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相交线与平行线·小结
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学习目标
课堂探究
巩固训练
学习目标
1.会判断同位角、内错角、同旁内角.
2.理解点到直线的距离、平行线等概念.
3.学会运用平行线的性质定理及判定定理进行证明与计算.
课堂探究
问题一　相交线的概念
如图①,AB⊥CD于点O,直线EF过点O,若∠AOE=65°,则∠DOF的度数为(　　)
A.35°　　 B.25°　　
C.15°　　 D.10°
①
B
变式应用:已知直线AB,CD相交于点O,∠BOD=70°.
(1)如图②,若∠AOE=20°,求∠COE的度数.
②
（1）解：∵∠AOC＝∠BOD＝70°，∠AOE＝20°，
∴∠COE＝50°；
(2)如图③,若射线OE平分∠AOC,画OE的反向延长线OF,则OF是否平分∠BOD 试说明理由.
③
（2）解：如图2所示，画出OE的反向延长线OF如图所示，OF平分∠BOD，
理由如下：∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE＝∠BOF，∠COE＝∠DOF，
∴∠BOF＝∠DOF，
∴OF平分∠BOD，
(3)在(2)的条件下,以O为顶点,OD为一边画∠DOG=90°,求∠GOF的度数.
当OG在OD下侧时，如图所示，即G点，则∠GOF=∠GOD+∠DOF=90°+35°=125°，
当OG在OD上侧时，如图所示，即G′点，则∠G′OF=∠G′OD-∠DOF=90°-35°=55°，
综上所述，∠GOF的度数为55°或125°．
如图①,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有(　　)
A.2条　　 B.3条
C.4条　　 D.5条
问题二　点到直线的距离
①
D
变式应用:如图②,已知AB⊥AC于点A,AD⊥BC于点D,AB=8 cm,AC=
6 cm,AD=4.8 cm,BD=6.4 cm,CD=3.6 cm.
(1)点B到直线AD的距离为　　　 　;
(2)点C到直线AD的距离为　　　 　;
(3)点B到直线AC的距离为　　　 　;
(4)点C到直线AB的距离为　　　 　.
②
答案：BD CD AB AC
问题三　平行线的性质和判定
(1)如图①,已知∠1=∠2,∠3=85°,求∠4的度数.
①
解：∵∠1＝∠2 ，
∴a∥b ，
∴∠3＝∠4 ，
∵∠3＝85°，
∴∠4＝85°．
(2)如图②,已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=180°,求证:EF∥BC.
②
证明：∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠D+∠DFE＝180°，
∴AD∥EF，
∴EF∥BC．
变式应用:如图③,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=
50°,求∠DEG的度数.
③
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝50°，
∵沿EF折叠，
∴∠DEF＝∠FEG＝50°，
∴∠DEG＝50°+50°＝100°．
问题四　平移
下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是(　　)
A　　　　 B　　　　 　 C　　　　 　　 D
D
变式应用:如图,三角形DEF经过平移可以得到三角形ABC,那么∠C的对应角和ED的对应边分别是(　　)
A.∠F,AC B.∠BOD,BA
C.∠F,BA D.∠BOD,AC
C
问题五　相交线中的方程思想
如图①,l1,l2,l3交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.
①
解：设∠1＝x，则∠2＝x，∠3＝8x，
根据题意，得x+x+8x＝180°，
解得x＝18°，
则∠4＝18°+18°＝36°．
故∠4的度数是36°．
变式应用:如图②,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系;
①
②
(2)若∠AOC∶∠AOD=1∶5,求∠EOF的度数.
①
1.如图1,∠D=70°,∠C=110°,∠1=69°,则∠2的度数为(　 　)
A.110° B.111°
C.69° D.70°
巩固训练
基础题
B
图1
2.如图2,已知AB∥CD,∠1=30°,∠2=90°,则∠3等于(　 　)
A.60° B.50° C.40° D.30°
A
图2
3.如图3,直线AE∥CD,∠EBF=135°,∠BFD=60°,则∠D等于(　 　)
A.75° B.45° C.30° D.15°
D
图3
4.如图4,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=80°,∠2=45°,则∠1的度数为(　 　)
A.70° B.45° C.35° D.30°
C
图4
5.如图5,已知直线AB,CD被MN所截,AB∥CD.
(1)若EF平分∠AEG,∠1∶∠AEM=2∶5,求∠DGN的度数.
图5
解:(1)∵EF平分∠AEG,∴∠1=∠FEG.
又∠1∶∠AEM=2∶5,∴设∠1=2x,则∠AEM=5x.
∴2x+2x+5x=180°,解得x=20°.
∵AB∥CD,∴∠DGN=∠CGM=∠AEM=100°.
(2)若∠1=∠2,EF与GH平行吗 为什么
解:(2)EF与GH平行.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠AEG=∠CGN.
又∵∠1=∠2,∴∠FEG=∠HGN.∴EF∥GH.
拓展题
如图①,木杆AB与CD平行,木杆的两端A,
C用一条橡皮筋连接,点E是橡皮筋上的一点.
(1)观察发现:在图①中,直接写出∠A,∠C与∠AEC之间的关系.
①
解:(1)∠A+∠C=∠AEC.
(2)拓展探究:若将橡皮筋拉成如图②所示的形状,则∠A,∠C与∠AEC之间有什么关系
②　　　 　
下面是某同学解答该题的过程,请你填空完善该题的解答过程.
解:∠A,∠C与∠AEC之间的关系是∠AEC=∠A+∠C.理由如下:
如图,过点E作MN∥CD.
∵AB∥CD(已知),∴AB∥MN( 　　 　　　　　　　　 　　　　).
∴　　　　　　 　(两直线平行,内错角相等).
∵　　 　　　(已作),∴∠C=∠CEM(两直线平行,内错角相等).
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM,∴∠AEC=∠A+∠C( 　　　　　　 　).
平行于同一条直线的两直线平行　
∠A=∠AEM
MN∥CD
等量代换
(3)类比探究:若将橡皮筋拉成如图③所示的形状,类比(2)中的方法探究∠AEC,∠EAB与∠ECD之间有何关系,并说明理由.
③
解:(3)∠EAB=∠AEC+∠ECD.理由如下:
如图,延长BA交CE于点G.
∵AB∥CD,
∴∠EGB=∠ECD.
∵∠EAB=180°-∠EAG=∠AEG+∠EGA,
∴∠EAB=∠AEC+∠ECD.
谢谢观赏！

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