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(共24张PPT)
1.4 线段的垂直平分线
(课时1)
第一章 三角形的证明及其应用
北师大版(2024)
素养目标
2.能运用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决相关问题.
1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，进一步发展推理能力；
新知导入
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如图，MN⊥AA′，垂足为P，且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线.
N
M
P
A′
A
请你尝试证明这一结论.
探究新知
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC＝BC，P 是 MN 上的任意一点.
求证：PA ＝ PB.
证明：∵ MN⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，
∵ AC=BC，PC=PC，
∴ △PCA≌△PCB(SAS).
∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).
A
B
M
C
P
N
当点P与点C重合时，结论显然成立.
定理
归纳总结
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
符号语言：
∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC，
∴ PA=PB.
A
B
M
C
P
N
探究新知
你能写出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这个定理的逆命题吗？
运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.
探究新知
逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
即到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
原命题：如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等.
请你尝试证明这一结论.
探究新知
已知：如图，线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
∴PC是△PAB的中线（三线合一）.
∴AC=BC.
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
B
P
A
M
N
C
还有其他证法吗？
探究新知
已知：如图，线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过 P 点作∠APB 的平分线交 AB 于点 C，∵AP＝BP，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，
∴△APC ≌△BPC (SAS).
∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB.
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
B
P
A
C
方法二
归纳总结
定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：
∵ PA=PB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上.
A
B
M
C
P
N
归纳总结
【注意】由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条.
例题练习
已知：如图 ，在△ABC 中，AB＝AC，O 是△ABC 内一点，且OB＝OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
还有其他证法吗？
例题练习
证明：如图所示，设AO交BC于点D.
在△ABO和△ACO中，
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，又AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴直线AO垂直平分线段BC.
D
方法二
探究新知
【拓展】如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角？
A
B
E
C
D
∵ AB=AD，CB=CD，
∴ AC是BD的垂直平分线.
像AB=AD，CB=CD这样的四边形ABCD叫作“筝形”.
B
A
B
10
25
2
小结
线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
谢谢同学们的聆听

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