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(共11张PPT)
16.2　二次根式的运算
第2课时　二次根式的除法
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 安庆太湖期中）计算 ÷ 的结果是（　C　）
A. 9 B. 36 C. 3 D.
2. （2025 合肥蜀山期中）下列二次根式中，是最简二次根式的为
（　C　）
A. B. C. D.
C
C
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3. （2024 合肥庐江段考）若 ＝ 在实数范围内成立，则x的取
值范围是（　D　）
A. x≥0 B. x≥4 C. 0≤x＜4 D. x＞4
4. （教材变式）将 分母有理化的结果为（　A　）
A. B. C. 2 D.
D
A
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5. 已知a＝ ，b＝ ，则 的值（　B　）
A. 大于1 B. 小于1 C. 等于1 D. 无法确定
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）（2025 亳州蒙城期中）在 ， ， ， 中，
是最简二次根式的为 .
7. （2024 亳州段考）设长方形的面积为S，相邻两边的长分别为a，
b.若S＝ ，a＝ ，则b＝ 　2 　.
8. 化简： ＝ 　 　； ＝ 　 　.
9. （2024 六安期末）若 是最简二次根式，且m为整数，则m
的最小值是 .
　
2 　
　
　
2　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）（教材变式）把下列各式的分母有理化：
（1） ；　　（2） ；　　（3） .
解：2 　　　　　　　 　　　　　　　　
　解：
解：－
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11. （20分）（教材变式）化简或计算：
（1） ； （2） ；
解： 　　　　　　　　　　
（3） ÷ ； （4） 9 ÷ .
解： 　　　　　　　　　　
解：2
解：1
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12. （10分）小东在学习了 ＝ 后，认为 ＝ 也成立，因此他认
为 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2的化简过程是正确的.
（1） 你认为他的化简过程正确吗？如果不正确，请写出正确的化
简过程.
解：（1） 不正确　 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2
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（2） 说明 ＝ 成立的条件.
解：（2） a≥0且b＞0
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小豪： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
小麦： ＝ ＝7 .
∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝7 ＝ .
老师看完，提出下面的问题：
（1） 两名同学的解法都正确吗？
（附加题）（20分）　老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面
的一道题作为练习.
已知 ＝a， ＝b，用含a，b的代数式表示 .下面是小豪、小
麦的解法.
解：（1） 都正确
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（2） 请你再给出一种不同的解法.
（2） 解法不唯一，如 ＝ ＝ ＝ .∵ ＝ ＝
＝ ，∴ ＝ ＝
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12(共11张PPT)
16.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥四十八中期中）下列各式中，一定是二次根式的为
（　B　）
A. B. C. D.
2. （2025 安庆期中）要使式子 有意义，字母x必须满足的条件
是（　D　）
A. x≥ B. x＞ C. x≤ D. x≤
B
D
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3. （教材变式）要使式子 有意义，实数x的值有
（　B　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
4. 若式子 与 都不是二次根式，则整数x的值为（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
C
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5. 若式子 ＋ 在实数范围内有意义，则点P（a，b）在
（　C　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 在 ， ， ， ， ， 中，一定
是二次根式的有 个.
7. 新考法 条件开放题　 写出一个x的整数值：
，使二次根式 有意义.
8. （教材变式）若式子 有意义，则x的取值范围是 　x＞－ 　.
9. （2025 亳州蒙城期中）如果 ＋｜b＋2｜＝0，那么（a＋b）
2 025的值为 .
3　
1（答案不唯
一）　
x＞－ 　
－1　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，－ ， ， ， （a≥0）， .
解： ，－ ， （a≥0）， 符合二次根式的定
义，是二次根式. 的根指数是3，∴ 不是二次根式. 中的被开
方数小于0，在实数范围内无意义，∴ 不是二次根式
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11. （16分）当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；　　
解：∵ 有意义，∴ x≥0
（2） ；
解：∵ 有意义，∴ 1＋x2≥0.∴ x为任意实数
（3） ；
解：∵ 有意义，∴ 4－6x≥0.∴ x≤
（4） .
解：∵ 有意义，∴ 2＋3x＞0.∴ x＞－
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12. （14分）新考法 探究题　 一组二次根式按如下规律排列.
第1行：1， ， ，2， ；
第2行： ，3， ， ， ；
第3行： ， ， ， ， ；
第4行： ， ， ， ，4；
第5行： ， ， ， ，5；
…
请根据上述规律，解答下面的问题：
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（1） 第7行，第2列上的二次根式为 ；
（2） 我们规定一个二次根式落在第a行，第b列，可记作（a，b），
如 落在第2行，第4列，记作（2，4），则 可记作
.
　
（406，
5）　
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（附加题）（20分）　新考法 阅读理解　 先阅读提供的材料，再解答
相应的问题.
若 和 在实数范围内都有意义，求x的值.
解：∵ 和 在实数范围内都有意义，
∴ x－1≥0且1－x≥0.
由1－x≥0，得x－1≤0.
∴ x－1＝0，解得x＝1.
若实数x，y满足y＝ ＋ ＋3，求 的值.
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解：由题意，可得 和 在实数范围内都有意义，∴ 2x
－4≥0且4－2x≥0.由4－2x≥0，得2x－4≤0.∴ 2x－4＝0，解得x＝
2.∴ y＝ ＋ ＋3＝3.∴ ＝ ＝
＝5
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12(共11张PPT)
16.2　二次根式的运算
第1课时　二次根式的乘法
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 安庆期中）计算 × 的结果是（　C　）
A. 16 B. ±16 C. 4 D. ±4
2. 如果 ＝ ，那么x的取值范围是（　B　）
A. x≥0 B. x≥6
C. 0≤x≤6 D. x为任意实数
C
B
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3. （2025 安庆怀宁期中）下列变形正确的是（　C　）
A. ＝ ×
B. ＝ × ＝4×
C. × ＝4
D. ＝25－24＝1
4. 若 ＝a， ＝b，则 可以表示为（　C　）
A. B. a C. a2b D. ab
C
C
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5. 一个长方形的长和宽分别为2 ，3 ，则它的面积是（　B　）
A. 9 B. 18 C. 12 D. 18
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）已知m＝ ×（－2 ），则m＝ 　2 　.
7. （2025 蚌埠段考） 的值是一个整数，则正整数a的最小值
是 .
8. （教材变式）如果 2 ×3 ＝b ＝54 ，那么a
＝ ，b＝ .
2 　
2　
2　
6　
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9. 新情境 游戏活动　 幻方是我国一种传统游戏，它是将从一到若干个
数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同
一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我们给出如图所示的方
格，要使方格中同一行、同一列及对角线上的3个实数相乘的结果都相
等，则A，B，C，D的值分别为 .
第9题
2 ，1，2， 　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）计算：
（1） × ；
解：原式＝ ＝ ＝ × ＝5×3＝15
（2） 7 × ；
解：原式＝7 ＝7 ＝14
（3） 2 ×（－3 ）.
解：原式＝2×（－3）× ＝－6×6＝－36
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11. （12分）化简：
（1） ；　　（2） ；　　（3） .
解：5 　　　　　　　　　　　　　
解： 　
解：15
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12. （8分）某直角三角形的两条直角边分别长 cm和 cm，求该
直角三角形的面积S.
解：该直角三角形的面积S＝ × × ＝ ＝
× ＝ ×2× ＝ （cm2）
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解：设这个圆形图案的半径为r cm.由题意，得长方形的面积为
× ＝ ＝ ＝2×5×7π＝70π
（cm2）.∴ πr2＝70π，解得r＝ （负值舍去）.∴ 这个圆形图案的
半径为 cm
解：设这个圆形图案的半径为r cm.由题意，得长方形的面积为
× ＝ ＝ ＝2×5×7π＝70π
（cm2）.∴ πr2＝70π，解得r＝ （负值舍去）.∴ 这个圆形图案的
半径为 cm
13. （10分）张老师在计算机上设计了一个长方形图案，已知长方形的
长是 cm，宽是 cm.他又想设计一个面积与其相等的圆形图
案，求这个圆形图案的半径.
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第1排：1；
第2排： ， ；
第3排： ，1， ；
第4排： ， ，1， ；
第5排： ， ，1， ， ；
…
3 　
（附加题）（20分）　将1， ， ， 按下列方式排列，若规定
（m，n）表示第m排从左向右数的第n个数，则（15，7）与（100，
9）表示的两数之积为 .
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13(共13张PPT)
16.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的基本性质
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）计算（－ ）2的结果是（　A　）
A. 2 B. －2 C. 4 D. ±4
2. （2025 马鞍山和县期中）下列运算中，正确的是（　C　）
A. ＝－2 B. ＝±7
C. － ＝－5 D. － ＝3
A
C
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3. （教材变式）把4 改写成一个正数的平方的形式为（　B　）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
4. （2025 安庆怀宁期中）已知 ＝1－2a，则a的取值范
围是（　D　）
A. a＞ B. a＜ C. a≥ D. a≤
B
D
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5. 分类讨论思想　 （2025 六安霍邱期中）已知y＝ －x＋
3，当x分别取1，2，3，…，2 025时，所对应的y的值的总和是
（　A　）
A. 2 027 B. 2 025 C. 2 023 D. 2 021
A
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 计算： 2＝ 　 　， ＝ ， ＝ 　 　，
＝ .
7. 计算： ＝ 　 －3　.
8. （2024 马鞍山期末）若点A（x，y）在第二象限，则 ＋
＝ （用含x，y的代数式表示）.
　
2 026　
　
0　
－3　
－x＋y　
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9. 数形结合思想　 （2025 合肥四十六中期中）实数a在数轴上的位置
如图所示，则 － 化简后的结果是
.
第9题
2a－
15　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）求下列各式的值：
（1） （ ）2；　　（2） （－ ）2；
解：11　　　　　　　　　　
（3） ；　　 （4） － .
解：0.2　　　　　　　　　　
解：0.3
解：－
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11. （8分）（教材变式）先化简，再求值： ，其中a
＝ .
解：原式＝ ＝｜2a－10｜.当a＝ 时，原式＝｜2
－10｜＝10－2
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12. （10分）在实数范围内分解因式：
（1） x2－6；　　
解：x2－6＝（x＋ ）（x－ ）
（2） x4－4.
解：x4－4＝（x2＋2）（x2－2）＝（x2＋2） （x＋ ）（x－ ）
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…
（1） 写出式⑤： ；
（2） 试用含n（n为自然数，且n≥1）的等式表示这一规律，并加以
验证.
解： ＝n＋2　∵ n为自然数，且n≥1，∴ n
＋2≥3＞0.∴ ＝ ＝
＝n＋2
＝7　
13. （12分）（2025 安庆怀宁期中）观察下列各式：
① ＝3； ② ＝4； ③ ＝5；
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（附加题）（20分）　新考法 阅读理解　 有这样一类题目：将
化简，如果你能找到两个数m，n，使m2＋n2＝a且mn＝
，那么将a±2 ＝m2＋n2±2mn变成（m±n）2，然后开方，从
而化简 .
例如：化简 .
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解： ＝ ＝ ＝
＝ －1.
仿照上例化简下面各式：
（1） ；　　
解：原式＝ ＝ ＝ ＝1
＋
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（2） .
解：原式＝ ＝ ＝
＝ －2
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13(共10张PPT)
16.2　二次根式的运算
第3课时　二次根式的加减
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）（2025 合肥蜀山期中）下列各组二次根式中，是同类
二次根式的为（　A　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2. （2024 宣城期末） ＋ 的计算结果是（　C　）
A. 5 B. C. 3 D. 4＋
A
C
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3. （教材变式）（2025 安庆太湖期中）下列计算正确的是（　A　）
A. － ＝ B. ＋ ＝
C. 4 －4 ＝1 D. 3＋2 ＝5
4. 若 － ＝2 ＋b ＝c ，则a＋b＋c的值为（　A　）
A. －1 B. －5 C. 2 D. 5
A
A
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5. （2024 合肥期中）把四张完全相同的小长方形卡片（如图①）不重
叠地放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片
覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　B　）
第5题
A. 4 cm B. 16 cm
C. 2（ ＋4） cm D. 4（ －4） cm
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 自贡）计算： －3 ＝ .
7. （2025 合肥蜀山期中）若 与最简二次根式 是同类二次根
式，则a＝ .
8. 已知一个三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则它的
周长为 cm.
0　
3　
9 　
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第9题
（1） 小悦的参赛作品 （填“符合”或“不符合”）参赛
标准；
（2） 小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛
作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 dm（彩条的宽度和接头处
忽略不计，结果保留一位小数，参考数据： ≈1.414）.
符合　
19.8　
9. 某市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在20 dm2以上.
如图所示为小悦的参赛作品.
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三、 解答题（共42分）
10. （10分）计算：
（1） － ；
解：原式＝2 － ＝
（2） 2 －3 ＋5 .
解：原式＝2 －6 ＋15 ＝11
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11. （14分）计算：
（1） － ＋4 ＋ ；
解：原式＝4 － ＋2 ＋3 ＝6 ＋
（2） （ ＋ ）－（ － ）.
解：原式＝ ＋ － ＋2 ＝3 －
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12. （8分）已知一个长方形的长是 m，宽是 m，求这个长方
形的周长（参考数据： ≈1.732，精确到0.1 m）.
解：这个长方形的周长为2×（ ＋ ）＝2×（3 ＋2 ）＝
10 ≈17.3（m）
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13. （10分）（2025 安庆怀宁期中）若最简二次根式 与
是同类二次根式，求a2 016＋b2 016的值.
解：∵ 与 是同类二次根式，
∴ 解得 ∴ a2 016＋b2 016＝2
（附加题）（20分）　新考法 新定义题 对于任意的正数m，n，定义
运算“Φ”：当m＜n时，m Φ n＝2 ＋ ；当m≥n时，m Φ n＝
2 － .计算（3Φ2）－（8Φ12）的结果为 　－5 　.
－5 　
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13(共12张PPT)
第16章小测
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥长丰期中）若 是二次根式，则a的值可能是
（　D　）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 0
2. （2025 阜阳颍上期中）下列运算正确的是（　C　）
A. 5 －2 ＝3 B. ＝5－3
C. 4 ÷ ＝4 D. 2 ×3 ＝5
D
C
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3. （2025 合肥四十五中期末）已知1＜x＜2，化简 ＋｜x
－3｜的结果正确的是（　D　）
A. 2 B. －2 C. 2x－8 D. 8－2x
4. 已知m＝ ＋2，n＝ －2，则 ＋ 的值为（　A　）
A. B. C. D. －
D
A
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5. 我们对“&”规定一个实际意义，规定m&n＝ － ，则
2&3的值为（　B　）
A. B. C. D.
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 凉山）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围
是 .
7. （2025 马鞍山和县期中）比较大小： .
8. （2025 马鞍山含山一中期中）若 与最简二次根式5 能够合
并，则a＝ .
m≥1　
＞　
2　
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9. 新考向 数学文化　 （2024 阜阳太和一模）我国南宋著名的数学家
秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积
术）：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积S
＝ .若一个三角形的三边长a，b，c分别为
， ， ，则这个三角形的面积为 　 　.
　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）（2024 宣城六中期中）计算：
（1） － ；
解：原式＝4 －4× －3× ＋2× ＝4 － － ＋ ＝
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（2） （2 －1）2－（ －2）2 024（ ＋2）2 023.
解：原式＝（2 ）2－4 ×1＋1－［（ －2）（ ＋2）］2 023
（ －2）＝12－4 ＋1－ ＋2＝15－4 －
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11. （14分）若实数a，b，c满足｜a－ ｜＋ ＝ ＋
.
（1） 求a，b，c的值；
解：（1） 由题意，得c－3≥0，3－c≥0，解得c＝3.∴ ｜a－ ｜
＋ ＝0.∴ a＝ ，b＝2
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（2） 若满足上式的a，c为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形
的周长.
解：（2） 当a是腰长，c是底边长时，有 ＋ ＝2 ＜3，不符合
三角形的三边关系，故舍去；当c是腰长，a是底边长时，符合三角形
的三边关系，此时等腰三角形的周长为 ＋3＋3＝ ＋6.综上所述，
这个等腰三角形的周长为 ＋6
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12. （16分）（2024 池州段考）已知a＝7－2 ，b＝7＋2 .
（1） 求a2－b2的值；
解：（1） ∵ a＝7－2 ，b＝7＋2 ，∴ a＋b＝（7－2 ）＋（7
＋2 ）＝14，a－b＝（7－2 ）－（7＋2 ）＝－4 .∴ a2－b2
＝（a＋b）（a－b）＝14×（－4 ）＝－56
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（2） 若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求 的值.
解：（2） ∵ 2 ＝ ，4＜ ＜5，∴ －5＜－ ＜－4.∴ 2＜
7－ ＜3，即2＜7－2 ＜3.∵ m为a的整数部分，∴ m＝2.∵ 11＜
7＋ ＜12，即11＜7＋2 ＜12，n为b的小数部分，∴ n＝7＋2
－11＝2 －4.∴ ＝ ＝ ＝ ＝
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12(共11张PPT)
16.2　二次根式的运算
第4课时　二次根式的混合运算
第16章　二次根式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥包河期中）下列计算中，正确的是（　D　）
A. ＋ ＝ B. 3 － ＝3
C. ÷ ＝4 D. × ＝6
2. （2025 淮北期中）估计 的值在（　B　）
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
D
B
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3. 新情境 游戏活动　 （2025 合肥段考）老师设计了一个“接力游
戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算.如图，老师把题目交给
一名同学，他完成一步解答后交给第二名同学，依次进行，最后完成计
算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子
出现错误的是（　B　）
A. 小明和小丽 B. 小丽和小红
C. 小红和小亮 D. 小丽和小亮
第3题
B
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4. 计算 ×（5＋ ）的结果是（　B　）
A. 2 B. 22 C. 25＋2 D. 25－2
5. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则涂色
部分的面积为（　C　）
A. 5 B. 5 C. 6 D. 6
第5题
B
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 甘肃）计算： － × ＝ 　 　.
7. 如果（ － ）2＝a＋b ，其中a，b为有理数，那么a＋b
＝ .
8. （教材变式）计算： ÷ － （ ＋ ）＝
.
9. （荆州中考）若3－ 的整数部分为a，小数部分为b，则（2＋
a） b的值是 .
　
6　
4－
3 　
2　
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三、 解答题（共42分）
10. （14分）计算：
（1） （2025 阜阳颍上期中） ÷ － × ＋ ；
解：原式＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝3－3 ＋
6 ＝3＋3
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（2） （2025 合肥蜀山期中）（3 －1）（1＋3 ）－（2 －
1）2.
解：原式＝18－1－（8－4 ＋1）＝17－9＋4 ＝8＋4
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11. （7分）新考法 新定义题　 规定：将4个数a，b，c，d排列成2
行2列，两边各加一条竖线，记为 ，叫作二阶行列式，规定
＝ad－bc.例如： ＝5×8－6×7＝－2.请你计算
的值.
解：由题意，得 ＝5× － × ＝5×2 －3 ＝
10 －9 ＝
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12. （8分）解方程组：
解：由①× ＋②× ，得 5x＝5 ，解得x＝ .将x＝ 代入
②，得 × － y＝0，解得y＝ .∴ 原方程组的解是
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（2） x2－xy＋y2的值.
解：∵ x＝ ＝ ＝3＋2 ，y＝ ＝
＝3－2 ，∴ xy＝（3＋2 ）（3－2 ）＝32
－（2 ）2＝9－8＝1，x＋y＝3＋2 ＋3－2 ＝6，x－y＝3＋
2 －3＋2 ＝4 .
（2） x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝62－3×1＝36－3＝33
13. （13分）（2025 安庆怀宁期中）已知x＝ ，y＝ ，求：
（1） x2y－xy2的值；
（1） x2y－xy2＝xy（x－y）＝1×4 ＝4
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（2） x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝62－3×1＝36－3＝33
（附加题）（20分）　设a－b＝2＋ ，b－c＝2－ ，则a2＋b2＋
c2－ab－bc－ac＝ .
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