资源简介

(共16张PPT)
小专题（八）　特殊四边形中的折叠问题
第19章　四 边 形
类型一　矩形中的折叠问题
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形折叠，折痕为
EF，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接CF.
（1） 判断四边形AECF的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形AECF为菱形　理由：由折叠，可知
EA＝EC，FA＝FC，∠CEF＝∠AEF. ∵ 四边形
ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∠B＝90°，BC＝AD
＝8.∴ ∠AFE＝∠CEF. ∴ ∠AEF＝∠AFE. ∴ AE＝
AF. ∴ AE＝EC＝AF＝FC. ∴ 四边形AECF为菱形.
第1题
1
2
3
4
5
6
（2） 求线段CE的长.
解：（2） 设BE＝x，则CE＝AE＝8－x.在Rt△ABE
中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即42＋x2＝（8
－x）2，解得x＝3.∴ CE＝8－3＝5
第1题
1
2
3
4
5
6
2. （2024 潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在
边AB，CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线
AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.
连接GE，FH. 求证：
（1） △AEH≌△CFG；
1
2
3
4
5
6
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，
∠B＝∠D＝90°，AB∥CD. ∴ ∠EAH＝∠FCG.
由折叠可得AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B
＝90°，∠AGF＝∠D＝90°.∴ AG＝CH，
∠AHE＝∠CGF＝90°.∴ AG＋GH＝CH＋GH，
即AH＝CG. 在△AEH和△CFG中，
∵ ∴ △AEH≌△CFG
第2题
1
2
3
4
5
6
（2） 四边形EGFH为平行四边形.
解：（2） 由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，
△AEH≌△CFG. ∴ EH∥FG，EH＝FG. ∴ 四边
形EGFH为平行四边形
第2题
1
2
3
4
5
6
类型二　菱形中的折叠问题
3. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠菱形
ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE. 若菱
形的边长为2，求点E到CD的距离.
1
2
3
4
5
6
解：如图，连接BD，过点E作EF⊥CD于点F. ∵ 四边形ABCD为菱
形，∴ AD＝AB，∠A＝∠C，AB∥CD. ∴ ∠A＋∠ADC＝180°.
∵ ∠A＝60°，∴ △ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝
60°.∴ ∠ADB＝60°.∵ P为AB的中点，∴ DP为∠ADB的平分线.
∴ ∠ADP＝∠BDP＝30°.∴ ∠PDC＝∠ADC－∠ADP＝90°.由折
叠的性质，得∠CDE＝∠PDE＝ ∠PDC＝45°.∵ EF⊥CD，∴
∠EFC＝∠EFD＝90°.∴ ∠DEF＝45°.
∴ DF＝EF. 设EF＝DF＝x，则易得CF＝ x.
∵ 菱形的边长为2，∴ CD＝2.∴ x＋ x＝2，解
得x＝3－ .∴ EF＝3－ ，即点E到CD的距
离为3－
第3题答案
1
2
3
4
5
6
4. 如图，沿EF折叠菱形ABCD，使得AD的对应边恰好经过点C，若
∠B＝60°，AB＝2，A′E⊥AB. 求：
（1） ∠EFD′的度数；
解：（1） ∵ A′E⊥AB，∴ ∠AEA′＝
∠A′EB＝90°.由折叠的性质，知∠AEF＝
∠A′EF＝ ∠AEA′＝45°.∵ 四边形ABCD是
菱形，∴ AB∥CD.
1
2
3
4
5
6
∴ ∠A＋∠D＝180°，∠CFE＝∠AEF＝45°.由折叠的性质，知
∠A＝∠A′，∠D＝∠D′.∴ ∠A′＋∠D′＝180°.∴ A′E∥D′F. ∵ A′E⊥AB，AB∥CD，∴ D′F⊥CD. ∴ ∠D′FC＝90°.∴ ∠EFD′＝∠CFE＋∠D′FC＝45°＋90°＝135°
1
2
3
4
5
6
（2） 线段AE的长.
解：（2） 如图，延长AB，D′A′交于点G.
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD∥BC，AB＝BC.
∴ ∠ABC＋∠A＝180°.∵ ∠ABC＝60°，∴
∠A＝120°.由折叠的性质，得AE＝A′E，
∠EA′C＝∠A＝120°.∵ A′E⊥AB，∴ ∠A′EG＝90°.∴ ∠BGC＝∠EA′C－∠A′EG＝120°－90°＝30°.又∵ ∠ABC＝
60°，∴ ∠BCG＝∠ABC－∠BGC＝60°－30°＝30°.∴ ∠BGC＝∠BCG＝30°.∴ BC＝BG＝BA. 设AE＝A′E＝x，则BE＝AB－AE＝2－x，A′G＝2A′E＝2x.∴ GE＝BG＋BE＝2＋2－x＝4－x.在Rt△A′GE中，由勾股定理，得A′E2＋GE2＝A′G2.∴ x2＋（4－x）2＝（2x）2，解得x＝－2＋2 （负值舍去）.∴ AE＝2 －2
第4题答案
1
2
3
4
5
6
类型三　正方形中的折叠问题
5. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上任意一点，连接AE，沿AE将
正方形折叠，F是点D的对应点，连接FD分别交AB，AE于点M，N.
（1） 求证：BE＝AM；
1
2
3
4
5
6
解：（1） ∵ 沿AE将正方形折叠，F是点D的对应
点，∴ AE⊥DF. ∴ ∠AND＝90°.∴ ∠ADM＋
∠DAE＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝
AD，∠ABE＝∠DAB＝90°.∴ ∠BAE＋∠DAE＝
∠ADM＋∠DAE＝90°.∴ ∠BAE＝∠ADM. 在
△BAE和△ADM中，∵
∴ △BAE≌△ADM. ∴ BE＝AM
第5题
1
2
3
4
5
6
（2） 连接BF，若∠BAE＝30°，求∠ABF的度数.
解：（2） ∵ 沿AE将正方形折叠，F是点D的对应
点，∴ AF＝AD，∠DAN＝∠FAN. ∵ ∠BAE＝
30°，∴ ∠DAN＝60°.∴ ∠FAE＝∠DAE＝60°.
∴ ∠BAF＝30°.∵ AF＝AD＝AB，∴ ∠ABF＝
∠AFB＝ ×（180°－30°）＝75°
第5题
1
2
3
4
5
6
6. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数
学活动，一名同学的操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把
纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M
处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.
（1） 如图①，当点M在EF上时，∠EMB＝ °；
30　
第6题
1
2
3
4
5
6
（2） 如图②，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），判
断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
第6题
解：∠MBQ＝∠CBQ　理由：由折叠的性质，知AB＝BM，∠A＝
∠BMP＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠C＝
90°.∴ BC＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°.∵ BQ＝BQ，
∴ Rt△BMQ≌Rt△BCQ. ∴ ∠MBQ＝∠CBQ.
1
2
3
4
5
6(共16张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第3课时　菱形的性质
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024 合肥期末）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是
（　C　）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2024 阜阳阜南期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的
顶点C在x轴的正半轴上.若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为
（　B　）
A. （5，4） B. （8，4）
C. （5，3） D. （8，3）
第2题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）已知菱形的边长等于2，菱形的一条对角线的长也是
2，则另一条对角线的长是（　B　）
A. 4 B. 2 C. D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第4题
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
4. 新考向 传统文化　 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现
中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.晓进家有一个菱形中国结装饰（如
图①），其示意图如图②所示，对角线AC，BD相交于点O，测得AB
＝10 cm，BD＝16 cm，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，则OH的
长为（　A　）
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 分类讨论思想　 四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为
8，则∠ABC为（　C　）
A. 30° B. 150°
C. 30°或150° D. 30°或120°
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2024 甘孜）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周
长为 .
第6题
8　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （2025 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O. 若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 .
第7题
15　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点
F，连接DF. 当∠BAD＝100°时，∠CDF＝ .
第8题
30°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （鞍山中考）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线
AC，BD交于点O，E为OB的中点，F为AD的中点，连接EF，则EF
的长为 .
第9题
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（教材变式）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边
AB，BC上的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE
＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中，∵
∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中
点.若BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD＝AB，AC⊥BD，OB＝OD＝
BD＝2，OA＝OC＝ AC. ∵ DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴ AD＝BD. ∴ AB＝AD＝BD＝4.∴ 菱形ABCD的周长＝4AD＝16.在
Rt△OAD中，由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝
2 .∴ AC＝2OA＝4 .∴ 菱形ABCD的面积＝ BD AC＝
×4×4 ＝8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（西宁中考）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点
E，AF⊥CD于点F.
（1） 求证：△ABE≌△ADF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD，
∠B＝∠D. ∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB＝
∠AFD＝90°.∴ △ABE≌△ADF
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长.
解：（2） 设菱形的边长为x，则AB＝CD＝x.
∵ CF＝2，∴ DF＝x－2.∵ △ABE≌△ADF，∴
BE＝DF＝x－2.在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE2＋BE2＝AB2，即42＋（x－2）2＝x2，解得x＝
5.∴ 菱形的边长是5
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　（2025 滁州凤阳期末）如图，在边长为3的菱形
ABCD中，∠ABC＝60°，P是对角线BD上的一个动点（点P不与点
B，D重合），以AP和PD为邻边作 APDQ.
（1） 菱形ABCD的面积是 ；
（2） 点P在运动过程中，PQ的最小值是 .
　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共15张PPT)
19.2　平行四边形
第4课时　平行四边形的判定定理1
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024 六安霍邱期末）根据下列四边形所标的数据，一定能判定为
平行四边形的是（　C　）
A B C D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边
形，则可以添加的条件是（　C　）
A. AB＝CD B. AC＝BD
C. AD＝BC D. ∠ABC＋∠BAD＝180°
第2题
3. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，－1），B（4，2），C（0，
3），下列不能与点A，B，C构成平行四边形的点的坐标是（　D　）
A. （－3，0） B. （5，－2）
C. （3，6） D. （－3，－2）
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则图中平行四
边形共有（　B　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋
∠CBD，AC＝1，则BD必定满足（　A　）
A. BD＜2 B. BD＝2
C. BD＞2 D. 以上情况均有可能
第5题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 如图，在 ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是
形.
第6题
平行四边　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于
点O. 若AC＝6，则线段AO的长为 .
第7题
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图①，BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，
∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到如图②所示的两个三
角形.若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则可以拼出 个形状
不同的平行四边形.
第8题
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 分类讨论思想　 如图，在等边三角形ABC中，BC＝5 cm，射线
AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B
出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E，F同时出发，设运动时
间为t s，当t＝ 时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行
四边形.
第9题
或5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（教材变式）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，
AD∥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
第10题
解：∵ AD∥BC，∴ ∠A＋∠B＝180°.∵ ∠B＝∠D，∴ ∠A＋
∠D＝180.∴ AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）（2025 阜阳临泉期末）如图，在 ABCD中，AC是对角
线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，连接BE，DF. 求证：
四边形DEBF是平行四边形.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝CB.
∴ ∠DAE＝∠BCF. ∵ DE⊥AC，BF⊥AC，∴ DE∥BF，∠DEA
＝∠BFC＝90°.在△DAE和△BCF中，∵
∴ △DAE≌△BCF. ∴ DE＝BF. ∴ 四边形DEBF是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝
85°，∠2＝40°.
（1） 求∠D的度数；
解：（1） ∵ ∠D＋∠1＋∠2＝180°，∴ ∠D
＝180°－∠1－∠2＝180°－85°－40°＝55°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 一题多解　 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（2） 方法一：∵ AB∥DC，∴ ∠2＋
∠ACB＋∠B＝180°.∴ ∠ACB＝180°－∠B
－∠2＝180°－55°－40°＝85°.∵ ∠ACB＝
∠1＝85°，∴ AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平
行四边形
方法二：∵ AB∥DC，∴ ∠2＝∠CAB. 又∵ ∠B＝∠D＝55°，AC＝AC，∴ △ACD≌△CAB. ∴ AB＝DC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在由相同的小正方形组成的网格图中，每
个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点处，
AD与BC相交于点O，则DO的长为 .
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共16张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第1课时　矩形的性质
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 六安期末）矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而
平行四边形不一定具有的是（　D　）
A. 对边平行 B. 对边相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2024 成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，则下列结论一定正确的是（　C　）
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠ACB＝∠ACD
第2题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2024 南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，
若∠2＝41°，则∠1的度数为（　C　）
A. 41° B. 51° C. 49° D. 59°
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2025 绥化）一个矩形的一条对角线的长为10，两条对角线的一个
夹角为60°，则这个矩形的面积是（　B　）
A. 25 B. 25 C. 25 D. 50
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2025 六安霍邱期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点
O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作
EF⊥BD，垂足为F，则EO＋EF的值为（　C　）
A. B. C. D.
第5题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为BC的中点，若BC＝
8，CD＝5，则DE＝ .
第6题
7. 若矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积
为 cm2.
3　
48　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （教材变式）如图，矩形ABCD的两条对角线的夹角∠AOB＝
60°，较短边AB＝3，则另一边BC的长为 .
第8题
3 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB
于点G，连接CG. 若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 .
第9题
15°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （13分）（2024 陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在
边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE.
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.∵ BE
＝CF，∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE
中，∵ ∴ △ABF≌△DCE. ∴ AF＝DE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （13分）如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相
交于点O，M，N分别是边AQ，BP的中点，连接PQ，PM，MN，
∠APQ＝∠ABQ＝90°.
（1） 判断△PMN的形状，并说明理由；
解：（1） △PMN为直角三角形　理由：如图，
连接BM. ∵ ∠APQ＝∠ABQ＝90°，M是AQ的
中点，∴ PM＝ AQ，BM＝ AQ. ∴ PM＝BM.
又∵ N为BP的中点，∴ MN⊥PB. ∴ △PMN为直
角三角形.
第11题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AQ＝26，BP＝24，求MN的长.
解：（2） 由（1）知PM＝ AQ. ∵ AQ＝26，
∴ PM＝13.又∵ N为BP的中点，且BP＝24，∴
PN＝ BP＝12.∴ 在Rt△PMN中，由勾股定理，
得MN＝ ＝ ＝5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（鄂州中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
（1） 求证：DF＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OC＝
AC，OD＝ BD，AC＝BD. ∴ OC＝OD.
∴ ∠ACD＝∠BDC. ∵ ∠CDF＝∠BDC，
∠DCF＝∠ACD，∴ ∠CDF＝∠DCF. ∴ DF
＝CF
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积.
解：（2） 由（1），得DF＝CF. 又∵ ∠CDF
＝60°，∴ △CDF是等边三角形.∴ CD＝DF＝
6.∵ ∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴ △OCD是等边三角形.∴ OD＝CD＝6.∴ BD
＝2OD＝12.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCD
＝90°.∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC
＝ ＝ ＝6 .∴ S矩形ABCD
＝BC CD＝6 ×6＝36
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在矩形ABMN中，AN＝ ，C是MN的
中点，分别连接AC，BC，且BC＝2 ，D为AC的中点，E为边AB
上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，分别连接
DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 .
或 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共14张PPT)
19.1　多 边 形
第2课时　多边形的外角和
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）（2025 池州贵池期末）一个多边形的每个外角都等于
36°，则这个多边形的边数为（　B　）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
2. （教材变式）小宇在合肥某社区研学时学习扎染技术，得到一个内
角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　C　）
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）一个多边形所有内角与外角的和为1 980°，则这个多
边形的边数是（　C　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A
出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……
如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了72米，则θ表示的度
数为（　A　）
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2024 赤峰）如图所示为正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n
边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则
n的值是（　B　）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 学校、工厂、企业等单位的大门都是伸缩性大门（如图），这种门
的门体可以自由伸缩移动，以此来控制门的大小.这种方法运用的数学
知识是 .
第6题
四边形的不稳定性　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 已知一个正多边形的内角和等于1 800°，则它的每个外角的度数
为 .
8. 如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A＋∠B＝
240°，则∠1＋∠2＋∠3＝ .
第8题
30°　
240°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2024 滁州期末）如图，∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点
A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ °.
第9题
48　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）一个多边形的内角和比外角和的5倍多180°，求这个多边
形的边数及内角和的度数.
解：设这个多边形的边数为n.由题意，得（n－2） 180°＝360°×5
＋180°，解得n＝13.∴ （13－2）×180°＝1 980°.∴ 这个多边形的
边数为13，内角和的度数为1 980°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图所示为四边形ABCD，∠1，∠2，∠3，∠4是它的外
角.求证：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°（用两种方法）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：方法不唯一，如方法1：由平角的定义可知，∠1＋∠BAD＝
180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDA＝
180°，∴ ∠1＋∠BAD＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDA
＝180°×4＝720°.∵ ∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°　方法2：如图，连接BD. 由三角形外
角的性质，可知∠1＝∠ABD＋∠ADB，∠3＝∠CBD＋∠CDB，
∴ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠ABD＋∠ADB＋∠2＋∠CBD＋∠CDB＋
∠4＝（∠ABD＋∠CBD）＋∠2＋
（∠ADB＋∠CDB）＋∠4＝
（∠ABC＋∠2）＋（∠ADC＋∠4）＝
180°×2＝360°
第11题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（1） 如图①，这是一个五角星，则∠A＋∠B＋∠C＋
∠D＋∠E＝ ；
（2） 如图②，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A＋∠B＋
∠C＋∠D＋∠E＋∠G的度数；
180°　
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（2） 如图②，延长CA与DG相交于点H. ∵ ∠CAG和∠AGD是
△HAG的两个外角，∴ ∠CAG＝∠H＋∠AGH，∠AGD＝∠H＋
∠HAG. ∴ ∠CAG＋∠AGD＝∠H＋∠HGA＋∠H＋∠HAG＝∠H
＋180°.由（1），可知∠H＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
∴ ∠GAC＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠AGD＝180°＋180°＝
360°.∴ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠G的度数为360°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 如图③，将五角星的每个角都截去，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠J的度数.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（3） 由（2）知，每截去图①中的一个角，剩余角的度数和会增
加180°，图①中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°，在题图③
中，截去五个角后，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋
∠H＋∠I＋∠J＝180°＋5×180°＝1 080°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共14张PPT)
19.2　平行四边形
第3课时　平行四边形对角线的性质
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确
的是（　C　）
A. AO＝OB B. AO⊥OD
C. AO＝OC D. AO⊥AB
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025 湖北）如图， ABCD对角线的交点在原点处.若点A的坐标
是（－1，2），则点C的坐标是（　C　）
A. （2，－1） B. （－2，1）
C. （1，－2） D. （－1，－2）
第2题
3. ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD＝12，AB＝7，则
△OCD的周长为（　B　）
A. 15 B. 16 C. 19 D. 25
C
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （教材变式）（2025 合肥庐江期中）如图，在 ABCD中，AB＝
4，BD＝10，AC⊥AB，则 ABCD的面积是（　C　）
A. 12 B. 20 C. 24 D. 40
第4题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作
OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为
（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D.
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝10，
BD＝24，则AD＝ .
第6题
7. （2025 河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长
为n.若n为整数，则n的值可以为 （写出一个即
可）.
13　
答案不唯一，如5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分
别交AD，BC于点M，N. 若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，
则△AOB的面积为 .
第8题
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2025 山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC
＝8.P为边AC上异于点A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线
段PQ的最小值是 .
第9题
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）如图， ABCD的对角线交于点O，过点O作直线分别交
AB，CD的反向延长线于点E，F，求证：OE＝OF.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，DF∥EB. ∴ ∠E
＝∠F. 又∵ ∠EOA＝∠FOC，∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，线段
EF与AC相交于点G. 若AE＝CF＝4，EF＝6，∠GFC＝90°，求对
角线AC的长.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CB. ∴ ∠EAG＝∠FCG.
在△AEG和△CFG中，∵ ∴ △AEG≌△CFG.
∴ AG＝CG，GE＝GF＝ EF＝3.∵ ∠GFC＝90°，∴ 在Rt△GFC
中，由勾股定理，得CG＝ ＝ ＝5.∴ AC＝2CG＝
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别
过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分
∠DAE.
（1） 若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：（1） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEO＝
90°.又∵ ∠AOE＝50°，∴ ∠EAO＝
90°－∠AOE＝40°.∵ AC平分
∠DAE，∴ ∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB＝∠DAC＝
40°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 求证：AE＝CF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边
形，∴ OA＝OC. ∵ AE⊥BD，
CF⊥BD，∴ ∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵ ∠AOE＝∠COF，
∴ △AEO≌△CFO. ∴ AE＝CF
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图， ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点
O，以AB，AO为邻边作 AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为
邻边作 AO1C2B……以此类推，则 AO2 025C2 026B的面积
为 cm2.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共16张PPT)
小专题（六）　三角形中位线的构造方法
第19章　四 边 形
类型一　连中点构造中位线
1. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别为AD，BC的
中点，G，H分别为BD，AC的中点.请你判断EF与GH之间的关系，
并说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
解：EF与GH互相平分　理由：如图，连接EG，GF，FH，EH.
∵ E，F分别为AD，BC的中点，G，H分别为BD，AC的中点，∴
EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线.∴ EG＝ AB，
EG∥AB，FH＝ AB，FH∥AB. ∴ EG＝FH，EG∥FH. ∴ 四边
形EGFH为平行四边形.∴ EF与GH互相平分.
第1题答案
1
2
3
4
5
6
7
类型二　取中点构造中位线
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，
CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点.求证：AE＝
MN.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，取AB的中点G，连接MG，NG. ∵ M，N分别为AF，BE
的中点，∴ NG＝ AE，NG∥AE，MG＝ BF，MG∥BF.
∴ ∠AGM＝∠ABC，∠BGN＝∠BAC. ∵ ∠C＝90°，∴ ∠ABC＋
∠BAC＝90°.∴ ∠MGN＝180°－（∠AGM＋∠BGN）＝180°－
（∠ABC＋∠BAC）＝90°.又∵ CE＝CF，CA＝CB，∴ AE＝BF.
∴ MG＝ BF＝ AE＝NG. ∴ △MNG是等腰直角三角形.∴ NG2＋
MG2＝MN2，即2NG2＝MN2.∴ NG＝ MN. ∴ AE＝2NG＝2× MN
＝ MN. ∴ AE＝ MN
第2题答案
第2题答案
1
2
3
4
5
6
7
3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中
点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 求证：
∠BME＝∠CNE.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF. ∵ E，F，H
分别是BC，AD，BD的中点，∴ FH是△ABD的中位线，EH是
△BCD的中位线.∴ FH∥BM，FH＝ AB，EH∥CN，EH＝ CD.
∴ ∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF. ∵ AB＝CD，∴ FH＝EH.
∴ ∠HFE＝∠HEF. ∴ ∠BME＝∠CNE
第3题答案
1
2
3
4
5
6
7
类型三　角平分线与垂线组合构造中位线
4. 如图，AO是△ABC中的∠BAC的平分线，BD⊥AO，交AO的延长
线于点D，E是BC的中点.求证：DE＝ （AB－AC）.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，延长AC，BD交于点F. ∵ BD⊥AO，交AO的延长线于点
D，∴ ∠ADB＝∠ADF＝90°.∵ AO是△ABC中的∠BAC的平分
线，∴ ∠BAD＝∠FAD. 在△ABD和△AFD中，
∵ ∴ △ABD≌△AFD. ∴ AB＝AF，BD＝FD. ∴
D是BF的中点.又∵ E是BC的中点，∴ ED是△BCF的中位线.∴ DE
＝ CF＝ （AF－AC）＝ （AB－AC）
第4题答案
1
2
3
4
5
6
7
5. 如图，在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC的平分线，
BD⊥AD，E是边BC的中点，若AB＝6，AC＝14，求DE的长.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，延长BD交AC于点F. ∵ BD⊥AD，∴ ∠ADB＝∠ADF＝
90°.∵ AD是△ABC中的∠BAC的平分线，∴ ∠BAD＝∠FAD. 在
△BAD和△FAD中，∵ ∴ △BAD≌△FAD.
∴ BD＝DF，AB＝AF＝6.∴ D是BF的中点，CF＝AC－AF＝8.
又∵ E是边BC的中点，∴ DE是△BCF的中位线. ∴ DE＝ CF＝4
第5题答案
1
2
3
4
5
6
7
类型四　连接第三边构造中位线
6. 如图，B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角
形ABD和等边三角形BCE，P，M，N分别为AC，AD，CE的中点.
（1） 求证：PM＝PN；
解：（1） 如图，连接DC，AE交于点Q. ∵ △ABD和△BCE都是等边三角形，∴ AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.
1
2
3
4
5
6
7
∴ ∠ABE＝∠DBC＝60°＋∠DBE. 在△ABE和△DBC中，∵ ∴ △ABE≌△DBC. ∴ AE＝DC.
∵ P，M，N分别为AC，AD，CE的中点，∴ PM是△ACD的中位线，
PN是△ACE的中位线.∴ PM＝ DC，PN＝ AE. ∴ PM＝PN
第6题答案
1
2
3
4
5
6
7
（2） 求∠MPN的度数.
解：（2） 由（1）知，PM是△ACD的中位线，
PN是△ACE的中位线.∴ PM∥CD，PN∥AE.
∴ ∠MPA＝∠ACD，∠NPC＝∠CAE.
∵ △ABE≌△DBC，∴ ∠CAE＝∠BDC.
∴ ∠NPC＝∠BDC. ∴ ∠MPA＋∠NPC＝
∠ACD＋∠BDC＝∠ABD＝60°.
∴ ∠MPN＝180°－（∠MPA＋∠NPC）＝
120°
1
2
3
4
5
6
7
类型五　倍长线段构造中位线
7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角
三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝ CF.
解：如图，延长FE到点D，使DE＝EF，连接AD，BD. ∵ △BEF
为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴ ∠BFE＝45°，BE⊥DF.
1
2
3
4
5
6
7
∴ BE垂直平分DF. ∴ BF＝BD. ∴ ∠BDE＝∠BFE＝45°.∴ ∠DBF
＝180°－∠BFE－∠BDE＝90°.∵ ∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝
90°，∠ABD＋∠ABF＝∠DBF＝90°，∴ ∠CBF＝∠ABD. 在
△ABD和△CBF中，∵ ∴ △ABD≌△CBF.
∴ AD＝CF. ∵ M为AF的中点，DE＝EF，∴ ME是△ADF的中位线.
∴ ME＝ AD. ∴ ME＝ CF
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7(共22张PPT)
小专题（七）　与正方形有关的常考模型
第19章　四 边 形
类型一　弦图模型
1. 如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至点
E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH.
（1） 求证：四边形EFGH是正方形；
1
2
3
4
5
6
7
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD
＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.
∴ ∠HAE＝∠EBF＝∠FCG＝∠GDH＝90°.又∵ BE
＝CF＝DG＝AH，∴ 易得AE＝BF＝CG＝DH.
∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴ EH＝EF＝FG
＝GH，∠EFB＝∠HEA. ∴ 四边形EFGH为菱形.
∵ ∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA，∴
∠FEB＋∠HEA＝90°，即∠HEF＝90°.∴ 四边形
EFGH是正方形
第1题
1
2
3
4
5
6
7
（2） 若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积.
解：（2） 由（1），得△AEH≌△BFE. ∴ BE＝AH＝
1.∵ AB＝2，∴ AE＝AB＋BE＝3.∴ HE＝
＝ ＝ .∴ S正方形EFGH＝HE2＝10
第1题
1
2
3
4
5
6
7
类型二　十字架模型
2. （2024 宣城宁国期末）已知四边形ABCD是边长为4的正方形.
（1） 如图①，DF⊥CE，垂足为O，求证：BE＝CF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD，∠EBC＝∠FCD
＝90°.∴ ∠BCE＋∠OCD＝90°.∵ DF⊥CE，垂足为O，
∴ ∠CDF＋∠OCD＝90°.∴ ∠BCE＝∠CDF. 在△CBE和△DCF
中，∵
∴ △CBE≌△DCF. ∴ BE＝CF
第2题
1
2
3
4
5
6
7
（2） 如图②，FG垂直平分CE，且BE＝BF，求DG的长.
第2题
1
2
3
4
5
6
7
解：（2） 如图，连接EG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝
CD＝AD＝4，∠EBC＝∠FCD＝∠A＝∠D＝90°.∵ FG垂直平分
CE，且BE＝BF，∴ GE＝GC，FE＝FC，AB－BE＝BC－BF，
即EA＝FC. 设BE＝BF＝x，则EA＝FC＝EF＝4－x.在Rt△BEF
中，由勾股定理，得BE2＋BF2＝EF2.∴ x2＋x2＝（4－x）2，解得x＝
4 －4（负值舍去）.∴ EA＝FC＝EF＝4－x＝8－4 .设DG＝y，
则AG＝4－y.∴ 易得AE2＋AG2＝DG2＋CD2.∴ （8－4 ）2＋（4－
y）2＝y2＋42，解得y＝12－8 .∴ DG＝12－8
1
2
3
4
5
6
7
类型三　手拉手模型
3. 已知四边形ABCD和AEFG均为正方形.
（1） 如图①，当A，B，G三点在同一条直线上时，连接BE，DG，
请判断线段BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
解：（1） BE＝DG，BE⊥DG　理
由：如图①，延长BE交DG于点N.
∵ 四边形ABCD和AEFG均为正方
形，∴ AB＝AD，∠BAD＝∠EAG
＝90°，AE＝AG.
∴ △ABE≌△ADG. ∴ BE＝DG，
∠ABE＝∠ADG.
1
2
3
4
5
6
7
∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵ ∠AEB＝∠DEN，
∴ ∠ADG＋∠DEN＝∠ABE＋∠AEB＝90°.
∴ ∠DNE＝180°－∠ADG－∠DEN＝90°.∴ BE⊥DG.
第3题答案
1
2
3
4
5
6
7
（2） 如图②，当A，B，G三点不在同一条直线上时，（1）的结论
是否仍然成立？请说明理由.
解：（2） 当A，B，G三点不在同
一条直线上时，（1）的结论仍然成
立　理由：如图②，设BE与AD交
于点O，与DG交于点N. ∵ 四边形
ABCD和AEFG均为正方形，∴ AE
＝AG，AB＝AD，∠BAD＝
∠EAG＝90°.∴ ∠BAD＋∠DAE
＝∠EAG＋∠DAE，即∠BAE＝
∠DAG.
1
2
3
4
5
6
7
在△ABE和△ADG中，∵ ∴ △ABE≌△ADG. ∴ BE＝DG，∠ABE＝∠ADG. ∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠ABE＋∠AOB＝90°.又∵ ∠AOB＝∠DON，∴ ∠ADG＋∠DON＝∠ABE＋∠AOB＝90°.∴ ∠DNO＝180°－∠ADG－∠DON
＝90°.∴ BE⊥DG. ∴ 当A，B，G三点不
在同一条直线上时，（1）的结论仍然成立.
第3题答案
1
2
3
4
5
6
7
4. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为边，向三角形的外侧作正方形
ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM为BC上的高，延长MA交EG于
点N，求证：N为EG的中点.
1
2
3
4
5
6
7
解：如图，过点E作EP⊥PA，交AN的延长线于点P，过点G作
GQ⊥AN于点Q，∴ ∠P＝∠NQG＝90°.∵ 四边形ABDE是正方
形，∴ AB＝AE，∠BAE＝90°.∴ ∠EAP＋∠BAM＝180°－90°＝
90°.∵ AM⊥BC，∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°.∴ ∠ABM＋∠BAM
＝90°.∴ ∠ABM＝∠EAP. 在△ABM和△EAP中，
∵ ∴ △ABM≌△EAP. ∴ EP＝AM. 同理，可得
△GQA≌△AMC. ∴ GQ＝AM. ∴ EP＝GQ.
1
2
3
4
5
6
7
在△EPN和△GQN中，∵ ∴ △EPN≌△GQN. ∴
EN＝NG. ∴ N为EG的中点
第4题答案
第4题答案
1
2
3
4
5
6
7
类型四　角互补模型
5. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，E，F
分别是AD，AB上的点，且∠EOF＝90°.求证：AE＝BF.
第5题
1
2
3
4
5
6
7
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝
BD，AC＝BD，AC⊥BD，∠DAB＝90°.∴ OA＝OB，∠AOB＝
90°.∴ ∠OAB＝∠OBA＝45°.∴ ∠OAE＝45°.∴ ∠OAE＝∠OBA
＝45°.∵ ∠EOF＝90°，∴ ∠EOF－∠AOF＝∠AOB－∠AOF，
即∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，∵
∴ △AOE≌△BOF. ∴ AE＝BF
1
2
3
4
5
6
7
6. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，E，F
分别是AD，AB上的点，若∠EOF＝90°，DO＝4，求四边形AEOF
的面积.
第6题
1
2
3
4
5
6
7
解：∵ 四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，∴ DO
＝BO，AO＝CO，且BD＝AC，BD⊥AC. ∴ DO＝AO＝4，
∠AOD＝90°.∵ ∠EOF＝90°，∴ ∠AOD－∠AOE＝∠EOF－
∠AOE，即∠DOE＝∠AOF. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝AB
＝CB，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴ ∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAC
＝∠BCA＝45°.∴ ∠ADB＝∠BAC. 在△DOE和△AOF中，
∵ ∴ △DOE≌△AOF. ∴ S△DOE＝S△AOF. ∴ S四边
形AEOF＝S△AOE＋S△AOF＝S△AOE＋S△DOE＝S△AOD＝ ×4×4＝8.∴ 四
边形AEOF的面积是8
1
2
3
4
5
6
7
类型五　角含半角模型
7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，动点E，F分别在边BC，CD
上，∠EAF＝45°，连接EF.
（1） 求证：EF＝BE＋DF；
1
2
3
4
5
6
7
解：（1） 如图，延长EB至点H，使BH＝DF，连接
AH. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADF＝∠ABE＝
∠BAD＝90°，AD＝AB. ∴ ∠ABH＝90°.在△ADF
和△ABH中，∵
∴ △ADF≌△ABH. ∴ ∠BAH＝∠DAF，AF＝AH.
∴ ∠FAH＝∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF＝
∠BAD＝90°.∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠EAH＝∠FAH
－∠EAF＝45°.∴ ∠EAH＝∠EAF＝45°.在△FAE
和△HAE中，∵ ∴ △FAE≌△HAE. ∴ EF＝HE＝BE＋HB. ∴ EF＝BE＋DF
第7题答案
1
2
3
4
5
6
7
（2） 若BE＝3，求线段DF的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠C＝
90°，BC＝CD＝AB＝6.∵ BE＝3，∴ CE＝BC－
BE＝3.设DF＝a，则CF＝6－a.∵ EF＝BE＋DF，
∴ EF＝3＋a.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2＋
CF2＝EF2，即32＋（6－a）2＝（3＋a）2，解得a＝
2.∴ DF＝2
1
2
3
4
5
6
7(共17张PPT)
19.2　平行四边形
第6课时　三角形的中位线
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 河南）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，D，E分别是边BA，CA与网
格线的交点，连接DE，则DE的长为（　B　）
A. B. 1 C. D.
第1题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于点O，若AO＝OD＝DF＝
3 cm，BE＝10 cm，则BO的长为（　A　）
A. cm B. 5 cm C. cm D. 3 cm
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，OE∥AD，若AD＝
6，则OE的长为（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （教材变式）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝
50°，∠CBA＝70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点.若BC
＝8，则△PMN的周长是（　B　）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，M，N分
别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E，F
分别为DM，MN的中点，则EF长的最大值为（　D　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 5
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是AC的
中点，且ED⊥AC，则AE的长为 .
第6题
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （教材变式）如图，AD∥BE∥FC，若AC＝10，DE＝EF＝4，则
AB＝ .
第7题
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的
中点，M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE.
若AB＝CD＝2，则四边形ENFM的周长是 .
第8题
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，O是 ABCD的对角线的交点，E为CD的中点，AE交BD于
点F. 若S△AOE＝4，则S△AOB＝ .
第9题
8　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，交BC于点
F. 求证：F是BC的中点.
第10题
解：∵ DE是△ABC的中位线，∴ DE∥BC，DE＝ BC.
又∵ EF∥AB，∴ 四边形DEFB是平行四边形.∴ BF＝DE＝ BC. ∴
F是BC的中点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别
是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE. 求证：DF＝EG.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ BE，CD都是△ABC的中线，∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC，DE＝ BC. ∵ F，G分别是OB，OC的中点，
∴ FG∥BC，FG＝ BC. ∴ DE∥FG且DE＝FG. ∴ 四边形DEGF是
平行四边形.∴ DF＝EG
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（2025 阜阳颍上期末）如图，在△ABC中，AD平分
∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，G是BC的中点.
（1） 求证：DG∥AB；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（1） 如图，延长CD交AB于点E. ∵ AD平分
∠BAC，CD⊥AD，∴ ∠EAD＝∠CAD，
∠ADE＝∠ADC＝90°.在△ADE和△ADC中，
∵ ∴ △ADE≌△ADC. ∴ CD
＝DE. ∵ G是BC的中点，∴ DG是△CEB的中位
线.∴ DG∥AB
第12题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若DG＝2，AC＝5，求AB的长.
解：（2） 由（1）可知△ADE≌△ADC，DG是
△CEB的中位线，∴ AE＝AC＝5，BE＝2DG＝
4.∴ AB＝AE＋BE＝5＋4＝9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝
30°，D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE，M，N分别为线段
DE，BC的中点，过点A作AT∥MN，交BC于点T. 若AC＝1，则NT
＝ .
2－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共16张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第2课时　矩形的判定
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 德阳）如图，要使 ABCD是矩形，需要增加的一个条件可
以是（　D　）
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
第1题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　A　）
A B C D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数
据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是
（　B　）
A. OB＝5 B. OD＝5 C. AB＝5 D. BC＝8
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，
连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的
是（　B　）
A. AB＝BE B. BE⊥DC
C. ∠ADB＝90° D. CE⊥DE
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在 ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，
MC，CN，NA，添加一个条件，能使四边形AMCN是矩形的为
（　B　）
A. MB＝MO B. OM＝ AC
C. BD⊥AC D. ∠AMB＝∠CND
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 新考法 条件开放题　 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC
与BD交于点O，添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件
可以是 （写出一个即可）.
7. （教材变式）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC
＝6，若要使 ABCD为矩形，则OB的长度应为 .
答案不唯一，如AC＝BD　
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定
是 .
9. （2025 阜阳颍上期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC
＝3，BC＝4，D是AB边上的动点，过点D作边AC，BC的垂线，垂足
分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
第9题
矩形　
2.4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（教材变式）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝
90°，O是边AD的中点，∠AOB＝∠DOC. 求证：四边形ABCD是
矩形.
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ ∠A＝∠D＝90°，∴ ∠A＋∠D＝180°.∴ AB∥CD. ∵ O是
边AD的中点，∴ AO＝DO. 在△ABO和△DCO中，
∵ ∴ △ABO≌△DCO. ∴ AB＝CD. ∴ 四边形
ABCD是平行四边形.∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为
E，F. 求证：
（1） △ADE≌△CBF；
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（1） ∵ DE⊥AB，BF⊥CD，∴ ∠AED＝∠DEB＝∠CFB＝∠BFD＝90°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝CB，∠A＝∠C. 在△ADE和△CBF中，∵
∴ △ADE≌△CBF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 一题多解　 四边形BFDE是矩形.
解：（2） 解法一：∵ 四边形ABCD是平行四边
形，∴ CD∥AB. ∴ ∠CDE＋∠DEB＝180°.
∵ ∠DEB＝90°，∴ ∠CDE＝90°.∴ ∠CDE＝
∠DEB＝∠BFD＝90°.∴ 四边形BFDE是矩形
解法二：∵ △ADE≌△CBF，∴ AE＝CF. ∵ 四
边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝
CD. ∴ AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF. ∴ 四边
形BFDE是平行四边形.∵ ∠DEB＝90°，∴ 四边
形BFDE是矩形
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（2025 北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC
的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE是
△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形
DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝
90°.∴ 四边形DFCG是矩形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝
45°，∴ ∠BDF＝180°－∠B－∠DFB＝45°＝∠B.
∴ BF＝DF＝3.∵ DG＝FC＝5，∴ BC＝BF＋FC＝3
＋5＝8.由（1）可知DE是△ABC的中位线，四边形
DFCG是矩形，∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G
＝90°.∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ CE＝
＝ ＝ .∵ E为AC的中点，∴
AC＝2CE＝2
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝
12，AC＝16，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于
点E，DF⊥AC于点F，G为四边形DEAF对角线的交点，则线段GF
的最小值为 .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共16张PPT)
19.2　平行四边形
第2课时　平行线之间的距离
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，a，b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有
（　D　）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
第1题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b.
如果AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（　B　）
A. 5 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 无法确定
第2题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线
n上的两个定点，且直线m∥n，则下列说法正确的是（　D　）
A. AC＝BP
B. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积
D. △ABC的面积等于△PBC的面积
第3题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 分类讨论思想　 已知直线a，b，c互相平行，直线a与b的距离是4
厘米，直线b与c的距离是7厘米，则直线a与c的距离是（　C　）
A. 11厘米 B. 3厘米
C. 11厘米或3厘米 D. 不能确定
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2025 合肥三十八中期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点
E，AF⊥CD于点F. 若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则
ABCD的面积为（　D　）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 48
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是
.
7. 如图， ABCD被分成了甲、乙、丙三部分，已知甲的面积比丙少
4 cm2，则 ABCD边BC上的高是 cm， ABCD的面积
是 cm2.
两条
平行线之间的距离处处相等　
4　
32　
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，P为 ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的
面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积
为 .
第8题
19　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，直线m∥n，A是直线m上一点，B是直线n上一点，AB与直
线m，n均不垂直，P为线段AB的中点，直线l分别与m，n相交于点
C，D. 若∠CPD＝90°，CD＝6，m，n之间的距离为2，则PC PD
的值为 .
第9题
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D. 求
证：AD＝BC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F.
∵ CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD，∴ ∠AFD＝∠BEC＝90°，
DF＝CE，CE⊥CD，DF⊥CD. ∴ ∠FDC＝∠ECD＝90°.∵
∠BCD＝∠ADC，∴ ∠BCD－∠ECD＝∠ADC－∠FDC，即
∠BCE＝∠ADF. 在△ADF和△BCE中，∵
∴ △ADF≌△BCE. ∴ AD＝BC
第10题答案
第10题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，
AC⊥AB，AC交直线b于点C.
（1） 若∠1＝65°，求∠2的度数；
解：（1） 如图.∵ AC⊥AB，∴ ∠2＋∠3＝
90°.∵ a∥b，∴ ∠3＝∠1＝65°.∴ ∠2＝90°－
65°＝25°
第11题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b之间的距离.
解：（2） 设直线a与b之间的距离为h.
∵ AC⊥AB，S△ABC＝ AB AC＝ BC h，即
3×4＝5h.∴ h＝ .∴ 直线a与b之间的距离为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）如图①，直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直
线m上.
（1） 如图①，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与
△ABC的面积相等；
（2） 写出图①中面积相等的各对三角形；
解：（2） △CAB与△PAB，△BCP与△APC，△ACO与△BOP
△PAB　
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC
（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的
面积？
第12题
解：（3） 如图②，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线
于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，AB
上，依次连接EB，EC，FC，FD，图中空白部分的面积分别为S1，
S2，S3，S4，已知S ABCD＝80，S1＝4，S3＝7，S4＝10，则图中涂色部
分的面积为（　A　）
A. 38 B. 40 C. 42 D. 42.5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共16张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第4课时　菱形的判定
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，
可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　C　）
A. AB＝CD B. AC＝BD
C. AC⊥BD D. AB⊥BD
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直
平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第2题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作
的：分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，相交于点C，
D，连接CD，则直线CD即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她
的作图方法可知四边形ADBC一定是（　B　）
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 平行四边形
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能
得到四边形DBFE为菱形的是（　D　）
A. AB＝BC B. BE平分∠ABC
C. BE⊥AC D. AB＝AC
第4题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起.连接AC，若AB＝13，
AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　B　）
A. 240 B. 120 C. 60 D. 30
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （营口中考）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添
加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是
（写出一个即可）.
第6题
答案不唯
一，如AB＝AD　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （教材变式）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别
为4和2 ，则它的面积为 　4 　.
8. 若顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角
线AC，BD的关系是 .
4 　
AC＝BD　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第9题
①②③④　
9. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且
DE∥CA，DF∥BA. 给出下列四种说法：① 四边形AEDF是平行四边
形；② 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③ 如果AD平分
∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④ 如果AD⊥BC且AB＝AC，那
么四边形AEDF是菱形.其中，正确的是 （填序号）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（2025 扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平
分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ EF是AC的垂直平分线，∴ EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，
∠AOE＝∠COF＝90°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠OAE＝∠OCF. 在△OAE和△OCF中，
∵ ∴ △OAE≌△OCF. ∴ EA＝FC. ∴ EA
＝EC＝FA＝FC. ∴ 四边形AFCE是菱形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）（2025 合肥期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对
角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交
BC的延长线于点E.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB＝∠CBD. ∵ BD平分
∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. ∴ ∠ADB＝
∠ABD. ∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是菱形
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AC＝6，CD＝3 ，求△BDE的面积.
解：（2） ∵ AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴ AD∥CE. ∵ DE∥AC，∴ 四边形ACED是平行
四边形，∠BDE＝∠BFC. ∴ CE＝AD，DE＝
AC. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，CD＝
BC＝AD＝CE. ∴ ∠BDE＝∠BFC＝90°.∵ AC
＝6，CD＝3 ，∴ DE＝AC＝6，CD＝BC＝
CE＝3 .∴ BE＝6 .∴ BD＝ ＝
＝12.
∴ S△BDE＝ BD DE＝ ×12×6＝36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第11题
12. （16分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的
点，且AE＝CF.
（1） 求证：△ABE≌△CDF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝∠D＝
90°，AB＝CD. 在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∵ ∴ Rt△ABE≌Rt△CDF
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由.
解：（2） 当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形　理
由：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD，BC∥AD.
∵ △ABE≌△CDF，∴ BE＝DF. ∴ BC－BE＝AD
－DF，即CE＝AF. 又∵CE∥AF，∴ 四边形AECF
是平行四边形.∵ AC⊥EF，∴ 四边形AECF是菱形.
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　四边形的四条边长分别为a，b，c，d，且满足
条件a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋da，则此四边形的形状是
.
菱
形　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共13张PPT)
阶段检测（19.2）
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在 ABCD中，∠A＝40°，则∠C的度数是（　B　）
A. 140° B. 40° C. 50° D. 60°
2. 在一块三角形地中分出一块（涂色部分）种植花草，尺寸如图所
示，则PQ的长是（　B　）
A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m
第2题
B
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2024 亳州涡阳期末）如图，下列给出的条件中，能判定四边形
ABCD为平行四边形的是（　C　）
A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
C. AO＝OC，DO＝OB D. AB＝AD，CB＝CD
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，
且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，DE的中点，连接
MN，则MN的长度为（　A　）
A. B. C. 2 D.
第4题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，H，G分别是边
DC，BC上的动点，连接AH，HG，E为AH的中点，F为GH的中
点，连接EF，则EF的最小值为 （　D　）
A. 2 B. C. 1 D.
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头部分忽略不
计），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的
长是 .
7. 如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则
BE＝ .
5　
2　
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （2024 济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
OA＝OC，请添加一个条件： ，使四边
形ABCD是平行四边形（写出一个即可）.
第8题
答案不唯一，如OB＝OD　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD，
∠ADC的平分线AE，DF分别交BC于点E，F. 若EF＝2，AB＝5，
则AD的长为 .
第9题
8　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（2025 宜宾）如图，E是 ABCD边CD的中点，连接AE
并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求
BF的长.
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.
∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE
中，∵ ∴ △ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF
＝BC＋FC＝5＋5＝10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）（2024 阜阳段考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，
F，G，E分别是DC，AC，AB的中点.求证：∠GFE＝∠GEF.
第11题
解：∵ F，G分别是CD，AC的中点，∴ GF是△ADC的中位线.∴ FG
＝ AD. 同理，可知GE是△ABC的中位线.∴ GE＝ BC. 又∵ AD＝
BC，∴ GF＝GE. ∴ ∠GFE＝∠GEF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（2025 亳州蒙城期中）如图，在四边形ABCD中，
AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连
接AE.
（1） 求证：AE＝BC；
解：（1） ∵ AB∥CD，∠B＝45°，∴ ∠C＝
180°－∠B＝135°.∵ DE＝DA，AD⊥CD，
∴ ∠E＝45°.∵ ∠E＋∠C＝180°，∴
AE∥BC. ∴ 四边形ABCE是平行四边形.∴ AE＝
BC
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积.
解：（2） ∵ 四边形ABCE是平行四边形，AB＝
3，∴ AB＝CE＝3.∵ CD＝1，∴ AD＝DE＝CE
－CD＝2.∴ 四边形ABCE的面积＝3×2＝6
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共17张PPT)
19.3　矩形、菱形、正方形
第5课时　正方形的性质与判定
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 滁州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质
是（　B　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （天津中考）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别
是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（　D　）
A. （6，3） B. （3，6）
C. （0，6） D. （6，6）
第2题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 已知菱形ABCD的对角线为AC和BD，下列条件中，不能使菱形
ABCD为正方形的是（　D　）
A. AC＝BD B. AB⊥BC
C. ∠ADB＝45° D. AB＝AC
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2024 亳州段考）如图，AC是正方形ABCD的对角线，以AD为边
在正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC的度
数是（　D　）
A. 45° B. 60° C. 65° D. 75°
第4题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，
PF⊥CD，连接EF，AP，给出下列三个结论：① AP＝EF；②
AP⊥EF；③ ∠PFE＝∠BAP. 其中，正确的有（　D　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第5题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 新考法 条件开放题　 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交
于点O，在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件：
，使矩形ABCD是正方形（写出一个即可）.
第6题
答案不唯
一，如AB＝AD　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （益阳中考）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC方向平
移，使点A的对应点A′满足AA′＝ AC，则所得正方形与原正方形重叠
部分的面积是 .
第7题
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （无锡中考）如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG
垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝ .
第8题
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得
到△EGF，连接EC，GC，则EC＋GC的最小值为 .
第9题
4 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（教材变式）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD
平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边
形CFDE是正方形.
第10题
解：∵ DE⊥BC，DF⊥AC，∴ ∠DEC＝∠DFC＝90°.
又∵ ∠ACB＝90°，∴ 四边形CFDE是矩形.又∵ CD平分∠ACB，
DE⊥BC，DF⊥AC，∴ DE＝DF. ∴ 四边形CFDE是正方形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （15分）（2025 广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD
上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：△ADE≌△CBF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC，
BC∥AD. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF
中，∵ ∴ △ADE≌△CBF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长.
解：（2） 如图，连接AC交BD于点O. ∵ 四边形
ABCD为正方形，BD＝10，∴ BD垂直平分AC，OA
＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.∴ AF＝CF，AE＝CE.
由（1）可知△ADE≌△CBF，∴ AE＝CF. ∴ AF＝
CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.∴ OF＝OE.
∴ EF＝2OF. ∵ 四边形AECF的周长＝4AF＝
4 ，∴ AF＝ .在Rt△AOF中，由勾股定理，
得OF＝ ＝ ＝3.∴ EF＝
2OF＝6.∴ EF的长为6
第11题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （15分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，
EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
（1） 一题多解　 求证：四边形ABEF是正方形；
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（1） 方法一：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠DAB＝∠B＝90°.∵ EF⊥AD，∴ ∠EFA＝
∠DAB＝∠B＝90°.∴ 四边形ABEF为矩形.∵
∠BAD的平分线交BC于点E，∴ ∠DAE＝∠BAE＝
45°.∴ ∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝45°.∴ AB
＝BE. ∴ 矩形ABEF是正方形
方法二：∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠DAB＝
90°，AD∥BC. ∴ AF∥BE，∠DAE＝∠AEB.
又∵ EF⊥AD，∴ ∠EFA＝90°.∴ ∠EFA＋∠DAB
＝180°.∴ AB∥EF. ∴ 四边形ABEF是平行四边形.
又∵ ∠DAB＝90°，∴ 四边形ABEF为矩形.∵
∠BAD的平分线交BC于点E，∴ ∠DAE＝∠BAE. ∴
∠AEB＝∠BAE. ∴ AB＝BE. ∴ 四边形ABEF是正方
形
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AD＝AE，AF＝1，求DG的长.
解：（2） ∵ 四边形ABEF是正方形，AF＝1，∴ BE
＝AF＝1.∵ DG⊥AE，∴ ∠AGD＝∠B＝90°.在
△ADG和△AEB中，∵
∴ △ADG≌△AEB. ∴ DG＝BE＝1
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°.若AD
＝18，DC＝6，则△ABC的面积是 .
135　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共15张PPT)
19.2　平行四边形
第1课时　平行四边形边和角的性质
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在 ABCD中，下列结论一定正确的是（　C　）
A. AD＝CD B. AC＝BD
C. AB＝CD D. CD＝BC
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025 马鞍山和县期中）在 ABCD中，∠A＋∠C＝120°，则
∠C的度数为（　B　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 120°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2024 安庆期末）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点
D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（　D　）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第3题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （教材变式）如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，DE平分
∠ADC交BC边于点E，则BE的长为（　A　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第4题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，此时四
边形AEGB与四边形DEGC恰为平行四边形，点F，H分别在边AB，
CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是
（　C　）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
第5题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）在 ABCD中，若AB＝3 cm，BC＝4 cm，则 ABCD
的周长为 cm.
7. （2024 合肥包河期末）如图，在 ABCD中，∠A＝70°，DB＝
DC，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝ .
第7题
14　
20°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，将 ABCO放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若点A
的坐标是（4，0），点C的坐标是（1，3），则点B的坐标是
.
第8题
（5，
3）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 新考法 条件开放题　 如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD
的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于点G，H. 添加一个条件使
△AEG≌△CFH，这个条件可以是 （写
出一个即可）.
第9题
答案不唯一，如BE＝DF　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且
AE＝CF，求证：BE＝DF.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD.
∴ ∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中，∵
∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE＝DF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）（烟台中考）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交
AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E. 若∠A＝40°，求
∠ABE的度数.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD. ∴ ∠A＋∠ADC＝
180°.∴ ∠ADC＝180°－∠A＝180°－40°＝140°.∵ DF平分
∠ADC，∴ ∠CDF＝ ∠ADC＝70°.∵ AB∥CD，∴ ∠AFD＝
∠CDF＝70°.∵ BE∥DF，∴ ∠ABE＝∠AFD＝70°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，连接DE并延长，
交CB的延长线于点F.
（1） 求证：△ADE≌△BFE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥FC. ∴ ∠ADE＝∠BFE. ∵ E是AB的中点，
∴ AE＝BE. 在△ADE和△BFE中，
∵ ∴ △ADE≌△BFE
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AB＝2BC，∠F＝38°，求∠C的度数.
解：（2） ∵ △ADE≌△BFE，∴ AD＝BF. ∵ 四边
形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝DC.
∴ BC＝BF. ∴ FC＝2BC. 又∵ AB＝2BC，∴ DC＝
AB＝FC. ∴ ∠CDF＝∠F＝38°.∴ 在△DCF中，
∠C＝180°－∠CDF－∠F＝180°－38°－38°＝
104°
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　（2024 合肥期末）如图，在 ABCD中，
AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG＝BC，AG＝CE，连
接CG并延长，交AB于点F，则∠BFC的度数为 .
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共15张PPT)
阶段检测（19.3）
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥肥西期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的
性质是（　B　）
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2024 亳州利辛期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中
线，∠A＝20°，则∠BDC的度数为（　A　）
A. 40° B. 55° C. 60° D. 65°
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD
的周长为（　B　）
A. 24 B. 32 C. 32 D. 16
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2025 蚌埠期末）小明用五个等腰三角形设计了一个“金鱼”风筝
骨架的平面图案，如图所示.其中△AMN≌△MBF≌△NFC≌△FMN，
且整个图形关于直线l对称，下列推断错误的是（　C　）
A. AF⊥DE B. MN∥BC
C. 四边形ANFM是正方形 D. 四边形MNCF是平行四边形
第4题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E，F分别是AD，BC的
中点，点P，Q在EF上，且满足PQ＝2，则四边形APQB的周长的最
小值为（　B　）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与
长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形的踏板.理由是
.
7. （2024 吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
E是OA的中点，F是OD上一点，连接EF. 若∠FEO＝45°，则 的
值为 .
有一个角为直
角的平行四边形是矩形　
　
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （2025 六安霍邱期末）如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x
轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线.若BC＝12，BD＝10，则点D
的坐标是 .
第8题
（20，6）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的
动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数
为 ；连接CP，线段CP的最小值为 .
第9题
90°　
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （13分）（2024 广安）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是
AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.
∵ BE＝BF，∴ AB－BE＝BC－BF，即AE＝CF. 在△DAE和
△DCF 中，∵ ∴ △DAE≌△DCF. ∴ DE＝DF. ∴
∠DEF＝∠DFE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （13分）（2025 滁州凤阳期末）已知 ABCD，AB＝BC，对角线
AC，BD相交于点O，分别过点C，D作CE∥BD，DE∥AC，连接
OE.
（1） 根据题意画出图形，并求证：四边形OCED是矩形；
解：（1） 如图所示　∵ CE∥BD，DE∥AC，∴ 四边形OCED是平
行四边形.∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴ 四边形ABCD
是菱形.∴ AC⊥BD. ∴ ∠COD＝90°.
∴ 四边形OCED是矩形
第11题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若AC＝ BD＝6，求OE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC＝ BD＝6，∴ OC＝
AC＝3，BD＝10，OD＝ BD. ∴ OD＝ BD＝5.在Rt△COD中，由
勾股定理，得CD＝ ＝ .由（1）知四边形OCED是矩
形，∴ OE＝CD＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（2025 合肥包河期末）如图，分别在正方形ABCD的边
AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接
EF，FG，GH，HE得四边形EFGH.
（1） 求证：四边形EFGH是正方形；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD
＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵ AE＝BF＝CG
＝DH，∴ AB－AE＝BC－BF＝CD－CG＝DA－DH.
∴ BE＝CF＝DG＝AH. 在△AEH和△BFE中，
∵ ∴ △AEH≌△BFE. ∴ HE＝EF，∠AEH＝∠BFE.
第12题
∵ ∠BEF＋∠BFE＝90°，∴ ∠BEF＋∠AEH＝90°.∴ ∠HEF＝
90°.同理，可得HE＝EF＝FG＝GH. ∴ 四边形EFGH是菱形.∵
∠HEF＝90°，∴ 菱形EFGH是正方形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 连接EG，若AB＝7，BE＝3，求EG的长.
解：（2） ∵ AB＝7，BE＝3，∴ AE＝AB－BE＝4，
AH＝BE＝3.在Rt△AEH中，由勾股定理，得HE＝
＝ ＝5.∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ HE＝GH＝5，∠EHG＝90°.在Rt△EHG中，由勾股
定理，得EG＝ ＝ ＝5
第12题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共15张PPT)
19.2　平行四边形
第5课时　平行四边形的判定定理2、3
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥瑶海期末）如图，下列条件不能判定四边形ABCD是平
行四边形的是（　A　）
A. AB∥CD，AD＝BC B. AB＝CD，AD＝BC
C. AB＝CD，AB∥CD D. AO＝CO，BO＝DO
第1题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025 六安期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列条
件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　B　）
A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
第2题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，在△ABD中用尺规进行如下操作：① 以点B为圆心，AD长为
半径画弧；② 以点D为圆心，AB长为半径画弧；③ 两弧在BD上方交
于点C，连接BC，DC. 可直接判定四边形ABCD为平行四边形的依据
是（　B　）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
第3题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，若AC，BD，EF两两互相平分于点O，则图中的全等三角形
共有（　D　）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
第4题
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，△OAB的顶点O，A，B的坐标分别是（0，0），（3，0），
（1，1）.下列点M中，以O，A，B，M为顶点的四边形不是平行四
边形的是（　A　）
A. M（1，－1） B. M（2，－1）
C. M（－2，1） D. M（4，1）
第5题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝5 cm，CD＝6 cm，当
AD＝ cm时，四边形ABCD为平行四边形.
第6题
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，木匠将两根木条的中点钉在一起，则得到的虚线四边形的形
状是 ，理由是
.
第7题
8. 如果一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝
2ac＋2bd，那么这个四边形的形状是 .
平行四边形　
对角线互相平分的四边形是平行四边
形　
平行四边形　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD
上，有下列条件：① BF＝DE；② AE＝CF；③ ∠EAB＝∠FCD；④
AF∥CE. 其中，一定能判定四边形AECF是平行四边形的是
（填序号）.
第9题
①③
④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （10分）（2024 亳州期末）如图，在△ABC中，延长△ABC的中
线BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE. 求证：四边形ABCE是平行
四边形.
第10题
解：∵ BD是△ABC的中线，∴ AD＝CD. ∵ DE＝BD，∴ 四边形
ABCE是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图，在四边形ABCD中，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分
别为C，A，AD＝CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ CD⊥AC，AB⊥AC，∴ ∠DCA＝∠BAC＝90°.在Rt△ACD
和Rt△CAB中，∵ ∴ Rt△ACD≌Rt△CAB. ∴ CD＝AB.
又∵ AD＝CB，∴ 四边形ABCD是平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （18分）（教材变式）如图，在四边形ABCD中，M，N是BD上
两点，AM∥CN，AN∥CM. 若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平
行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：如图，连接AC交BD于点O. ∵ AM∥CN，AN∥CM，∴ 四边形
AMCN是平行四边形.∴ OM＝ON，OA＝OC. ∵ BM＝DN，∴ OM
＋BM＝ON＋DN，即OB＝OD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形
第12题答案
第12题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线
AC，BD相交于点E，E为BD的中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC
＝30°，则DC＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共17张PPT)
第19章小测
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024 资阳）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形
的边数是（　C　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，在 ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠BCE＝35°，那
么∠D的度数为（　A　）
A. 55° B. 35° C. 25° D. 30°
第2题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025 广东）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A
＝70°，则∠EDF的度数为（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
第3题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 有下列条件：① AB
＝BC；② ∠ABC＝90°；③ OA＝OB；④ AC⊥BD. 从所给的四个条
件中任意选择两个为一组，能判定 ABCD是正方形的有（　B　）
A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组
第4题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （2025 合肥四十二中期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝
6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于
点G，连接FG，则FG的最小值为（　A　）
A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4
第5题
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 滁州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC
的中点，EF∥BC交AD于点F. 已知AD＝8，EF＝3，连接DE，则
DE的长为 .
第6题
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （2025 合肥包河期末）在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，
则平行线AD与BC之间的距离为 .
8. 如图，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点，连接
OE，OC. 若AB＝8，OE＝3，则线段OC的长为 .
第8题
4.8　
5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻
折，使点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，且点F，G分别在边
AB，AD上，则EF的长为 .
第9题
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（2024 安庆太湖期末）如图，在 ABCD中，对角线
AC，BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，连接DE. 若
∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数.
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. 又∵ OE⊥BD，
∴ BE＝ED. ∴ ∠CBD＝∠BDE＝15°.∵ ∠CDE＝15°，∴ ∠BDC
＝∠BDE＋∠CDE＝30°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴
AB∥CD. ∴ ∠ABD＝∠BDC＝30°.∴ ∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝
30°＋15°＝45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）（2025 滁州期末）如图，在菱形ABCD中，E，O，F分
别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
（1） 求证：△BCE≌△DCF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠B＝
∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵ E，F分别为
AB，AD的中点，∴ BE＝ AB，DF＝ AD.
∴ BE＝DF. 在△BCE和△DCF中，
∵ ∴ △BCE≌△DCF
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状，并说明理由.
解：（2） 当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方
形　理由：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠B＝
∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵ E，O，F分别
为AB，AC，AD的中点，∴ 易得AE＝BE＝
DF＝AF，OF＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC. ∴ AE＝OE＝OF＝AF. ∴ 四边形AEOF是菱形.∵ AB⊥BC，OE∥BC，
∴ OE⊥AB. ∴ ∠AEO＝90°.∴ 四边形AEOF是正方形.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）（2025 池州青阳期末）如图，在正方形ABCD中，E为对
角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP.
（1） 求证：AE＝CE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝
BC，∠ABD＝∠CBD＝45°.在△ABE和△CBE
中，∵ ∴ △ABE≌△CBE.
∴ AE＝CE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 若∠PBC＝15°，DP＝2，求正方形ABCD的边长；
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝
CD，∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDB＝45°.
∵ ∠PBC＝15°，∴ ∠EBP＝30°.∵ EP⊥BD，
∴ 易得∠EPD＝45°＝∠EDP. ∴ BP＝2EP，DE
＝EP.
由勾股定理，得DP＝ ＝ EP＝2，解得EP＝ .∴ BP
＝2 .设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，CP＝x－2.在
Rt△BCP中，由勾股定理，得BP2＝BC2＋CP2，即（2 ）2＝x2＋
（x－2）2，解得x＝1＋ （负值舍去）.∴ 正方形ABCD的边长为1＋
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（3） 当AE＝ 时，求BP的长.
解：（3） 如图，过点E作EF⊥AD于点F，设EF
＝x，AD＝y.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝
CD＝AD＝y，∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB
＝45°.∴ ∠DEF＝45°＝∠ADB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∴ DF＝EF＝x.∴ AF＝y－x.由勾股定理，得AF2＋EF2＝AE2，即
（y－x）2＋x2＝（ ）2.整理，得y2－2xy＋2x2＝6.同理可得DE＝
x，DP＝2x.∴ CP＝y－2x.由勾股定理，得BP2＝BC2＋CP2，即
BP2＝y2＋（y－2x）2＝2（y2－2xy＋2x2）＝12.∴ BP＝2 （负值
舍去）.∴ BP的长为2
第12题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12(共13张PPT)
19.1　多 边 形
第1课时　多边形的概念及其内角和
第19章　四 边 形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列图形中，不属于凸多边形的是（　C　）
A B C D
2. （2025 亳州蒙城期中）若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多
边形的边数为（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （教材变式）若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角
线，则它是（　A　）
A. 十三边形 B. 十二边形
C. 十一边形 D. 十边形
4. （教材变式）一个四边形的四个内角度数之比为1∶2∶4∶5，则在
这个四边形中，最小的内角为（　A　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 分类讨论思想　 若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来
多边形的边数可能是（　C　）
A. 5或6 B. 6或7
C. 5或6或7 D. 6或7或8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 新情境 航天科技　 2025年4月24日，神舟二十号发射圆满成功，内
蒙古籍航天员王杰飞上太空，在鄂尔多斯市广大校园中掀起学习载人航
天精神的热潮.某学校举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请
同学们参与设计航天纪念章.小明以正八边形为边框设计了如图所示的
航天纪念章，则此正八边形纪念章一个内角的度数为 °.
135　
第6题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，
N，则α＋β的大小为 .
第7题
120°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边
形或六边形一个顶点的对角线，可以分别把它们分成三个或四个三角
形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 个三角
形（用含n的代数式表示）.
9. （2025 合肥四十八中期中）已知两个多边形的内角总和为1 080°，
且边数之比为2∶3，则这两个多边形的边数分别是 .
（n－2）　
4，6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）（1） 已知一个多边形的边数为n，若n＝5，求这个多边
形的内角和；
解：（1） 当n＝5时，（5－2）×180°＝540°.∴ 这个多边形的内角
和为540°
（2） 若这个多边形的内角和的 比一个四边形的内角和多90°，求
n的值.
解：（2） 由题意，得 ×（n－2）×180°－360°＝90°，解得n＝
12.∴ n的值为12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图所示为明明与佳佳在探究某多边形的内角和时的对
话，根据对话解答问题：
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（1） 明明求的是几边形的内角和？
解：（1） 设少加的那个内角为x°，这个多边形的边数为n.根据题
意，得（n－2） 180＝x＋765，则x＝180n－1 125.∵ 0＜x＜180，
∴ 0＜180n－1 125＜180，解得6.25＜n＜7.25.∵ n为整数，∴ n＝7.∴
明明求的是七边形的内角和
（2） 少加的那个内角为多少度？
解：（2） 当n＝7时，x＝180×7－1 125＝135.∴ 少加的那个内角为
135°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. （16分）观察如图所示的图形，并回答问题.
第12题
（1） 四边形有 条对角线；五边形有 条对角线；六边形
有 条对角线.
2　
5　
9　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2） 根据规律，七边形有 条对角线，n边形有 条
对角线.
（3） 应用：10个人围成十边形，每不相邻的两人都握一次手，共握多
少次手？
解： ＝35（次），即共握35次手
14　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（附加题）（20分）　如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落
在点A1处，若∠1＋∠2＝90°，则∠A的度数是 .
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

展开更多......

收起↑