不可能有两个交点． 　 　（判断对错）
【答案】对．
【解析】解：两条直线相交，只有1个交点．
故答案为：对．
【强化训练3】试用几何语言描述下图：　 　．
【答案】直线AB与直线CD相交于点O
【解析】解：从两条直线的位置关系可知，两条直线相交，交点为O，
故用几何语言可描述为：直线AB与直线CD相交于点O．
故答案为：直线AB与直线CD相交于点O．
【强化训练4】如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图：
(1)画射线，直线，线段；
(2)连接与相交于点E．
【答案】解：（1）如图即为所求；
（2）如图即为所求．
【题型2】对顶角相等
【典例】如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）
A.55° B.125° C.115° D.65°
【答案】B
【解析】
解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，
∴∠BOD等于125°．
故选B．
【强化训练1】如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ，
，
，
，
故选：B．
【强化训练2】如图，直线，相交于点O，平分．若，则的对顶角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，平分
∴
∴的对顶角的度数是．
故选：C．
【强化训练3】如图，两直线交于点，若，则 度．

【答案】
【解析】
解：∵，，
∴，
故答案为：
【强化训练4】如图，三条直线两两相交，，，则 ．
【答案】
.
【解析】
解：∵和是对顶角，
∴，
∴．
∴∠2=∠1=70°
故答案为：
【强化训练5】如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）平分，
，
；
（2）平分，
∴，
．
【题型3】平行线的概念
【典例】如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A.a B.b C.m D.n
【答案】B
【解析】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴．
故选：B．
【强化训练1】下面语句中，正确的是（ ）
A.在同一平面内的两条直线互相平行．
B.不相交的两条直线叫做平行线．
C.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行．
D.直线m是平行线，直线n是平行线，直线m和直线b互相平行．
【答案】C
【解析】解：A、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，必须强调在同一平面，否还有一种在不同的平面内，也有不相交的直线，它们不一定平行，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，则此项正确，符合题意；
D、平行是两条直线之间的位置关系，故叙述不规范，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【强化训练2】如图的网格纸中，AB∥ ．
【答案】CD.
【解析】解：由图可得AB∥CD．
【强化训练3】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答问题：找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来.
【答案】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可．
如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB．
【强化训练4】找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
【答案】从图中可以看出，AB∥CD，EF∥HG.
【题型4】立体图形中平行的棱或面
【典例】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是
A.EA B.GH C.HC D.EF
【答案】C
【解析】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误；
B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误；
C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确；
D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误．
故选C．
【强化训练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC，
∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF，
∴与棱AD平行的平面共有2个．
故选择：B．
【强化训练2】如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】C
【解析】由题意得：
与棱AD既不相交也不平行的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1
故选C.
【强化训练3】观察如图所示的长方体．
（）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ；
（）平面EFGHF和平面ABCD的位置关系是 ，写出长方体中其它互相平行的面 .
【答案】（1）都是平行，即填写符号．（2）平行；四边形ADHE四边形BCGF，四边形ABFE四边形DCGH.
【解析】解：（）∵该图是长方体，
∴，，，
故答案为：；；；
（）平面EFGHF和平面ABCD的位置关系是平行，长方体中其它互相平行的面有：
四边形ADHE四边形BCGF，四边形ABFE四边形DCGH.
故答案为：（1）都是平行，即填写符号．（2）平行；四边形ADHE四边形BCGF，四边形ABFE四边形DCGH．
【强化训练4】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
【答案】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案为：CD、EF、GH；
（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．
故答案为：平行．
【题型5】互为补角
【典例】一个角的补角是，这个角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，，
故选：C．
【强化训练1】若一个角与它的补角的比是，则这个角的补角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设这个角为α，则它的补角是，
根据题意得，，
解得，
所以，这个角的补角的度数是．
故选：C．
【强化训练2】如图，用量角器度量，那么的补角为 度．

【答案】.
【解析】解：由量角器度量可知，，
∴的补角为：，
故答案为：
【强化训练3】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的补角；
则n条直线相交于一点，有 　 　组不重复的补角．
【答案】2n（n﹣1）．
【解析】解：
由①可得 4＝2×1×2，
由②可得12＝3×2×2，
由③可得24＝4×3×2，
那么n条直线相交于一点，不重复的补角共有2n（n﹣1）组，
故答案为：2n（n﹣1）．
【强化训练4】如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线．
(1)求和的度数；
(2)是的平分线吗？为什么？
【答案】解：（1） ，，
；
是的平分线，
，
；
（2）是的平分线；
理由如下：
，
，
，
，
是的平分线．
【题型6】互为余角
【典例】如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∵，，
∴互余的角有：和，和，和，和，共对，
故选：D．
【强化训练1】一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设一个角的度数为，则它的余角为度，
∴，
解得，，即这个角的度数是，
故选：．
【强化训练2】如图，已知，，则下列说法错误的是（）
A.与互为余角 B.与互为余角 C.与互为余角 D.与互为余角
【答案】D
【解析】解：∵，
，
∴与互为余角，与互为余角．
∵，
，
∴与互为余角，与互为余角；
故选：D．
【强化训练3】如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ．
【答案】.
【解析】解：看量角器内圈的数字可读出的度数为
的余角的度数为；
故答案为：
【强化训练4】如图所示，已知，的余角比小．
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，使得，请你求出的度数．
【答案】解：（1）∵的余角比小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
当射线在内部时，则；
当射线在外部时，则；
综上所述，的度数为或．
【题型7】与补角和余角相关的计算
【典例】如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设，则，，，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
故选：D．
【强化训练1】如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①； ②；
③与互为余角； ④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.②③ B.①②④ C.①③ D.①③④
【答案】D
【解析】解：易知，故①正确，
，故②错误，
与互为余角，故③正确；
，
与互为补角．故④正确；
故选：D
【强化训练2】已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设这个角为x度，
由题意可列方程：，
解得：，
则这个角的补角为：，
故选：C．
【强化训练3】若一个角的余角与它的补角的和为，则这个角是 度．
【答案】30
【解析】解：设这个角的度数为x，
由题意得，，
∴，
∴这个角的度数为，
故答案为：30．
【强化训练4】如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使、、的度数之比为，那么：
(1)求及余角的度数．
(2)与的度数之比为 ．
【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴的余角为：。，
∴的度数为，余角的度数为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴。
故答案为：
【题型8】同角（或等角）的余角（或补角）相等
【典例】如图，直线与相交于点O，则图中的理论依据是（ ）
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条直线
【答案】B
【解析】解：∵，
∴（同角的补角相等）．
故选：B．
【强化训练1】如图，点O在直线上，，则图中相等的角的对数是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】解：∵点O在直线上，，
∴，
∴，，，，
，，，，，
∴相等的角的对数共有5对．
故选：C．
【强化训练2】如图，，则图中三个角的数量关系是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【强化训练3】如图，已知，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图1，和都是直角．
(1)如果，则_____________；
(2)若逐渐变大，如何变化？_____________；
(3)找出图1中一组相等的锐角为_____________；
(4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上再画一个与相等的角．
【答案】解：（1）由题意知
∵
∴
∴，
故答案为：．
（2）变小
∵，
∴当逐渐变大，将变小，
故答案为：变小．
（3）
∵
∴
故答案为：．
（4）如图2：作，则即为所求．
【题型9】与对顶角、余角与补角有关计算
【典例】如图，直线被直线所截，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【强化训练1】如图，直线a和b相交于点O，如果∠1+∠2＝80°，那么∠1的余角是（　　）
A.40° B.50° C.80° D.100°
【答案】B
【解析】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴2∠1＝80°，
∴∠1＝40°．
∴∠1的余角=90°-40°=50°
故选：B．
【强化训练2】如图，直线相交于点O，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴
∴
故选C
【强化训练3】如图，相交于点O，，则的度数为 ．
【答案】/110度
【解析】解：、、相交于点，，
，
又与是对顶角，
，
故答案为：．
【强化训练4】已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠EOF的度数．
【答案】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，
由题意得：x+4x＝180，
解得：x＝36，
∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝36°＝18°．
∴∠EOF＝180°﹣∠DOF﹣∠COE
＝180°﹣72°﹣18°
＝90°．
【强化训练5】如图所示，直线AB和CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【答案】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，
∴∠EOC＝×90°＝30°，
∵∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝∠AOD＝80°，
∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．
【题型10】对顶角、余角与补角的实际应用
【典例】如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）
A.40° B.50° C.55° D.60°
【答案】B
【解析】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝50°
故选：B．
【强化训练1】如图，要把角钢(图1)变成140°的钢架(图2)，则需要在角钢(图1)上截去的缺口的角度α等于(　　)
A.20° B.40° C.60° D.80°
【答案】B
【解析】根据平角的定义可得平角为180度，再用180°减140°即可得到α.即α＝180°－140°＝40°，故选B.
【强化训练2】如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】解：由作图可得是平角，
∴与互补，
∴ ，
∴方案Ⅰ可行；
由作图可得与是对顶角，
∴，
∴方案Ⅱ可行，
故选：C．
【强化训练3】光的折射：当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，如图所示，若．则光的传播方向改变了 度．

【答案】
【解析】解：设所改变的角为x，
则所得的角与互为对顶角，
即，
∵
∴．
故答案是：．
【强化训练4】当光线从空气进入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.图中∠1与∠2是对顶角吗？
【答案】解：∵光折射时，光的传播方向发生了改变，
∴图中不是两条直线相交，并且∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，
∴∠1与∠2不是对顶角.
【题型11】垂线的定义
【典例】如图，在正方体中和AB同在一个平面，且和AB垂直的边有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】因为正方体的每一个面都是正方形，即每一个角都为90°，所以与AB垂直的边有4条．故选D.
【强化训练1】两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是(　　)
A.两对对顶角分别相等 B.有一对对顶角互补 C.有一对邻补角相等 D.有三个角相等
【答案】A
【解析】由B、C、D都能得到一个90°的角，所以能判定这两条直线垂直，只有A不能得到一个角为90°，所以不能判断两直线垂直．故选A.
【强化训练2】如图，请写出图中互相垂直的直线是 ，垂足是 .
【答案】OC⊥OB，垂足是点O.
【强化训练3】如图所示，，，则图中互相垂直的直线是 .
【答案】，.
【解析】∴，且．
∴
∵，
∴，
∴，.
故答案为：，.
【强化训练4】如图，请写出图中互相垂直的直线直线和垂足.
【答案】DC⊥OA，垂足是点M；OB⊥CN，垂足是点N.
【题型12】垂线的画法
【典例】画一条线段的垂线，垂足在(　　)
A.线段上 B.线段的端点 C.线段的延长线上 D.以上都有可能
【答案】D
【解析】由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．故选D.
【强化训练1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A.1 B.2 C.无数 D.不存在
【答案】A
【解析】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是，
故选：．
【强化训练2】在同一平面内,经过一点 一条直线垂直于已知直线．
【答案】有且只有
【解析】在同一平面内,经过一点做已知直线的垂线，能做出且只能做出一条直线来．
故答案为：有且只有
【强化训练3】若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画 条直线与l垂直；过点B能画 条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”） 一条直线与已知直线垂直.
【答案】1；1；不一定能画.
【解析】过点A能画1条直线与l垂直；过点B能画1条直线与l垂直；
过C，D两点不一定能画一条直线与已知直线垂直.
故答案为：1；1；不一定能画.
【强化训练4】如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图．
(1)分别画出直线，线段，射线；
(2)过点A画，垂足为点D；
(3)尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）．
【答案】解：（1）如图：直线，线段，射线即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图：点E即为所求作的点．
【题型13】立体图形中垂直的棱或面
【典例】如图，在长方体中，下列各棱与棱垂直的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由图可知，棱是两个面的相交的棱，是前面正方形ABCD和左面长方形ABFE相交的棱.在前面正方形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB；在左面的长方形ABFE中，AE⊥AB，BF⊥AB.所以与棱AB垂直的棱共有四条，分别是.
故选D．
【强化训练1】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱FB垂直的面的是（　　　）
A.正方形EFGH； B.正方形ADHE； C.正方形ABFE； D.正方形CDHG．
【答案】A
【解析】解：观察图象可知，与棱FB垂直的面有正方形EFGH和正方形ABCD．
故选：A．
【强化训练2】如图，在正五棱柱ABCDE﹣FGHMN中，与棱BG垂直的棱分别是 ．

【答案】三条
【解析】解：由图可知，与棱BG垂直的棱有：AB，BC，FG，GH，共有4条．
故答案为：AB，BC，FG，GH．
【强化训练3】如图，在长方体中，与垂直的棱是 ．
【答案】棱AB、DC、BF、GC．
【解析】解：由图可知，棱BC是两个面的相交的棱，是底面正方形ABCD和右面正方形BCGF相交的棱.在底面正方形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC；在右面的正方形BCGF中，BF⊥BC，GC⊥BC.所以与棱BC垂直的棱共有四条，分别是AB、DC、BF、GC.
故答案为：AB、DC、BF、GC．
【题型14】与垂直定义有关的计算
【典例】如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A.26° B.64° C.54° D.74°
【答案】B
【解析】解：∵∠1＝26°，∠DOF与∠1是对顶角，
∴∠DOF＝∠1＝26°，
又∵∠DOF与∠2互余，
∴∠2＝90°﹣∠DOF
＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
【强化训练1】如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.70°
【答案】A
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°．
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝30°．
故选：A．
【强化训练2】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为 ．
【答案】/130度
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【强化训练3】如图，直线AB.CD相交于点O，且OE⊥AB于O，∠AOC＝35°，则∠DOE为 　 　度．
【答案】55．
【解析】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵OE⊥AB于O，
∴∠DOE＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【强化训练4】如图，直线、相交于点，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1） 与的位置关系：互相垂直，
理由：平分，
，
，
，
与的位置关系：互相垂直；
（2）：：，
，
，
，
．
【题型15】垂线段最短
【典例】如图，河道的一侧有甲.乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲.乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．
故选：B．
【强化训练1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A.线段的长是点P到直线的距离
B.三条线段中，最短
C.线段的长是点A到直线的距离
D.线段的长是点C到直线的距离
【答案】C
【解析】解：A、∵，
∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC.BA上截取BE.BD；然后分别以点D.E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
【答案】B
【解析】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵CG＝4，
∴当GP⊥AB时，GC＝GP＝4，
∴GP的最小值为4，
故选：B．
【强化训练3】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 　 　．
【答案】垂线段最短．
【解析】解：∵垂线段最短，
∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．
故答案为：垂线段最短．
【强化训练4】如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ．
【答案】垂线段最短
【解析】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故答案为：垂线段最短．
【强化训练5】已知，如图，点P在射线上．
(1)过点P作射线的垂线l；
(2)过点P作射线的垂线段，比较与的大小： （填“”“”或“”）；理由： ．
【答案】解：（1）如图，直线即为所求作．
（2）如图，线段即为所求作．
根据垂线段最短．可得：．
【题型16】点到直线的距离
【典例】如图，，，，垂足分别为，，，则图中能表示点到直线距离的线段有（ ）

A.条 B.条 C.条 D.条
【答案】D
【解析】解：图中表示点到直线的距离的线段有：
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
表示点到的距离的线段是；
∴图中能表示点到直线距离的线段有条．
故选：D．
【强化训练1】下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意得PQ⊥MN，
P到MN的距离是PQ垂线段的长度，
故选：A．
【强化训练2】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是（　　）
A.11 B. C. D.8
【答案】A
【解析】解：∵AC＝22，DE＝8，
∴△ADC的面积为：×22×8＝88，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为88，
∴点D到AB的距离是．
故选：A．
【强化训练3】如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．

【答案】/；/.
【解析】解：点A到直线的距离是线段的长度，
直线到直线的距离是线段的长度．
故答案为：，．
【强化训练4】按下列要求画图并填空：
如图，直线与相交于点是上的一点，
(1)过点画出的垂线，交直线于点．
(2)过点画出，垂足为点．
(3)点到直线的距离是线段______的长．
(4)点到直线的距离为______．
【答案】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
（3）点O到直线的距离是线段的长．
故答案为：；
（4）点P到直线的距离为0，
故答案为：0．
【强化训练5】如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足是M，以下说法：
①BM的长是点B到CE的距离；
②CE的长是点C到AB的距离；
③BD的长是点B到AC的距离；
④CM的长是点C到BD的距离．
其中正确的是 　 　．（填序号）
【答案】①④
【解析】解：因为BD⊥CE，因此BM的长是点B到CE的距离，故①正确；
因为CE与AB不垂直，因此CE的长不是点C到AB的距离．故②错误；
因为BD与AC不垂直，因此BD的长不是点B到AC的距离．故③错误；
因为BD⊥CE，因此CM的长是点C到BD的距离，故④正确；
综上所述，正确的说法是①④．
故答案为：①④．北师大版（2024）七年级下册 第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系 强化训练
【题型1】相交线的概念
【典例】如图，直线AB.CD相交于点O，在这两条直线上，与点O的距离为3cm的点有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练1】如图，下列表述：①直线a与直线b.c分别相交于点A和点B；②点C在直线a外；③直线b.c相交于点C；④三条直线a.b.c两两相交，交点分别是点A.点B.点C．其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练2】两条直线相交不可能有两个交点． 　 　（判断对错）
【强化训练3】试用几何语言描述下图：　 　．
【强化训练4】如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图：
(1)画射线，直线，线段；
(2)连接与相交于点E．
【题型2】对顶角相等
【典例】如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）
A.55° B.125° C.115° D.65°
【强化训练1】如图，直线，相交于点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，直线，相交于点O，平分．若，则的对顶角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，两直线交于点，若，则 度．

【强化训练4】如图，三条直线两两相交，，，则 ．
【强化训练5】如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【题型3】平行线的概念
【典例】如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A.a B.b C.m D.n
【强化训练1】下面语句中，正确的是（ ）
A.在同一平面内的两条直线互相平行．
B.不相交的两条直线叫做平行线．
C.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行．
D.直线m是平行线，直线n是平行线，直线m和直线b互相平行．
【强化训练2】如图的网格纸中，AB∥ ．
【强化训练3】一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答问题：找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来.
【强化训练4】找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
【题型4】立体图形中平行的棱或面
【典例】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是
A.EA B.GH C.HC D.EF
【强化训练1】如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【强化训练3】观察如图所示的长方体．
（）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ；
（）平面EFGHF和平面ABCD的位置关系是 ，写出长方体中其它互相平行的面 .
【强化训练4】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱平行的棱有　 　；
（3）图中棱和面的位置关系是 　 ．
【题型5】互为补角
【典例】一个角的补角是，这个角是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】若一个角与它的补角的比是，则这个角的补角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，用量角器度量，那么的补角为 度．

【强化训练3】如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的补角；
则n条直线相交于一点，有 　 　组不重复的补角．
【强化训练4】如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线．
(1)求和的度数；
(2)是的平分线吗？为什么？
【题型6】互为余角
【典例】如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【强化训练1】一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，已知，，则下列说法错误的是（）
A.与互为余角 B.与互为余角 C.与互为余角 D.与互为余角
【强化训练3】如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ．
【强化训练4】如图所示，已知，的余角比小．
(1)求的度数；
(2)过点O作射线，使得，请你求出的度数．
【题型7】与补角和余角相关的计算
【典例】如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①； ②；
③与互为余角； ④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.②③ B.①②④ C.①③ D.①③④
【强化训练2】已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】若一个角的余角与它的补角的和为，则这个角是 度．
【强化训练4】如图，点O是直线上的一个点，从点O引两条射线、，使、、的度数之比为，那么：
(1)求及余角的度数．
(2)与的度数之比为 ．
【题型8】同角（或等角）的余角（或补角）相等
【典例】如图，直线与相交于点O，则图中的理论依据是（ ）
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条直线
【强化训练1】如图，点O在直线上，，则图中相等的角的对数是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】如图，，则图中三个角的数量关系是 ．
【强化训练3】如图，已知，，则的度数为 ．
【强化训练4】如图1，和都是直角．
(1)如果，则_____________；
(2)若逐渐变大，如何变化？_____________；
(3)找出图1中一组相等的锐角为_____________；
(4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上再画一个与相等的角．
【题型9】与对顶角、余角与补角有关计算
【典例】如图，直线被直线所截，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【强化训练1】如图，直线a和b相交于点O，如果∠1+∠2＝80°，那么∠1的余角是（　　）
A.40° B.50° C.80° D.100°
【强化训练2】如图，直线相交于点O，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，相交于点O，，则的度数为 ．
【强化训练4】已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠EOF的度数．
【强化训练5】如图所示，直线AB和CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【题型10】对顶角、余角与补角的实际应用
【典例】如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）
A.40° B.50° C.55° D.60°
【强化训练1】如图，要把角钢(图1)变成140°的钢架(图2)，则需要在角钢(图1)上截去的缺口的角度α等于(　　)
A.20° B.40° C.60° D.80°
【强化训练2】如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都可行 D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
【强化训练3】光的折射：当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，如图所示，若．则光的传播方向改变了 度．

【强化训练4】当光线从空气进入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.图中∠1与∠2是对顶角吗？
【题型11】垂线的定义
【典例】如图，在正方体中和AB同在一个平面，且和AB垂直的边有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【强化训练1】两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是(　　)
A.两对对顶角分别相等 B.有一对对顶角互补 C.有一对邻补角相等 D.有三个角相等
【强化训练2】如图，请写出图中互相垂直的直线是 ，垂足是 .
【强化训练3】如图所示，，，则图中互相垂直的直线是 .
【强化训练4】如图，请写出图中互相垂直的直线直线和垂足.
【题型12】垂线的画法
【典例】画一条线段的垂线，垂足在(　　)
A.线段上 B.线段的端点 C.线段的延长线上 D.以上都有可能
【强化训练1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A.1 B.2 C.无数 D.不存在
【强化训练2】在同一平面内,经过一点 一条直线垂直于已知直线．
【强化训练3】若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画 条直线与l垂直；过点B能画 条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”） 一条直线与已知直线垂直.
【强化训练4】如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图．
(1)分别画出直线，线段，射线；
(2)过点A画，垂足为点D；
(3)尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）．
【题型13】立体图形中垂直的棱或面
【典例】如图，在长方体中，下列各棱与棱垂直的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱FB垂直的面的是（　　　）
A.正方形EFGH； B.正方形ADHE； C.正方形ABFE； D.正方形CDHG．
【强化训练2】如图，在正五棱柱ABCDE﹣FGHMN中，与棱BG垂直的棱分别是 ．

【强化训练3】如图，在长方体中，与垂直的棱是 ．
【题型14】与垂直定义有关的计算
【典例】如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A.26° B.64° C.54° D.74°
【强化训练1】如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.70°
【强化训练2】如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为 ．
【强化训练3】如图，直线AB.CD相交于点O，且OE⊥AB于O，∠AOC＝35°，则∠DOE为 　 　度．
【强化训练4】如图，直线、相交于点，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型15】垂线段最短
【典例】如图，河道的一侧有甲.乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲.乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（ ）
A.线段的长是点P到直线的距离
B.三条线段中，最短
C.线段的长是点A到直线的距离
D.线段的长是点C到直线的距离
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC.BA上截取BE.BD；然后分别以点D.E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
【强化训练3】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 　 　．
【强化训练4】如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ．
【强化训练5】已知，如图，点P在射线上．
(1)过点P作射线的垂线l；
(2)过点P作射线的垂线段，比较与的大小： （填“”“”或“”）；理由： ．
【题型16】点到直线的距离
【典例】如图，，，，垂足分别为，，，则图中能表示点到直线距离的线段有（ ）

A.条 B.条 C.条 D.条
【强化训练1】下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝16，AC＝22，DE＝8，则点D到AB的距离是（　　）
A.11 B. C. D.8
【强化训练3】如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．

【强化训练4】按下列要求画图并填空：
如图，直线与相交于点是上的一点，
(1)过点画出的垂线，交直线于点．
(2)过点画出，垂足为点．
(3)点到直线的距离是线段______的长．
(4)点到直线的距离为______．
【强化训练5】如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足是M，以下说法：
①BM的长是点B到CE的距离；
②CE的长是点C到AB的距离；
③BD的长是点B到AC的距离；
④CM的长是点C到BD的距离．
其中正确的是 　 　．（填序号）

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