资源简介

(共25张PPT)
21.2.2平行四边形的判定
1.探索并证明平行四边形对角线之间的关系.
2.利用平行四边形的性质解决实际问题.
学习目标
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
情景导入
上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
边：
角：
平行四边形的性质
对边相等且平行.
对角相等，邻角互补.
回顾旧知
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
知识点1 平行四边形的判定定理1
B
D
C
A
由上面的过程你得到了什么结论？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如何证明这个结论呢？

A
B
C
D
E

证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，


∴AD=CF，AD//CF，
∴BC=DF，BC//DF.
方法一
在△ABC和△CDA中，
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴ ∠1=∠4 ，∠ 2=∠3.
∴AB∥ CD，AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
1
4
2
3
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
不一定是，如等腰梯形，
其中AD//BC，AB=CD.
A
B
C
D
思考 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明.
1.下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.两组对边相等.
B.两组对边平行.
C.一组对边平行且相等.
D.一组对边平行，另外一组对边相等.
D
跟踪训练
新知探究
可能是梯形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AD//BC， ∠CFD=∠FCB，
∴∠AEB=∠FCB
∵ AE//CF，AF//CE，
A
B
C
D
E
F
平行四边形的判定方法1
由上述证明可以得到平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
A
B
C
D
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结
3.如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE=CF，BF=DE，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
F
E
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED=∠CFB=90°.
∵DE=BF，AE=CF ，
∴AD=BC.
探究新知
猜想3．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
归纳总结
平行四边形的判定定理：
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B
O
D
A
C
例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
针对练习
1.如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成________个平行四边形．
4
探究新知
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
探究新知
B
A
如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
2. 在□ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，
则 m 的取值范围是 ( )
A. 24＜m＜39 B. 14＜m＜62
C. 7＜m＜31 D. 7＜m＜12
B
C
D
A
O
C
3. 如图，已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，AC = 24，BD = 18，AB = 16，求△OCD 的周长及 AD 边的取值范围．
解：由题意得 OA = OC = 12，
OB = OD = 9，CD = AB = 16，
∴△OCD的周长为 12 + 9 + 16 = 37.
在△ACD 中，24 - 16＜AD＜24 + 16，∴ 8＜AD＜40；
在△ABD 中，18 - 16＜AD＜18 + 16，∴ 2＜AD＜34；
在△AOD 中，12 - 9＜AD＜12 + 9，∴ 3＜AD＜21．
综上所述，AD 的取值范围应是 8＜AD＜21．
与三角形三边关系结合
1.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）.
A.15 B.18 C.21 D.24
A
C
D
B
O
E
拓展提升
A
∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半.
∵四边形ABCD是平行四边形,
解析：∵点O是 ABCD 对角线的交点，E是CD的中点,
∴ △DBC的周长为 BC+CD+BD=18+12=30,
∴ △DOE的周长为15.
且 ABCD的周长为36，
A
C
D
B
O
E
∴BC+CD=18,
解：∵AP=tcm，CQ=2tcm，
AD=12cm，
∴PD=AD-AP=(12-t)cm，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，
解得t=4，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
课堂小结
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

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