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7.3　定义、命题、定理
学习目标
1.通过具体实例,了解定义、命题、定理、证明的意义.
2.结合具体实例,会区分命题的题设和结论.
3.理解基本事实是实践总结出来的真命题,是推理中公认的基本事实,是推理的起点.
4.了解证明的必要性,理解推理过程要步步有据,初步训练学生的推理能力.
5.正确进行符号语言、图形语言、文字语言的转化并用完整的符号语言表述证明过程.
课前准备
在日常生活中,我们会遇到许多类似的情况,需要对一些事情作出判断,例如:
(1)今天是晴天;
(2)对顶角相等;
(3)能被2整除的数也能被4整除;
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行.
请写出三句日常生活中的判断语句.
答案：
1.太阳从东方升起。
2.水烧开后会冒热气。
3.牛奶放进冰箱会变凉。
课堂探究
问题一
探究1-1:请把“课前准备”中的有关数学问题的判断语句改写成
“如果……那么……”的形式.
例如:平行于同一直线的两条直线互相平行.
改写:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
答案： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
如果一个数能被 2 整除，那么这个数能被 4 整除
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　,叫作命题.
每个命题都是由　　　　　和　　　　　组成.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是　　　　,
“那么”后接的部分是　　　　.
答案：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句 题设 结论 题设 结论
探究1-2:下列语句是命题的有(　　)
B
探究1-3:请指出“课前准备”中命题的题设和结论.
答案：对顶角相等：题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等
能被 2 整除的数也能被 4 整除：题设是一个数能被 2 整除，结论是这个数能被 4 整除
平行于同一直线的两条直线互相平行：题设是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行.
问题二
将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.
(1)直角都相等;
(2)末位数字是5的整数能被5整除;
解：（1）如果每个角都是直角，那么这些角都相等
解：（2）如果一个整数的末位数字是 5，那么这个整数能被 5 整除
(3)三角形的内角和是180°;
(4)等角的余角相等.
解： （3）如果一个图形是三角形，那么它的内角和是 180°
解： （4）如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等
问题三
被判断为正确(或真)的命题叫作　　　　　　命题,被判断为错误(或假)的命题叫作　　　　　　命题.
答案：真 假
指出下面的命题是真命题还是假命题.
①互补的两个角是邻补角;②两直线平行,同旁内角相等;③相等的两个角是对顶角;④平行于同一条直线的两条直线互相平行;⑤等角的补角相等;⑥两点之间线段最短.
答案：①②③为假命题， ④⑤⑥为真命题
从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫作公理;通过正确的推理得出的真命题叫作　　　.例如上面命题中的　　 　　是公理,
　　　　　　是定理.
答案：定理 ⑥ ④⑤
问题四
探究:许多命题都由　　　　和　　　　　两部分组成.
　　　　　是已知事项,　　　　　　是由已知事项推出的事项.
答案：题设 结论 题设 结论 被判断为正确（或真）的命题 经过推理证实被判断为错误（或假）的命题
问题五
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫作　　　　　.判断一个命题是错误的,只要举出一个　　　,它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.
答案：证明 例子（反例）
探究5-1:如图①,AC⊥BC,垂足为C,∠BCD是∠B的余角.
①
求证:∠ACD=∠B.
证明:∵AC⊥BC(已知),
∴∠ACB=90°(　　　　　).
∴∠BCD是∠ACD的余角.
∵∠BCD是∠B的余角(已知),
∴∠ACD=∠B(　　　　　　　　　).
探究5-2:如图②,BCE,AFE是直线,AB∥DC,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:AD∥BE.
证明:∵AB∥DC(已知),
∴∠4=∠　　　(　　　　　　　　　　　).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠　　　(　　　　　).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(　　　　　　).
即∠　　　　=∠　　　　,
∴∠3=∠　　　(　　　　　　　　　　).
∴AD∥BE(　　　　　　　　　　).
②
答案：垂直的定义 同角的余角相等
BAF 两直线平行，同位角相等 BAF 等量代换 等式的性质 ∠BAF=∠DAC DAC 等量代换 内错角相等，两直线平行
探究5-3:证明命题的步骤.
(1)画出命题的　　　.先根据命题的题设即已知条件画出图形,再把命题的结论即求证的内容在图上标出.还要根据证明的需要,在图上标出必要的字母或符号,以便于叙述或推理过程的表达;
答案：（1）图形
(2)结合图形写出已知、　　　　.把命题的题设转化为几何符号的语言写在已知中,命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中;
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出推理的过程.
答案：（2）求证
变式应用:求证三角形的内角和为180°.
证明：如图所示，过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即三角形三个内角的和等于180°．
学后反思
尝试和小组成员对本节课所学内容进行归纳、总结.通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.下列语句中,不是命题的是(　 　)
A.两点之间线段最短　　　
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等　　　
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
巩固训练
基础题
D
2.下列命题中,是真命题的是(　 　)
A.若ab>0,则a>0,b>0　　 B.若ab<0,则a<0,b<0
C.若ab=0,则a=0且b=0　　 D.若ab=0,则a=0或b=0
D
3.有下列命题:①相等的两个角是对顶角;②若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角;③同旁内角互补;④垂线段最短;⑤同角或等角的余角相等;⑥经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
其中假命题有(　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
4.有下列命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③同位角相等.
其中假命题有(　 　)
A.1个　　 B.2个 C.3个 D.0个
B
5.举反例说明下列命题是假命题.
(1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;
(2)若ab=0,则a+b=0.
解:(1)两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角,这两个角不是对顶角,但是它们相等.
(2)当a=5,b=0时,ab=0,但a+b≠0.
拓展题
考虑命题“若n是自然数,则代数式(3n+1)(3n+2)的值是3的倍数”.
(1)写出命题的题设和结论.
解:(1)命题的题设是“n是自然数”,结论是“代数式(3n+1)(3n+2)的值是3的倍数”.
(2)该命题是真命题还是假命题 说明理由.
解:(2)该命题是假命题.
理由:∵(3n+1)(3n+2)=9n2+6n+3n+2=9n2+9n+3-1=3(3n2+3n+1)-1,且n为自然数,
∴3(3n2+3n+1)-1的值不是3的倍数.∴该命题是假命题.

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