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(共13张PPT)
18.1　勾股定理
第1课时　勾股定理
第18章　勾股定理及其逆定理
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 下列说法正确的是（　D　）
A. 若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，且∠A，∠B，∠C所对的边分别为
a，b，c，则a2＋b2＝c2
D. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C所对的边分别为
a，b，c，则a2＋b2＝c2
D
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2. （2024 滁州天长期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为（　C　）
A. 81 B. 144 C. 225 D. 169
第2题
C
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3. （2025 宣城宁国期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，各点均
在网格线的交点处，则与点A的距离为 的是（　A　）
A. 点B1 B. 点B2 C. 点B3 D. 点B4
第3题
A
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4. （2024 安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝
2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　B　）
A. － B. －
C. 2 －2 D. 2 －
第4题
B
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二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 勾股定理在《九章算术》中的表述如下：“勾股各自乘，并而开方
除之，即弦.”即c＝ （a为勾，b为股，c为弦），若“勾”
为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 .
6. （2024 合肥期中）如图，AC＝BC，则数轴上点B所表示的数
是 .
4　
－1　
第6题
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7. （成都中考）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方
程x2－6x＋4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长
是 .
8. （2024 滁州期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC
于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2的值为 .
第8题
2 　
45　
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三、 解答题（共40分）
9. （14分）（教材变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝
a，AC＝b.
（1） 若a＝7，b＝24，求c的值；
（1） ∵ a＝7，b＝24，∴ c＝ ＝ ＝25
（2） 若a＝4，c＝7，求b的值.
解：∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴ BC2＋AC2＝AB2，即a2＋b2＝
c2.
（2） ∵ a＝4，c＝7，b2＝c2－a2，∴ b＝ ＝ ＝
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10. （12分）（教材变式）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
CD⊥AB，且CD＝4 cm，BD＝3 cm.求：
（1） AD的长；
解：（1） 设AC＝x cm，则AB＝x cm.∵ BD＝
3 cm，∴ AD＝（x－3） cm.∵ CD⊥AB，∴ AC2＝
AD2＋CD2，即x2＝（x－3）2＋42，解得x＝ .∴ AB
＝AC＝ cm，AD＝ －3＝ （cm）
第10题
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（2） △ABC的面积.
解：（2） S△ABC＝ AB CD＝ × ×4＝ （cm2）
第10题
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11. （14分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8 cm，∠A＝
60°，∠ADC＝150°，且四边形ABCD的周长为32 cm.求△BCD的
面积.
第11题
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解：∵ AB＝AD＝8 cm，∠A＝60°，∴ △ABD是等边三角形.∴
∠ADB＝60°，BD＝8 cm.∵ ∠ADC＝150°，∴ ∠CDB＝∠ADC－
∠ADB＝150°－60°＝90°.∴ △BCD是直角三角形.∵ 四边形ABCD
的周长为32 cm，∴ CD＋BC＝32－AB－AD＝32－8－8＝16（cm）.
设CD＝x cm，则BC＝（16－x）cm.在Rt△BCD中，由勾股定理，
得BD2＋CD2＝BC2，即82＋x2＝（16－x）2，解得x＝6.∴ CD＝6 cm.
∴ △BCD的面积＝ CD BD＝ ×6×8＝24（cm2）
解：∵ AB＝AD＝8 cm，∠A＝60°，∴ △ABD是等边三角形.∴
∠ADB＝60°，BD＝8 cm.∵ ∠ADC＝150°，∴ ∠CDB＝∠ADC－
∠ADB＝150°－60°＝90°.∴ △BCD是直角三角形.∵ 四边形ABCD
的周长为32 cm，∴ CD＋BC＝32－AB－AD＝32－8－8＝16（cm）.
设CD＝x cm，则BC＝（16－x）cm.在Rt△BCD中，由勾股定理，
得BD2＋CD2＝BC2，即82＋x2＝（16－x）2，解得x＝6.∴ CD＝6 cm.
∴ △BCD的面积＝ CD BD＝ ×6×8＝24（cm2）
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（附加题）（20分）　如图，在直线l上依次放置着七个正方形.若斜放
置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依
次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ .
4　
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11(共15张PPT)
18.1　勾股定理
第2课时　勾股定理的应用
第18章　勾股定理及其逆定理
一、 选择题（每题8分，共32分）
1. 如图所示为两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形
的边长为1，则“车”“帅”两棋子（看成一个点）所在格点（正方形
网格线的交点）间的距离为（　D　）
A. 10 B. 2 C. 4 D. 2
第1题
D
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2. （2024 合肥期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在
离底部8米的地方，树断裂之前的高度是（　D　）
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 16米
第2题
D
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3. （2024 六安霍邱期末）如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避
开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们踩伤了花草，却
仅仅少走了（　B　）
A. 5 m B. 4 m C. 3 m D. 2 m
第3题
B
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4. （2024 阜阳阜南期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9 cm，
内壁高为12 cm.将一根长18 cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略
不计），铅笔露在笔筒外的长度为a cm，则a的取值范围是（　D　）
A. 9＜a＜12 B. 6≤a≤12
C. 3＜a＜9 D. 3≤a≤6
第4题
D
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二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 新考向 数学文化　 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有一
题，其大意如下：已知长方形门的长比宽多6尺，门的对角线长10尺，
则门的长和宽各是多少尺？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列
方程为 .
x2＋（x＋6）2＝102　
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第6题
15　
6. 新情境 科技民生　 如图，在合肥地铁公安监控区域的警示图标中，
摄像头的支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成.若BC段的长度为
8 cm，点A，C之间的距离比AB段长2 cm，则AB段的长度
为 cm.
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7. （教材变式）某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的
楼道铺上地毯，如图所示，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一
下，铺完这个楼道至少需要 元.
第7题
680　
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8. 新考向 跨学科　 如图①，小明按照体育老师教的方法确定适合自己
的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水
平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图①抽象成图②.若两
手握住的绳柄两端之间的距离约为1 m，小臂到地面的距离约为1.2 m，
则适合小明的绳长约为 m.
第8题
2.6　
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三、 解答题（共36分）
9. （10分）（2024 阜阳太和段考）为迎接全民健身运动会，倡导全民
运动，健康成长，某中学计划翻修学校体育馆.如图，有一条从体育馆
顶部垂下的绳子，绳子顶端A固定在顶部，绳子自然垂下至地面还余2
米，当绳子的下端从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地
面.求体育馆的高AC.
第9题
解：设体育馆的高AC为x米.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝
AC2＋BC2，即（x＋2）2＝x2＋62，解得x＝8.∴ 体育馆的高AC为8米
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10. （12分）（2025 滁州期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如
图，小明在钓鱼时钓竿AB长13 m，露在水面上的钓线BC长5 m.他想看
看鱼钩上的情况，把钓竿AB转动到AB′的位置，此时露在水面上的钓
线B′C′长度为12 m.求转动前后的水平距离CC′的长度.
第10题
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解：由题意可知，AB′＝AB＝13 m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝ ＝ ＝12（m）.在Rt△AB′C′中，由勾
股定理，得AC′＝ ＝ ＝5（m）.∴ CC′＝
AC－AC′＝12－5＝7（m）.∴ 转动前后的水平距离CC′的长度为
7 m
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11. （14分）（教材变式）（2025 合肥长丰期中）如图，一架长为25 m
的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙脚E点
的距离为7 m，如果梯子的底端向外（远离墙脚方向）移动8 m到D点
处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为多少.
第11题
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解：由题意可知，∠AEB＝90°，BE＝7 m，AB＝CD＝25 m，BD
＝8 m.∴ DE＝BE＋BD＝7＋8＝15（m）.在Rt△AEB中，由勾股定
理，得AE＝ ＝ ＝24（m）.在Rt△CED中，由
勾股定理，得CE＝ ＝ ＝20（m）.∴ AC＝
AE－CE＝24－20＝4（m）.∴ 梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC
为4 m
解：由题意可知，∠AEB＝90°，BE＝7 m，AB＝CD＝25 m，BD
＝8 m.∴ DE＝BE＋BD＝7＋8＝15（m）.在Rt△AEB中，由勾股定
理，得AE＝ ＝ ＝24（m）.在Rt△CED中，由
勾股定理，得CE＝ ＝ ＝20（m）.∴ AC＝
AE－CE＝24－20＝4（m）.∴ 梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC
为4 m
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（附加题）（20分）　探究 ＋ （x≥0）的最小
值时，小丽同学运用“数形结合”的思想.如图，取AB＝4，作
AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，且AC＝1，BD＝1，点E在AB上.
设AE＝x，则BE＝4－x，于是CE＝ ，DE＝ ，
因此，可求得CE＋DE的最小值为 　2 　，已知y＝
－ （x≥0），则y的最大值为 　 　.
2 　
　
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11(共16张PPT)
小专题（四）　勾股定理及其逆定理的综合应用
第18章　勾股定理及其逆定理
类型一　用于求线段长度
1. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝ ，则AC的
长为（　D　）
A. 1 B. 3 C. D. 2
第1题
D
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2. 如图，∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝ ，BD＝2 ，求点C
到BD的距离.
第2题
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解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝
3 .∵ CD＝ ，BD＝2 ，BC＝3 ，∴ CD2＋BC2＝BD2，即
△BCD是直角三角形，且∠DCB＝90°.设点C到BD的距离为h.
∴ S△BCD＝ CD BC＝ BD h，即 × ×3 ＝ ×2 h，解得
h＝ ，即点C到BD的距离为
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类型二　用于求角度
3. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点
叫作格点，点A，B，C，D，E均在格点上，线段AB，CD交于点
F，若∠CFB＝α，则∠ABE的度数为（　C　）
A. 180°－α B. 180°－2α
C. 90°＋α D. 90°＋2α
第3题
C
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4. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，AD＝ ，
CD＝5，则∠BAD的度数为 .
第4题
135°　
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5. 如图，△ABC和△DBE都是等边三角形，AD，DB，DC三边长是
一组勾股数，且DC边最长.
（1） 求证：DE2＋CE2＝DC2；
解：（1） ∵ △ABC和△DBE都是等边三角形，∴ AB＝
BC，DB＝BE＝DE，∠ABC＝∠DBE＝60°.∴ ∠ABC
－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.
∴ △ABD≌△CBE. ∴ AD＝CE. ∵ AD，DB，DC三边长
是一组勾股数，且DC边最长，∴ DB2＋AD2＝DC2.∴ DE2
＋CE2＝DC2
第5题
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（2） 求∠ADB的度数.
解：（2） 由（1），得DE2＋CE2＝DC2，∴ △DEC是直
角三角形，且∠DEC＝90°.∵ △DBE是等边三角形，
∴ ∠BED＝60°.∴ ∠CEB＝∠BED＋∠DEC＝60°＋
90°＝150°.∵ 由（1），得△ABD≌△CBE，∴ ∠ADB
＝∠CEB. ∴ ∠ADB＝150°
第5题
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类型三　用于求面积
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，CD＝1，AD＝ ，
∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　A　）
A. 1＋ B. 1＋3
C. 1＋2 D. 1＋
第6题
A
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7. （2025 六安霍邱期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将
这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同
的花卉.经测量，∠EDC＝90°，DC＝15米，DE＝20米，DB＝35
米，AB＝40米，AE＝5米，求四边形ABDE的面积.
第7题
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解：∵ ∠EDC＝90°，DC＝15米，DE＝20米，∴ CE＝
＝ ＝25（米）.∴ AC＝AE＋CE＝30米.∵ BC＝BD＋CD
＝35＋15＝50（米），AB＝40米，∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直
角三角形，且∠A＝90°.∴ S四边形ABDE＝S△ABC－S△CDE＝ AB AC－
DC DE＝ ×40×30－ ×15×20＝600－150＝450（平方米）.∴ 四
边形ABDE的面积为450平方米
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类型四　用于判断三角形的形状
8. （2024 合肥期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，每
个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求
完成下面各题：
（1） 判断△ABC的形状，并说明理由；
解：（1） △ABC是直角三角形　理由：∵ AB2＝22＋12＝5，AC2＝42
＋22＝20，BC2＝32＋42＝25，∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直角三
角形，且∠BAC＝90°.∴ △ABC是直角三角形.
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（2） 求BC边上的高.
第8题答案
解：（2） 如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵ ∠BAC＝90°，
∴ AB⊥AC. 由（1），知AB2＝5，AC2＝20，BC2＝25，∴ AB＝
，AC＝2 ，BC＝5.∵ S△ABC＝ AC AB＝ BC AD，∴ AD＝
2，即BC边上的高为2
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类型五　用于解决实际问题
9. 如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离AB＝25 m，
现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M
到AB的距离MN＝12 m，BM＝15 m.
（1） 求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM；
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解：（1） 由题意可知，MN⊥AB，MN＝12 m，BM＝
15 m，∴ ∠BNM＝∠ANM＝90°.在Rt△BNM中，由勾股定
理，得BN＝ ＝ ＝9（m）.∴ AN＝
AB－BN＝25－9＝16（m）.在Rt△ANM中，由勾股定理，
得AM＝ ＝ ＝20（m）.∴ 供水点M
到喷泉A需要铺设的管道长AM为20 m
第9题
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（2） 求证：∠BMA＝90°.
解：（2） ∵ AM＝20 m，BM＝15 m，AB＝25 m，∴ AM2＋
BM2＝202＋152＝AB2.∴ △AMB是直角三角形，且∠BMA＝
90°
第9题
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9(共17张PPT)
小专题（五）　利用勾股定理求最短路径问题
第18章　勾股定理及其逆定理
类型一　利用墙面、台阶展开图求最短路径
1. 如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝
AB＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求
它的最短行程.
第1题
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解：如图，将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开成一个平
面，过点P作PG⊥BF于点G，连接PB. PB的长即为蚂蚁
的最短行程.∵ 点P到AD的距离是3米，即AG＝3米，AP
＝AB＝5米，∴ 在Rt△AGP中，由勾股定理，得PG＝
＝ ＝4（米）.∴ BG＝AG＋AB＝3
＋5＝8（米）.∴ PB＝ ＝ ＝4
（米）.∴ 这只蚂蚁的最短行程是4 米
第1题答案
第1题答案
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2. 如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20 dm，
3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂
蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最
短路程是多少？
第2题
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解：如图（单位：dm），三级台阶的平面展开图为长方形，长为
20 dm，宽为（2＋3）×3 dm，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B处的最短
路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿着台阶面爬行到点B处的最短路
程为x dm，由勾股定理，得x2＝202＋［（2＋3）×3］2，解得x＝25
（负值舍去）.∴ 蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25 dm
第2题答案
第2题答案
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类型二　利用棱柱展开图求最短路径
3. 如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别为12 cm，8 cm，
30 cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从点P处爬到点C处去
吃蜂蜜，则它的最短路程为多少？
第3题
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解：如图，连接PC，则PC的长就是小虫的最短路程.在Rt△PAC中，
AP＝12＋8＝20（cm），AC＝ AB＝ ×30＝15（cm），由勾股定
理，得PC＝ ＝25（cm）.∴ 小虫的最短路程为25 cm
第3题答案
第3题答案
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4
5
6
7
8
4. 如图①，在棱长为2 cm的正方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一
顶点B处有一粒糖.现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行
路线，使它沿着正方体表面上的这一条路线爬行到点B处，如图②所
示.甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
第4题
1
2
3
4
5
6
7
8
解：甲设计的爬行路线为2＋2＋2＝6（cm）；乙设计的爬行路线为
＋2＝2 ＋2（cm）；丙设计的爬行路线为
＝2 （cm）.∵ 2 ＜2 ＋2＜6，∴ 甲设计的爬行路线最长，丙设
计的爬行路线最短
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 如图，包装盒的上、下底面都是边长为6 cm的正六边形，侧棱AB长
8 cm，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕1圈到达点B处，求丝
线最短需要多长.
第5题
1
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6
7
8
解：如图，将包装盒展开，连接AB. ∵ 从点A处开始经过6个侧面缠绕
1圈到达点B处，∴ 丝线最短的长度即为线段AB的长.∵ 侧棱长8 cm，
底面是边长为6 cm的正六边形，∴ AC＝6×6＝36（cm），BC＝
8 cm.∴ AB＝ ＝4 （cm）.∴ 丝线最短需要4 cm长
第5题答案
第5题答案
1
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5
6
7
8
类型三　利用圆柱展开图求最短路径
6. 如图，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器
底部0.3 m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容
器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器
厚度忽略不计）.
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接
A′B，则A′B即为最短距离.由题意，得A′D＝0.5 m，BD＝
1.2 m.∴ A′B＝ ＝ ＝1.3（m）.∴ 壁虎捕捉
蚊子的最短距离为1.3 m
第6题答案
第6题答案
1
2
3
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5
6
7
8
7. 一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一
只小虫子，螳螂想捕到这只小虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的
路线，绕到小虫子后面吃掉它.已知树干横截面的周长为20 cm，A，B
两点之间的距离为15 cm.若螳螂想吃掉在点B处的小虫子，求螳螂绕行
的最短路程.
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
解：如图，从AB处展开，连接AB，则AB即为所求的最短路程.由题
意，知BA′＝15 cm，AA′＝20 cm，在Rt△AA′B中，AB＝
＝ ＝25（cm）.∴ 螳螂绕行的最短路程是
25 cm
第7题答案
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 如图，小红用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点A处绕到正上方点B
处共四圈，已知易拉罐的底面周长是24 cm，高是28 cm，求彩带最
短的长度.
第8题
1
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3
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5
6
7
8
解：如图，彩带从易拉罐底端的点A处绕易拉罐四圈后到达顶端的点B
处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则彩带长为四个并排长方形的对
角线的长度之和.设彩带长为x cm.由题意，得x2＝（24×4）2＋282，解
得x＝100（负值舍去）.∴ 彩带最短的长度是100 cm
第8题答案
第8题答案
1
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5
6
7
8(共14张PPT)
第18章小测
第18章　勾股定理及其逆定理
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 六安霍邱期末）下列各组数中，是勾股数的一组为
（　B　）
A. 7，8，9 B. 8，15，17
C. 1，1，2 D. 2，3，4
B
1
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6
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9
10
11
12
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，将边AB与数轴重
合，点A，点B对应的数分别为0，3.以点A为圆心，AC长为半径画
弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　D　）
A. 3 B. －3 C. D. －
第2题
D
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6
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8
9
10
11
12
3. 如图，在边长为1的小正方形网格中，各点均在网格线的交点处，下
列各点与点A的连线中，与AB的长相等的是（　C　）
A. 点B1 B. 点B2 C. 点B3 D. 点B4
第3题
C
1
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9
10
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12
4. 方程思想　 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝
9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位
置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　A　）
A. 6 cm2 B. 8 cm2 C. 10 cm2 D. 12 cm2
第4题
A
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12
5. 新考法 新定义题　 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点
到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”.在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边上的“中偏度值”
为（　C　）
A. 2 B. 3 C. D.
C
1
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9
10
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12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 在△ABC中，若（b－a）（b＋a）＝c2，则∠B＝ .
7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB长为半
径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是 .
第7题
90°　
　
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7
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9
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11
12
8. （2024 亳州段考）已知两条线段的长分别为3 cm和5 cm，当第三条
线段的长为 cm时，这三条线段可组成一个直角三角形.
9. 如图所示为用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方
形图案，大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三
角形的两直角边（x＞y），有下列说法：① x2＋y2＝49；② x－y＝
2；③ 2xy＋4＝49；④ x＋y＝9.其中，正确的有 （填序
号）.
或4　
①②③　
第9题
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9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（2024 合肥期中）如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝
45°，AC＝13 cm，CD＝5 cm.求AD的长和△ABC的面积.
第10题
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10
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12
解：∵ AD是△ABC的高，∴ ∠ADC＝∠ADB＝90°.∴ AD＝
＝ ＝12（cm）.又∵ ∠BAD＝45°，∴ ∠BAD
＝∠ABD＝45°.∴ AD＝BD＝12 cm.∴ BC＝BD＋CD＝12＋5＝17
（cm）.∴ △ABC的面积＝ BC AD＝ ×17×12＝102（cm2）
1
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10
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12
11. （14分）（2025 马鞍山和县期中）如图①所示为一个问题，根据描
述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②所示，其中
AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，求AC的长度
（尺是一种长度单位）.
第11题
1
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10
11
12
解：设AC的长度为x尺，则AB′＝AB＝（x＋0.5）尺.在
Rt△AB′C中，由勾股定理，得AC2＋B′C2＝AB′2，即x2＋22＝
（x＋0.5）2，解得x＝3.75.∴ AC的长度为3.75尺
1
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12
12. （16分）如图，有一平面直角坐标系.
（1） 在图中描出点A（－2，－2），B（－8，6），C（2，1）；
解：（1） 如图所示
第12题答案
1
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10
11
12
（2） 连接AB，BC，AC，试判断△ABC的形状；
解：（2） 如图所示　AB＝ ＝10，
AC＝ ＝5，BC＝ ＝5 .
∵ 102＋52＝（5 ）2，∴ AB2＋AC2＝BC2.
∴ △ABC是直角三角形
（3） 求△ABC的面积.
解：（3） S△ABC＝ AB AC＝ ×10×5＝25
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11
12(共16张PPT)
18.2　勾股定理的逆定理
第2课时　勾股定理逆定理的应用
第18章　勾股定理及其逆定理
一、 选择题（每题8分，共32分）
1. 小明想做一个直角三角形木架，以下长度的木棒中，能刚好做成的
是（　A　）
A. 9 cm，12 cm，15 cm B. 7 cm，12 cm，13 cm
C. 12 cm，15 cm，17 cm D. 3 cm，4 cm，7 cm
A
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5
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9
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11
2. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应
为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（　D　）
A. ∠A符合要求
B. ∠BDC符合要求
C. ∠A和∠BDC都符合要求
D. ∠A和∠BDC都不符合要求
第2题
D
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7
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9
10
11
3. 小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握
住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，要使拉紧绳子后得到一
个以第7个结为直角顶点的直角三角形，这时小婷同学应该握住的结是
（　C　）
A. 第13个 B. 第14个
C. 第15个 D. 第16个
C
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11
4. （教材变式）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是
40 m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行，甲客轮用15 min到达点
A，乙客轮用20 min到达点B. 若A，B两点的直线距离为1 000 m，则乙
客轮的航行方向可能是（　C　）
A. 北偏西30° B. 南偏西60°
C. 南偏东60° D. 南偏西30°
C
1
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9
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11
二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为12 m，宽为5 m，对
角线为13 m，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）.
6. 小明向东走6 m后，沿另一方向又走了8 m，再沿第三个方向走了10 m
回到原地，小明向东走6 m后是向 方向走的（填方位）.
合格　
北或南　
1
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5
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7
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9
10
11
7. A，B，C，D四个城镇，它们之间（除B，C外）都有笔直的公路
相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.
已知各城镇间的公共汽车票价如下：A－B：10元，A－C：12.5
元，A－D：8元，B－D：6元，C－D：4.5元，为了B，C之间交通
方便，在B，C之间建成笔直的公路，则B，C之间公共汽车的票价
为 元.
7.5　
第7题
1
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3
4
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6
7
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9
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11
8. （教材变式）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，
在临街的拐角建造了一块绿化地（涂色部分）.如图，AB＝9 m，BC＝
12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝
90°，则这块绿化地的面积是 m2.
第8题
114　
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3
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5
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7
8
9
10
11
三、 解答题（共36分）
9. （10分）如图①所示为某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，
现测得AB＝CD＝60 cm，BC＝30 cm，AD＝90 cm，其中AB与BD之
间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），根据安全标准需
满足BC⊥CD，通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准.
第9题
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5
6
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10
11
解：∵ ∠ABD＝90°，AB＝CD＝60 cm，AD＝90 cm，∴ BD2＝AD2
－AB2＝902－602＝4 500（cm2）.在△BCD中，BC2＋CD2＝302＋602＝
4 500（cm2），∴ BC2＋CD2＝BD2.∴ △BCD是直角三角形，且
∠BCD＝90°.∴ BC⊥CD. ∴ 该婴儿车符合安全标准
1
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8
9
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11
10. （12分）如图①所示为某文化小镇平面图，小明据此构造出一个数
学模型如图②所示，其中∠B＝90°，AB＝15 km，BC＝20 km，CD
＝7 km，AD＝24 km，请根据图②求该小镇的面积.
　
第10题
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5
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7
8
9
10
11
解：在Rt△ABC中，∵ ∠B＝90°，AB＝15 km，BC＝20 km，∴ 由
勾股定理，得AC＝ ＝ ＝25（km）.∵ CD＝
7 km，AD＝24 km，∴ AD2＋CD2＝242＋72＝252＝AC2.∴ △ADC是直
角三角形，且∠ADC＝90°.∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝
AB BC＋ AD DC＝ ×15×20＋ ×24×7＝234（km2）.∴ 该小镇
的面积为234 km2
1
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11
11. （14分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点
C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B之间的距离分别为150 m
和200 m，AB＝250 m，环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.
（1） 学校C会受噪声影响吗？为什么？
1
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9
10
11
解：（1） 学校C会受噪声影响　如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵ AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，∴ AC2＋BC2＝AB2.
∴ △ABC是直角三角形，∠C＝90°.∴ S△ABC＝ ×AC×BC＝
×CD×AB，即 ×150×200＝ ×250×CD，解得CD＝ ＝
120（m）.∵ 环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域，∴ 学校C会受
噪声影响
第11题答案
1
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10
11
（2） 若环卫车的行驶速度为每分钟50 m，环卫车噪声影响该学校持续
的时间有多少分钟？
解：（2） 如图.当EC＝130 m，FC＝130 m时，正好影响学校C.
∵ ED＝ ＝ ＝50（m），∴ 易得EF＝
100 m.
∵ 环卫车的行驶速度为每分钟50 m，∴ 100÷50＝2（min），即环卫
车噪声影响该学校持续的时间有2 min
1
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10
11
（附加题）（20分）　如图所示为某工厂的平面图，经测量AB＝AD
＝CD＝100 m，BC＝100 m，∠ADC＝90°.
（1） ∠BAD＝ °；
（2） 已知EF是在AB边上工厂的进出口，为了能观察到进出口周围环
境情况，工作人员计划在点E处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最
远距离为100 m，若BE＝（100－60 ）m，则直线AD上被摄像头监
控到的公路长度为 m.
135　
160　
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3
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7
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9
10
11(共14张PPT)
18.2　勾股定理的逆定理
第1课时　勾股定理的逆定理
第18章　勾股定理及其逆定理
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 阜阳颍上期中）下列长度的三条线段中，能构成直角三角形
的是（　A　）
A. 8，15，17 B. 2，3，4
C. ， ， D. ， ，5
2. （2025 合肥庐江期中）下列各组数中，是勾股数的一组为
（　B　）
A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10
C. 1， ，2 D. 2，2，3
A
B
1
2
3
4
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7
8
9
10
11
12
3. （2024 滁州期末）在△ABC中，AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，
则（　A　）
A. ∠A＝90° B. ∠B＝90°
C. ∠C＝90° D. ∠A＝∠B
4. （2025 亳州蒙城期中）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a
＋c＝2b，c－a＝ b，则△ABC是（　A　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－3）2＋｜b－5｜
＋c2－8c＋16＝0，则△ABC是（　B　）
A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它
们的面积分别为4，5，9，则△ABC 直角三角形（填“是”或
“不是”）.
第6题
是　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且它的周长为120，则它
的面积是 .
8. 如图，∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6，则∠ACD的度
数是 .
第8题
480　
45°　
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶
点叫作格点.点 A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于点P，
那么∠APB的度数是 .
第9题
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （15分）（教材变式）根据下列三角形的三边a，b，c的值判断
△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1） a＝20，b＝12，c＝16；
解：（1） ∵ 最长边a＝20，a2＝400，b2＋c2＝122＋162＝400，∴ b2
＋c2＝a2.∴ △ABC是直角三角形，边a所对的角是直角
1
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5
6
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8
9
10
11
12
（2） a＝1，b＝2，c＝ ；
解：（2） ∵ 最长边b＝2，b2＝4，a2＋c2＝12＋（ ）2＝4，∴ a2
＋c2＝b2.∴ △ABC是直角三角形，边b所对的角是直角
（3） a＝40，b＝9，c＝41.
解：（3） ∵ 最长边c＝41，c2＝1 681，a2＋b2＝402＋92＝1 681，
∴ a2＋b2＝c2.∴ △ABC是直角三角形，边c所对的角是直角
1
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6
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11
12
11. （13分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，D是
BC上一点，且CD＝3.
（1） 试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：（1） △ABC是直角三角形　理由：∵ AB2＝
132＝169，BC2＝122＝144，AC2＝52＝25，∴ BC2
＋AC2＝AB2.∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB
＝90°.
第11题
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 求AD的长.
解：（2） 在△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝
5，CD＝3，∴ AD＝ ＝ ＝
第11题
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （14分）（2024 马鞍山期中）如图，在由边长为1的小正方形组成
的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，四边形ABCD的四个顶点都
在格点上，请按要求回答问题.
（1） 线段AB的长为 ，线段BC的长为 ，线段CD的长
为 ；
　
5　
2 　
1
2
3
4
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（2） 连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC是什么特殊三角形.
第12题
解：由题意，得AC＝ ＝2 .∵ BC2＝52＝25，AB2＋AC2＝
（ ）2＋（2 ）2＝25，∴ AB2＋AC2＝BC2.∴ △ABC是直角三角
形.∵ AD＝ ＝2 ，∴ AC＝AD. ∴ △ACD是等腰三角形
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（附加题）（20分）　如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝
3，PB＝5，PC＝4，则∠APC＝ °.
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